数学必修二必修二 步步高升练习册
高中数学步步高必修2习题部分Word版文档1.3 第2课时
第2课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积一、选择题1. 已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.342．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )A ．a ∶bB ．b ∶aC ．a 2∶b 2D ．b 2∶a 23．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为( )A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确 4．正方体的内切球和外接球的体积之比为( )A ．1∶3B ．1∶3C ．1∶33D ．1∶95．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为( )A ．1∶2∶3B ．1∶2∶ 3C ．1∶22∶33D ．1∶4∶76．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为( )A ．4∶9B ．9∶4C ．4∶27D ．27∶4二、填空题7．下图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为2的等腰梯形，则该几何体的体积是________．8．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半径是________ cm.9．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________；(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．三、解答题10．在球面上有四个点P、A、B、C，如果P A、PB、PC两两垂直且P A＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．11. 如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．四、探究与拓展13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．答案1．D 2.B 3.A 4.C 5.C 6.A 7.73π 8.3 9.(1)球 (2)球 10.32πa 3 11．解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V 圆锥≥V 半球，V 半球＝12×43πr 3＝12×43π×43，V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π×42×h .依题意：13π×42×h ≥12×43π×43，解得h ≥8.即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm ，高大于或等于8 cm 时，冰淇淋融化后不会溢出杯子． 又因为S 圆锥侧＝πrl ＝πrh 2＋r 2，当圆锥高取最小值8时，S 圆锥侧最小，所以高为8 cm 时，制造的杯子最省材料． 12．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知,当球在容器内时,水深为3r ,水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3,而将球取出后,设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3， 由V ＝V ′，得h ＝315r .即容器中水的深度为315r . 13．解 设正方体的棱长为a .如图所示．①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r 2＝2a ，r2＝22a，所以S2＝4πr22＝2πa2.③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3＝3a，r3＝32a，所以S3＝4πr23＝3πa2.综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.。
步步高分层训练与测评数学必修二
步步高分层训练与测评数学必修二§1.1命题及其关系1．1.1命题一、基础过关1．下列语句中是命题的是() A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1>0D．梯形是不是平面图形呢？2．下列语句中是命题的为()①空集是任何集合的子集；②若x>1，则x>2；③3比1大吗？④若平面上两条直线不相交，则它们平行；⑤(－2)2＝－2；⑥x>15.A．①②⑥B．①②④C．①④⑤D．①②④⑤3．下列说法正确的是()A．“正数的对数都是负数”是真命题B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题C．“四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题4．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a、b相交，则α、β相交D．若α、β相交，则a、b相交5．下列命题：其中真命题有()①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个B．2个C．3个D．4个6．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面7．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中为真命题的是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c二、能力提升8．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②对角线垂直的平行四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．9．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是______________，q是________________．10．给出下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，是真命题的是________．(填序号)11．判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)若x＋y是有理数，则x，y均为有理数．(2)一条直线l与平面α不是平行就是相交．(3)x2＋2x－3<0.。
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第二章点、直线、平面之间的位置关系§2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面1．A 2.D 3.C 4.D5．06．A∈m7. 解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．8．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1D∥\l2，∴l1、l2交于一点，记交点为P.∵P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．9．C10.C11．③12．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E、C、D1、F四点共面．2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1．D2．C3．B4．D 5.平行或异面6．(1)60°(2)45°7．(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角，又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°.(2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ， ∴HD 綊FB ，∴四边形HFBD 为平行四边形， ∴HF ∥BD ，∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角． 连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边三角形，又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°.9．D 10．B 11．①③12．(1)证明 假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解 取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.13．解 如图，取AC 的中点P .连接PM 、PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)． 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角)．又因AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°.若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.故直线AB和MN所成的角为60°或30°.2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系1．D2．C3．D4．C5.平行、相交或异面6．b⊂α，b∥α或b与α相交7．解不正确．如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条，如a1，a2，…，a n，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n与平面β平行，但此时α与β不平行，α∩β＝l.8．证明∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α无公共点．∵α∩β＝b，∴b⊂α，b⊂β.∴直线a与b无公共点．∵a⊂β，∴a∥b.9．D10.D11.平行或相交12．解由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.13．解由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)所示；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)所示；图(1)图(2)当点Q 不与点D ，D 1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB 1，如图(3)所示．图(3)§2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1．D 2.B 3.D 4.D5．(1)平面A 1C 1和平面DC 1 (2)平面BC 1和平面DC 1 (3)平面B 1C 和平面A 1C 1 6．17．证明 如图，连接BD 交AC 于F ，连接EF .因为F 为正方形ABCD 对角线的交点，所以F 为AC 、BD 的中点． 在三角形DD 1B 中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点，所以EF ∥D 1B . 又EF ⊂平面AEC ，BD 1⊄平面AEC ，所以BD 1∥平面AEC . 8．证明 连接OF ，∵O 为正方形DBCE 对角线的交点，∴BO ＝OE ，又AF ＝FE ， ∴AB ∥OF ，⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊄平面DCFOF ⊂ 平面DCF AB ∥OF ⇒AB ∥平面DCF .9．A 10．D 11．1212．证明 取A ′D 的中点G ，连接GF ，GE ，由条件易知FG ∥CD ，FG ＝12CD ，BE ∥CD ，BE ＝12CD ，所以FG ∥BE ，FG ＝BE ，故四边形BEGF 为平行四边形， 所以BF ∥EG .因为EG ⊂平面A ′DE ， BF ⊄平面A ′DE ，所以BF ∥平面A ′DE .13．证明 如图所示，连接AQ 并延长交BC 于K ，连接EK .∵KB ∥AD ，∴DQ BQ ＝AQQK.∵AP ＝DQ ，AE ＝BD ，∴BQ ＝PE .∴DQ BQ ＝AP PE .∴AQ QK ＝APPE .∴PQ ∥EK . 又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .2.2.2 平面与平面平行的判定1．B 2．D 3．B 4.D 5．相交或平行 6．③7．证明 由于AB ∥CD ，BE ∥CF ，故平面ABE ∥平面DCF .而直线AE 在平面ABE 内，根据线面平行的定义，知AE ∥平面DCF . 8．证明 ∵E 、E 1分别是AB 、A 1B 1的中点，∴A 1E 1∥BE 且A 1E 1＝BE .∴四边形A 1EBE 1为平行四边形． ∴A 1E ∥BE 1.∵A 1E ⊄平面BCF 1E 1， BE 1⊂平面BCF 1E 1. ∴A 1E ∥平面BCF 1E 1. 同理A 1D 1∥平面BCF 1E 1， A 1E ∩A 1D 1＝A 1，∴平面A 1EFD 1∥平面BCF 1E 1. 9．D 10.A 11.M ∈线段FH12．证明 (1)∵E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，∴EF 綊12B 1D 1，∵DD 1綊BB 1，∴四边形D 1B 1BD 是平行四边形， ∴D 1B 1∥BD . ∴EF ∥BD ，即EF 、BD 确定一个平面，故E 、F 、D 、B 四点共面． (2)∵M 、N 分别是A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥D 1B 1∥EF .又MN ⊄平面EFDB ， EF ⊂平面EFDB . ∴MN ∥平面EFDB .连接NE ，则NE 綊A 1B 1綊AB . ∴四边形NEBA 是平行四边形．∴AN ∥BE .又AN ⊄平面EFDB ，BE ⊂平面EFDB .∴AN ∥平面EFDB . ∵AN 、MN 都在平面AMN 内，且AN ∩MN ＝N ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .13．(1)证明 连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H .∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2.连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.2.2.3 直线与平面平行的性质1．C 2．C 3．A 4．B5．①②⇒③(或①③⇒②) 6.223a7．证明 如图所示，连接AC 交BD 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM .根据直线和平面平行的判定定理， 则有P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， 则有AP ∥GH .8．证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥GH .又GH ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD . ∴EF ∥平面BCD .而平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，EF ⊂平面ACD ，∴EF ∥CD . 而EF ⊂平面EFGH ，CD ⊄平面EFGH ， ∴CD ∥平面EFGH . 9．A 10.平行四边形 11．m ∶n12．(1)证明 因为BC ∥AD ，AD ⊂平面P AD ，BC ⊄平面P AD ，所以BC ∥平面P AD .又平面P AD ∩平面PBC ＝l ，BC ⊂平面PBC ，所以BC ∥l . (2)解 MN ∥平面P AD .证明如下：如图所示，取PD 中点E . 连接EN 、AE .又∵N 为PC 中点，∴EN 綊12AB∴EN 綊AM ，∴四边形ENMA 为平行四边形，∴AE ∥MN . 又∵AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD .13．证明 连接A1C 交AC 1于点E ，∵四边形A 1ACC 1是平行四边形， ∴E 是A 1C 的中点，连接ED ， ∵A 1B ∥平面AC 1D ，平面A 1BC ∩平面AC 1D ＝ED ，∴A 1B ∥ED ，∵E 是A 1C 的中点，∴D 是BC 的中点．又∵D 1是B 1C 1的中点，∴BD 1∥C 1D ， 又∵C 1D ⊂平面AC 1D ，BD 1⊄平面AC 1D ， ∴BD 1∥平面AC 1D ， 又A 1B ∩BD 1＝B ， ∴平面A 1BD 1∥平面AC 1D .2.2.4 平面与平面平行的性质1．A 2．D 3．B 4．C 5．(1)相似 (2)全等 6．157．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC 1M 为平行四边形，∴AN ＝C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点．8. 解 当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC ，证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE ，① 由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点，连接OE ，则BM ∥OE ，②由①②可知，平面BFM ∥平面AEC ，又BF ⊂平面BFM ， ∴BF ∥平面AEC . 9．D 10．B 11．212．解 相交直线AA ′，BB ′所在平面和两平行平面α、β分别相交于AB 、A ′B ′，由面面平行的性质定理可得AB ∥A ′B ′.同理相交直线BB ′、CC ′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC 、B ′C ′，从而BC ∥B ′C ′.同理易证AC ∥A ′C ′.∴∠BAC 与∠B ′A ′C ′的两边对应平行且方向相反． ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠BCA ＝∠B ′C ′A ′. ∴△ABC 与△A ′B ′C ′的三内角分别相等，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，∵AB ∥A ′B ′，AA ′∩BB ′＝O ，∴在平面ABA ′B ′中，△AOB ∽△A ′OB ′. ∴A ′B ′AB ＝OA ′OA ＝23.而S △ABC ＝12AB ·AC ＝12×2×1＝1.∴S △A ′B ′C ′S △ABC＝(A ′B ′AB )2，∴S △A ′B ′C ′＝49S △ABC ＝49×1＝49.13．解 能．取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1，∵A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1，PC 1∥MC ，PC 1＝MC ，∴四边形A 1MCN 是平行四边形，又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ，A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1，因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形． 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H ， ∵A 1M ＝A 1N ＝5， MN ＝BC 1＝22， ∴A 1H ＝ 3.∴S △A 1MN ＝12×22×3＝ 6.故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝2 6.§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°7．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ， 又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面EAB .8．证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥P A .又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .又∵G 、F 分别是PD 、PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF . ∵P A ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ， ∵CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD . 9．A 10．B 11．∠A 1C 1B 1＝90°12．证明 连接AB 1，CB 1，设AB ＝1.∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC . 连接PB 1.∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94， OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21.∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面P AC .13．解 (1)如图①，当A 、B 位于平面α同侧时，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.过点A 作AH ⊥BB 1于H ，则AB 和α所成角即为∠HAB .而tan ∠BAH ＝2－13＝33.∴∠BAH ＝30°.(2)如图②，当A 、B 位于平面α异侧时，经A 、B 分别作AA 1⊥α于A 1，BB 1⊥α于B 1，AB ∩α＝C ，则A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成 的角．∵△BCB 1∽△ACA 1，∴BB 1AA 1＝B 1C CA 1＝2， ∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3，∴B 1C ＝233.∴tan ∠BCB 1＝BB1B 1C＝2233＝3， ∴∠BCB 1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB 与平面α所成的角为30°或60°.2.3.2 平面与平面垂直的判定1．C 2.D 3.B 4.B5．45° 6．57．证明 因为MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，所以PD ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 为正方形，所以BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，所以BC ⊥平面PDC .在△PBC 中，因为G 、F 分别为PB 、PC 的中点，所以GF ∥BC ，所以GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PDC .8．(1)证明 如图所示，连接BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD .又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB .又因为P A ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BE .而P A ∩AB ＝A ，因此BE ⊥平面P AB .又BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面P AB .(2)解 由(1)知，BE ⊥平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，所以PB ⊥BE .又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角A —BE —P 的平面角．在Rt △P AB 中，tan ∠PBA ＝P A AB ＝3，则∠PBA ＝60°. 故二面角A —BE —P 的大小是60°.9．B 10．C11．证明 (1)由E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点知EF ∥BC .因为EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC .所以EF ∥平面ABC .(2)由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1.又A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D .又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ，故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ⊂平面A 1FD ，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .12．(1)证明 ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥BC .又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC .又∵AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .(2)解 ∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面P AC ，∴DE ⊥平面P AC .又∵AE ⊂平面P AC ，PE ⊂平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE .∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角．∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ，∴∠P AC ＝90°.∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC .这时∠AEP ＝90°，故存在点E ，使得二面角A —DE —P 为直二面角．13．(1)证明 连接BD ，∵D 是AC 的中点，P A ＝PC ＝5，∴PD ⊥AC .∵AC ＝22，AB ＝2，BC ＝6，∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .∴BD ＝12AC ＝2＝AD . ∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5，∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD .∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .(2)解 取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ，∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE .∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .又AB ⊥DE ，DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB .∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．在△PED 中，DE ＝12BC ＝62，PD ＝3，∠PDE ＝90°， ∴tan ∠PED ＝PD DE＝ 2. ∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质1．B 2.B 3．C 4．C5．66．a ⊥β7．证明 在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D .∵平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB .∴AD ⊥平面PBC .又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB .又AB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥AB .8．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC .又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ， ∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ， ∴M 是AB 的中点．9．A 10．C11．①②③12．(1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45，∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ，BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面P AD ，又BD ⊂面BDM ，∴面MBD ⊥面P AD .(2)解 过P 作PO ⊥AD ，∵面P AD ⊥面ABCD ，∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高．又△P AD 是边长为4的等边三角形，∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855， 此即为梯形的高．∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3. 13．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，CD ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 DC 1⊥BC ，CC 1⊥BC ⇒BC ⊥平面ACC 1A 1⇒BC ⊥AC ，取A 1B 1的中点O ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接C 1O ，C 1H ，A 1C 1＝B 1C 1⇒C 1O ⊥A 1B 1，面A 1B 1C 1⊥面A 1BD ⇒C 1O ⊥面A 1BD ，又∵DB ⊂面A 1DB ，∴C 1O ⊥BD ，又∵OH ⊥BD ，∴BD ⊥面C 1OH ，C 1H ⊂面C 1OH ，∴BD ⊥C 1H ，得点H 与点D 重合，且∠C 1DO是二面角A 1－BD －C 的平面角，设AC ＝a ，则C 1O ＝22a ，C 1D ＝2a ＝2C 1O ⇒∠C 1DO ＝30°，故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°.第二章章末检测1．C 2.D 3．C 4．B 5．D 6．D 7．A 8．B 9.A 10．D 11．D 12．D 13．914．④15．B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)16．a >617．解 直线MN ∥平面A 1BC 1，M 为AB 的中点，证明如下：∵MD /∈平面A 1BC 1，ND /∈平面A 1BC 1.∴MN ⊄平面A 1BC 1.如图，取A 1C 1的中点O 1，连接NO 1、BO 1.∵NO 1綊12D 1C 1，MB 綊12D 1C 1， ∴NO 1綊MB .∴四边形NO 1BM 为平行四边形．∴MN ∥BO 1.又∵BO 1⊂平面A 1BC 1，∴MN ∥平面A 1BC 1. 18．证明 如图所示，连接AN ，延长交BE 的延长线于P ，连接CP .∵BE ∥AF ，∴FN NB ＝AN NP， 由AC ＝BF ，AM ＝FN 得MC ＝NB .∴FN NB ＝AM MC. ∴AM MC ＝AN NP， ∴MN ∥PC ，又PC ⊂平面BCE .∴MN ∥平面BCE .19．解 (1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD .又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ，从而CD ⊥PD .因为PD ＝22＋(22)2＝23，CD ＝2，所以三角形PCD 的面积为12×2×23＝2 3. (2)如图，取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．在△AEF 中，由EF ＝2，AF ＝2，AE ＝2知△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF ＝45°.因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是45°.20．(1)证明 连接OE ，如图所示．∵O 、E 分别为AC 、PC 的中点，∴OE ∥P A.∵OE ⊂面BDE ，P A ⊄面BDE ，∴P A ∥面BDE .(2)证明 ∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD .在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥面P AC .又∵BD ⊂面BDE ，∴面P AC ⊥面BDE .(3)解 取OC 中点F ，连接EF .∵E 为PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO .又∵PO ⊥面ABCD ，∴EF ⊥面ABCD .∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ， ∴OP ＝2EF ＝66a . ∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3. 21．(1)证明 因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC .又P A ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥BD .如图，设AC ∩BD ＝F ，连接EF .因为AC ＝22，P A ＝2，PE ＝2EC ，故PC ＝23，EC ＝233，FC ＝2， 从而PC FC ＝6， AC EC ＝ 6. 因为PC FC ＝AC EC，∠FCE ＝∠PCA ， 所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠P AC ＝90°.由此知PC ⊥EF .因为PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED .(2)解 在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面P AB ⊥平面PBC .又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC .因为BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直，故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，PD ＝P A 2＋AD 2＝2 2.设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A 、D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝ 2.设PD 与平面PBC 所成的角为α， 则sin α＝d PD ＝12. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.第三章 直线与方程§3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率1．B 2．C 3.B 4．C5．30°或150° 33或－336．(－2,1)7．解 直线AD ，BC 的倾斜角为60°，直线AB ，DC 的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD 的倾斜角为120°.k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0，k AC ＝33，k BD ＝－ 3. 8．解 设P (x,0)，则k P A ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x ，依题意， 由光的反射定律得k P A ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x，解得x ＝2，即P (2,0)． 9．D 10．D11.20°≤α<200°12．解 如右图，由题意知∠BAO ＝∠OAC ＝30°，∴直线AB 的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC 的倾斜角为30°， ∴k AB ＝tan 150°＝－33， k AC ＝tan 30°＝33.13．解 画出函数的草图如图，f (x )x 可视为过原点直线的斜率． 由图象可知：f (c )c >f (b )b >f (a )a. 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定1．A 2．A 3.B 4.D5．526．2 －987．(1)证明 由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35， k CD ＝11－(－4)－6－3＝－53， 则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD .(2)解 ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－(－2)0－3a＝－1，解得a ＝1或a ＝3. 8．解 由斜率公式得k OP ＝t －01－0＝t ， k QR ＝2－(2＋t )－2t －(1－2t )＝－t －1＝t ，k OR ＝2－0－2t －0＝－1t ， k PQ ＝2＋t －t 1－2t －1＝2－2t＝－1t . ∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，从而OP ∥QR ，OR ∥PQ .∴四边形OPQR 为平行四边形．又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ，故四边形OPQR 为矩形．9．B10．平行或重合11．(－19，－62)12．解 由斜率公式可得k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝54， k BC ＝6－66－0＝0， k AC ＝6－(－4)0－(－2)＝5. 由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在．设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2，由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1， 解得k 1＝－45，k 2＝－15. ∴BC 边上的高所在直线的斜率不存在；AB 边上的高所在直线的斜率为－45； AC 边上的高所在直线的斜率为－15. 13．解 ∵四边形ABCD 是直角梯形，∴有2种情形：(1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ，由图可知：A (2，－1)．(2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ，⎩⎪⎨⎪⎧k AD ＝k BC k AD ·k AB ＝－1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n －2m －2＝3－1n －2m －2·n ＋1m －5＝－1∴⎩⎨⎧ m ＝165n ＝－85. 综上⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝－1或⎩⎨⎧ m ＝165n ＝－85.§3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程1．D 2．C 3．B 4．C5．y ＝－13x ＋136．y －2＝2(x －1)7．解 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，∴由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)，即3x ＋y ＋9＝0.(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0(x －3)，即y ＝－4.(3)与y 轴平行的直线，其斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x ＝5.(4)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1. 又∵直线过点P (－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－1(x ＋2)，即x ＋y －1＝0.8．解 设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴k AD ·k BC ＝－1，∴2＋30－3·k AD ＝－1，解得k AD ＝35. ∴BC 边上的高所在的直线方程为y －0＝35(x ＋5)，即y ＝35x ＋3. 9．B 10.C11．②③12．解 (1)由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)≥0，f (3)≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0. 解得－15≤k ≤1. 所以，实数k 的取值范围是－15≤k ≤1. 13．解 直线AC 的方程：y ＝3x ＋2＋ 3.∵AB ∥x 轴，AC 的倾斜角为60°，∴BC 的倾斜角为30°或120°.当α＝30°时，BC 方程为y ＝33x ＋2＋3，∠A 平分线倾斜角为120°， ∴所在直线方程为y ＝－3x ＋2－ 3.当α＝120°时，BC 方程为y ＝－3x ＋2－33，∠A 平分线倾斜角为30°，∴所在直线方程为y ＝33x ＋2＋33. 3.2.2 直线的两点式方程1．D 2.B 3.B 4.B5.x 3＋y 2＝1或x 2＋y ＝1 6.x 2＋y 6＝1 7．解 设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b .∵k ＝6，∴方程为y ＝6x ＋b .令x ＝0，∴y ＝b ，与y 轴的交点为(0，b )；令y ＝0，∴x ＝－b 6，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－b 6，0. 根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫－b 62＋b 2＝37， ∴b ＝±6.因此直线l 的方程为y ＝6x ±6.8．解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y 138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1， 即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y 11＝1. 9．B 10．D11．(0,1)12．解 (1)由截距式得x －8＋y 4＝1， ∴AC 所在直线的方程为x －2y ＋8＝0，由两点式得y －46－4＝x －2， ∴AB 所在直线的方程为x ＋y －4＝0.(2)D 点坐标为(－4,2)，由两点式得y －26－2＝x －(－4)－2－(－4). ∴BD 所在直线的方程为2x －y ＋10＝0.(3)由k AC ＝12，∴AC 边上的中垂线的斜率为－2，又D (－4,2)， 由点斜式得y －2＝－2(x ＋4)，∴AC 边上的中垂线所在直线的方程为2x ＋y ＋6＝0.13．解 当直线l 经过原点时，直线l 在两坐标轴上截距均等于0，故直线l 的斜率为17， ∴所求直线方程为y ＝17x ， 即x －7y ＝0.当直线l 不过原点时，设其方程为x a ＋y b＝1， 由题意可得a ＋b ＝0，①又l 经过点(7,1)，有7a ＋1b＝1，② 由①②得a ＝6，b ＝－6，则l 的方程为x 6＋y －6＝1， 即x －y －6＝0.故所求直线l 的方程为x －7y ＝0或x －y －6＝0.3.2.3 直线的一般式方程1．D 2.D 3.A 4.A5．－4156．0或－17．解 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 即3x －y ＋3－53＝0.(2)x ＝－3，即x ＋3＝0.(3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0.(4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)， 即2x ＋y －3＝0.(6)由截距式方程得x －3＋y －1＝1，即x ＋3y ＋3＝0.8．解 设直线为Ax ＋By ＋C ＝0，∵直线过点(0,3)，代入直线方程得3B ＝－C ，B ＝－C 3. 由三角形面积为6，得|C 2AB|＝12， ∴A ＝±C 4， ∴方程为±C 4x －C 3y ＋C ＝0， 所求直线方程为3x －4y ＋12＝0或3x ＋4y －12＝0.9．C 10．D11．x －y ＋1＝012．解 当m ＝5时，l 1：8x ＋y －11＝0，l 2：7x －8＝0.显然l 1与l 2不平行，同理，当m ＝－3时，l 1与l 2也不平行．当m ≠5且m ≠－3时，l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧－(m ＋3)＝7m －53m －4≠85－m ， ∴m ＝－2.∴m 为－2时，直线l 1与l 2平行．13．(1)证明 将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)， ∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)． 而点A (15，35)在第一象限，故l 过第一象限．∴不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．(2)解 直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3. ∵l 不经过第二象限，∴a ≥3.§3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标1．D 2．A 3.B 4．C5．26．8x ＋16y ＋21＝07．解 (1)21≠1－2，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)12＝12≠23，所以方程组没有解，两直线平行． (3)12＝－1－2＝12，方程组有无数个解，两直线重合． 8．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意．(2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时，设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0，即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0.据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0.令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2； 令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ. ∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ 解之得λ＝18，此时y ＝23x . 即2x －3y ＝0.∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或2x －3y ＝0.9．A 10．D11．(－1，－2)12．解 如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1， 故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴，故k AC ＝－k AB ＝－1，∴AC 所在直线方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －2＝－2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6， 故C 点坐标为(5，－6)．13．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧ b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3， ∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3， ∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫78，3. 3.3.2 两点间的距离1．A 2．C 3．C 4．B 5.17 6.(2,10)或(－10,10)7．解 由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．由|AB |2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5.当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1，当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0.综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.8．证明 如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设A (0,0)，B (c,0)，C (m ，n )，则|AB |＝c ，又由中点坐标公式，可得D ⎝⎛⎭⎫m 2，n 2，E ⎝⎛⎭⎫c ＋m 2，n 2，所以|DE |＝c ＋m 2－m 2＝c 2， 所以|DE |＝12|AB |. 即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．9．B 10．A11．2 612．证明 作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系(如右图所示)．设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)．因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以，由距离公式可得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )，即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )．又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c .所以|AB |＝|AC |，即△ABC 为等腰三角形．13．解 设直线l 与直线l 1，l 2分别相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0，两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5①又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25 ②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 2＝5y 1－y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0y 1－y 2＝5， 由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°，故所求的直线方程为x ＝3或y ＝1.3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离1．D 2.B 3．C 4．C5.713266．2x ＋y －5＝07．解 (1)设BC 边的高所在直线为l ，由题意知k BC ＝3－(－1)2－(－2)＝1， 则k l ＝－1k BC＝－1， 又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －3＝0.(2)BC 所在直线方程为y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝22， 又|BC |＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝42，则S △ABC ＝12·|BC |·d ＝12×42×22＝8. 8．解 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )．∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)， 由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4， ∴b 2＝9，b ＝±3.但b >1，∴b ＝3.从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.9．C 10．B11．①⑤12．解 因为直线l 平行l 1，设直线l 的方程为7x ＋8y ＋C ＝0，则d 1＝|C －9|72＋82，d 2＝|C －(－3)|72＋82. 又2d 1＝d 2，∴2|C －9|＝|C ＋3|.解得C ＝21或C ＝5.故所求直线l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0.13．解 已知BC 的斜率为－23，因为BC ⊥AC ，所以直线AC 的斜率为32，从而方程y ＋2＝ 32(x －1)，即3x －2y －7＝0，又点A (1，－2)到直线BC ：2x ＋3y －6＝0的距离为|AC |＝1013，且|AC |＝|BC |＝1013.由于点B 在直线2x ＋3y －6＝0上，可设B (a,2－23a )，且点B 到直线AC 的距离为|3a －2(2－23a )－7|32＋(－2)2＝1013，|133a －11|＝10. 所以133a －11＝10或133a －11＝－10，所以a ＝6313或313， 所以B ⎝⎛⎭⎫6313，－1613或B ⎝⎛⎭⎫313，2413 所以直线AB 的方程为y ＋2＝－1613＋26313－1·(x －1)或y ＋2＝2413＋2313－1(x －1)．即x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0，所以AC 所在的直线方程为3x －2y －7＝0，AB 所在的直线方程为x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0. 第三章章末检测1．A 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7．C 8．C 9．A 10．C 11．D 12.B 13．－2或4或614．60 km15．－2316．2 17．解 在3x －y ＋3＝0中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)．∵直线l 的斜率k ＝3，∴其倾斜角θ＝60°.若直线l 绕点M 逆时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，故其方程为x ＝－ 3.若直线l 绕点M 顺时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan 30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)，即x －3y ＋3＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0.18．解 设直线l 2上的动点P (x ，y )，直线l 1上的点Q (x 0,4－2x 0)，且P 、Q 两点关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称，则有⎩⎪⎨⎪⎧ |3x ＋4y －1|5＝|3x 0＋4(4－2x 0)－1|5，y －(4－2x 0)x －x 0＝43.消去x 0，得2x ＋11y ＋16＝0或2x ＋y －4＝0(舍)．∴直线l 2的方程为2x ＋11y ＋16＝0.19．解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 中点M ⎝⎛⎭⎫5＋x 02，y 0－22，BC 中点N ⎝⎛⎭⎫7＋x 02，y 0＋32.∵M 在y 轴上，∴5＋x 02＝0，x 0＝－5. ∵N 在x 轴上，∴y 0＋32＝0，y 0＝－3，即C (－5，－3)． (2)∵M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)． ∴直线MN 的方程为x 1＋y －52＝1. 即5x －2y －5＝0.20．解 设B (x 0，y 0)，则AB 中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－82，y 0＋22， 由条件可得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0x 0－82＋2·y 0＋22－5＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0x 0＋2y 0－14＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝6y 0＝4，即B (6,4)， 同理可求得C 点的坐标为(5,0)．故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0. 21．解 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x ＝－23， 又PP ′的中点Q ⎝⎛⎭⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x 02－(y ＋y 0)＋7＝0.可得P 点的坐标为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813， 代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0，∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.22．解 在线段AB 上任取一点P ，分别向CD 、DE 作垂线划出一块长方形土地，以BC ，EA的交点为原点，以BC ，EA 所在的直线为x 轴，y 轴，建立直角坐标系，则AB 的方程为x 30＋y 20＝1， 设P ⎝⎛⎭⎫x ，20－2x 3，则长方形的面积 S ＝(100－x )⎣⎡⎦⎤80－⎝⎛⎭⎫20－2x 3(0≤x ≤30)． 化简得S ＝－23x 2＋203x ＋6 000(0≤x ≤30)． 当x ＝5，y ＝503时，S 最大，其最大值为6 017 m 2. 第四章 圆与方程§4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程1．A 2.B 3.B 4．A5．5＋ 26.⎝⎛⎭⎫x －1952＋⎝⎛⎭⎫y －352＝1 7．解 (1)圆的半径r ＝|CP |＝(5－8)2＋(1＋3)2＝5，圆心为点C (8，－3)，∴圆的方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25.(2)设所求圆的方程是x 2＋(y －b )2＝r 2.∵点P 、Q 在所求圆上，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 16＋(2－b )2＝r 2，36＋(2＋b )2＝r 2，⇒⎩⎨⎧ r 2＝1454，b ＝－52.∴所求圆的方程是x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋522＝1454. 8．解 由题意知线段AB 的垂直平分线方程为3x ＋2y －15＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－3. ∴圆心C (7，－3)，半径r ＝|AC |＝65.∴所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65.9．D 10.D11．[0,2]12．解 能．设过A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.将A ，B ，C 三点的坐标分别代入有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2，(3－a )2＋(4－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，r ＝ 5.∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.将D (－1,2)代入上式圆的方程，得(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，即D 点坐标适合此圆的方程．故A ，B ，C ，D 四点在同一圆上．13．解 设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝4.|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2＋(x ＋2)2＋(y －6)2＋(x －4)2＋(y ＋2)2＝3(x 2＋y 2)－4y ＋68＝80－4y .∵－2≤y ≤2，∴72≤|P A |2＋|PB |2＋|PC |2≤88.即|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最大值为88，最小值为72.4.1.2 圆的一般方程1．B 2.D 3．B 4．B5．(0，－1)6．－27．解 设所求轨迹上任一点M (x ，y )，圆的方程可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4.圆心C (3,3)．∵CM ⊥AM ，∴k CM ·k AM ＝－1，即y －3x －3·y ＋5x ＋3＝－1， 即x 2＋(y ＋1)2＝25.∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(已知圆内的部分)．8．解 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；由题设，得x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，所以D ＋E ＝－2.①又A (4,2)、B (－1,3)两点在圆上，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，②1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.9．D 10．A12．解 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点，所以x ＝x 0＋32，y ＝y 02， 于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1，则(2x －3)2＋4y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14. 所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14. 13．解 设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，①将P 、Q 的坐标分别代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③ 令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根．∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.⑤解②③⑤联立成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2E ＝0F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－10E ＝－8F ＝4.故所求方程为：x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.§4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系1．D 2．A 3．A 4．B5．46．(x －3)2＋y 2＝47．解 设圆心坐标为(3m ，m )，∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y＝x 的距离为|2m |2＝2|m |. 由半径、弦心距的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1.∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.8．解 假设存在且设l 为：y ＝x ＋m ，圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m y ＋2＝－(x －1) 得AB 的中点N 的坐标N (－m ＋12，m －12)， 由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN |＝|ON |.又|AN |＝|CA |2－|CN |2＝9－(m ＋3)22， |ON |＝(－m ＋12)2＋(m －12)2. 所以9－(3＋m )22＝⎝⎛⎭⎫－m ＋122＋⎝⎛⎭⎫m －122，解得m ＝1或m ＝－4. 所以存在直线l ，方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0，并可以检验，这时l 与圆是相交于两点的．9．C 10．C11．x 2＋y 2＝412．解 (1)如图，连接PC ，由P 点在直线3x ＋4y ＋8＝0上，可设P 点坐标为(x ，－2－34x )．圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以S 四边形P ACB ＝2S △P AC ＝2×12×|AP |×|AC |＝|AP |. 因为|AP |2＝|PC |2－|CA |2＝|PC |2－1， 所以当|PC |2最小时，|AP |最小．因为|PC |2＝(1－x )2＋(1＋2＋34x )2＝(54x ＋1)2＋9. 所以当x ＝－45时，|PC |2min ＝9. 所以|AP |min ＝9－1＝2 2.即四边形P ACB 面积的最小值为2 2.(2)假设直线上存在点P 满足题意．因为∠APB ＝60°，|AC |＝1，所以|PC |＝2.设P (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －1)2＝4，3x ＋4y ＋8＝0. 整理可得25x 2＋40x ＋96＝0，所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点P 是不存在的．13．(1)证明 ∵直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0(m ∈R )．∴l 过⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0的交点M (3,1)． 又∵M 到圆心C (1,2)的距离为d ＝(3－1)2＋(1－2)2＝5<5，∴点M (3,1)在圆内，∴过点M (3,1)的直线l 与圆C 恒交于两点．(2)解 ∵过点M (3,1)的所有弦中，弦心距d ≤5，弦心距、半弦长和半径r 构成直角三角形，∴当d 2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.∴弦长AB 的最小值|AB |min ＝4 5.此时，k CM ＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1. ∵l ⊥CM ，∴12·2m ＋1m ＋1＝－1， 解得m ＝－34. ∴当m ＝－34时，取到最短弦长为4 5. 4.2.2 圆与圆的位置关系1．B 2．D 3．B 4．D5．±16．3或77．解 将两圆方程写成标准方程，得(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，(x ＋1)2＋(y －a )2＝4.设两圆的圆心距为d ，则d 2＝(a ＋1)2＋(－2－a )2＝2a 2＋6a ＋5.(1)当d ＝3＋2＝5，即2a 2＋6a ＋5＝25时，两圆外切，此时a ＝－5或2.(2)当d ＝3－2＝1，即2a 2＋6a ＋5＝1时，两圆内切，此时a ＝－1或－2.8．解 把圆的方程都化成标准形式，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝9，(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4.如图，C 1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.所以，|C 1C 2|＝(－3＋1)2＋(1＋2)2＝13.。
高中数学步步高必修2习题部分Word版文档第3章 3.3.3-3.3.4
3.3.3 点到直线的距离3．3.4 两条平行直线间的距离一、选择题1．两平行直线l 1：3x ＋4y －1＝0与l 2：6x ＋8y －5＝0间的距离是 ( )A.45B.310C.35D ．3 2．原点到直线3x ＋4y －26＝0的距离是 ( ) A.2677 B.265 C.245 D.2753．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是 ( )A.10 B ．2 2 C. 6 D ．24．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 的值为 ( )A. 2 B ．2－ 2C.2－1D.2＋15．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是 ( )A ．y ＝1B ．2x ＋y －1＝0C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝06．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是 ( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17]二、填空题7．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________．8．若直线3x ＋4y ＋12＝0和6x ＋8y －11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为________．9．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．三、解答题10．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34. (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．11．△ABC 的三个顶点是A (－1,4)，B (－2，－1)，C (2，3)．(1)求BC 边的高所在直线的方程；(2)求△ABC 的面积S .12．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．四、探究与拓展13．已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求正方形其它三边的直线方程．答案1．B 2.B 3.B 4.C 5.C 6.C7．2x ＋y －5＝08．4916π 9．7132610．(1)3x ＋4y －14＝0(2)3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝011．(1)x ＋y －3＝0 (2)812．x ＋y －3＝013．解 设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边的直线方程为l 1：x ＋3y ＋c ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0得正方形的中心坐标P (－1,0)， 由点P 到两直线l ，l 1的距离相等， 则|－1－5|12＋32＝|－1＋c |12＋32，得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0.又∵正方形另两边所在直线与l 垂直， ∴设另两边方程为3x －y ＋a ＝0， 3x －y ＋b ＝0.∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴|－3＋a |32＋12＝|－1－5|12＋32，得a ＝9或－3，∴另两条边所在的直线方程为 3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0.∴另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0.。
高中数学步步高必修2习题部分Word版文档第4章 4.1.2
4.1.2 圆的一般方程一、选择题1．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为 ( )A ．(－1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(0，－1)2．方程x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0表示的图形是 ( )A ．一个圆B ．只有当a ＝0时，才表示一个圆C ．一个点D ．a 、b 不全为0时，才表示一个圆3．在△ABC 中，若顶点B 、C 的坐标分别是(－2,0)和(2,0)，中线AD 的长度是3，则点A 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝3B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝9 (y ≠0)D ．x 2＋y 2＝9 (x ≠0)4．已知定点A (a,2)在圆x 2＋y 2－2ax －3y ＋a 2＋a ＝0的外部，则a 的取值范围为 ( )A ．a >2B ．a <94C ．2<a <94D ．a <2或a >945．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是 ( )A ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝26．若直线mx ＋2ny －4＝0(m ，n ∈R )始终平分圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的周长，则m ，n 的关系是 ( )A ．m －n －2＝0B ．m ＋n －2＝0C ．m ＋n －4＝0D ．m －n ＋4＝0二、填空题7．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程是______________________．8．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为____________________．9．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．三、解答题10．求过点M (－1,1)，且圆心与已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y －3＝0相同的圆的方程．11．平面直角坐标系中有A (－1,5)，B (5,5)，C (6，－2)，D (－2，－1)，则四个点能否在同一个圆上？12．求经过两点A (4,2)、B (－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．四、探究与拓展13．求一个动点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程． 答案1．D 2.D 3.C 4.C 5.A 6.A7．(x ＋3)2＋(y －2)2＝28．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝09．(－∞，1)10．(x －2)2＋(y ＋3)2＝2511．A 、B 、C 、D 四点不能在同一个圆上12．x 2＋y 2－2x －12＝013．解 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点，所以x ＝x 0＋32，y ＝y 02， 于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1，则(2x －3)2＋4y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14. 所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14.。
高中数学步步高必修2习题部分Word版文档2.2.2
2.2.2平面与平面平行的判定一、选择题1．平面α与平面β平行的条件可以是() A．α内有无穷多条直线都与β平行B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α与β内C．直线a⊂α，直线b⊂β，且b∥α，a∥βD．α内的任何直线都与β平行2．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是() A．α，β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β3．给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若正n边形的两条对角线分别与面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是() A．12 B．8 C．6 D．55. 正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G6．两个平面平行的条件是() A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面D．两个平面都平行于同一条直线二、填空题7．已知直线a、b，平面α、β，且a∥b，a∥α，α∥β，则直线b与平面β的位置关系为________．8．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)9. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.三、解答题10．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.11. 已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、D、B四点共面；(2)平面AMN∥平面EFDB.四、探究与拓展12. 如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.答案1．D 2.D 3.B 4.D 5.A 6.C 7．b ∥β或b ⊂β 8.③ 9.M ∈线段FH 10．证明 ∵E 、E 1分别是AB 、A 1B 1的中点，∴A 1E 1∥BE 且A 1E 1＝BE . ∴四边形A 1EBE 1为平行四边形． ∴A 1E ∥BE 1.∵A 1E ⊄平面BCF 1E 1， BE 1⊂平面BCF 1E 1. ∴A 1E ∥平面BCF 1E 1.同理A 1D 1∥平面BCF 1E 1，A 1E ∩A 1D 1＝A 1， ∴平面A 1EFD 1∥平面BCF 1E 1.11. 证明 (1)∵E 、F 是B1C 1、C 1D 1的中点，∴EF 綊12B 1D 1，∵DD 1綊BB 1，∴四边形D 1B 1BD 是矩形， ∴D 1B 1∥BD .∴EF ∥BD ， 即EF 、BD 确定一个平面， 故E 、F 、D 、B 四点共面． (2)∵M 、N 是A 1B 1、A 1D 1的中点，∴MN ∥D 1B 1∥EF .又MN ⊄平面EFDB ，EF ⊂平面EFDB . ∴MN ∥平面EFDB .连接NE ，则NE 綊A 1B 1綊AB . ∴四边形NEBA 是平行四边形．∴AN ∥BE .又AN ⊄平面EFDB ，BE ⊂平面EFDB . ∴AN ∥平面BEFD .∵AN、MN都在平面AMN内，且AN∩MN＝N，∴平面AMN∥平面EFDB.12．(1)证明 连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H .∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2.连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD . (2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ACD ＝1∶9.。
高中数学步步高必修2习题部分Word版文档1.2.1-1.2.2
§1.2空间几何体的三视图和直观图1．2.1中心投影与平行投影1．2.2空间几何体的三视图一、选择题1．下列命题正确的是() A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图()3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()5. 如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN 在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是()6．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是()二、填空题7．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．8．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．9．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的正视图和侧视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．三、解答题10．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出侧视图(尺寸不作严格要求)．11．画出如图所示的四棱锥和三棱柱的三视图．12. 如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．四、探究与拓展13．用小立方体搭成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？答案1．D 2.C 3.D 4.C 5.D 6.A 7．(1)D(2)A(3)E(4)C(5)B8．249.710．解图(a)是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．11．解三视图如图所示：12. 解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．13．解由于正视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．。
高中数学步步高必修2习题部分Word版文档2.2.1
§2.2直线、平面平行的判定及其性质2．2.1直线与平面平行的判定一、选择题1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确说法的个数是() A．0 B．1 C．2 D．32．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是() A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是() A．平行B．相交C．平行或相交D．AB⊂α4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是() A．平行B．相交C．在内D．不能确定5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面() A．不存在B．只能作出一个C．能作出无数个D．以上都有可能6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有() A．4条B．6条C．8条D．12条二、填空题7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．8. 如图，在长方体ABCD－AB1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______________；(2)与直线AA1平行的平面是______________；(3)与直线AD平行的平面是_______________．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是________．三、解答题10. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面正方形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：AB∥平面DCF.11. 如图，在平行四边形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为线段A′C的中点．求证：BF∥平面A′DE.四、探究与拓展12. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证PQ∥平面BCE.(用两种方法证明)答案1．A 2.D 3.C 4.A 5.D 6.D7．无数 8.(1)平面A 1C 1和平面DC 1 (2)平面BC 1和平面DC 1 (3)平面B 1C 和平面A 1C 1 9.平行10．证明 连接OF ，∵O 为正方形DBCE 对角线的交点，∴BO ＝OE ，又AF ＝FE ，∵AB ∥OF ，⎭⎬⎫AB ⊄平面DCFOF ⊂ 平面DCF AB ∥OF⇒AB ∥平面DCF .11. 证明 取A ′D 的中点G ，连接GF ，GE ，由条件易知FG ∥CD ，FG ＝12CD ，BE ∥CD ，BE ＝12CD ，所以FG ∥BE ，FG ＝BE ， 故四边形BEGF 为平行四边形，所以BF ∥EG .因为EG ⊂平面A ′DE ，BF ⊄平面A ′DE ，所以BF ∥平面A ′DE . 12．证明 方法一 如图(1)所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ,连接MN .∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE ＝BD .又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝QB .又∵PM ∥AB ∥QN ， ∴PM AB ＝PE AE ，QN DC ＝BQBD.∴PM 綊QN . ∴四边形PQNM 是平行四边形．∴PQ ∥MN .又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，∴PQ ∥平面BCE.方法二 如图(2)所示，连接AQ 并延长交BC (或其延长线)于K ，连接EK . ∵KB ∥AD ，∴DQ BQ ＝AQQK.∵AP ＝DQ ，AE ＝BD ，∴BQ ＝PE.∴DQBQ＝APPE.∴AQQK＝APPE.∴PQ∥EK.又PQ⊄面BCE，EK⊂面BCE，∴PQ∥面BCE.。
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3．线段上的点在中心投影下仍然在线段上．（ ）
4．平行的直线在中心投影中平行．（ ）
5．在斜二测画法中水平放置的菱形的直观图一定是菱形．（ ）
6．同一个水平放置的平面图，用斜二测画法画出的直观图一定相同．（ ）
二、选择题
7．以正方形相邻两边为坐标轴建立直角坐标系，在这一坐标系下用斜二测画法画出的正方形的直
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测试二 空间几何体的直观图与三视图
Ⅰ 学习目标
1．掌握平行投影和中心投影的概念． 2．掌握用斜二测画法画空间几何体的直观图． 3．掌握空间几何体的三视图，会识别三视图所表示的几何体．
Ⅱ 基础性训练
一、判断题 1．平行投影的投影线是互相平行的．（ ）
2．中心投影的投影线是互相垂直的．（ ）
及 AD ，其中 AB = BC ，试按此图判定原 △ABC 中的 AB ， BC ， AC ， AD 四条线段中最 长的线段是____；最短的线段是____．
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12．如图所示， E ， F 分别为正方体的面 ADD1A1 ，面 BCC1B1 的中心，则四边形 BFD1E 在该正方 体的各个面上的正投影可能是_____．
四、解答题 13．用斜二测画法作出宽为 3cm ，长为 4cm 的矩形的直观图． 14．用斜二测画法画正六棱柱的直观图，使其底面边长为 3cm ，侧棱长为 6cm ． 15．画出下列三视图所表示的几何体．
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测试三 空间几何体的表面积和体积
Ⅰ 学习目标
了解空间几何体的表面积和体积的计算公式，会进行简单的计算．
②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；
③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；
④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点
A．1 个
B．2 个
C．3 个
） D．4 个
10．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所示， 则该几何体的俯视图为（ ）
三、填空题 11．如图所示，用斜二测画法画出的水平放置的 △ABC 及 BC 边上中线 AD 的直观图是 △ABC
A．棱锥
B．四棱柱
C．正四棱柱
D．长方体
2．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点 E ， F ，G （不与顶点重合），过此三点作长方
体的截面，那么这个截面的形状是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上都有可能
3．下列命题中正确的是（ ） A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥 B．棱锥的高线可能在几何体之外 C．仅有一组相对的面平行的六面体一定是棱台 D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
4．下面图形都是由六个全等的小正方形组成，其中可以折成正方体的是（ ）
5．将一个直角梯形以较长底为轴进行旋转，得到的几何体是（ ）
A．一个圆台
B．一个圆锥
C．由两个圆锥组成的组合体
D．由一个圆锥一个圆柱组成的组合体
二、填空题
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6．一个棱柱至少有______个面；面数最少的一个棱锥有______个顶点；顶点最少的一个棱台有 ______条侧棱．
三、解答题 11．已知正三棱锥的侧面积为18 3 cm2 ，高为 3cm ，求它的体积．
3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积等于（ ）
A． 3
B．2
C． 2 3
D．6
4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 84π ，则圆台较 小底面的半径为（ ）
A．7
B．6
C．5
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
D．3
步步高升 1
第一章 立体几何初步 测试一 空间几何体的基本元素和结构特征
Ⅰ 学习目标
1．掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等几何体的概念及其结构特征． 2．掌握空间几何体中基本元素之间的关系．
Ⅱ 基础性训练
一、选择题
1．一个正方形沿不平行于正方形所在平面的方向平移一段距离一定可以形成（ ）
观图是一个平行四边形，其中有一边长为 4，则此正方形的面积是（ ）
A．16
B．64
C．16 或 64
D．以上都不对
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8．如图所示的三视图所表示的几何体是（ ）
A．正方体 B．圆锥体 C．四棱台 D．长方体
9．在下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的命题的个数是（
①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；
7．正六棱台的两底边长分别为1cm ， 2cm ，高是1cm ，它的斜高为_________． 8． A ， B 为球面上相异两点，则通过 A ， B 两点可作的球的大圆有_______个． 9．已知地球半径为 R ，北纬 60°纬线的长度为____． 10．一个圆锥底面周长为 4π ，轴和母线的夹角为 30°，则圆锥轴截面的面积为________． 三、解答题 11．已知圆台的上、下底面积之比为1: 9 ，圆台的高为 10，求截得圆台的圆锥的高． 12．已知正六棱锥底面边长为 a ，高为 h ，求底面面积、侧棱长和斜高． 13．正四棱台的高是17cm ，两底面的边长分别是 4cm 和16cm ，求这个棱台的侧棱长和斜高． 14．过球半径的中点，作垂直于这条半径的截面，截面面积为 48πcm2 ，求此球的半径．
Ⅱ 基础性训练
一、选择题
1．侧棱长和底面边长都为 1 的正三棱锥的体积是（ ）
A． 13 24
B． 2 12
C． 11 24
D． 2 4
2．一个正三棱柱的每一条棱长都是 a ，则经过底面一边和相对侧棱的不在该底面上的端点的截面
面积为（ ）
A． 7 a2 4
B． 7 a2 2
C． 6 a2 3
D． 7a2
A．18
B．27
C．54
步步高升 - 6 -
D．60
二、填空题 6．过球半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，那么这个截面的面积与球的大圆面积之比是
__________． 7．一个正方体的内切球与外接球的体积比为_____________． 8．把一个三棱锥的各棱都增大到原来的 2 倍，那么它的体积增大的倍数是_____________． 9．正六棱柱的高为 5cm ，最长的对角线长为13cm ，则它的侧面积为_____________． 10．球的表面积扩大为原来的 4 倍，则它的体积扩大为原来的_____________倍．