江苏专转本高数证明题精讲
江苏省专转本数学考试必考要点及解析
江苏省专转本数学考试必考要点及解析1.函数分段点处的连续性（何种间断点）2.函数极限（无穷小的情况）--利用洛必达法则和等价无穷小（必考后者）-- 一般用来求2个函数式中存在的未知量a,b,c等---选择题或者填空题3.已知某点导数值，求在该点处的极限值(必考)—填空题若(0)1f′=，则0()()limxfxfxx→−−=4.证明分段函数在分段点处的连续性和可导性（理解定义并会判别）（必考）--证明题5.交换积分次序(必考)---选择题或者填空题6.洛必达法则求“0/0”、“∞/ ∞”、“0?∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的极限方法（必考）--填空题、选择题、计算题7.利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式注解：7和8常合起来考查函数在某个定义域处的单调性和凹凸性---选择题8.函数极值判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点(2次求导后，用极值判断凹凸性若“极值<0”,则把符号顺时针旋转90度尖朝上突出说明就是“凸”以此类推“>”情况)9.曲线的水平渐近线与垂直渐近线(必考判断渐近线条数)—选择题10.不定积分计算不定积分的基本公式分部积分法（考查两者结合使用）或者对定积分的计算(必考其一或2者皆有)--计算题、填空题11.变上或下限定积分求导数的方法（必考）--选择题牛顿—莱布尼茨公式定积分的换元积分法与分部积分法12.向量的数量积与向量积的计算方法（两向量垂直或平行时的满足情况，进行求给出向量中的未知量）--填空题13.求平面方程或者直线方程（平面的点法式方程、一般式方程。
会判定两平面的垂直、平行；点到平面的距离；直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。
会定两直线平行、垂直；判定直线与平面间的关系(垂直、平行、直线在平面上））（必考）--计算题14.隐函数的一、二阶偏导数计算（必考）--计算题复合函数一、二阶偏导数的求法（必考）--计算题二元函数的全微分（在某点处的全微分值计算）--填空题15.二重积分的应用（求给出区域图形的面积）--计算题16.级数收敛、发散（判别方法的应用必考）--选择题几何级数、调和级数与p级数的敛散性级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法（重要应该必考）17.幂级数的收敛半径、收敛区间(不要求讨论端点)的方法18.一阶微分方程（可分离变量方程的解法。
江苏省专转本高等数学第七章矢量与解析几何核心知识点例题讲解(含答案)
第七章 矢量与空间解析几何本章主要知识点● 矢量运算 ● 平面 ● 直线方程● 主要的几个立体图形及方法一、矢量运算着重掌握矢量的内积、叉积运算，并深刻理解这两种运算在研究线线、线面、面面之间位置关系时的作用；掌握以矢量为主要线索来建立直线和平面方程的方法和实质。
1．矢量的内积（1）cos a b a b θ⋅⋅⋅ ，其中θ为,a b的夹角（2）若{}{}321321,,,,,b b b b a a a a ==，332211b a b a b a ++=⋅ 且a = （3）0=⋅⇔⊥b a b a (b a ,为非零矢量)例7.1．{}{}3,0,1,2,1,1-==，求a b ⋅。
解：()5320111=⨯+⨯+-⨯=⋅b a 。
例7.2．如果{}{}3,,2,,2,1a b λλ=-=-，且b a ⊥，求λ。
解：0=⋅ 得：3220λλ++= 得：25λ=-。
2．矢量的叉积a b ⨯如图所示，如果不平行于，则⨯同时垂直与又垂直于，或者等价地，⨯=垂直于由,确定的一平面。
它在后面研究平面与直线中起相当重要的作用。
如果{}{}321321,,,,,b b b b a a a a ==那么321321b b b a a a k j ib a =⨯， 利用第一行代数余子式展开计算。
若,非零，//2121210c c b b a a ==⇔=⨯⇔ 例7.3．{}{}3,2,1,1,1,1=-=，求⨯解：{}3,2,5325211131113211321111--=+--=-+--=-=⨯k j i kjik j i例7.4．如果{}1,,1,a λ= {}2,3,2b = ，//a b 求λ解：11232λ==，解得：32λ=。
3．单位向量0aa a= 为矢量a 的方向上的单位矢量。
aba b ⨯图示7.14．矢量b 在a 上的投影()aproj b()2aa b proj b a a⋅=二、平面方程1．平面方程的基本形式（点法式）平面π过点()0,000,z y x M ，法矢量为{}C B A ,,=那么平面方程为()()()000000n MM A x x B y y C z z ⋅=⇔-+-+-=（1）点法式有两个基本要素：点0M 和法向量n 。
2012江苏专转本高等数学试题及解析
设特解 y = ( Ax + B )e ，代入 y′′ + 4 y′ + 4 y = ( x + 1)e ，得 A =
解：收敛半径 R = lim
(n + 1)3n +1 an = lim = 3 ， − 3 < x − 3 < 3 ，则 0 < x < 6 . n→∞ n→∞ a n3n n +1
∞ (−1) n 1 x = 6 ，发散；当 时，幂级数为交错级数 ，收敛. ∑ ∑ n n =1 n n =1
∞
当 x = 0 时，幂级数为
2 − 15 x 15 ，令 f ′( x ) = 0 ， − x2 = 2 2 x
1
2 2 ， f ′( x ) 不存在的点是 x = 0 . 在区间 (0, ) 内 f ′( x ) > 0 ，函数 f ( x ) 单调 15 15
增加，极小值为 f (0) = 0 ；
-1-
孙久厚教授
2012 江苏专转本高等数学试题解析
sunjh@
2 + 15 x 1 − 15 − 2 4 30 2 ， f ′′( ) < 0 ， 函数的极大值为 f ( ) = . f ′′( x) = − x 2 − x 2 = − 2 4 15 45 15 4x x
选(C). 4. 函数 z = ln(2 x) + A. dx − 3dy 解： z = ln(2 x) +
a + (2 b ) 2 = 32 + 42 = 5 .
2
∫
+∞ a
e− x dx =
+∞ a
1 ，则常数 a = _______. 2
江苏省专转本高数全部知识点第一讲：极限、洛比塔法则第二讲：连续,导数、微分
y sgn x, 在(,)上, ymax 1, ymin 1;
在(0,)上, ymax ymin 1.
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
若 f ( x ) C [a , b], 则 1 , 2 [a , b], 使得 x [a , b], 有 f ( 1 ) f ( x ), f ( 2 ) f ( x ).
x 0 x 0
lim f ( x ) lim(a x ) a ,
x0 x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当a 1时, 函数 f ( x )在 x 0处连续.
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
x 0
或
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那末就称函数
f ( x ) 在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x ) 的连续点.
设 x x0 x,
y f ( x ) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x ) f ( x0 ).
第二讲：连续、导数、微分
1函数的连续性 2 导数的概念 3函数微分
lim f ( x) A f ( x0 0) f ( x0 0) A. (1) x x
0
(2) 函数 f ( x )在 x0 处连续 是函数 f ( x )在 x0
处既左连续又右连续.
(3) 函数 f ( x )在点x 处可导 左导数 f ( x ) 和右 0 0
定义 2
设函数 f ( x ) 在U ( x 0 ) 内有定义, 如果
江苏省专转本高等数学第四章定积分核心知识点例题讲解(含答案)
第四章 定积分本章主要知识点● 定积分计算● 特殊类函数的定积分计算 ● 变限积分● 定积分有关的证明题 ● 广义积分敛散性 ● 定积分应用（1）面积 （2）旋转体体积一、定积分计算定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式：设⎰+=C x F dx x f )()(，则()()()()bb aaf x dx F b F a F x =-=⎰。
其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的，也有三个主要方法，但需要指出的是对于第Ⅱ类直接交换法，注意积分限的变化：()111()()()()()(())x t bb aa t x f x dx f t t dt ϕϕϕϕϕϕ---=='=⎰⎰。
例4.1．111)edx x ⎰解：原式=e11)ln d x ⎰=32125((ln )ln )|33ex x +=例4.2．3dx ⎰ 解：原式t x t x =+-==11222 1121t tdt t -+⎰=32 121t t dt t -+⎰=322125()|33t t -= 例4.3．⎰22sin πxdx x解：原式=⎰-202cos 21πx xd =⎰+-2022cos 21|2cos 21ππxdx x x=20|2sin 414ππx +=4π 二、特殊类函数的定积分计算1．含绝对值函数利用函数的可拆分性质，插入使绝对值为0的点，去掉绝对值，直接积分即可。
例4.4．⎰--21|1|dx x解：原式=121 1(1)(1)x dx x dx --+-⎰⎰=212|)2(2x x -+=)121(02--+=25 例4.5．⎰--++22|)1||1(|dx x x解：原式=112211(|1||1|)(|1||1|)(|1||1|)x x dx x x dx x x dx ---++-+++-+++-⎰⎰⎰=112211(11)(11)(11)x x dx x x dx x x dx ------++++-+++-⎰⎰⎰=112211222xdx dx xdx ----++⎰⎰⎰=212122|4|x x ++---=)14(4)41(-++--=102．分段函数积分例4.6．⎩⎨⎧≤+>=0,10,)(2x x x x x f ，求⎰-11)(dx x f解：原式=⎰⎰-+0110)()(dx x f dx x f =⎰⎰-++01102)1(dx x dx x =103012|31|)2(x x x ++- =31)121(+--=65例4.7．⎩⎨⎧≤>+=1,1,12)(x x x x x f ，求⎰-+12)1(dx x f解：原式11221(1)()u x f x dx f u du =+--=+==⎰⎰1211()()f u du f u du -+⎰⎰1222111(21)0()udu u du u u -=++=++⎰⎰624=-=3．奇函数积分如果 ()f x 为定义在[],a a -的奇函数，则()0aaf x dx -≡⎰，这是一个很重要考点。
江苏省专转本高数全部知识点第一讲：极限、洛比塔法则第十讲_定积分的应用
三、小结
y 旋转体的体积 绕 轴旋转一周 绕非轴直线旋转一周
绕 x 轴旋转一周
平行截面面积为已知的立体的体积
于是所求面积 A A1 A2
A 2 ( x 6 x x )dx 0 ( x x 6 x )dx
3 2 2 3
0
3
253 . 12
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x 吗？
2 y 例 3 计算由曲线 2 x 和直线 y x 4 所围
取积分变量为x ，
y
y f ( x)
x [a , b] 在[a , b]上任取小区 间[ x , x dx ] ，
o
x x dx
x
x 轴旋转而成的薄 取以dx 为底的窄边梯形绕 片的体积为体积元素， dV [ f ( x )]2 dx
旋转体的体积为 V [ f ( x )]2 dx
求双纽线 a cos 2 所围平面图形
2 2
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
y x
A 4 A1
A 40
4
A1
1 2 2 a . a cos 2d 2
2 a 2 cos 2
例 6 求心形线r a (1 cos ) 所围平面图形的 面积(a 0) .
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y ) 、直线 y c 、 y d 及y 轴所围 成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
体积为
y
d
2 [ ( y )] dy
V
d
c
x ( y)
c
o x
江苏专转本高数 第一节 映射与函数(二)
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反余切函数 y arc cot x
y arccot x
o
【定义1】 幂函数,指数函数,对数函数,三角 函数和反三角函数统称为基本初等函数.
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三
初等函数
1.【初等函数】
【定义2】由常数和基本初等函数经过有限次四 则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一 个式子表示的函数,称为初等函数. 否则称为非初等函数.
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2.【非初等函数举例】 ①［符号函数］ 1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0 ②［取整函数］
1
o
y x
-1
y
2 1o
当
③［狄里克雷函数］
1 2 3 4
x
y
1 1, x Q y D( x ) • x o 0, x Q C 无理数点 有理数点 ④［分段函数］（略）：一般是非初等函数.
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【思考题解答】
(1) 内层函数g(x)的图形如图示
y f [ g( x )]
x x
2
y
0.25
g(x)= x-x2
x D { x | 0 x 1}, 1 f ( D ) [0, ] 2
o
0.5
1
x
( 2) 不能． g( x ) sin x 1 0
例如 y arcsinu, u 2 x ; y arcsin( 2 x )
2
2
2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
江苏专转本高等数学 级数 练习加例题
- 160 -第六章 级 数本章主要知识点● 级数收敛定义及性质 ● 正项级数敛散判别方法 ● 一般项级数敛散判别方法 ● 幂级数一、级数收敛的定义及性质定义：∑∞=1n na收敛∑=→=⇔nk nn S aS 1（有限）(→n +∞)性质：① 必要条件 0lim =∞→n n a② ∑na 与∑nb收敛，则∑±)(n nb a收敛③ ∑na 收敛，∑nb 发散，∑±)(n nb a 必发散 ④∑n a发散，∑n b发散，∑±)(n nb a不能确定⑤ ∑p n 1＝⎩⎨⎧发散收敛11p p >≤⑥∑n q 收敛，当.1q const =<例6.1．计算11(3)n n n ∞=+∑ 解：111111111()(1),()(3)33333nn n k k S n n n n n n ====-=-→→∞+++∑∑- 161 -111(3)3n n n ∞==+∑ 例6.2．计算nn q∞=∑（.1q const =<）解：111()11n n q S n q q+-=→→∞-- 所以11n n q q+∞==-∑ 二、正项级数(0)n n a a ≥∑敛散性判别法1. 比值判别法如果∞→n lim11, 1, 1, n nl a l l a l +<⎧⎪=>⎨⎪=⎩收敛发散比值判别法失效 例6.3．∑+∞=1!n nnn 解： 111(1)!lim lim lim()1(1)!1n nn n n n n na n n n e a n n n -++→∞→∞→∞+=⋅==<++ 所以由比值判别法知原级数收敛。
例6.4．124nn n∞=+∑ 解：11124111lim lim lim 12422n n n n n n n a n n a n n ++→∞→∞→∞+++=⋅=⋅=<+ 收敛 例6.5．判别级数()21222133535721n n -+++++⋅⋅⋅-L L L 的敛散性- 162 -解：112357 (21)lim lim 0357...(21)2n n n n n na n a n +-→∞→∞⋅⋅=⋅=⋅⋅+－，收敛 2. 比较判别法比较判别法有三种形式：一种称为囿级数法；一种为极限式；一种为等价无穷小式。
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3.利用函数单调性证明不等式 一般步骤为:(1)构造辅助函数,一般地,将要证的不等式统统移到一 边使得另一边为零，那么非零一边可以设为辅助函数; (2)求辅助 函数的导数以判断辅助函数的单调性;(3)根据单调性定义证明不 等式成立.
x 2 x3 例：证明不等式：ln(1 x) x ( x 0) 2 3
2.罗尔中值定理(属于“导数的应用”这一章)
罗尔中值定理 : 若函数f ( x)满足下列条件 1）在[a, b]上连续;2）在(a, b)内可导;3）f (a ) f (b) 则至少存在一点 (a, b), 使得f ( ) 0.
例：设f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)可导，且f (a ) f (b) 0， 则 R, 使f ( ) f ( ).
4.利用定积分的换元法证明有关定积分的等式
b
a
f ( x)dx 1
x ( t ); x:a b ~ t: ( a ) ( b ); dx ( t ) dt
1 1
1 ( b )
(a)
f (t ) (t )dt
例：设函数 f (u ) 在[0，1]上连续，证明：
2 0
f ( cos x)dx f (sin x)dx, 并计算
2 0
2 0
cos x dx. cos x sin x
．
5.由导数的定义证明问题.
设f ( x )在U x0 内有定义，若极限
x x0
lim
z z 例：已知函数z z ( x, y )是由 y 3 z , 证明： 1. x y
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim x 0 x 0 x x x0 x dy | x x0 . dx
存在, 则称f ( x )在x0处可导，记为f ( x0 )或
f ( x) , x0 例：设f ( x)具有二阶导数，且f (0) 0, g ( x) x , x0 0, f (0) 证明：g ( x)在x 0可导，且g (0) . 2
6.由隐函数求导法证明等式 方法一:方程两边分别对自变量求导或求偏导,再解出导数或偏导数, 这里特别要注意:因变量与自变量的函数关系,对自变量求导往往是 复合函数的求导. 方法二:公式法
设y y ( x)是由方程F ( x, y ) 0所确定, 则 F dy x , dx Fy
Fy Fx z z 设z z ( x, y )是由方程F ( x, y, z ) 0所确定, 则 , Fz x Fz y
证明题专题讲座
1.利用零点定理证明根的存在性.
设f ( x)在[a, b]上连续，且f (a ) f (b) 0, 则 在(a, b)内至少存在一个根，使得f ( ) 0
证明的关键是构造辅助函数 f ( x ),有时需要寻找闭区间[ a, b].
例：设函数f ( x)在[0， 2a ]上连续, 且f (0) f (2a ), 试证明 : [0, a ], 使得f ( ) f ( a ).