函数概念中对应法则
常见的函数
常见的函数函数的定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。
其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
常见的函数有以下5种。
1、幂函数一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
例如函数y=x0、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。
2、指数函数基本初等函数之一。
一般地，y=ax函数（a为常数且以a>0，a ≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R。
注意，在指数函数的定义表达式中，在ax前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数。
3、对数函数对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。
函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
4、三角函数常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。
不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。
5、反三角函数一种基本初等函数。
它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切，正割，余割为x 的角。
函数的概念
函数的概念基本知识点1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的函数是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。
（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；2）无穷区间；（3）区间的数轴表示类型一、映射函数概念1．下列图象能够成为某个函数图象的是( )2．函数的图象与直线的公共点数目是( )A．B．C．或D．或3 下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?(1)A=R，B=R，对应法则f：取倒数；(2)A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆；(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f：作圆的内接三角形．（4）A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则（5）A=N*，B={0，1}，对应法则f:x→x除以2得的余数；6. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素的象，B中元素的原象.类型二求函数的值1.已知f(x)=2x 2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))2已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值.3．已知，若，求的值4设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 不等式)1()(f x f >的解类型三 具体函数的定义域(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； (即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.1.求下列函数的定义域(用区间表示).(1)； (2). （3）(4)； (5)；02)1(2334)(++-+-+-=x x x x x f .求抽象函数的定义域1．已知函数定义域是，求)(x f y =的定义域是2．已知函数)(x f y =定义域是，求的定义域3．已知函数定义域是，求的定义域是题型四：相同函数1.下列各组函数是否表示同一个函数？ (1)(2)(3)(4)3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x （3）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2；（4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1。
函数的概念及表示
函数的概念及表示知识点1：函数的概念1.函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.2.规律方法：(1)判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A 中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．考点1：函数的判定典型例题例1 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.例2 下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.知识点2：函数的图像1.概念：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．2.作函数图像的方法：（1）利用描点法作函数图象的基本步骤：求定义域→化简解析式→列表→描点→连线（2）在画定义域为某一区间的函数图象时，要注意端点值的画法，闭区间画实心点，开区间画空心圈．考点1：画函数的图象 典型例题例1 作下列函数的图象(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x (－2≤x <1，且x ≠0)．(3)y ＝1＋x (x ∈Z)； (4)y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3)．考点2：函数图象的识别例1 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)例2 如图所示，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象可能是________(填序号)．考点3：函数图象的应用例1 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域；(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．例2 若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．考点4：函数图像在实际问题中的应用例1 某商场销售一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设销售此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？知识点3：函数的定义域1.概念：函数的定义域是指自变量x的范围2.函数定义域的求解方法：(1)若()x f为整式，则定义域为R.(2)若()x f是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题. 考点1：具体函数定义域求解 例1 求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-考点2：抽象函数定义域求解例1 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；例 2 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 .例3 已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=342x f x f y 的定义域.例4 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围.知识点4：函数的值域1.概念：函数的值域指因变量y 的范围2.函数值域的求解方法： （1）观察法 （2）判别式法 （3）配方法 （4）换元法 （5）不等式法 （6）图像法 （7）分离常数法 考点1：用观察法求值域 例1 求下列函数的值域：（1）2415+-=x x y （2）123422--+-=x x x x y考点2：用配方法求值域例1 求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.考点3：用反解+判别式法求值域例1 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域考点4：用换元法求值域 例1 求函数12--=x x y 的值域考点5：用不等式法求值域例1 求函数()22415≥+-=x x x y 的值域考点6：用图像法求值域 例1 求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈例2 画出函数[]5,1,642∈+-=x x x y 的图像，并根据其图像写出该函数的值域。
1-1函数的概念
定义1 设 D 与M 是R 中非空数集, 若有对应法则 f , 使D 内每一个数 x , 都有惟一的一个数 yM 与 它相对应,则称 f 是定义在 D上的函数,记作
f : D M,
x y. D 称为 f 的定义域; f ( D) { y y f ( x ), x D} 称为 f 的值域;
(i) 有 f ( x1 ) f ( x2 ), 则称 f 为 D 上的增函数； 特别有 f ( x1 ) f ( x2 ) 时, 称 f 为严格增函数. (ii) 有 f ( x1 ) f ( x2 ), 则称 f 为 D 上的减函数； 特别有 f ( x1 ) f ( x2 ) 时, 称 f 为严格减函数.
上有下界. M R, 令 x0 arctan( M 1),
π 则 x0 0, , 且 tan x0 M 1 M , 因此 f 在 2 π 0, 2 上无上界.
2、单调函数 定义2 设 f 是定义在 D 上的函数.
若x1 , x2 D, 当 x1 x2 时,
注1 函数的有界与无界性必须标注相应的范围. 注2 无界函数的图形可用古诗
春色满园关不住，一枝红杏出墙来
来描述.
π 例5 求证 : f ( x ) tan x 在 0, 上无上界, 有下界. 2 π π 证 L 0,则 x 0, , f ( x ) L, 因此 f 在 0, 2 2
[ x]: x 的最大整数； { x}: x 的最小整数； ( x) :
y
3
2
1
1
2
x 的非负小数部分；3 2 1 O
3
4
显然：当 x Z 时,
函数定义域,对应法则,值域
函数的定义域、值域、解析式的求法（求直接函数定义域）例1：221533x x y x --=+- 例2：021(21)4111y x x x =+-+-+-练习1：211()1x y x -=-+练习2：函数22()44f x x x =---的定义域是（ ）A 、[2,2]-B 、(2,2)-C 、(,2)(2,)-∞-+∞UD 、{2,2}-练习3：判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， 33()g x x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
A 、⑴、⑵B 、 ⑵、⑶C 、 ⑷D 、 ⑶、⑸（求抽象函数定义域）例1：设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；例2：若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域练习1：若函数()y f x =的定义域是02,⎡⎤⎣⎦，则函数()()11y f x f x =++-的定义域为______________________________________________.练习2：若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。
练习3：已知函数f x ()的定义域是(]01，，则g x f x a f x a a ()()()()=+⋅--<≤120的定义域为 。
（已知定义域求未知数范围）例1：知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
谈谈函数的对应法则
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函数的对应法则 抽象函数的表达式
函数的对应法则1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f二，练习题1、已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。
2、求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+73、设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且在y 轴上的截距为1，在x 轴截得的线段长为22，求f(x ）的解析式4、211f (1)1x x +=-5、2211f ()x x x x-=+6、已知f （x ）为二次函数， f(x-1)= 2x -4x ，解方程f(x+1)=08、若)()()(y f x f y x f ⋅=+，且2)1(=f ， 求值)2004()2005()3()4()2()3()1()2(f f f f f f f f ++++ ..10、已知f （x ＋x 1）＝x 3＋x31，求f (x )的解析式。
求函数定义域和值域方法对应法则归纳1
<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。
则称f:为A 到B 的一个函数。
2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。
由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。
3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。
（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。
4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。
（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。
（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。
5．函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法6．分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。
（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。
③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。
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函数概念中对应法则
【知识概述】函数知识是形成函数思想、数性结合与等价变换等数学思想方法的基础。
函数是高中数学最主要的概念之一，更是高中数学的主要内容，同时又是高考重点考查的对象。
要切实掌握函数的有关概念，并会用定义证明函数的性质。
而函数概念的掌握关键是对其中的对应法则的理解和把握。
通常教师依据课本内容，先介绍映射，然后用其来定义函数。
这从表面上看似乎解决了问题，其实则不然。
因为映射中的对应法则即对应关系并未被学生所掌握。
或者说学生对书上的图表映射例子能接受，但不深刻，不能把其运用到抽象的函数解析式中来.这一点往往被教师忽略，在以后的学习中将会产生深远的影响。
这当中有一个大的思维跨度，能否越过这个槛，将会对学生高中数学学习有着重要影响。
一般有经验的老师都通过以下的方式来理解函数中的对应关系
第一种方式，教师只停留在书本所给的几个直观例子上，或者简单的找些类似例子，特别是集合文示图的例子。
虽然有的教师也枚举诸如指数、开算术根、二次函
数等例子(22 36,y x y x y ==+=如①，②③用“定义”来进行文字解说，试着让学生通过几个不同函数中的对应法则的“定义”嵌套，就能“整合”函数对应法则，从而“内消”掌握该知识点。
但却因没有进一步对函数对应法则进行分析，易导致学生对该知识点的理解不够到位，或者说是笼统的，还是停留在“定义”字面上。
这将会制约学生对后继课程的学习。
第二种方式，函数的对应法则被看作“加工厂”，这种观点是把函数中自变量的取值看作“原材料”，而把函数值看作“产品”。
既形象又直观，类比贴切，但还不够全面。
因为用这种观点不好做“原材料”是“初级产品”的题。
也即是“自变量位置”不是某个单一字母（即不是“自变量”本身）的情形（其系数与指数都不是1时，或者说是某个字母的非正比例中系数是1的表达式时）。
在处理迭代时学生会有较大障碍。
【例如：①()()21,21f x x f t t =+=+ 是同一函数吗？②()2132,f x x +=- ()3722
f x x =-是同一函数吗？用“加工厂” 的观点易知①是真命题，但②的真假就不易判断了。
】对于②的处理通常用换元法（令21t x =+则12t x -=
，将其代入3x −2
可知②的真假）。
而有些老师则用函数“方框含义”处理（把“2x+1”看成一个整体），但就学生理解而言还是有些粗，不够到位。
相当数量的学生能模仿此思路做题，但却不能明白其中道理。
第三种方式，把函数()y f x =的对应法则“f”被看作“模具”。
这种观点是把函数()y f x =中自变量“x”的取值看作“原料”，而把相应函数值“y”看作“成品”。
此种观点类似物理学只研究物体的形状一样，注重“原料”以怎样的形式组装成“成品”，而不管“原料”是否为“初级产品”，从而避免了当所给函数的“原料”不是某个单一字母的情形时，找不到或不好找函数的对应法则。
这就好比给出一个茶壶模具，不管是用粘土还是一般的泥土，或者是用灰面等作为原料都能得到形状相同的壶。
不看其 “质”，只看其“型”。
【例如：函数()21f x x =+中的x 和()21f t t =+中的t 类似上述茶壶模具例子中的原料“粘土”与“灰面”，而其 函数表达式的形式结构特征则可类似上例中的茶壶模具。
即
()2()1/()f =+⎡⎤⎣⎦粘土粘土粘土,f(灰面)=[2（灰面）+1]/(灰面).用此观点容易判定函数()2132,f x x +=-()3722f x x =
-是同一函数<只需把函数()2132f x x +=-的右边进行配方，可得()()372132=2x+1-2
2f x x ⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦,从而知道所需判断的两函数满足相同的“茶壶模具”——【 ()37()-22
f =箱子箱子】，即对应法则相同，进而可以判断它们是相同的函数>。
】
通过“模具”观点的类比，要识别函数)(()y f x =中的对应法则“f”，只需认准函数解析式的形式结构特征。
例如:【已知()2x f x x -=,则()12x f x x
-=是真命题吗?只需认准其形式结构特征为f(箱子)=[(箱子)－2]/(箱子),则有
()22122x x f x x
--==,可知此命题的真假】.这样不但可以增强学生对函数对应法则理解。
还能达到既提高学生答题效率，同时又可优化教学效果的双赢目的。