河北省鸡泽县第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题

2020---2021学年第一学期开学考试高二数学试题测试范围:数学必修二(第二,三,四章)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列选项中能得到平面α//平面β的是()A. 存在一条直线a，a//α，a//βB. 存在一条直线a，a⊂α，a//βC. 存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a//β，b//αD. 存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a//β，b//α2.若两个平面互相垂直，第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么()A. 直线a垂直于第二个平面B. 直线b垂直于第一个平面C. 直线a不一定垂直于第二个平面D. a必定垂直于过b的平面3.以A(1,3)，B(−5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是()A. 3x−y−8=0B. 3x+y+4=0C. 3x−y+6=0D. 3x+y+2=04.已知直线kx−y+2=0和以M(3,−2)，N(2,5)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为()A. k⩽32B. k⩾32C. −43⩽k⩽32D. k≤−43或k≥325.两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0间的距离是()A. 213B. 113C. 126D. 5266.直线5x+12y−8=0与圆(x−1)2+(y+3)2=8的位置关系是()．A. 相交且直线经过圆心B. 相交但直线不经过圆心C. 相切D. 相离7.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2−2x=0相切，则实数a的值为()A. 1或7B. 2或−2C. 1D. −18.已知圆M:x2+y2−4y=0，则N:(x−1)2+(y−1)2=1，则圆M与圆N的公切线条数是()A. 1B. 2C. 3D. 49.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断： ①FG//平面AA1D1D; ②EF//平面BC1D1; ③FG//平面BC1D1; ④平面EFG//平面BC1D1; ⑤平面EFG//平面A1C1B. 其中推断正确的序号是()A. ① ③ ⑤B. ① ④C. ② ③ ⑤D. ② ④10.ΔABC的三个顶点为A(0,4),B(−2,6),C(8,2)，则不是三角形各边上中线所在直线方程的是()A. y=−13x+143B. y=−12x+5 C. y=−12x+7 D. y=411.过两点P(2,2)，Q(4,2)，且圆心在直线x−y=0上的圆的标准方程式()A. (x−3)2+(y−3)2=2B. (x+3)2+(y+3)2=2C. (x−3)2+(y−3)2=√2D. (x+3)2+(y+3)2=√212.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2AB.若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ADD1A1所成角的正弦值为()A. √63B. √22C. √33D. 13二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过点(4,−3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为____________________．14.过点(−√3,1)的直线l与圆x2+y2=4相切，则直线l在y轴上的截距为______．15.若圆C1：(x−1)2+(y+√3)2=1与圆C2：(x−a)2+y2=1没有公共点，则实数m的取值范围是______．16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中点，F是棱C1D1的中点，则异面直线AD1与EF所成的角为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（10分）在平面内，已知点A(1,1)，圆C：(x−3)2+(y−5)2=4，点P是圆C上的一个动点，记线段PA的中点为Q．求点Q的轨迹方程。

18.（12分）已知两直线l1：ax+3y+4=0和l2：x+(a−2)y+a2−5=0(1)若l1⊥l2，求实数a的值；(2)若l1//l2，求实数a的值．19.（12分）已知点A(4,1)，B(−6,3)，C(3,0)．(1)求ΔABC中BC边上的高所在直线的方程；(2)求过A，B，C三点的圆的方程．20.（12分）直线l：x−y+3=0被圆C：(x−a)2+(y−2)2=4(a>0)截得的弦长为2√2，(1)求a的值；(2)求过点(3,5)并与圆C相切的切线方程．21.（12分）如图，AB为圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，点C为圆O上异于A,B的点．(Ⅰ)求证：BC⊥平面PAC；(Ⅱ)若AB=2,BC=√3AC,PA=AB，点M为PC的中点，求三棱锥B−MOC的体积.22. （12分）已知多面体EF −ABCD 中，正方形ADFE ⊥直角梯形ABCD ，AB // CD ，∠BCD =45°，FC =√5，AD =1，P 为FD 的中点．(Ⅰ)证明：AP //平面BCF ；(Ⅱ)求直线CD 与平面BCF 所成角的正弦值．2020高二数学开学测试----答案1.D2.C3.B4.C5.C6.D7.D8.B9.A 10.C 11.A 12.C 13.y =−x +1或y =−34x【解答】解：依题意设l 的方程为y +3=k(x −4)．令x =0，得y =−4k −3；令y =0，得x =4k+3k．因此−4k −3=4k+3k.解得k =−1或k =−34．故所求方程为y =−x +1或y =−34x ．14.【答案】4【解析】解：根据题意，圆x2+y2=4，对于点(−√3,1)，有(−√3)2+12=4，即点(−√3,1)在圆x2+y2=4上，则切线l的方程为−√3x+y=4，变形可得y=√3x+4，直线l在y轴上的截距为4；故答案为：415.【答案】a<0或a>2【解析】解：圆C1：(x−1)2+(y+√3)2=1，圆心C1(1,−√3)，半径为1，圆C2：(x−a)2+y2=1圆心C2(a,0)，半径为1，若两个圆有共点则1−1≤√(a−1)2+(−√3)2≤1+1，得0≤a≤2，若两个圆没有公共点则实数a的取值范围为a<0或a>2，故答案为：a<0或a>2．16.【答案】60°【解析】解：如图，连接A1C1，∵E是棱A1D1的中点，F是棱C1D1的中点，∴EF//A1C1，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，由AA1//CC1，AA1=CC1，可得四边形AA1C1C为平行四边形，得到A1C1//AC，则EF//AC，∴∠D1AC为异面直线AD1与EF所成的角．连接D1C，可得△AD1C为等边三角形，得到∠D1AC为60°．即异面直线AD1与EF所成的角为60°．故答案为：60°．17.【答案】解：(1)设Q(x,y)，点P 的坐标为(x 0,y 0)，∵点A(1,1)，且Q 是线段PA 的中点， ∴x 0=2x −1，y 0=2y −1，∵P 在圆C ：(x −3)2+(y −5)2=4上运动，∴(2x −4)2+(2y −6)2=4，即(x −2)2+(y −3)2=1； ∴点Q 的轨迹方程为(x −2)2+(y −3)2=1；18.【答案】解：(1)若，则a ×1+3×(a −2)=0，解得a =32，故所求实数a 的值为32；(2)若l 1//l 2，得a(a −2)−3×1=0，即a 2−2a −3=0， 解得a =−1或a =3，当a =−1时，l 1的方程为−x +3y +4=0，l 2的方程为x −3y −4=0， 显然两直两直线重合，不符合题意；当a =3时，l 1的方程为3x +3y −4=0，l 2的方程为x +y +4=0， 显然两直线平行，符合题意． 综上，当l 1//l 2时，a =3．19.【答案】解：(1)∵B(−6,3)，C(3,0)，∴k BC =3−0−6−3=−13， ∵BC 边上的高与BC 垂直， 设BC 边上的高的斜率为k ， ∴k ·k BC =−1， ∴k =−1kBC=3，则BC 边上的高所在直线的斜率为3， 又A(4,1)，∴BC 边上的高所在直线的方程为y −1=3(x −4)， 即3x −y −11=0；(2)设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则{16+1+4D +E +F =036+9−6D +3E +F =09+3D +F =0，解得{D =1E =−9F =−12, ∴所求圆的方程为x 2+y 2+x −9y −12=0．20.【答案】解：(1)依题意可得圆心C(a,2)，半径r =2，则圆心到直线l ：x −y +3=0的距离d =√12+(−1)2=√2，由勾股定理可知d 2+(2√22)2=r 2，代入化简得|a +1|=2，解得a =1或a =−3，又a >0，所以a =1； (2)由(1)知圆C ：(x −1)2+(y −2)2=4， 圆心C(1,2)，半径r =2，易得点(3,5)在圆外． 设直线m 过点(3,5)并且与圆C 相切．∴①当直线m 的斜率存在时，设方程为y −5=k(x −3)，即kx −y −3k +5=0 由圆心到切线的距离d =r =√k 2+1=2，解得k =512，∴切线方程为5x −12y +45=0;②当直线m 的斜率不存在时，直线方程为x =3，显然与圆C 相切， 综合①②可知所求切线方程为5x −12y +45=0或x =3．21.【答案】(1)证明：如图，∵C 为圆O 上的一点，AB 为圆O 的直径， ∴BC ⊥AC ，又PA 垂直圆O 所在的平面， ∴PA ⊥BC ，又因为PA ∩AC =A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 则BC ⊥平面PAC ；(2)解：∵AB =2，BC =√3AC ， ∴在Rt △ABC 中，可得AC =1,BC =√3，又PA =AB =2，点M 为PC 的中点，取AC 中点N ，连结MN ，∵M 为PC 中点， ∴MN =12PA =1，且MN//PA ，∵PA ⊥平面ABC ，∴MN ⊥平面ABC ，即MN 为三棱锥M −BOC 的高，∴点M到平面ABC的距离等于点P到平面ABC的距离的12，∴V B−MOC=V M−BOC=13×1×12×12×1×√3=√312．22.【答案】(Ⅰ)因为正方形ADFE⊥直角梯形ABCD，FD⊥AD，正方形ADFE∩直角梯形ABCD=AD，所以FD⊥平面ABCD，所以FD⊥CD，故CD=√FC2−FD2=2．又∠BCD=45°，解三角形可得AB=1．取FC的中点Q，连接PQ，BQ，则PQ//CD，PQ=12CD．又因为AB//CD，AB=12CD，所以PQ//AB，PQ=AB，所以ABQP为平行四边形，所以AP//BQ．因为BQ⊂平面BCF，AP⊈平面BCF，所以AP//平面BCF．(Ⅱ)直线CD与平面BCF所成角的正弦值为√66．。