(完整版)归纳与类比
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＝6.
第12章 第四节
高考数学总复习
(理)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相
等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比
较恰当的是( )
北
师
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；
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②各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面
角相等；
第12章 第四节
高考数学总复习
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条
师
大
版
[答案] A
第12章 第四节
高考数学总复习
[解析] 演绎推理是由一般到特殊的推理，它的形式
是“三段论”，由此可知选 A，选项 B、D 是归纳推理，
C 是类比推理．
北
师
大
版
第12章 第四节
高考数学总复习
3．(文)(2012·合肥模拟)下面使用类比推理恰当的是
()
A．“若 a·3＝b·3，则 a＝b”类比推出“若 a·0＝b·0， 北 师
则 a＝b”
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B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“a＋c b＝ac＋bc”
第12章 第四节
高考数学总复习
C
．
“(a
＋
b)c＝Biblioteka ac＋bc”类
比
推
出
“a＋c b
＝
a c
＋
b c
(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
北 师
大
版
[答案] C
[解析] 由类比推理特点知，选C.
高考数学总复习
北 师 大 版
第12章 算法初步、推理与证明、复数
高中思想政治2025届一轮复习选择性必修三：第三十四课第四课时 学会归纳与类比推理(含综合探究)
第四课时学会归纳与类比推理(含综合探究)课标要求学会归纳推理、类比推理；评析常见的推理错误。
体系构建核心考点一归纳推理及其方法1.归纳推理的种类：归纳推理可以分为完全归纳推理和不完全归纳推理。
学问拓展不完全归纳推理的两种类型2.归纳推理和演绎推理3.探求因果关系五法考向一归纳推理的含义[典例1] (2024·辽宁协作校联考)在一个平面内，直角三角形内角和是180度；锐角三角形内角和是180度；钝角三角形内角和是180度；直角三角形、锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形。
所以，平面内的一切三角形内角和都是180度。
这一推理是()A.演绎推理B.归纳推理C.类比推理D.或然推理答案B解析从个别三角形的特点归纳出全部三角形的相关特点，体现了从个别性前提推出一般性结论，属于归纳推理，B正确，排解A、C、D。
考向二归纳推理的方法[典例2] (2023·江苏卷)春天的微风中飘散的不仅仅有花粉，一些植物病毒也可以借着花粉在花与花之间传播。
某高校争辩团队发觉，在农业区采集的花朵携带着100多种不同病毒的基因组片段，而来自人类活动较少的草原上的花朵仅携带12种病毒。
该团队认为，假如一块农田的植物物种趋于同质化，就可能使更多的病毒借居在这里。
得出这一结论是运用了()A.求同法B.求异法C.类比推理D.演绎推理答案B[解题力量培育]猜测依托守株待兔的故事，考查不完全归纳推理1.宋国有个农夫，他的田地中有一截树桩，一天一只跑得飞速的野兔撞在了树桩上，撞断了脖子死了，于是，农夫便放下他的农具守在树桩旁边，期望能再得到一只兔子，野兔是不行能再次得到的，而他自己却被宋国人所讥笑。
故守株待兔比方不主动努力，而心存侥幸期望得到意外的收获，主要告知我们的道理是：只有通过自己的劳动，才能有所收获，否则终将一无所获空留圆满。
从科学思维的角度，这个守株待兔的成语故事给我们的启发是()A.农夫犯了完全归纳推理中“轻率概括”的规律错误，因而“身为宋国笑”B.农夫只依据一两件事实材料就简洁地得出一般性结论，还认为结论肯定牢靠C.在归纳推理时，没必要去分析生疏对象与有关现象之间是否存在着因果联系D.要提高不完全归纳推理的牢靠性，考察的对象要尽可能多，范围要尽可能面广答案D解析农夫犯了不完全归纳推理中的“轻率概括”的规律错误，A说法错误。
归纳推理、类比推理
归纳推理、类比推理第三周归纳推理、类比推理一、归纳推理(一)归纳推理：以个别或特殊性知识为前提，推出一般性结论的推理。
它包括完全归纳和不完全归纳，两者的区别在于前者考察了一类中的每一个对象，而后者只考察了一类中的部分对象。
其逻辑结构：S1是(不是)P S1是(或不是)PS2是(不是)P S2是(或不是)PS3是(不是)P S3是(或不是)P…………Sn是(不是)P Sn是(或不是)PS1、S2、S3……Sn是S类的全部对象S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象所以，所有的S是(不是)P 所以，所有的S都是(或不是)P根据前提中是否考察了事物对象与其属性之间的内在联系，不完全归纳推理分为简单枚举法和科学归纳法。
1.简单枚举归纳推理又叫做简单枚举法，它是根据一类事物对象中部分对象具有(或不具有)某种属性，推出该类对象全体都具有(或不具有)这种属性的推理。
其逻辑形式是：S1是(不是)PS2是(不是)PS3是(不是)P……Sn是(不是)P(S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象，并且没有出现反例)———————————————————————————所以，所有的S是(不是)P2.科学归纳法科学归纳推理又叫做科学归纳法，它是根据一类对象中的部分对象与其属性之间的联系具有必然性，推出该类对象的全部都具有这种属性的推理逻辑结构式S1是PS2是PS3是P……Sn是P(S1、S2、S3……Sn是S类的部分对象，并且S与p之间有必然联系)——————————————————所以，所有的S是P(二)因果联系：事物之间引起和被引起的关系。
因果联系的特征有：不能颠倒的先因后果、一个原因可以引起多个结果、一个结果也可以由不同原因引起。
求因果方法：五种基本方法。
1.求同法，即寻求被研究的事物现象出现在若干不同场合，是否具有某种共同原因的方法，其特点是异中求同。
形式结构：场合先行情况被研究现象(1) A、B、C a(2) A、D、E a(3) A、F、G a………………………————————————————所以，A与a有因果联系。
归纳法和类比法
12
12 12 15
6
8 7 7 6
V+F-E=2
——笛卡儿-欧拉多面体定理
7 10
8
12
一、 归纳法的概念
归纳法，是指通过特别分析引出普遍的结论 的推理方法。和类比一样，它在数学发现中也具 有十分重要的作用。 在科学认识活动中，归纳法可以理解为用来 概括由观察和实验获得的事实，确立科学认识基 础的客观性，从而探索事物的规律性。即归纳常 常建立在有目的、有计划的观察和实验基础上。 归纳法也是一种或然性推理，其猜想或论断 尽管是符合情理的，但不一定是正确的，还需要 有严格的证明。
引例2：观察如下几个等式： 10=3+7，20=13+7，30=13+17
再如： 6=3+3， 8=3+5，10=3+7=5+5， 12=5+7，14=3+11=7+7
能否有论断：“任何一个大于4的偶数都 是两个奇质数之和”。 ——哥德巴赫猜想 1966年，数学家陈景润证明了“每一个充分 大的偶数都能够表示为一个质数及一个不超过二 个质数的乘积之和”。
二、 归纳法的类型
归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法两种。 所谓完全归纳法，是根据某类事物中每一个 对象的情况或每一个子类的情况，而作出关于该 类事物的一般性结论的推理。如果它的前提是真 的，那么它的结论也一定是真的。 所谓不完全归纳法，是根据对某类事物中的 一部分对象的情况，而作出关于该类事物的一般 性结论的推理。
S梯
h( a b ) H ( S1 S 0 S 2 ) , V四 棱 台 2 3
在小学数学解题中,类比也有着相当广泛的应用, 具体过程正如波利亚所说的那样“选择一个类似的、 较容易的问题去解决它，以便它可以作为一个模式。 然后利用这个刚刚建立起来的模式，以达到原来问 题的解决。” 例5 6 计 算 1 1 1 1 1 3 7 7 11 11 15 15 19 19 23
归纳与类比
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2 球的体积 V = πR3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
我珍视类比胜过任 何别的东西，它是我 最信赖的老师，它能 揭示自然界的秘密。
德国天文学家开普勒（ Kepler，
1571-1630）
“即使在数学里，发 现真理的主要工具也 是归纳和类比．”
法国数学家 拉普拉斯 （Laplase,1749-1827)
例3：传说在古代印度的贝拿勒斯圣庙里，安放了一 块黄铜板，板上插着三根神针，传说主神再创世 时，在其中一根神针上，从下到上放下了由大到 小的64片金片。并言，将此64片金片移动到第三 根上时，世界末日就到了。其移动的规则是： 1）每次只许移动一片金片； 2) 金片只能在三根神针上存放； 3) 大金片任何时候不能放在小金片上面。 于是从此开始有一个僧侣24小时不间断地（允许 换班）移来移去。问题显然是：什么时候是世界 末日呢？
an 1 2(an 1 1) ∴数列 an 1 是以1位首项，2为
公比的等比数列．
an 2 1
n
an 1 2
n
当n=64时， a64 回到故事中，
2 1
64
=18446744073709551615．
归纳推理与类比推理
（3）因为三角形的内角和是180°×(3－ 2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，五 边形的内角和是180°×(5－2)，……，所 以n边形的内角和是180°×(n－2)。 从上述事例中可以发现，其中的推理得 到的结论都是可能为真的判断，像这种前 提为真时，结论可能为真的推理，叫做合
情推理。
归纳推理 类比推理
2.1.2 合情推理(归纳推理)
歌德巴赫猜想: “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇数 之和” 即:偶数＝奇质数＋奇质数
（一）归纳推理： 考察以下事例中的推理： （1）1856年，法国微生物学家巴斯德发 现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因，接着， 通过对蚕病飞研究，他发现细菌是引起蚕 病的原因，据此，巴斯德推断人身上的一 些传染病也是有细菌引起的； （2）我国地质学家李四光发现中国松辽 地区和中亚西亚的地质结构类似，而中亚 西亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平 原也蕴藏着丰富的石油；
在学习等差数列时，我们是这样推导首 项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公 式的： a1=a1+0d； a2=a1+1×d； a3=a1+2×d； a4=a1+3×d； ………… 等差数列{an}的通项公式是an=a1+(n－1)d.
这种根据一类事物的部分对象具有某种 性质，推出这类事物的所有对象都具有这 种性质的推理，叫做归纳推理（简称归 纳）。归纳是从特殊到一般的过程。 下面，我们通过一个实例来得出归纳推理 的一般步骤。 例如，当你看到这样的几个关系式： 10=3+7，20=3+17；30=13+17，时，
等比数列
1.an = a1qn-1 (n∈N＋) 2.an = amqn-m (m,n∈N＋) 3.an-1· an+1 =an2 (n≥2,n∈N＋)
归纳与类比
归纳法：1.定义：从许多个别事例中获得一个较具概括性的规则。
这种方法主要从收集到既有的资料，加以抽丝剥茧地分析，最后得以做出一个概括性的结论。
2.特点：归纳法是依据若干已知的不完尽的现象推断上属未知的现象，因而结论具有猜测的性质；归纳法的前提是单个事实、特殊情陆，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的。
3.作用：归纳法在数学上是证明与自然数n有关的命题的以中国方法。
它包括两个步骤：（1）验证当n取第一个自然数值n=n1(n1=1,2或其他常数)时，命题正确；（2）假设当n取某一自然数k时命题正确，以此类推出当n=k+1时这个命题也正确。
从而就可断定命题对于从n1开始的所有自然数都成立。
类比法：1.定义：类比法是根据两个或两类事物在某些属性上相同或相似，而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理方法。
它是一种从特殊到特殊的推理方法，属于一种横向思维。
2.特点：类比法是“先比后推”。
“比”是类比的基础，“比”既要共同点也要“比”不同定。
对象之间的共同点是类比法是否能够施行的前提条件，没有共同的对象之间是无法进行类比推理的。
类比不仅是一种从特殊到特殊的推理方法，也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效方法。
这对数学教学中培养学生的创新能力和创造性思维能力有着极其重要的作用。
3.作用：类比法的作用是“由此及彼”。
如果把“此”看作是前提，“彼”看作是结论，那么类比思维的过程就是一个推理过程。
古典类比法认为，如果我们在比较过程中发现被比较的对象有越来越多的共同点，并且知道其中一个对象有某种情况而另一个对象还没有发现这个情况。
这时候人们头脑就有理由进行类推。
由此认定另一对象也应有这个情况。
现代类比法认为，类比之所以能够“由此及彼”，之间是经过了一个归纳和演绎程序的即：从已知的某个或某些对象具有某情况，经过归纳得出某类所有对象都具有这情况，然后再经过一个演绎得出另一个对象也具有这个情况。
演绎法归纳法类比法精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版演绎法归纳法类比法一、演绎法从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理就是演绎推理，也叫逻辑推理。
简而言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。
演绎推理的一般模式为“三段论”，即：（1）大前提：已知的一般原理；（2）小前提：所研究的特殊情况；（3）结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断。
【例题】证明函数），在（12)(2∞-+-=x x x f 内是增函数。
分析：本题中大前提为：在某个区间),(b a 内，如果0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增。
小前提为：x x x f 2)(2+-=的导数在区间)1,(-∞内满足0)(>'x f ，是证明本题的关键。
证明：22)(+-='x x f当)1,(-∞∈x 时，有01>-x所以0)1(222)(>-=+-='x x x f即根据“三段论”得，)1,(2)(2-∞+-=在x x x f 内是增函数.在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的.二、归纳法由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。
简而言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。
归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论。
该过程包括两个步骤：（1）通过观察个别对象发现某些相同的性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）。
【例题】已知数列11}{1=a a n 项的第，且),3,2,1(11 =+=+n a a a nn n ，试归纳除这个数列的通项公式。
解：当1=n 时，数列的第1项11=a ； 当2=n 时，数列的第2项211112=+=a ； 当3=n 时，数列的第3项31211213=+=a ； 当4=n 时，数列的第4项41311314=+=a . 观察可知，数列的前4项都等于相应序号的倒数. 由此猜想，这个数列的通项公式为na n 1=.三、类比法由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。
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1.1归纳与类比（高二理）
使用说明：1.独立认真限时完成导学案，规范书写。
2.认真反思，总结方法规律。
重点、难点： 用归纳与类比进行推理与猜想
一． 学习目标：1. 了解归纳与类比的定义。
2. 会用归纳与类比进行简单的推理与猜想，
3. 掌握用归纳与类比推理事物规律的方法及过程。
4．体验数学推理过程，激发学生学习兴趣，培养创新能力。
二：问题导学：
1.推理一般包括 推理和 推理。
2.根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中 都有这种属性，我们将这种推理方式称为 推理。
3. 由于两类不同的对象具有某些 特征，在此基础上，根据一类对象的 特征，推断另一类对象也具有 特征，我们将这种推理过程称为 推理。
4、 推理和 推理是常见的合情推理。
合情推理是 。
演绎推理是 。
三．合作 探究：
例1已知数列{}n a 满足),(2
2,111*+∈+=
=N n a a a a n n
n （1） 求.,,432a a a
（2） 猜测 5a 及数列{}n a 的通项公式；
例2如图（1）有面积关系： PB PA B P A P S S PAB B A P ⋅'
⋅'=∆''∆ 则图（2）有体积关系：=-'''-ABC
P C B A P V V
四．巩固 拓展：
1. 根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有 个点
2.图（1）为相互成 ο
120角的三条线段，长度均为1，图（2）在图（1）的每条线段的前端各作两条与该线段成ο120角的线段，长度为其一半，图（3）用图（2）的方法在每条线段的前端生成两条线段，长度为其一半，重复前面的方法至第 n 张图，设第 n 张图所有线段长度之和为 n a ，则n a =
3.经计算发现下列不等式：
,......10221723,1025.155.4,102182<-++<+<+
根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数 a,b 都成立的条件不等式
4.三角形的面积为()c b a r c b a S ,,,2
1
++=
为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为（ ）
A . abc V 31=
B. sh V 31
= C . (),31
4321r s s s s V +++=（432,1,,s s s s 为四个面的面积，r 为内切球的半径 ）
D. (),3
1
h ac bc ab V ++= (h 为四面体的高 )
5.有“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是
6.设数列{}n a 的各项为正数，前 n 项之和为 ,121⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=n n n a a S （1）求3,21,a a a
（2）猜想n a
7.已知以下过程可以求 1+2+3+。
+n 的和。
因为()1212
2
+=-+n n n
()1)1(212
2+-=--n n n
……………………………..
1121222+⨯=-
有()()n n n +++++=-+ (3212112)
2
所以()2
122.......3212+=-+=++++n n n n n n
类比以上过程求 2
222........
321n ++++ 的和。
五．小结：1.归纳推理的一般步骤是
（1） 。
（2） 。
2.类比推理的一般步骤是
（1） 。
（2） 。