粤教版必修二第四章机械能和能源WORD教案
高中物理第四章机械能和能源第4节机械能守恒定律教案2粤教版必修2
第4节 机械能守恒定律新课教学1、推导过程：以做自由落体运动的物体的运动过程为例进行分析分析：小球运动过程中只受到重力的作用，所以依据动能定理 可得：21222121mv mv W G -=① 另外，由重力做功和重力势能变化之间的关系可得： 21mgh mgh W G -= ②由①②可得21222121mv mv -21mgh mgh -= 所以2222112121mv mgh mv mgh +=+ 或2211K P K P E E E E +=+结论：机械能守恒定律2、机械能守恒定律在只有重力做功的情况下，物体的动能和重力势能发生相互转化，而总的机械能保持不变，这个结论叫做机械能守恒定律。
过渡：由学生分析机械能守恒定律成立的条件，并逐渐展开。
3、机械能守恒定律成立的条件只有重力做功（1）只受重力作用；（2）物体受几个力的作用，但只有重力做功；（3）其它的力也做功，但其它力的总功为零；（4）没有任何力做功，物体的能量不会发生变化。
跟踪练习：课本P78/2过渡：在前面分析过的例子中，不仅有动能和重力势能相互转化的情况，也有动能和弹性势能相互转化的情况，后者转化的过程中，机械能是否也是守恒的呢？4、机械能守恒定律的推广若物体运动过程中，不只是只有重力做功，还有弹力做功，或只有弹力做功时，物体的动能和弹性势能相互转化，机械能的总量也是保持不变的。
三、机械能守恒定律的应用1、验证性练习：课本练习 P78/12、应用性练习：课本练习 P78/5四、本课小结ABh 1这节课我们主要以自由落体运动为例，讨论了势能和动能相互转化的情况，并总结出了在只有重力或弹力做功的情况下。
物体的机械能是守恒的结论，同学们课下要认真体会守恒定律的意义，并能够判断定律成立的条件并应用定律求解相关的问题。
五、板书设计第4节 机械能守恒定律1.在只受重力（或弹力）做功的情况下，物体的动能和重力势能（或弹性势能）相互转化，但机械能的总量保持不变.2.数学表达式：1212222121mgh mv mgh mv +=+3.机械能守恒的条件：只有重力做功a 、物体只受重力，不受其他的力。
高中物理第四章机械能和能源第4节机械能守恒定律教案粤教版必修2
机械能守恒定律《机械能守恒定律》（第1课时）一、学习目标:1.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化；2.掌握机械能守恒定律的内容及得出过程；3.会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题。
二、学习重点：1.掌握机械能守恒定律的内容及其条件。
2.能在具体问题中判断机械能是否守恒，并能运用机械能守恒定律解决问题。
三、学习难点：1.在具体问题中判断机械能是否守恒及机械能守恒定律的运用。
四、学习方法：讨论法、归纳法、讲授法五、学法指导：课下认真阅读教材，完成学案中设置的任务，课上小组探究交流发表自己的观点完成本节内容。
六、教学过程设计：现的。
物理模型：单摆物理模型：弹射系统2、提出机械能的概念力做功实现了重力势能与动能之间的转化？2、教师演示：拉弓射箭从拉满弓到把箭射出，动能势能如何转化？通过什么力做功实现了弹性势能与动能之间的转化？3、提出问题机械能的概念是什么？势能，通过重力做功实现的。
2、弓的弹性势能转化为箭的动能。
通过弹力做功实现的。
3、阅读课本找出机械能的概念。
学的角度思考问题转变成从能量的角度思考问题。
三、机械能守恒定律的推导分三种物理情景推导机械能守恒定律物理情景 1质量为1kg的小球，从A点开始做自由落体运动，经过1s到达B点,再经过1s到达C点。
以C点所在平面为参考平面，计算物体在A、B、C 三个位置的机械能？1、提出问题：动能与势能的相互转化中机械能的总量是否保持不变?2、组织学生小组内完成讨论，统一答案。
3、引导小组展示答案。
前两种情况简单展示，最后一种情况着重展示推导过程。
1、学生课前自主推导2、学生课间小组讨论统一答案3、学生展示答案1、设计三种不同的情景，两种情景提供具体的数据，符合学生初中到高中过渡的思维方式，一种情况没有具体数据，体现普遍性，让学生体会由具体到一般的科学思维方式。
2、主要通过让学生自主推导机械能守恒定律，体会推导过程中E 、一个轻质弹簧上端固定，下端系一物块，物块沿竖直方向上下振动F、物块以初速度v冲上光滑斜面一定增大。
广东省肇庆市高中物理 第四章 机械能和能源 功能关系
如人用力阻碍车前进时，人的推力F对车做负功。
一个力对物体做负功，经常说成物体克服这个力做功（取绝对值）。
例如，竖直向上抛出的球，在向上运动的过程中，重力对球做了-6J的功，可以说成球克服重力做了6J的功。说了“克服”，就不能再说做了负功。
2、功： 其中 为力F的方向同位移L方向所成的角
功是标量，只有大小，没有方向，但有正功和负功之分，单位为焦耳（J）
3、物体做正功负功问题（将α理解为F与V所成的角，更为简单）
（1）当α=900时，W=0.这表示力F的方向跟位移的方向垂直时，力F不做功，
如小球在水平桌面上滚动，桌面对球的支持力不做功。
4、动能是标量，只有大小，没有方向。表达式为：
5、重力势能是标量，表达式为：
（1）重力势能具有相对性，是相对于选取的参考面而言的。因此在计算重力势能时，应该明确选取零势面。
（2）重力势能可正可负，在零势面上方重力势能为正值，在零势面下方重力势能为负值。
教学内容与教师活动设计
因材施教
6、动能定理：
其中W为外力对物体所做的总功，m为物体质量，v为末速度， 为初速度
判断机械能是否守恒的方法
①用做功来判断:分析物体或物体受力情况（包括内力和外力），明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹簧弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒.
②用能量转化来判定:若物体系中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒.
③对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等问题，除非题目特别说明，机械能必定不守恒，完全非弹性碰撞过程机械能也不守恒.
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1.理论应用题解答：
假设物体从高度h自由下落，重力加速度为g，根据机械能守恒定律，物体落地时的动能E_k等于初始势能E_p，即E_k = E_p。初始势能为mgh，动能为(1/2)mv^2，所以(1/2)mv^2 = mgh，解得v = √(2gh)。
2.实验分析题解答：
根据实验数据，计算物体下落前的高度h、质量m、初始速度v_0和落地速度v。利用机械能守恒定律E_k = E_p，即(1/2)mv^2 = mgh，代入实验数据，计算得到的v应与实验测得的v相符，若误差在允许范围内，则验证了机械能守恒定律。
2.辅助材料：收集和整理与机械能守恒定律相关的图片、图表、视频等多媒体资源，以便于在教学中进行直观展示和解释。
3.实验器材：准备实验所需的器材，如滑轮组、重物、测量工具等。确保实验器材的完整性和安全性，提前进行调试和检查，确保实验顺利进行。
4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，设置分组讨论区和实验操作台，以便于学生进行分组讨论和实验操作。同时，确保教室内的实验器材和资料有序摆放，便于学生取用和学习。
(4)物理实验杂志：推荐学生阅读《物理实验》等杂志，了解实验设计和实验方法的多样性，提高实验操作和分析能力。
(5)科普读物：推荐一些科普读物，如《物理的奥秘》等，以通俗易懂的方式让学生了解机械能守恒定律在生活中的应用。
2.拓展建议：
(1)学生可以利用网络资源，查阅其他版本的物理教材，对比不同教材对机械能守恒定律的讲解和示例，加深对该知识点的理解。
2.分组讨论：让学生分组讨论机械能守恒定律的应用和实验验证方法。引导学生思考如何设计和实施实验来验证守恒定律。
3.实验演示：进行机械能守恒定律的实验演示，展示实验过程和结果。让学生观察和记录实验数据，注意观察能量的转化和守恒过程。
高中物理 第四章 机械能和能源 第四节 机械能守恒定律教学案 粤教版必修2-粤教版高一必修2物理教学
第四节机械能守恒定律1．机械能守恒定律：在只有重力做功的情况下，物体的动能和重力势能发生相互转化，而机械能的总量保持不变。
2．机械能守恒成立的条件是：只有重力或弹力做功。
3．机械能守恒定律的几种表达形式： (1)E k1＋E p1＝E k2＋E p2 (2)ΔE k ＝－ΔE p (3)ΔE A ＝－ΔE B一、动能与势能之间的相互转化 1．机械能动能和势能统称为机械能。
2．动能与势能之间的相互转化只有重力做功的情况下，重力做正功，物体的重力势能转化为动能，重力势能减少；重力做负功，物体的动能转化为重力势能，重力势能增加。
二、机械能守恒定律的理论推导1．推导如图441所示，质量为m 的小球做自由落体运动的过程中经过A 、B 两点，那么图441a ．重力做功与小球动能变化的关系为W G ＝12mv 22－12mv 12。
b ．重力做功与小球重力势能变化的关系为W G ＝mgh 1－mgh 2。
综合a、b两种情况可以得出12mv22－12mv12＝mgh1－mgh2或12mv22＋mgh2＝12mv12＋mgh1。
2．机械能守恒定律(1)内容：在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，而机械能的总量保持不变。
(2)在弹性势能和动能的相互转化中，如果只有弹力做功，机械能的总量也保持不变。
(3)表达式：E k2＋E p2＝E k1＋E p1或12mv22＋mgh2＝12mv12＋mgh1。
1．自主思考——判一判(1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转换。
(√)(2)物体的机械能一定是正值。
(×)(3)合力为零，物体的机械能一定守恒。
(×)(4)合力做功为零，物体的机械能一定守恒。
(×)(5)只有重力做功，物体的机械能一定守恒。
(√)2．合作探究——议一议(1)黄果树大瀑布，如图442所示，自70 m高的断崖绝壁凌空飞下直泻犀牛潭，气势排山倒海。
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再次，学生需要通过实验操作，观察实验现象，分析实验数据，从而培养实验探究能力。
最后，学生在探究过程中需要保持好奇心，积极思考，严谨对待数据，培养科学态度。
学习者分析
1.学生已经掌握了哪些相关知识：在学习本节课之前，学生应该已经掌握了第三章的基本内容，包括力学的基本概念、牛顿运动定律、功和能量的基本概念等。此外，学生还应该具备一定的实验操作能力和数据处理能力，能够进行简单的物理实验并分析实验结果。
然而，我也发现了一些不足之处。在重点难点解析环节，我没有给予学生足够的时间来消化和理解机械能守恒的条件和验证方法。这导致部分学生在实践活动和小组讨论中遇到困难。另外，我在课堂管理方面也有待提高。在小组讨论环节，部分学生过于活跃，影响了其他学生的参与和讨论效果。
教学总结：
对本节课的教学效果进行客观评价，我认为学生在知识、技能和情感态度等方面都取得了明显的进步。他们不仅掌握了机械能的概念和机械能守恒定律，还能够运用所学知识解决实际问题。在实验操作中，学生们展现出了良好的动手能力和团队合作精神。同时，他们也对物理学科产生了更大的兴趣和热情。
然而，教学中仍然存在一些问题和不足。部分学生在理解和应用机械能守恒定律方面仍存在困难，这需要我在今后的教学中给予更多的关注和指导。此外，我还需要加强课堂管理，确保每个学生都能积极参与课堂活动，提高课堂效果。
改进措施和建议：
针对教学中存在的问题和不足，我提出以下改进措施和建议：
1.在重点难点解析环节，我将继续运用举例和比较的方法，帮助学生更好地理解机械能守恒的条件和验证方法。
2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中生对物理的学习兴趣普遍较高，尤其是对实验和实际问题的探究。在学习能力方面，高中生具有较强的逻辑思维能力和抽象思维能力，能够进行较为复杂的物理问题的分析和解决。在学习风格上，学生大多习惯于被动接受知识，需要教师通过引导和激发，促使学生主动参与学习和探究。
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为了保证教学的实用性，本节课将结合具体实例进行分析，使学生能够将理论知识与实际问题相结合，提高解决实际问题的能力。同时，通过小组讨论、实验操作等环节，充分调动学生的积极性，提高课堂效果。
5.网络资源：提前准备好可能需要的网络资源，如在线实验模拟软件、相关学术视频等。在课堂上，根据教学进度和学生的需求，适时引入网络资源，丰富教学内容。
6.教学课件：制作精美的教学课件，涵盖本节课的主要知识点、难点和重点。课件应简洁明了，突出核心内容，便于学生理解和记忆。
7.安全注意事项：在实验环节，为学生讲解实验操作过程中的安全注意事项，确保实验过程中学生的人身安全。同时，提醒学生遵守实验室规定，保护实验设备。
代入已知数值，得到E_k = m * 9.8 m/s^2 * h。
计算得到E_k = m * 9.8 m/s^2 * h。
3.题型三：机械能守恒定律的适用条件
答案：
机械能守恒定律适用于只有重力作用或只有弹力作用的情况下，且系统不受外力作用或外力做功为零。
4.题型四：机械能守恒定律与能量守恒定律的区别
2.教学难点
（1）机械能守恒定律的理解：学生往往对机械能守恒定律的理解不够深入，容易与能量守恒定律混淆。
（2）实验操作中的注意事项：在实验过程中，学生可能对实验设备的操作不熟悉，容易产生误差。
（3）实验数据的处理与分析：学生可能对实验数据的处理方法不清晰，无法准确分析数据，得出正确结论。
（4）能量守恒观念的运用：将能量守恒观念运用到实际问题中，学生可能缺乏解题思路和方法。
高中物理 第四章 机械能和能源 第七节 功 率教学案 粤教版必修2-粤教版高一必修2物理教学案
第七节功__率1．功与完成这些功所用时间的比值叫做功率，即P ＝Wt，表示做功的快慢。
2．公式P ＝Wt一般用来计算平均功率，瞬时功率用公式P ＝Fv 进行计算，假设v 取平均速度，那么P ＝Fv 为平均功率。
3．汽车上坡时，司机要“换挡〞来减小速度，这样在发动机功率相同的情况下可以获得较大的牵引力；汽车在平直公路上，所受阻力较小，可以使用高转速比的挡位获得较大的速度。
4．注意额定功率与实际功率、瞬时功率与平均功率的区别。
一、功率1．定义：功W 与完成这些功所用时间t 的比值。
2．定义式：P ＝W t。
3．单位：国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是W 。
1 W ＝1 J/s,1 kW ＝103W 。
4．物理意义：功率是表示做功快慢的物理量。
5．额定功率与实际功率 (1)额定功率电动机、内燃机等动力机械在额定转速下可以长时间工作时输出的功率。
(2)实际功率动力机械工作时实际消耗的功率。
二、 功率与速度 1．功率与速度的关系式P ＝Fv (F 与v 方向相同)。
2．推导⎭⎪⎬⎪⎫功率定义式：P ＝W t功的计算式：W ＝Fl 位移：l ＝vt→P ＝Fv3．应用由功率速度关系式知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的功率P 一定时，牵引力F 与速度v 成反比，要增大牵引力，就要减小速度。
1．自主思考——判一判(1)各种机械铭牌上所标功率一般是指额定功率。
(√) (2)某机械工作时的实际功率一定比额定功率小。
(×) (3)物体的速度为v ，那么重力的功率一定是mgv 。
(×) (4)汽车的速度越大，牵引力的功率也越大。
(×) (5)汽车以恒定功率启动时，加速度减小。
(√) 2．合作探究——议一议(1)去过泰山的同学会遇到挑山工，假设挑山工和缆车将相同的货物运至山顶，两者对货物做的功相同吗？做功的功率相同吗？提示：两者对货物做的功都等于克服重力做的功，由于将相同的货物运往相同高度的山顶，因此两者做相同的功，而用缆车运送货物所用时间远小于挑山工的用时，根据功率定义知缆车的做功功率远大于挑山工的做功功率。
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机械能和能源 测试2
一、选择题（共8小题，在每小题中只有一个选项符合要求）
1．在光滑水平面上有两个相同的弹性小球A 、B ，质量都为m. 现B 球静止，A 球向B 球运动，发生正碰。
已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为E p ，则碰前A 球的速度等于 （ ）
2．质量为m 的物体，在距地面h 高处以g /3的加速度由静止竖直下落到地面， 下列说法中正确的是： （ ） A. 物体的重力势能减少 1/3 mgh B. 物体的机械能减少 2/3 mgh C. 物体的动能增加 1/3 mgh D. 重力做功 mgh
3．一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如图所示．在A 点时，物体开始接触弹簧；到B 点时，物体速度为零，然后被弹回．下列说法中正确的是 [bcd ] A ．物体从A 下降到B 的过程中，动能不断变小 B ．物体从B 上升到A 的过程中，动能先增大后减小
C ．物体由A 下降到B 的过程中，弹簧的弹性势能不断增大
D ．物体由B 上升到A 的过程中，弹簧所减少的弹性势能等于物体所增加的动能与增加的重力势能之和
二、填空题（共4小题）
4．长为L 质量分布均匀的绳子，对称地悬挂在轻小的定滑轮上， 如图所示.轻轻地推动一下，让绳子滑下，那么当绳子离
开滑轮的瞬间，绳子的速度为 .
5.一根内壁光滑的细圆管，形状如下图所示，放在竖直平面内， 一个小球自A 口的正上方高h 处自由落下，第一次小球恰能 抵达B 点；第二次落入A 口后，自B 口射出，恰能再进入 A 口，则两次小球下落的高度之比h 1：h 2= ______
6．如图示，长为l 的轻质硬棒的底端和中点各固定一个质量为m 的小球，为使轻质硬棒能绕转轴O 转到最高点，则底端小球在如图示位置应具有的最小速度v= 。
m
2E 2D m E 2C m 2E B m E A P
P P P ....
三、计算题（共4小题 ）
7．某司机为确定他的汽车上所载货物的质量，他采用如下方法：已知汽车自身的质量为0m ，当汽车空载时，让汽车在平直公路上以额定功率行驶，从速度表上读出汽车达到的最大速度为0v .当汽车载重时，仍让汽车在平直公路上以额定功率行驶，从速度表上再读出汽车达到的最大速度为m v .设汽车行驶时的阻力与总重力成正比.试根据以上提供的已知量求出车上所载货物的质量1m .
8．质量为m 的飞机以水平速度v 0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其它力的合力提供，不含重力）。
今测得当飞机在水平方向的位移为l 时，它的上升高度为h ，如图6-7所示.求：
（1）飞机受到的升力大小；
（2）从起飞到上升至h 高度的过程中升力所作的功及在高度h 处飞机的动能。
9．如图6-8所示，将一颗小钢珠由静止释放到盛有蓖麻油的量筒中，下落不久钢珠就开始作匀速直线运动.（量筒中为什么不放清水而用蓖麻油？这是因为蓖麻油的密度虽小于清水，但它对钢珠产生的粘滞阻力却大大超过清水）
1845年英国物理学家和数学家斯·托克斯（）研究球体在液体中下落时，发现了液体对球体的粘滞阻力与球的半径、速度及液体的种类有关，有rv 6F πη=,其中物理量η为液体的粘滞系数，它与液
体的种类及温度有关.钢珠在蓖麻油中运动一段时间后就以稳定的
速度下落，这一速度称为收尾速度.
（1）实验室的温度为20.0℃ 时，蓖麻油的粘滞系数为，请写出它的单位. （2）若钢珠的半径为㎜，钢珠的质量为Kg -4102.61⨯，在蓖麻油中
v 图6-8
图6-7 y l
x o
所受的浮力为N -41025.3 ，求钢珠在蓖麻油中的收尾速度.
（3）设量筒中蓖麻油的深度为H=㎝，钢珠从液面无初速释放，下沉至刚要到达筒底时，因克服粘滞阻力而产生的热量为多少？
10．如图6-9所示半径为R 、r(R>r)甲、乙两圆形轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道(CD)相连，如小球从离地3R 的高处A 点由静止释放，可以滑过甲轨道，经过CD 段又滑上乙轨道后离开两圆形轨道，小球与CD 段间的动摩擦因数为μ，其余各段均光滑.为避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象.试设计CD 段的长度.
【提示】小球滑上乙轨道而不撞轨，小球可以通过乙轨道的最高点；可以使小球到乙轨圆心等高处之前再返回.)
参考答案
1. C
2. BCD
3. BCD
4. 解：由机械能守恒定律，取小滑轮处为零势能面.
5. 解：第一次恰能抵达B点，不难看出v B1=0
由机械能守恒定律mg h1=mgR+1/2·mv B12
∴h1 =R
第二次从B点平抛
R=v B2t R=1/2·gt 2
mg h2=mgR+1/2·mv B22
h2 =5R/4
h1 ：h2 = 4：5
6．解：系统的机械能守恒，ΔE P +ΔE K=0
因为小球转到最高点的最小速度可以为0 ，所以，
7．【解析】设汽车行驶时的阻力与总重力的比例系数为μ
汽车空载时
v
g
m
P⋅
=μ
汽车载重时()m v
g
m
P⋅
+
=1
m
μ解得：0
1
m
v
v
v
m
m
m
-
=
【答案】0
1
m
v
v
v
m
m
m
-
=
8．【解析】（1）飞机水平速度不变t
v
l
=①
l
mg
l
mg
v
m
mv2
2
2
1
2
12
2⋅
+
⋅
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
gl
gl
v8
.
4
5
24
=
=
∴
2
2
1
2
4
2
1
2mv
L
mg
L
mg+
-
=
⋅
⨯
-
gL
v
2
1
=
∴
2/
2
gR
v
B
=
y 方向加速度恒定 2
2
1at h =
② 消去t 即得 2
2
2v l
h a =
③ 由牛顿第二定律 )21(20
2v gl
h mg ma mg F +=+= ④ （2）升力做功 )21(2
02
v gl
h mgh Fh W +== ⑤ 在h 处 l
hv ah at v t 022=
== ⑥
∴ )41(2
1)(2
1
2
22
0220l
h mv v v m E t k +
=+= ⑦
【答案】（1）)21(2
2v gl
h mg + （2）)21(202v gl
h mgh + )41(2
12220l
h mv + 9．【解析】（1）因粘滞阻力rv 6F πη=，故有rv
F
πη
6=
，其单位应是
2//m s N s
m m N
⋅=⋅ （2）钢珠稳定下落时，其所受向上粘滞阻力F 与浮F 、mg 平衡，有 浮浮F rv 6F F mg +=+=πη 得：s m v /1015.62-⨯= （3）根据总能量守恒的方法：
钢珠下落过程中损失的势能 钢p E ∆转化为钢珠的动能钢K E ，以及与钢珠同样大小的油滴上升至液面处的动能油K E 和势能油p E ，还有钢珠克服粘滞阻力而产生的热量Q ，其中油滴重力N 1025.34-⨯=＝浮油F g m . Q p K K +++∆油油钢钢＝E E E E p
J 1013.9gH m 2121Q 422-⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛++-＝＝油油钢钢v m v m gH m
【答案】（1）2/m s N ⋅ （2）s m v /1015.62-⨯= （3）J 1013.94-⨯
10．【解析】(1)小球在甲轨道上做圆周运动通过最高点的最小速度为gR v =min 设小球能通过甲轨道最高点时速度为v 1.
由机械能守恒定律得： 212
1
2R m 3R mg mv g +
⋅=⋅ gR v 21=
∵gR v 21=>gR ∴小球能通过甲轨道而不撞轨
(2)设CD 的长度为x ，小球在乙轨道最高点的最小速度为gr v =2
小球要通过乙轨道最高点，则需满足：222
1
mgx -2r)-(3R mg mv ≥
⋅μ 得： x ≤
μ
256r R -
小球到乙轨圆心等高处之前再返回，则需满足：
0mgx -r)-(3R mg ≤⋅μ 且0mgx -3R mg >⋅μ 得：
μ
r
R -3≤x ＜
μ
R 3 总结论：CD ≤μ
256r R -或
μ
r
R -3≤CD ＜
μ
R 3
【答案】CD ≤
μ
256r R -或
μ
r
R -3≤CD ＜μ
R 3。