高三数学考前过关训练(三)

考前过关训练(三)
柯西不等式、排序不等式与数学归纳法
(35分钟 60分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.函数y=2√1−x +√2x +1的最大值为 ( ) A.√3 B.-√3 C.-3 D.3 【解析】选D.y=√2·√2−2x +1·√2x +1
≤√[(√2)2+12]·[(√2−2x)2+(√2x +1)2]=3, 当且仅当
√2
√2−2x =
√2x+1
,即x=0时,等号成立.
2.已知实数a,b,c,d 满足a+b+c+d=3,a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5,则a 的最大值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解题指南】利用柯西不等式构建关于a 的不等式求解. 【解析】选B.由柯西不等式,得 (2b 2+3c 2+6d 2)(1
2
+1
3
+1
6
)≥(b+c+d)2,
即2b 2+3c 2+6d 2≥(b+c+d)2, 当且仅当
√2b √2
=
√3c √3
=
√6d
√6
时等号成立.
又b+c+d=3-a,2b 2+3c 2+6d 2=5-a 2, 故5-a 2≥(3-a)2,
解得1≤a ≤2,即a 的最大值是2.
3.一组实数为a 1,a 2,a 3,设c 1,c 2,c 3是另一组数b 1,b 2,b 3的任意一个排列,则a 1c 1+a 2c 2+a 3c 3的 ( )
A.最大值为a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3,最小值为a 1b 3+a 2b 2+a 3b 1
B.最大值为a 1b 2+a 2b 3+a 3b 1,最小值为a 1b 3+a 2b 1+a 3b 2
C.最大值与最小值相等为a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3
D.以上答案都不对
【解析】选D.a 1,a 2,a 3与b 1,b 2,b 3的大小顺序不知,无法确定其最值. 4.对于正整数n,下列说法不正确的是 ( ) A.3n ≥1+2n B.0.9n ≥1-0.1n C.0.9n <1-0.1n D.0.1n ≥1-0.9n 【解析】选C.由贝努利不等式知,选项C 不正确.
5.(·菏泽高二检测)已知x+y+z=1,则2x 2+3y 2+z 2的最小值为 ( ) A.2
11
B.3
11
C.5
11
D.6
11
【解析】选D.由柯西不等式得, (2x 2+3y 2+z 2)(1
2
+1
3+1)≥(x+y+z)2=1,
所以(2x 2+3y 2+z 2)≥6
11
.
6.(·苏州高二检测)已知x,y,z ∈R +,且1x +2y +3z
=1,则x+y 2+z
3
的最小值为
( )
A.5
B. 6
C. 8
D.9 【解析】选D.由柯西不等式,知
(1x
+2y +3z )(x +y 2+z
3
)≥(1+1+1)2=9,
因为1x +2y +3
z =1,所以x+y 2+z
3
≥9. 即x+y 2+z
3的最小值为9.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.已知点P是边长为2√3,它到三边的距离分别为x,y,z,则x,y,z所满足的关系式为________,x2+y2+z2的最小值是______.
【解析】利用三角形面积相等,得
1 2×2√3(x+y+z)=√3
4
×(2√3)2,即x+y+z=3.
由(1+1+1)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=9,
得x2+y2+z2≥3,当且仅当x=y=z=1时取等号.
答案:x+y+z=3 3
8.如图所示,矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和.
【解析】由题干图可知,阴影部分的面积=a1b1+a2b2,而空白部分的面积=a1b2+a2b1,根据顺序和≥逆序和可知,a1b1+a2b2≥a1b2+a2b1.
答案:≥
9.(·聊城高二检测)凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线条数f(n+1)与f(n)的递推关系为________.
【解析】凸n+1边形比凸n边形对角线条数多n-1,
所以凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线条数f(n+1)与f(n)的递推关系为f(n+1)=f(n)+n-1.
答案:f(n+1)=f(n)+n-1
三、解答题(每小题10分,共30分)
10.已知a,b,c ∈R +,求证:
a 12bc
+
b 12ca
+
c 12ab
≥a 10+b 10+c 10.
【解题指南】可以发现左右两边的次数相等,因此,应该进行适当的拼凑,使其成为积的形式.
【证明】不妨设a ≥b ≥c>0,则1
bc ≥1
ca ≥1
ab >0且a 12≥b 12≥c 12>0,
则a 12bc +
b 12ca
+
c 12ab ≥
a 12a
b +
b 12bc
+
c 12ac
=
a 11
b
+
b 11c
+
c 11
a
≥
a 11
a
+
b 11b
+
c 11
c
=a 10+b 10+c 10.
11.a 1,a 2,…,a n 是互不相等的正数,其中a i ∈[1,+∞),且i ∈{1,2,3,…,n},n ≥2.证明:
(1)a 22a 1+a 1
2a 2
>a 1+a 2. (2)a 12a 2+a 2
2a 3+…+
a n−12a n
+a n
2a 1
>n.
【证明】(1)因为a 1>0,a 2>0,且a 1≠a 2,
所以a 22a 1+a 1
2a 2-a 1-a 2=a 12(a 1−a 2)−a 22(a 1−a 2)a 1a 2=(a 1+a 2)(a 1−a 2)2a 1a 2>0,所以a 22a 1+a 1
2a 2
>a 1+a 2.
(2)不妨设1≤a 1<a 2<…<a n ,
则a 12<a 22<…<a n 2,且
1a
1
>1a 2
>…>1
a n
.
由排序不等式知,乱序和不小于反序和,又等号均不成立,
所以a 1
2a 2+a 2
2a 3+…+a n−1
2a n +a n
2a 1>a 12·1a 1+a 22·1a 2+…+a n 2·1
a n .
即a 12a 2
+a 22a 3
+…+
a n−12a n
+a n
2a 1
>a 1+a 2+…+a n >1+1+1+⋯+1⏟ n 个
=n.
12.(·厦门高二检测)设a n =1+12+1
3
+…+1
n
(n ∈N +),是否存在n 的整式g(n),使得等式a 1+a 2+a 3+…+a n-1=g(n)(a n -1)对大于1的一切正整数n 都成立?证明你的结论. 【解析】假设g(n)存在,那么当n=2时, 由a 1=g(2)(a 2-1),即1=g(2)(1+1
2−1),
所以g(2)=2;
当n=3时,由a1+a2=g(3)(a3-1),
即1+(1+1
2)=g(3)(1+1
2
+1
3
−1),所以g(3)=3,
当n=4时,由a1+a2+a3=g(4)(a4-1),
即1+(1+1
2)+(1+1
2
+1
3
)
=g(4)(1+1
2+1
3
+1
4
−1),所以g(4)=4,
由此猜想g(n)=n(n≥2,n∈N+).
下面用数学归纳法证明:
当n≥2,n∈N+时,等式a1+a2+a3+…+a n-1=n(a n-1)成立.
(1)当n=2时,a1=1,
g(2)(a2-1)=2×(1+1
2
−1)=1,结论成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时结论成立,
即a1+a2+a3+…+a k-1=k(a k-1)成立,
那么当n=k+1时,a1+a2+…+a k-1+a k
=k(a k-1)+a k=(k+1)a k-k=(k+1)a k-(k+1)+1
=(k+1)(a k+1
k+1
−1)=(k+1)(a k+1-1),
说明当n=k+1时,结论也成立,
由(1)(2)可知,对一切大于1的正整数n,存在g(n)=n使等式a1+a2+a3+…+a n-1=g(n)(a n-1)成立.。