勾股定理解析折叠问题含详细的答案
勾股定理在折叠问题中的应用（讲义和习题）含答案
勾股定理在折叠问题中的应用（讲义和习题）含答案勾股定理在折叠问题中的应用（讲义）课前预习1. 观察图形，回顾轴对称的性质：（1）全等变换：对应边________，对应角_________；（2）对应点所连的线段被对称轴_____________．2. 如图，乐乐将△ABC 沿DE ，EF 分别翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段EO ，若∠DOF =139°，则∠C 的度数为（） A ．38°B ．39°C ．40°D ．41°3. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6，BC =8，点D 在BC 边上，将直角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处．设DE 的长为x ，则CD =__________，BD =_________．（用含x 的代数式表示）知识点睛1. 轴对称（折叠）的思考层次（1）全等变换：对应边_______、对应角_______．（2）对应点与对称轴：①对应点所连线段_____________________；lA'B'C'CBAOFED CB ADEABC②对称轴上的点_______________________．（3）组合搭配：长方形背景下的折叠常出现______三角形．（4）作图：核心是确定_______和_______，有时需要依据不变特征分析转化，然后再补全图形．特征举例：①对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线；②折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上．精讲精练1. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6 cm ，BC =8 cm ，点D 在BC 边上，将直角边AC沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处，则线段CD 的长为__________．第1题图第2题图2. 如图，在长方形ABCD 中，AB =5 cm ，在DC 上存在一点E ，将△AED 沿直线AE 折叠，使点D落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为30 cm 2，则EF 的长为_______．3. 如图，在长方形ABCD 中，点E 在AB 边上，将长方形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处．若AE =5，BF =3，则CF 的长为_______．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =4，将△ABC折叠，使点B 与点A 重合，折痕分别交AB ，BC 于点D ，E ，则BE=__________，DE=__________．第4题图第5题图5. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B'处，点A 的对应点为A'．若B'C =3，则AM 的长为__________．DEA BC F ED C BA BFCDA EDEAB CMCBDAB'A'6. 如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边的中点E 处，压平后得到折痕MN ，若AB =2，BC =4，则AM =______．第6题图第7题图7. 如图，在长方形ABCD 中，AB =3，AD =5，现将该长方形沿BD 折叠，使点C 落在点C′处，BC′交AD 于点E ，则AE 的长为________．8. 如图，在长方形ABCD 中，AB =15 cm ，点E 在AD 上，且AE =9 cm ，连接EC ，将长方形ABCD 沿直线BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A'处，则A'C =_________．9. 如图，在长方形ABCD 中，AB =3，AD =9，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则EF 的长为_________．第9题图第10题图10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC=2，将△ABC 沿直线l 翻折，点A 落在边BC 的中点D处，直线l 与边AC 交于点E ，则AE 的长为_________．11. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点P 在线段AC 上．若将△PBC 沿PB 折叠，使点C 的对应点C ′落在AB 边上，则BP 的长为_________．BC FAENMD EDCBAC′A'B ADCEFCBEDAC'第11题图第12题图12.如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是边BC上一点，BE=5，点F是射线BA上一动点，连接EF，将△BEF沿着EF折叠，使点B的对应点P落在长方形一边的垂直平分线上，连接BP，则BP的长为_________．13.如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△B′CE为直角三角形时，BE的长为_________．【参考答案】课前预习1.（1）相等，相等；（2）垂直平分.2. D3.x，8x知识点睛1.（1）相等、相等（2）①被对称轴垂直平分；②到对应点的距离相等（3）等腰（4）对称轴，对应点精讲精练1. 3 cm2.13cm 53.124.5 25.26.138AC BFEDCBAPDCBAEB′7.8 58.8 cm10.5 411.12.13.32或3勾股定理在折叠问题中的应用（习题）例题示范例1：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC 沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在AC边上的点B′处，若折痕交BC于点E，则B′E的长为_________．思路分析：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4由勾股定理，得AC=5找折痕，转移，表达设B′E=x，由折叠，得BE=B′E=x，AB′=AB=3∴CE=4-x，B′C=2利用勾股定理列方程在Rt△EB′C中，由勾股定理，得x2+22=(4-x)2解得x=32B'ACB复习巩固1. 如图，直角三角形纸片OAB ，∠AOB =90°，OA =1，OB =2，折叠该纸片，使点B 与点A 重合，若折痕交OB 于点C ，交AB 于点D ，则OC 的长为_________．2. 如图，折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，若AB =4 cm ，BC =5 cm ，则EF 的长为________．3. 如图，在长方形纸片ABCD 中，AD =8，折叠纸片使点B 落在线段AC 上的点F 处，折痕交BC 于点E ，若EF =3，则AB 的长为_________．4. 如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC =6 cm ，BC =8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，若折痕交BC 于点D ，交AB 于点E ，则CD =________，DE =_________．5. 如图，正方形ABCD 的边长为3，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将AB ，AD 分别沿AE ，AF 折叠，点B ，D 恰好都落在点G 处，已知BE =1，则EF 的长为_________．O BCADFCBEDFEABC DDCBA6. 如图，将正方形纸片ABCD 沿MN 折叠，使点D 落在边AB 上，对应点为D′，点C 落在C′处．若AB =6，AD′=2，则DM =________，CN =_________．7. 如图，长方形ABCD 中，AB =8，BC =4，将长方形沿AC 折叠，点D 落在点D′处，则重叠部分△AFC 的面积为_________．8. 如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ．若BC =8，AB =4，则AE =_______，EF =________．9. 如图，将长方形ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕分别交AD ，BC 于点E ，F ，若AB =3，AD =4，则DE 的长为______．GF E DCBA D'C'NMDAD'D'EABC DF10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若点D在线段BC上，将△ABC沿AD折叠，使点C的对应点C′恰好落在AB边上，则BD的长为_________．11.如图，长方形ABCD中，AB=10，点P是射线AD上一动点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，使点A的对应点A′ 到直线BC的距离等于6，则AP的长为_________．12.如图，长方形ABCD中，AB=12，AD=5，点E是CD边上一点，连接AE，把∠D沿AE折叠，使点D落在点D′处．当△CD′E为直角三角形时，DE的长为____________．【参考答案】例题示范4.3 2复习巩固1.34B CA DAPAB CDA'D'EBCAD2.5 cm 23. 64.7cm4，15cm45.5 26.103，437.109.7 810.5 311.5或2012.103或5。
勾股定理中的常考问题(6种类型48道)—2024学年八年级数学上册(解析版)
勾股定理中的常考问题6种类型48道【类型一用勾股定理解决折叠问题】1．如图，将长方形ABCD沿着AE折叠，点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长为（）A．4B．3C．5D．2【答案】B【分析】长方形ABCD沿着AE折叠，得AD=AF=BC=10，EF=ED，根据勾股定理得BF=6，则CF=4，设EC=x，ED=8−x，根据勾股定理得EF2=EC2+CF2，即可解得EC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵长方形ABCD沿着AE折叠，∴AD=AF=BC=10，EF=ED，∴BF=√AF2−AB2=√100−64=6，CF=BC−BF=4，设EC=x，ED=8−x，∴EF2=EC2+CF2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3，所以EC=3，故选：B．【点睛】本题主要考查了图形折叠以及勾股定理等知识内容，掌握图形折叠的性质是解题的关键．2．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC=3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（）【答案】C【分析】利用勾股定理求得AB=5，由折叠的性质可得AB=AE=5，DB=DE，求得CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，根据勾股定理可得12+(3−x)2=x2，进而求解即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√32+42=5，由折叠的性质得，AB=AE=5，DB=DE，∴CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，在Rt△CED中，12+(3−x)2=x2，，解得x=53故选：C．【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【答案】B【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，再Rt△BCE中利用勾股定理即可求出CE的长度．【详解】解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，∴AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，∵在Rt△BCE中，CE2=BE2−BC2，即(8−x)2=x2−62，解得，x=7，4．∴CE=74故选：B【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）【答案】B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=√AC2−AB2=√52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．如图，矩形纸片ABCD的边AB长为4，将这张纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，已知折痕EF长为2√5，则BC长为（）A．4.8B．6.4C．8D．10【答案】C【分析】过点F作FG⊥BC于点G，则四边形ABGF是矩形，从而FG=AB=4，在Rt△EFG中，利用勾股定理求得EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2．设BE=x，则BG=BE+EG=x+2．由∠AFE=∠CEF=∠AEF 得到AE=AF=BG=x+2，从而在Rt△ABE中，有AB2+BE2=AE2，代入即可解得x的值，从而得到BE，CE的长，即可得到BC．【详解】过点F作FG⊥BC于点G∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=90°∴四边形ABGF是矩形∴FG=AB=4∴在Rt△EFG中，EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2设BE=x，则BG=BE+EG=x+2∵在矩形ABCD中，BC∥AD∴∠AFE=∠CEF由折叠得∠CEF=∠AEF∴AE=AF∵在矩形ABGF中，AF=BG=x+2∴AE=AF=x+2∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2∴42+x2=(x+2)2解得x=3即BE=3，AE=5∴由折叠可得CE=AE=5∴BC=BE+EC=3+5=8故选：C【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解决折叠问题的常用方法．A．7B．136【答案】B【分析】根据题意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，继而设AE=x，则CE=DE=3−x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴AD2+DE2=AE2，设AE=x，则CE=DE=3−x，∴22+(3−x)2=x2，，解得x=136即AE=13，6故选：B【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，连接CF交AB于点D，则FD的最大值为（）【答案】D【分析】根据将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，可得FD=CF−CD=4−CD，即知当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，用面积法求出CD，即可得到答案．【详解】解：如图：∵将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，∴CF=BC=4，∴FD=CF−CD=4−CD，当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵2S△ABC=AC⋅BC=AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB =3×45=125，∴FD=CF−CD=4−125=85，故选：D．【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．A．73B．154【答案】B【分析】先求出BD=2，由折叠的性质可得DN=CN，则BN=8−DN，利用勾股定理建立方程DN2= (8−DN)2+4，解方程即可得到答案．【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，∵将Rt△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BC−CN=8−DN，在Rt△DBN中，由勾股定理得DN2=BN2+DB2，∴DN2=(8−DN)2+4，∴DN=17，4，∴BN=BC−CN=154故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．【类型二杯中吸管问题】9．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．不能确定【答案】B【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．【详解】解∶∵CD=5cm,AD=12cm，∴AC=√CD2+AD2=√52+122，露出杯口外的长度为=15−13=2(cm)．故答案为：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．10．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是()A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm【分析】根据勾股定理求得AC的长，进而即可求解．【详解】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中：AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm)．则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．【详解】解：根据题意可得：AB BC=9cm，在Rt△ABC中∶AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm),则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．12．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm<ℎ≤16cm【分析】根据勾股定理及直径为最大直角边时即可得到最小值，当筷子垂直于底面时即可得到最大值即可得到答案；【详解】解：由题意可得，当筷子垂直于底面时ℎ的值最大，ℎmax=24−8=16cm，当直径为直角边时ℎ的值最小，根据勾股定理可得，ℎmin=24−√82+152=7cm，∴7cm<ℎ≤16cm，故选D．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是找到最大与最小距离的情况．13．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm≤ℎ≤16cm【答案】D【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，=24−8=16cm，∴ℎ最大如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，∴AB=√AD2+BD2=17cm，=24−17=7cm，∴此时ℎ最小∴的取值范围是7cm≤h≤16cm．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．A．5B．7C．12D．13【答案】A【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，此时AB=√92+122=15（cm），故ℎ＝20−15＝5（cm）；最短故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．15．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm【答案】D可．【详解】解：由题意，可得这只烧杯的直径是：√102−82=6（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够将实际问题转化为数学问题是解题的关键．16．如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）A．4＜h＜5B．5＜h＜6C．5≤h≤6D．4≤h≤5【答案】C【分析】根据题意，求出牙刷在杯子外面长度最小与最大情况即可得出取值范围．【详解】解：根据题意，当牙刷与杯底垂直时，ℎ最大，如图所示：故ℎ最大=18−12=6cm；∵当牙刷与杯底圆直径、杯高构成直角三角形时，ℎ最小，如图所示：在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，则AB=√BC2+AC2=√52+122=13cm，∵牙刷长为18cm，即AD=18cm，∴ℎ最小=AD−AB=18−13=5cm，∴h的取值范围是5≤h≤6，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理解实际应用题，读懂题意，根据牙刷的放置方式明确牙刷在杯子外面长度最小与最大情况是解决问题的关键．【类型三楼梯铺地毯问题】17．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（）．A．3米B．4米C．5米D．7米【答案】D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√52−32=4（米），∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是3+4=7（米）．故选：D．【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．18．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√132−52=12m，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是12+5=17(m)．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．19．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，AC=5米，AB=13米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）A．65m2B．85m2C．90m2D．150m2【答案】B【分析】勾股定理求出BC，平移的性质推出防滑毯的长为AC+BC，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：由图可知：∠C=90°，∵AC=5米，AB=13米，∴BC=√AB2−AC2=12米，由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度=BC=12（米），铅直的防滑毯的长度=AC=5（米），∴至少需防滑毯的长为：AC+BC=17（米），∵防滑毯宽为5米∴至少需防滑毯的面积为：17×5=85（平方米）．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【答案】A【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】如图，由题意得AC=1×5=5(cm)，BC=2×6=12(cm)，故AB=√122+52=13(cm)．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．如图所示：某商场有一段楼梯，高BC＝6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（）A．8m B．10m C．14m D．24m【答案】C【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高＝6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．【详解】∵△ABC是直角三角形，BC＝6m，AC＝10m∴AB＝√AC2−BC2＝√102−62＝8（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝8+6＝14（米）．故选C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系.22．某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（）A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元【答案】C【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．【详解】利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为√132−52=12米、5米，∴地毯的长度为12+5=17米，地毯的面积为17×2=34平方米，∴购买这种地毯至少需要80×34=2720元．故选C.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，生活中的平移现象，解题关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．23．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】C【详解】楼梯竖面高度之和等于AB的长．由于AB=√AC2−BC2=√52−32=4，所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．故选C24．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m【答案】C【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AB，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=√2.52−1.52=2因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5（m）故选C．【点睛】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理.【类型四最短路径问题】25．如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点A爬到圆柱的外侧点B处吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．(π≈3)【答案】30【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵透明圆柱的底面半径为6厘米，∴透明圆柱的底面周长为2×6π=厘米≈36厘米，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，则A′B的长度即为它爬行最短路程，×36=18厘米，∴A′A=2AE=24厘米，AB=12∴A′B=√AB2+A′A2=√182+242=30(cm)，故答案为：30．【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．【答案】10【分析】将圆柱侧面展开，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，再由勾股定理求出．【详解】解：根据圆柱侧面展开图，cm，高为8cm，∵圆柱的底面半径为6π∴底面圆的周长为2×6×π=12cm，π×12=6cm，∴BC=8cm，AC=12由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，AB=√AC2+BC2=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．27．如图有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点（C点在一条棱上，距离顶点B 3cm处），需爬行的最短路程是cm．【答案】15【分析】首先把正方体展开，然后连接AC，利用勾股定理计算求解即可．【详解】解：如图，连接AC，由勾股定理得，AC=√92+(9+3)2=15，故答案为：15．【点睛】本题考查了正方体的展开图、勾股定理的应用，解题的关键在于明确爬行的最短路线．28．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．【答案】10【分析】将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′P的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，连接PA′，最短距离为PA′的长度，)2+(6−1.5+1.5)2=10(厘米)，PA′=√PE2+EA′2=√(162最短路程为PA ′=10厘米．故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．【答案】20【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS ，利用勾股定理即可求得AS 的长．【详解】解：如图，∵在圆柱的截面ABCD 中，AB =24π，BC =32，∴AB =12×24π×π=12，BS =12BC =16， ∴AS =√AB 2+BS 2=20，故答案为：20．【点睛】本题考查平面展开图−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．30．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm ，底面周长为16cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm ，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所走的最短路程为 cm ．（杯壁厚度不计）【答案】10【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知AB′的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB′，BB′=1cm,AE=9−4=5(cm)，由题意得：DE=12∴AD=AE+DE=6cm，∵底面周长为16cm，×16=8(cm)，∴B′D=12∴AB′=√AD2+B′D2=10cm，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB′=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．31．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=20m，宽AD=10m．中间竖有一堵砖墙高MN=2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是．【答案】s≥26m【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围．【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加4m，原图长度增加4m，则AB=20+4=24m，连接AC，∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，∴AC=√AB2+BC2=√242+102=26m，∴蚂蚱从A点爬到C点，它要走的路程s≥26m．故答案为：s≥26m．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2=22+1.52=6.25，∴AC=2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开−最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【类型五旗杆高度问题】【答案】6m【分析】设AD=x，在△ABC中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：∵BF=2m，∴CE=2m，∵DE=1m，∴CD=CE−DE=1m，设AD=x，则AB=x，AC=AD−CD=x−1，由题意可得：BC⊥AE，在△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(x−1)2+32=x2，解得：x=5，即AD=5，∴旗杆AE的高度为：AD+DE=5+1=6m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．34．荡秋千是深受人们喜爱的娱乐项目，如图，小丽发现，秋千静止时踏板离地面的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送至点B，测得秋千的踏板离地面的垂直高度BF=1.1m，此时水平距离BC=EF=1.8m，秋千的绳索始终拉的很直，求绳索AD的长度．【答案】3m【分析】设绳索AD的长度为xm=(x−0.6)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：设秋千的绳索AD长为xm，则AB为xm，∵四边形BCEF是矩形，∴BF=CE=1.1m，∵DE=0.5m，∴CD=0.6m则AC为(x−0.6)m在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即：(x−0.6)2+1.82=x2解得：x=3∴绳索AD的长度为3m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．35．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m=1米，n=5米，求旗杆AB的长．【答案】12米【分析】设旗杆的高为x米，在Rt△ABC中，推出x2+52=(x+1)2，可得x=12，由此解决问题.【详解】解：设AB=x米，因为∠ABC=90°，所以在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：x2+52=(x+1)2，解之，得：x=12，所以，AB的长为12米，答：旗杆AB的长为12米．【点睛】本题考查直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程.【答案】风筝的高度CE为61.68米．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．【详解】解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD=√CB2−BD2=√652−252=60(米)．∴CE=CD+DE=60+1.68=61.68(米)．答：风筝的高度CE为61.68米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．37．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．【答案】17米【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【详解】解：如图所示设旗杆高度为x m，则AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2(x−2)2+82=x2解得：x=17，答：旗杆的高度为17m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形．38．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．【答案】12.5米【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2，AE2= AF2+EF2，根据AC=AE，得出AB2+12=(AB−1)2+52，求出AB的长即可．【详解】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示：由题意可知：四边形BDEF是长方形，△ABC和△AEF是直角三角形，∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理可得：AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，即AC2=AB2+12，AE2=(AB−1)2+52，又∵AC=AE，∴AB2+12=(AB−1)2+52，解得：AB=12.5．答：学校旗杆的高度为12.5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于AB方程AB2+12= (AB−1)2+52．39．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】9米【分析】设AB=x，则AC=x+1，AE=x−1，再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x即得出答案．【详解】解：设AB=x依题意可知：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=x+1，AE=x−1，CE=6，根据勾股定理得：AC2=AE2+CE2，即：(x+1)2=(x−1)2+62，解得：x=9答：旗杆AB的高度是9米．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．结合题意，利用勾股定理列出含未知数的等式是解题关键．40．如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．【答案】12米【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为(x+1)米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52=(x+1)2，解得，x=12，答：旗杆的高度为12米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．【类型六航海问题】【答案】30海里/小时【分析】先根据题意结合方位角的描述求出∠ABC=90°以及AB、BC的长，再利用勾股定理求出AC的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，由题意得，∠HAB=90°−60°=30°，∠MBC=90°−∠EBC=60°，∵AH∥BM，∴∠ABM=∠BAH=30°，∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=90°，∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点C处追上走私船，∴BC=18×0.5=9海里，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12海里，BC=9海里，∴AC=√AB2+BC2=15海里，∴我军巡逻艇的航行速度是15=30海里/小时，0.5答：我军巡逻艇的航行速度是30海里/小时．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长是解题的关键．(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为处有一艘轮船准备沿直线向点多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信号【分析】（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN＝CM＝500海里，分别求得NH、MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；【详解】（1）由题意，得：∠NCA＝54°，∠SCB＝36°；。
勾股定理之折叠问题(人教版)(含答案)
勾股定理之折叠问题（人教版）一、单选题(共7道，每道12分)1.如图，矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为( )A. B.6C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用2.如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=4cm，BC=5cm，则EF=( )A.2cmB.cmC.cmD.3cm答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用3.如图，将边长为16cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F 处，折痕为MN，则线段CN的长是( )A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题4.如图，在矩形ABCD中，BC=4，DC=3，将该矩形沿对角线AC折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点E，则EF的长为( )A. B.C.1D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题5.把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图所示方式折叠，使顶点B与点D重合，折痕为EF．若AB=6cm，BC=10cm，求重叠部分△DEF的面积为( )．A. B.C.20D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题6.如图，将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN．若CE的长为8cm，则AM=_____cm，BN=_____cm．( )A.，1B.，C.，D.，1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题7.把Rt△OAB放置在平面直角坐标系中，边OA与x轴重合，边OB与y轴重合，若A(4，0)，B(0，3)，点C(0，n)是y轴正半轴上一点．把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x 轴上，则点C的坐标是( )A. B.C.(0，3)D.(0，4)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）二、填空题(共1道，每道13分)8.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则DE的长为____cm．答案：3解题思路：由勾股定理知AB=10；由折叠知AC=AE=6，CD=DE．所以BE=4，且在Rt△BDE中有DE+BD=BC=8．由可知DE=3．试题难度：知识点：勾股定理的应用。
勾股定理折叠问题
CB ADE一、折叠问题1、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？2、折叠矩形ABCD 的一边AD ，使D 落在BC 边上的F 处，得折痕AE ，若AB ＝8，BC=10， 求CE,CF,EF3、如图，将矩形ABCD 纸片沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在边BC 的F 处，已知3,CE cm =8AB cm =，求图中阴影部分的面积．4、如图，已知长方形ABCD 中AB =8 cm,BC =10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.5、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于________ 。
A CD F ／E图56、将矩形ABCD（A B﹤AD）沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8㎝，AB=4㎝，求三角形BED的面积。
7、如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为8、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长。
9、P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE为边长的正方形的面积.二、生活应用D ˊABCD A ˊ B ˊC ˊ1、将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h .彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm ）.2、八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面。
八年级数学翻折变换(折叠问题)参考答案与试题解析
八年级数学翻折变换(折叠问题)参考答案与试题解析work Information Technology Company.2020YEAR八年级数学翻折变换（折叠问题）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（）A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由折叠的性质得：BE＝DE，设DE长为xcm，则AE＝（9﹣x）cm，BE＝xcm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，即（9﹣x）2+32＝x2，解得：x＝5，即DE长为5cm，故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．2．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、BC上两点．将△ABC沿DE翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF：BF＝2：3．若BE＝16，则点F到BC边的距离是（）A．8B．12C．D．【分析】作EM⊥AB于M，由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出BM＝BE＝8，ME＝BM＝8，由折叠的性质得出FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，得出BF＝（16+x），求出FM＝BF﹣BM＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF＝21．作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，由直角三角形的性质得出BN＝BF＝，得出FN＝BN＝即可．【解答】解：作EM⊥AB于M，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB，∠B＝60°，∵EM⊥AB，∴∠BEM＝30°，∴BM＝BE＝8，ME＝BM＝8，由折叠的性质得：FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，∵AF：BF＝2：3，∴BF＝（16+x），∴FM＝BF﹣BM＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得：（8）2+（+x）2＝x2，解得：x＝19，或x＝﹣16（舍去），∴BF＝（16+19）＝21，作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，∴BN＝BF＝，∴FN＝BN＝，即点F到BC边的距离是，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．3．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB 边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF＝（）A．B．C．D．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH＝B′H＝AB′，求得AH＝B′H＝1，根据勾股定理得到BB′＝＝＝，由折叠的性质得到BF＝BB′＝，DE ⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵AB′＝AC＝，∴AH＝B′H＝1，∴BH＝3，∴BB′＝＝＝，∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，∴BF＝BB′＝，DE⊥BB′，∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，∵∠EBF＝∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴＝，∴＝，∴EF＝，故答案为：．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC沿AC翻折得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则△ABE的面积为（）A．B．C．3D．【分析】由折叠的性质可知∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．由等腰三角形的性质得出∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．求出∠ECD＝30°．由三角形的外角性质得出∠E＝75°﹣30°＝45°，过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，由直角三角形的性质得出CH＝AC＝1，AH＝CH＝．得出HD＝AD﹣AH＝2﹣．求出EH ＝CH＝1．得出DE＝EH﹣HD＝﹣1，AE＝AD+DE＝1+，由直角三角形的性质得出AM＝AB＝1，BM＝AM＝．由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：由折叠的性质可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．∴∠E＝75°﹣30°＝45°．过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，如图所示：在Rt△ACH中，CH＝AC＝1，AH＝CH＝．∴HD＝AD﹣AH＝2﹣．在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴EH＝CH＝1．∴DE＝EH﹣HD＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴AE＝AD+DE＝1+，∵BM⊥AE，∠BAE＝∠BAC+∠CAD＝60°，∴∠ABM＝30°，∴AM＝AB＝1，BM＝AM＝．∴△ABE的面积＝AE×BM＝×（1+）×＝；故选：B．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键．5．如图，点F是长方形ABCD中BC边上一点将△ABF沿AF折叠为△AEF，点E落在边CD上，若AB＝5，BC＝4，则BF的长为（）A．B．C．D．【分析】根据矩形的性质得到CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，根据折叠的性质得到AE＝AB＝5，EF＝BF，根据勾股定理得到DE＝＝＝3，求得CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵将△ABF沿AF折叠为△AEF，∴AE＝AB＝5，EF＝BF，∴DE＝＝＝3，∴CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，∵EF2＝CF2+CE2，∴x2＝（4﹣x）2+22，解得：x＝，故选：B．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的矩形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．如图，在矩形纸片ABCD中，CB＝12，CD＝5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A重合的点为N，折痕为DM，则△MNB的面积为（）A．B．C．D．26【分析】由勾股定理得出BD＝＝13，由折叠的性质可得ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，得出∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝1，设AM＝NM ＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出NM ＝AM＝，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝12，AB＝CD＝5，∴BD＝＝＝13，由折叠的性质可得：ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，∴∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝13﹣12＝1，设AM＝NM＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，NM2+BN2＝BM2，∴x2+12＝（5﹣x）2，解得：x＝，∴NM＝AM＝，∴△MNB的面积＝BN×NM＝×1×＝；故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理以及矩形的性质．熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．7．如图，在△ABC中∠ACB＝90°、∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形、将四边形ACBD折叠，使点D与点C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的是（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH 中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x＝a，即AH＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，AB＝AD，∵∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x＝a，即AH＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a﹣a＝a．∴sin∠ACH＝＝，故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形是解题的关键．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，连接AE、ED，将△ABE沿AE翻折，使点B落在B'处，线段EB'交AD于点F，将△ECD沿DE翻折，使点C的对应点C'落在线段EB'上，若点C'恰好为EB'的中点，则线段EF的长为（）A．B．C．D．【分析】由折叠的性质可得AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，由中点性质可得B'E＝2C'E，可得BC＝AD＝3EC，由勾股定理可求可求CE的长，由“AAS”可证△AB'F≌△DC'F，可得C'F＝B'F＝，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°由折叠的性质可得：AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，∵点C'恰好为EB'的中点，∴B'E＝2C'E，∴BE＝2CE，∴BC＝AD＝3EC，∵AE2＝AB2+BE2，DE2＝DC2+CE2，AD2＝AE2+DE2，∴1+4CE2+1+CE2＝9CE2，解得：CE＝，∴B'E＝BE＝，BC＝AD＝，C'E＝，∴B'C'＝，在△AB'F和△DC'F中，∴△AB'F≌△DC'F（AAS），∴C'F＝B'F＝，∴EF＝C'E+C'F＝，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出CE 的长是本题的关键．9．如图，▱ABCD中，AB＝6，∠B＝75°，将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，B′C交AD于E，∠B′AE＝45°，则点A到BC的距离为（）A．2B．3C．D．【分析】过B′作B′H⊥AD于H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝B′H＝AB′，根据折叠的性质得到AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，求得∠AEB′＝60°，解直角三角形得到HE＝B′H＝，B′E＝2，根据平行线的性质得到∠DAC＝∠ACB，推出AE＝CE，根据全等三角形的性质得到DE＝B′E＝2，求得AD＝AE+DE＝3+3，过A作AG⊥BC于G，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过B′作B′H⊥AD于H，∵∠B′AE＝45°，∴△AB′H是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，∴AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，∴∠AEB′＝60°，∴AH＝B′H＝×6＝3，∴HE＝B′H＝，B′E＝2，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE，∵∠AB′E＝∠B＝∠D，∠AEB′＝∠CED，∴△AB′E≌△CDE（AAS），∴DE＝B′E＝2，∴AD＝AE+DE＝3+3，∵∠AEB′＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝∠CAE＝30°，∴∠BAC＝75°，∴AC＝AD＝BC，∠ACB＝30°，过A作AG⊥BC于G，∴AG＝AC＝，故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．10．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，E是AB 的中点，连结CE并延长交AD于F，如图2，现将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的值为（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH 中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x＝a，即AH＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵∠BAD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，∴AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x＝a，即AH＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a﹣a＝a．∴sin∠ACH＝＝，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，注意：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．11．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．B．C．D．【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长．【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，故选：B．【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8B．4C．2+4D．3+2【分析】先证△BDG≌△ADE，得出AE＝BG＝1，再证△DGE与△EDF是等腰直角三角形，在直角△AEB中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．二．填空题（共7小题）13．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝2厘米，则△ABC的边BC的长为（6+4）厘米．【分析】根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，∴BE＝AE，AG＝GC，∵∠AGE＝30°，AE＝EG＝2厘米，∴AG＝6厘米，∴BE＝AE＝2厘米，GC＝AG＝6厘米，∴BC＝BE+EG+GC＝（6+4）厘米，故答案为：（6+4），【点评】此题考查翻折问题，关键是根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．【解答】解：由题意可得，DE＝DB＝CD＝AB，∴∠DEC＝∠DCE＝∠DCB，∵DE∥AC，∠DCE＝∠DCB，∠ACB＝90°，∴∠DEC＝∠ACE，∴∠DCE＝∠ACE＝∠DCB＝30°，∴∠ACD＝60°，∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝CD，∴AC＝DE，∵AC∥DE，AC＝CD，∴四边形ACDE是菱形，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，∠B＝30°，∴AC＝，∴AE＝．【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4，D为斜边AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△A′DE，A′E交BD于点F，若△DEF的面积是△ADE面积的一半，则CE＝2．【分析】根据等高的两个三角形的面积比等于边长比可得AD＝2DF，A'F＝EF，通过勾股定理可得AB的长度，可可求AD，DF，BF的长度，可得BF＝DF，可证BEDA'是平行四边形，可得BE＝A'D＝2，根据勾股定理可得CE的长度【解答】解：如图连接BE∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4∴AB＝4∵D是AB中点∴BD＝AD＝2∵折叠∴AD＝A'D＝2，S△ADE＝S△A'DE∵S△DEF＝S△ADE∴AD＝2DF，S△DEF＝S△A'DE∴DF＝，A'F＝EF∴BF＝DF＝，且A'F＝EF∴四边形BEDA'是平行四边形∴A'D＝BE＝∴根据勾股定理得：CE＝2故答案为2【点评】本题考查了折叠问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是用面积法解决问题．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，tan A＝，BC＝，点D是AB边上一点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折得△B1CD，DB1⊥AC且交于点E，则DE＝．【分析】作BF⊥AC于F，证明△B1EC≌△CFB（AAS），得出B1E＝CF＝1，设DE＝3a，则AD＝5a，得出BD＝B1D＝3a+1，得出方程，解方程即可．【解答】解：作BF⊥AC于F，如图所示：则∠AFB＝∠CFB＝90°，在Rt△ABF中，tan A＝＝，AB＝5，∴AF＝4，BF＝3，sin A＝＝，∴CF＝AC﹣AF＝1，由折叠的性质得：B1C＝BC＝，∠CB1E＝∠ABC，B1D＝BD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠CB1E＝∠BCF，∵DB1⊥AC，∴∠B1EC＝90°＝∠CFB，在△B1EC和△CBF中，，∴△B1EC≌△CFB（AAS），∴B1E＝CF＝1，设DE＝3a，则AD＝5a，∴BD＝B1D＝3a+1，∵AD+BD＝AB，∴3a+1+5a＝5，∴a＝，∴DE＝；故答案为：【点评】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及方程的解题思想，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形全等是解题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，把△ABC沿斜边AC折叠，使点B落在B’，点D，点E分别为BC和AB′上的点，连接DE交AC于点F，把四边形ABDE沿DE 折叠，使点B与点C重合，点A落在A′，连接AA′交B′C于点H，交DE于点G．若AB＝3，BC＝4，则GE的长为．【分析】设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，可得x2＝32+（4﹣x）2，解得x＝，由△CA′H∽△AGE，可得＝，由此即可解决问题．【解答】解：由题意四边形ABCA′是矩形，BD＝CD＝2，AG＝GA′＝2，∵BC∥AA′，∴∠BCA＝∠CAA′，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠HCA＝∠HAC，∴HC＝HA，设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，x2＝32+（4﹣x）2，∴x＝，∴A′H＝4﹣＝，由△CA′H∽△AGE，可得：＝，∴＝，∴EG＝．【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，AB′交CD于点E，连接B′D．若AB＝3，则B′D的长度为6．【分析】作CM⊥AB于M，由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，由平行四边形的性质得出AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，求出AD＝AC，AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，由等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠ADC＝30°，由直角三角形的性质得出CM＝，证出AD＝BC＝2CM＝3，再由勾股定理即可得出结果．【解答】解：作CM⊥AB于M，如图所示：由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，∠BAD＝∠BCD＝180°﹣∠B＝150°，∴∠B'AD＝150°﹣30°﹣30°＝90°，∵BC＝AC，∴AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，∴CM＝，∴AD＝BC＝2CM＝3，在Rt△AB'D中，由勾股定理得：B'D＝＝＝6；故答案为：6．【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，求出∠B'AD＝90°是解题关键．19．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，使点D恰好落在BC 边上的F点处．已知折痕AE＝10，且CE：CF＝4：3，那么该矩形的周长为96．【分析】由CE：CF＝4：3，可以假设CE＝4k，CF＝3k推出EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，利用相似三角形的性质求出BF，再在Rt△ADE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵CE：CF＝4：3，∴可以假设CE＝4k，CF＝3k∴EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，∵∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠CEF，∴△ABF∽△FCE，∴∴∴BF＝12k∴AD＝BC＝15k，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2+DE2，∴1000＝225k2+25k2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴矩形的周长＝48k＝96，故答案为：96【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．。
人教版八年级数学下册《利用勾股定理解决折叠问题的技巧》练习题(附带答案)
人教版八年级数学下册《利用勾股定理解决折叠问题的技巧》练习题(附带答案）类型一 利用勾股定理解决三角形的折叠问题1．如图 △ABC 中 ∠ACB ＝90° AC ＝8 BC ＝6 将△ADE 沿DE 翻折使点A 与点B 重合 则CE 的长为 ．思路引领：设CE ＝x 则AE ＝BE ＝8﹣x 在Rt △BCE 中 由勾股定理可得62+x 2＝（8﹣x ）2 即可解得答案．解：设CE ＝x 则AE ＝BE ＝8﹣x在Rt △BCE 中 BC 2+CE 2＝BE 2∴62+x 2＝（8﹣x ）2解得x =74故答案为：74． 总结提升：本题考查直角三角形中的折叠问题 解题的关键是掌握折叠的性质 熟练应用勾股定理列方程解决问题．2．（2021秋•介休市期中）如图所示 有一块直角三角形纸片 ∠C ＝90° AC ＝8cm BC ＝6cm 将斜边AB 翻折 使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处 折痕为AD 则CE 的长为 cm ．思路引领：根据勾股定理可将斜边AB 的长求出 根据折叠的性质知 AE ＝AB 已知AC 的长 可将CE 的长求出．解：在Rt △ABC 中∵∠C＝90°AC＝8cm BC＝6cm∴AB=√AC2+BC2=10cm根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10cm∵AC＝8cm∴CE＝AE﹣AC＝2cm即CE的长为2cm故答案为：2．总结提升：此题考查翻折问题将图形进行折叠后两个图形全等是解决折叠问题的突破口．3．（2020秋•金台区校级期末）如图在△ABC中∠ACB＝90°点E F在边AB上将边AC沿CE翻折使点A落在AB上的点D处再将边BC沿CF翻折使点B落在CD的延长线上的点B′处（1）求∠ECF的度数；（2）若CE＝4 B′F＝1 求线段BC的长和△ABC的面积．思路引领：（1）由折叠可得∠ACE＝∠DCE=12∠ACD∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB' 再根据∠ACB＝90°即可得出∠ECF＝45°；（2）在Rt△BCE中根据勾股定理可得BC=√41设AE＝x则AB＝x+5 根据勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2即x2+42＝（x+5）2﹣41 求得x=165得出AE的长和AB的长再由三角形面积公式即可得出S△ABC．解：（1）由折叠可得∠ACE＝∠DCE=12∠ACD∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB'又∵∠ACB＝90°∴∠ACD+∠BCB'＝90°∴∠ECD+∠FCD=12×90°＝45°即∠ECF＝45°；（2）由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°BF＝B'F＝1 ∴∠EFC＝45°＝∠ECF∴CE＝EF＝4∴BE＝4+1＝5在Rt△BCE中由勾股定理得：BC=√BE2+CE2=√52+42=√41设AE＝x则AB＝x+5∵Rt△ACE中AC2＝AE2+CE2Rt△ABC中AC2＝AB2﹣BC2∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2即x2+42＝（x+5）2﹣41解得：x=16 5∴AE=165AB＝AE+BE=165+5=415∴S△ABC=12AB×CE=12×415×4=825．总结提升：本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握折叠变换的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．4．（2022秋•安岳县期末）如图在△ABC中∠C＝90°把△ABC沿直线DE折叠使△ADE与△BDE 重合．（1）若∠A＝34°则∠CBD的度数为；（2）当AB＝m（m＞0）△ABC的面积为2m+4时△BCD的周长为（用含m的代数式表示）；（3）若AC＝8 BC＝6 求AD的长．思路引领：（1）根据折叠可得∠1＝∠A＝34°根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC＝56°进而得到∠CBD＝22°；（2）根据三角形ACB的面积可得12AC•BC＝2m+4 进而得到AC•BC＝4m+8 再在Rt△CAB中CA2+CB2＝BA2再把左边配成完全平方可得CA+CB的长进而得到△BCD的周长；（3）根据折叠可得AD＝DB设CD＝x则AD＝BD＝8﹣x再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62＝（8﹣x）2再解方程可得x的值进而得到AD的长．解：（1）∵把△ABC 沿直线DE 折叠 使△ADE 与△BDE 重合∴∠ABD ＝∠A ＝34°∵∠C ＝90°∴∠ABC ＝180°﹣90°﹣34°＝56°∴∠CBD ＝56°﹣34°＝22°故答案为：22°；（2）∵△ABC 的面积为2m +4∴12AC •BC ＝2m +4 ∴AC •BC ＝4m +8∵在Rt △CAB 中 CA 2+CB 2＝BA 2 AB ＝m∴CA 2+CB 2+2AC •BC ＝BA 2+2AC •BC∴（CA +BC ）2＝m 2+8m +16＝（m +4）2∴CA +CB ＝m +4∵AD ＝DB∴CD +DB +BC ＝m +4．即△BCD 的周长为m +4故答案为：m +4；（3）∵把△ABC 沿直线DE 折叠 使△ADE 与△BDE 重合∴AD ＝DB设CD ＝x 则AD ＝BD ＝8﹣x在Rt △CDB 中 CD 2+CB 2＝BD 2x 2+62＝（8﹣x ）2解得：x =74AD ＝8−74=254．总结提升：此题主要考查了图形的翻折变换 以及勾股定理 完全平方公式 关键是掌握勾股定理 以及折叠后哪些是对应角和对应线段．5．（2021秋•章丘区期中）（1）如图① Rt △ABC 的斜边AC 比直角边AB 长2cm 另一直角边BC 长为6cm 求AC 的长．（2）拓展：如图②在图①的△ABC的边AB上取一点D连接CD将△ABC沿CD翻折使点B的对称点E落在边AC上．①AE的长．②求DE的长．思路引领：（1）在Rt△ABC中由勾股定理可求AB的长即可求解；（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°DE＝DB EC＝BC＝6cm于是得到答案；②在Rt△ADE中由勾股定理可求DE的长．解：（1）设AB＝xcm则AC＝（x+2）cm∵AC2＝AB2+BC2∴（x+2）2＝x2+62解得x＝8∴AB＝8cm∴AC＝8+2＝10（cm）；（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°DE＝DB EC＝BC＝6cm∴∠AED＝90°AE＝AC﹣EC＝4（cm）；②设DE＝DB＝ycm则AD＝AB﹣BD＝（8﹣y）cm在Rt△ADE中AD2＝AE2+DE2∴（8﹣y）2＝42+y2解得：y＝3∴DE＝3（cm）．总结提升：本题考查了翻折变换折叠的性质勾股定理利用勾股定理列出方程是本题的关键．类型二利用勾股定理解决长方形的折叠问题6．（2022•纳溪区模拟）如图在矩形ABCD中AB＝5 AD＝3 点E为BC上一点把△CDE沿DE翻折 点C 恰好落在AB 边上的F 处 则CE 的长为 ．思路引领：利用勾股定理得出AF 的长度 再利用折叠的性质 在△BEF 中求解BE 的长 即可得出CE 的长度．解：在矩形ABCD 中 AB ＝5 AD ＝3 由折叠的性质可得：DF ＝DC ＝AB ＝5∴AF =√DF 2−AD 2=√52−32=4∴BF ＝AB ﹣AF ＝5﹣4＝1设CE ＝x 则：EF ＝CE ＝x BE ＝BC ﹣CE ＝3﹣x在Rt △BEF 中 由勾股定理可得：12+（3﹣x ）2＝x 2解得：x =53∴CE =53故答案为：53． 总结提升：本题考查了折叠的性质、矩形的性质和勾股定理等知识点 解题的关键是利用AF 求出BF 的长度．7．（2021•郯城县校级模拟）如图 在长方形ABCD 中 AB ＝3cm AD ＝9cm 将此长方形折叠 使点D 与点B 重合 折痕为EF 则△ABE 的面积为（ ）cm 2．A ．12B ．10C ．6D ．15思路引领：由长方形的性质得BAE ＝90° 再由折叠的性质得BE ＝ED 然后在Rt △ABE 中 由勾股定理得32+AE2＝（9﹣AE）2解得AE＝4（cm）即可求解．解：∵四边形ABCD是长方形∴∠BAE＝90°∵将此长方形折叠使点B与点D重合∴BE＝ED∵AD＝9＝AE+DE＝AE+BE∴BE＝9﹣AE在Rt△ABE中由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2∴32+AE2＝（9﹣AE）2解得：AE＝4（cm）∴S△ABE=12AB•AE=12×3×4＝6（cm2）故选：C．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．8．（2020春•余干县校级期末）如图把长方形纸片ABCD沿EF折叠使点B落在边AD上的点B'处点A落在点A'处．（1）试说明B'E＝BF；（2）设AE＝a AB＝b BF＝c试猜想a b c之间的关系并说明理由．思路引领：（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形△A'B'E中由勾股定理可得a b c之间的关系．（1）证明：由折叠的性质得：B'F＝BF∠B'FE＝∠BFE在长方形纸片ABCD中AD∥BC∴∠B'EF＝∠BFE∴∠B'FE＝∠B'EF∴B'F＝B'E∴B'E＝BF．（2）解：a b c之间的关系是a2+b2＝c2．理由如下：由（1）知B'E＝BF＝c由折叠的性质得：∠A'＝∠A＝90°A'E＝AE＝a A'B'＝AB＝b．在△A'B'E中∵∠A'＝90°∴A'E2+A'B'2＝B'E2∴a2+b2＝c2．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．9．（2020秋•罗湖区校级期末）如图把一张长方形纸片ABCD折叠起来使其对角顶点A与C重合D 与G重合若长方形的长BC为8 宽AB为4 求：（1）DE的长；（2）求阴影部分△GED的面积．思路引领：（1）设DE＝EG＝x则AE＝8﹣x在Rt△AEG中根据AG2+EG2＝AE2构建方程即可解决问题；（2）过G点作GM⊥AD于M根据三角形面积不变性AG×GE＝AE×GM求出GM的长根据三角形面积公式计算即可．解：（1）设DE＝EG＝x则AE＝8﹣x在Rt△AEG中AG2+EG2＝AE2∴16+x2＝（8﹣x）2解得x＝3∴DE＝3．（2）过G 点作GM ⊥AD 于M则12•AG ×GE =12•AE ×GM AG ＝AB ＝4 AE ＝CF ＝5 GE ＝DE ＝3 ∴GM =125∴S △GED =12GM ×DE =185．总结提升：本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性 灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．类型三 利用勾股定理解决正方形的折叠问题10．（2019•黔东南州一模）如图 将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠 使点D 落在AB 边中点E 处 点C 落在点Q 处 折痕为FH 则线段AF 的长为（ ）A ．32B ．3C ．94D ．154思路引领：由正方形的性质和折叠的性质可得EF ＝DE AB ＝AD ＝6cm ∠A ＝90° 由勾股定理可求AF 的长．解：∵将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠 使点D 落在AB 边中点E 处∴EF ＝DE AB ＝AD ＝6cm ∠A ＝90°∵点E 是AB 的中点∴AE ＝BE ＝3cm在Rt △AEF 中 EF 2＝AF 2+AE 2∴（6﹣AF ）2＝AF 2+9∴AF=9 4故选：C．总结提升：本题考查了翻折变换正方形的性质勾股定理利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．11．如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠使点D落在BC边的中点E处点A落在点F处折痕为MN则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm思路引领：由折叠的性质可得DN＝NE由中点的性质可得EC＝4cm结合正方形的性质可得∠BCD＝90°；设CN的长度为xcm则EN＝DN＝（8﹣x）cm接下来在直角△CEN中运用勾股定理就可以求出CN的长度．解：∵四边形MNEF是由四边形ADMN折叠而成的∴DN＝NE．∵E是BC的中点且BC＝8cm∴EC＝4cm．∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD＝90°．设CN的长度为xcm则EN＝DN＝（8﹣x）cm由勾股定理NC2+EC2＝NE2得x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3．故选：A．总结提升：本题考查翻折变换的问题折叠问题其实质是轴对称对应线段相等对应角相等找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．第二部分专题提优训练1．（2022秋•慈溪市校级期中）在Rt△ABC中∠B＝90°AB＝4 BC＝8 D、E分别是边AC、BC上的点将△ABC沿着DE进行翻折点A和点C重合则EC＝．思路引领：设EC ＝x 在Rt △ABE 中 由勾股定理得42+（8﹣x ）2＝x 2 即可解得答案．解：设EC ＝x 则BE ＝8﹣x∵将△ABC 沿着DE 进行翻折 点A 和点C 重合∴AE ＝EC ＝x在Rt △ABE 中 AB 2+BE 2＝AE 242+（8﹣x ）2＝x 2解得x ＝5∴EC ＝5故答案为：5．总结提升：本题考查直角三角形中的翻折问题 解题的关键是掌握翻折的性质 能应用勾股定理列方程解决问题．2．（2021秋•靖江市期中）如图 在Rt △ABC 中 ∠C ＝90° D 是AB 的中点 AD ＝5 BC ＝8 E 是直线BC 上一动点 把△BDE 沿直线ED 翻折后 点B 落在点F 处 当FD ⊥BC 时 线段BE 的长为 ．思路引领：分点F 在BC 下方 点F 在BC 上方两种情况讨论 由勾股定理可BC ＝4 由平行线分线段成比例可得BD AD =BP BC =DP AC =12 求出FP 由勾股定理可求BE 的长． 解：若点F 在BC 下方时 DF 与BC 交于点P 如图1所示：∵D 是AB 的中点∴BD ＝AD ＝5∴AB ＝2AD ＝10∵∠C ＝90° BC ＝8∴AC =√AB 2−BC 2=√102−82=6∵点D 是AB 的中点∵FD ⊥BC ∠C ＝90°∴FD ∥AC∴BD AD =BP BC =DP AC =12 ∴BP ＝PC =12BC ＝4 DP =12AC ＝3∵△BDE 沿直线ED 翻折∴FD ＝BD ＝5 FE ＝BE∴FP ＝FD ﹣DP ＝5﹣3＝2在Rt △FPE 中 EF 2＝FP 2+PE 2∴BE 2＝22+（4﹣BE ）2解得：BE =52；若点F 在BC 上方时 FD 的延长线交BC 于点P 如图2所示：FP ＝DP +FD ＝3+5＝8在Rt △EFP 中 EF 2＝FP 2+EP 2∴BE 2＝64+（BE ﹣4）2解得：BE ＝10故答案为：52或10．总结提升：此题考查了折叠的性质、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识 熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．3．如图 在Rt △ABC 中 AC ＝6 BC ＝8 D 为BC 上一点 将Rt △ABC 沿AD 折磨 点C 恰好落在AB 边上的E 点 求BD 的长．思路引领：由勾股定理求出AB＝10 由折叠的性质得出CD＝DE∠C＝∠AED＝90°AE＝AC＝6 得出BE＝AB﹣AE＝4 ∠BED＝90°设CD＝ED＝x则BD＝8﹣x在Rt△BDE中由勾股定理得出方程解方程即可．解：∵Rt△ABC中AC＝6 BC＝8∴AB=√62+82=10由折叠的性质得：CD＝DE∠C＝∠AED＝90°AE＝AC＝6∴BE＝AB﹣AE＝4 ∠BED＝90°设CD＝ED＝x则BD＝8﹣x在Rt△BDE中由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2解得：x＝3∴BD＝8﹣3＝5．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．4．（2018秋•襄汾县校级月考）如图在Rt△ABC中∠C＝90°AC＝8 BC＝6 按图中所示方法将△BCD沿BD折叠使点C落在边AB上的点C'处求AD的长及四边形BCDC′的面积．思路引领：利用勾股定理列式求出AB根据翻折变换的性质可得BC′＝BC C′D＝CD然后求出AC′设AD＝x表示出C′D、AC′然后利用勾股定理列方程求解即可求出AD；然后根据三角形的面积公式计算即可求出四边形BCDC′的面积．解：∵∠C＝90°AC＝8 BC＝6∴AB=√AC2+BC2=10由翻折变换的性质得BC′＝BC＝6 C′D＝CD∴AC′＝AB﹣BC′＝10﹣6＝4设CD＝x则C′D＝x AD＝8﹣x在Rt△AC′D中由勾股定理得AC′2+C′D2＝AD2即42+x2＝（8﹣x）2解得x＝3即CD＝3∴AD＝8﹣x＝5；由折叠可知：S△BCD＝S△BC′D∴四边形BCDC′的面积＝2S△BCD＝2×12×CD•BC＝3×6＝18．总结提升：本题考查了翻折变换的性质勾股定理此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．5．（2021春•厦门期中）在矩形ABCD中AB＝3 BC＝4 E是AB上一个定点点F是BC上一个动点把矩形ABCD沿直线EF折叠点B的对应点B′落在矩形内部．若DB′的最小值为3 则AE＝53．思路引领：连接DE则DB′+EB′≥DE由EB′＝EB为定值故当D E B′三点共线时DB′最小利用勾股定理建立方程即可求解．解：如图1 连接DE由折叠性质可得：EB′＝EB∵DB′+EB′≥DE∴DB′≥DE﹣EB′＝DE﹣EB∵点E为定点∴EB为定值∴当D E B′三点共线时DB′最小且最小值为3∴DB′＝3如图2∵四边形ABCD 为矩形∴∠A ＝90° AD ＝BC ＝4设AE ＝x 则：EB ′＝EB ＝AB ﹣AE ＝3﹣x∴ED ＝EB ′+DB ′＝3﹣x +3＝6﹣x在Rt △AED 中 由勾股定理可得：x 2+42＝（6﹣x ）2解得：x =53∴AE =53故答案为：53． 总结提升：本题考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点 解题的关键是运用方程思想．6．（2021秋•城阳区校级月考）把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠 使顶点B 和点D 重合 折痕为EF ．若AB ＝3cm BC ＝5cm 则重叠部分△DEF 的面积是（ ）cm 2．A ．2B ．3.4C ．4D ．5.1思路引领：由矩形的性质得AD ＝BC ＝5cm CD ＝AB ＝3cm ∠A ＝90° 再由折叠的性质得A 'D ＝AB ＝3cm ∠A '＝∠A ＝90° AE '＝AE 设AE ＝xcm 则A ′E ＝xcm DE ＝（5﹣x ）cm 然后在Rt △A 'DE 中 由勾股定理得出方程 解方程 进而得出DE 的长 即可解决问题．解：∵四边形ABCD 是矩形 AB ＝3cm BC ＝5cm∴AD＝BC＝5cm CD＝AB＝3cm∠A＝90°由折叠的性质得：A'D＝AB＝3cm∠A'＝∠A＝90°AE'＝AE 设AE＝xcm则A′E＝xcm DE＝（5﹣x）cm在Rt△A'DE中由勾股定理得：A′E2+A′D2＝ED2即x2+32＝（5﹣x）2解得：x＝1.6∴DE＝5﹣1.6＝3.4（cm）∴△DEF的面积=12DE•CD=12×3.4×3＝5.1（cm2）故选：D．总结提升：此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．7．（2017秋•金牛区校级月考）如图在矩形ABCD中E是AD的中点将△ABE沿BE折叠后得到△GBE 延长BG交CD于点F结果发现F点恰好是DC的中点若BC＝2√6则AB的长为？思路引领：连接EF由折叠性质得AE＝EG∠A＝∠EGB＝90°BG＝AB则∠EGF＝90°易证EG＝DE由矩形的性质得AB＝CD∠C＝∠D＝90°推出∠EGF＝∠D＝90°由HL证得Rt△EGF≌Rt△EDF得出FG＝FD求得CF＝DF＝FG=12CD=12AB BF＝BG+FG=32AB由勾股定理得出BC2+CF2＝BF2即可得出结果．解：连接EF如图所示：由折叠性质得：AE＝EG∠A＝∠EGB＝90°BG＝AB ∴∠EGF＝90°∵点E是AD的中点∴AE＝DE∴EG＝DE∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD∠C＝∠D＝90°∴∠EGF ＝∠D ＝90°在Rt △EGF 与Rt △EDF 中 {EG =ED EF =EF∴Rt △EGF ≌Rt △EDF （HL ）∴FG ＝FD∵F 点恰好是DC 的中点∴CF ＝DF ＝FG =12CD =12AB∴BF ＝BG +FG ＝AB +12AB =32AB在Rt △BCF 中 BC 2+CF 2＝BF 2即：（2√6）2+（12AB ）2＝（32AB ）2 解得：AB ＝2√3．总结提升：本题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识 熟练掌握折叠的性质 证明三角形全等是解题的关键．8．（2018春•新抚区校级期中）如图 在矩形ABCD 中 已知AD ＝10 AB ＝8 将矩形ABCD 沿直线AE 折叠 顶点D 恰好落在BC 边上的F 处 求CE 的长．思路引领：先根据矩形的性质得AD ＝BC ＝10 AB ＝CD ＝8 再根据折叠的性质得AF ＝AD ＝10 EF ＝DE 在Rt △ABF 中 利用勾股定理计算出BF ＝6 则CF ＝BC ﹣BF ＝4 设CE ＝x 则DE ＝EF ＝8﹣x 然后在Rt △ECF 中根据勾股定理得到x 2+42＝（8﹣x ）2 再解方程即可得到CE 的长．解：∵四边形ABCD 为矩形∴AD ＝BC ＝10 AB ＝CD ＝8∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠 顶点D 恰好落在BC 边上的F 处∴AF＝AD＝10 EF＝DE在Rt△ABF中∵BF=√AF2−AB2=6∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4设CE＝x则DE＝EF＝8﹣x在Rt△ECF中∵CE2+FC2＝EF2∴x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3即CE＝3．总结提升：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换它属于轴对称折叠前后图形的形状和大小不变位置变化对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．9．（2018秋•通川区校级期中）将一张边长为2的正方形纸片ABCD对折设折痕为EF（如图（1））；再沿过点D的折痕将∠A翻折使得点A落在线段EF上的点H处（如图（2））折痕交AE于点G则EG 的长度是（）A．8﹣4√3B．4√3−6C．4﹣2√3D．2√3−3思路引领：由于正方形纸片ABCD的边长为2 所以将正方形ABCD对折后AF＝DF＝1 由折叠的性质得出AD＝DH＝2 AG＝GH在Rt△DFH中利用勾股定理可求出HF的长进而求出EH的长再设EG＝x在Rt△EGH中利用勾股定理即可求解．解：∵正方形纸片ABCD的边长为2∴将正方形ABCD对折后AE＝DF＝1∵△GDH是△GDA沿直线DG翻折而成∴AD＝DH＝2 AG＝GH在Rt△DFH中HF=√HD2−DF2=√22−12=√3∴EH＝2−√3在Rt△EGH中设EG＝x则GH＝AG＝1﹣x∴GH2＝EH2+EG2即（1﹣x）2＝（2−√3）2+x2解得x＝2√3−3．∴EG＝2√3−3．故选：D．总结提升：本题考查了正方形的性质折叠的性质勾股定理关键是学会用方程的思想方法解题．10．（2020秋•新都区校级月考）如图AD是△ABC的中线∠ADC＝45°把△ADC沿着直线AD对折点C落在点E的位置．如果BC＝6 那么以线段BE为边长的正方形的面积为（）A．6B．72C．12D．18思路引领：由题意易得BD＝CD＝DE＝3 再求出∠BDE＝90°然后根据勾股定理求出BE最后由正方形的面积进行求解即可．解：∵D是BC中点BC＝6∴BD＝CD＝3由折叠的性质得：CD＝DE＝3 ∠ADC＝∠ADE＝45°即∠CDE＝90°∴BD＝DE＝3 ∠BDE＝90°在Rt△BDE中由勾股定理得：BE=√BD2+DE2=√32+32=3√2∴以BE为边的正方形面积为：（3√2）2＝18故选：D．总结提升：本题考查了折叠的性质、勾股定理、正方形的面积计算等知识熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键．。
专题05 勾股定理与几何图形折叠问题(解析版)
专题05 勾股定理与几何图形折叠问题一、单选题1．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =6，BC =8，将△ABC 折叠，使点C 落在AB 边上的点E 处，AD 是折痕，则△BDE 的周长为( )A ．6B ．8C ．12D ．14【答案】C【分析】 利用勾股定理求出AB=10，利用翻折不变性可得AE=AC=6，推出BE=4即可解决问题．【解析】在Rt△ABC 中，△AC =6，BC =8，△C =90°，△AB ==10，由翻折的性质可知：AE =AC =6，CD =DE ，△BE =4，△△BDE 的周长=DE +BD +BE =CD +BD +E =BC +BE =8+4=12．故选：C ．【小结】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，有一张直角三角形纸片，90ACB ∠=︒，5cm AB =，3cm AC =，现将ABC ∆折叠，使边AC 与AB 重合，折痕为AE ，则CE 的长为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cm 2D ．5cm 2【答案】C【分析】 先根据勾股定理求出BC 的长度，再由折叠的性质可得CE=DE ，设CE x =，然后在Rt BDE 中利用勾股定理即可求出x 的值.【解析】△90ACB ∠=︒，5cm AB =，3cm AC =△4BC ===由折叠可知CE=DE,AC=AD ，90ADE ACE ∠=∠=︒设CE x =，则4,2,BE x BD AB AD =-=-=在Rt BDE 中△222DE BD BE +=△2222(4)x x +=- 解得32x =故选C【小结】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容及方程的思想是解题的关键.3．如图，将等腰直角三角形ABC （90ABC ∠=︒）沿EF 折叠，使点A 落在BC 边的中点1A 处，6BC =，那么线段AE 的长度为A．5B．4C．4. 25D．154【答案】D【分析】由折叠的性质可求得AE=A1E，可设AE=A1E=x，则BE=6-x，且A1B=3，在Rt△A1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案．【解析】由折叠的性质可得AE=A1E，△△ABC为等腰直角三角形，BC=6，△AB=6，△A1为BC的中点，△A1B=3，设AE=A1E=x，则BE=6-x，在Rt△A1BE中，由勾股定理可得32+（6-x）2=x2，解得x=154，故选：D．【小结】本题考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用．4．如图，矩形ABCD，AB=3，BC=4，点E是AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在BD上的点G处，则AE的长为（）A．2B．52C．32D．3【答案】C【分析】先用勾股定理求出BD，再由折叠得出BG=AB=3，从而求出DG=2，最后再用勾股定理求解即可．【解析】在Rt△ABD中，AB=3，AD=BC=4，△BD=5由折叠得，△BGE=△A=90°，BG=AB=3，EG=AE，△DG=BD-BG=2，DE=AD-AE=4-AE，在Rt△DEG中，EG2+DG2=DE2，△AE2+4=（4-AE）2，△AE=32．故选：C．【小结】本题考查翻折变换的性质，勾股定理，熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．5．如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使边AD与对角线BD重合，点A落在点A′处，折痕为DG，则AG的长为( )A．2B．1C．43D．32【答案】D【解析】【分析】由题得BD=√AB2+AD2=5，根据折叠的性质得出△ADG△△A′DG，继而得A′G=AG，A′D=AD，A′B=BD-A′G，再Rt△A′BG根据勾股定理构建等式求解即可.【解析】由题得BD=√AB2+AD2=5，根据折叠的性质得出：△ADG△△A′DG ，△A′G=AG ，A′D=AD=3，A′B=BD -A′G=5-3=2，BG=4-A′G在Rt△A′BG 中，BG 2=A′G 2+A′B 2可得：（4−A′G)2=A′G 2+22，解得A′G=32，则AG=32，故选：D ．【小结】本题主要考查折叠的性质，由已知能够注意到△ADG△△A′DG 是解决的关键．6．如图，在四边形ABCD 中，△A ＝△B ＝90°，△C ＝60°，BC ＝CD ＝8，将四边形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，则BE 的长为（ ）A ．1B ．2CD 【答案】A【分析】作DG△BC ，连接AE ，先根据Rt△CDG ，△DCG=60°，得出CG=4，利用勾股定理求出AB=BE=x ，则CE=8-x ，根据折叠得AE= CE=8-x ，再根据勾股定理在Rt△ABE 列出方程进行求解.【解析】作DG△BC ，连接AE ，在Rt△CDG ，△DCG=60°，得出CG=4，设BE=x ，则CE=8-x ，根据折叠得AE= CE=8-x ，在Rt△ABE 中，AE 2=AB 2+BE 2，即(8-x)22+x 2故选A.【小结】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.7．已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC＝10，设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据折叠的性质可得出BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，△AFE＝△B＝90°，进而可得出FC＝4，在Rt△CEF中，利用勾股定理可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，将其代入8﹣a中即可得出线段CE的长度．【解析】在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，△AC＝10．设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据翻折的性质可知，BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，△AFE＝△B＝90°，△FC＝4．在Rt△CEF中，EF＝a，CE＝8﹣a，CF＝4，△CE2＝EF2+CF2，即（8﹣a）2＝a2+42，解得：a＝3，故选C．【小结】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程，在Rt△CEF中，利用勾股定理找出关于a的一元二次方程是解题的关键．8．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点AB C'=，则AM的长是（）的对应点为A'，且3A．1B．1.5C．2D．2.5【答案】C【分析】连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．【解析】连接BM，MB′，设AM=x，在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，△MB=MB′，△AB2+AM2=BM2=B′M2=MD2+DB′2，即92+x2=(9-x)2+(9-3)2，解得x=2，即AM=2，【小结】本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．9．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（ ）A B C ．2 D 【答案】D【分析】 首先设AG ＝x ，由矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，可求得BD 的长，又由折叠的性质，可求得A′B 的长，然后由勾股定理可得方程：x 2+22＝（4-x ）2，解此方程即可求得AG 的长，继而求得答案．【解析】设AG ＝x ，△四边形ABCD 是矩形，△△A ＝90°，△AB ＝4，AD ＝3，△BD 5，由折叠的性质可得：A′D ＝AD ＝3，A′G ＝AG ＝x ，△DA′G ＝△A ＝90°，△△BA′G ＝90°，BG ＝AB -AG ＝4-x ，A′B ＝BD -A′D ＝5-3＝2，△在Rt△A′BG 中，A′G 2+A′B 2＝BG 2，△x 2+22＝（4-x ）2，解得：x ＝32， △AG ＝32，△在Rt△ADG 中，DG =【小结】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．10．如图，正方形ABCD 的边长为8，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ＝EC ，则线段CH 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】 根据折叠可得DH ＝EH ，在直角△CEH 中，设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝8﹣x ，根据BE ＝EC ，可得CE ＝4，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH 的长．【解析】设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝8﹣x ，△BC ＝8，△BE ＝EC ＝4，在Rt△ECH 中，EH 2＝EC 2+CH 2，△（8﹣x ）2＝42+x 2，解得：x ＝3，即CH ＝3．故选：A ．【小结】本题考查以正方形为背景的折叠问题，掌握正方形的性质，和折叠的轴对称性质，会利用中点求线段的长，会找问题所在的直角三角形，会利用勾股定理解决问题是关键．11．如图，把直角△ABC 沿AD 折叠后，使点B 落在AC 边上点E 处，若AB=6，AC=10，则CDE S =（ ）A ．15B ．12C ．9D ．6【答案】D【分析】 由勾股定理求出BC 的长，再由折叠性质求出EC 的长、证明△DEC 是直角三角形、CD+DE=BC=8，由勾股定理列出关于DE 的方程，求出DE 后，由面积公式求出CDE S ∆【解析】△△ABC 是直角三角形，AB=6，AC=10由勾股定理得：BC= 8，由折叠可知：AE=AB=6，DE=BD ，△AED=△B=90°，△EC=AC -AE=10-6=4，设BD=x ，则DE=x ，，CD=8-x ，在Rt△CDE 中，222EC DE CD +=，即2224(8)x x +=-，解得x=3，即DE=3，所以△CDE 的面积为：3422DE EC ⋅⨯==6． 故选：D△【小结】本题考查用勾股定理计算直角三角形边长．本题中Rt△CDE△△△△△△△△△△△△EC=4，和其它两边△△△△△△△△△DE+CD=8，此时列方程就很关键了．12．如图，将直角△ABC 沿AD 对折，使点C 落在AB 上的E 处，若AC=6，AB=10，则DB 的长度是（ ）A ．3B ．4C ．8D ．5【答案】D【分析】根据折叠对应边相等，找出对应边，再根据小直角三角形的三边关系即可求出．【解析】△直角△ABC 沿AD 对折，AC=6，AB=10△AE=AC=6，BE=4，DE=DC ，，△BED=△C=900在直角△DEB 中DE 2+BE 2=BD 2△42+（8-BD ）2=BD 2 解得BD=5故选D ．【小结】本题主要考察了勾股定理等知识点，准确找出对应边和找出新的直角三角形是解题关键．13．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，连接AE ，将ABE △沿AE 翻折，点B 的对应点是点B '，当点B '落在边AD 上时，8AE =，6BB '=，则边AB 的长是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．9【答案】A【分析】 由翻折可知，AE BB BF B F ''⊥=，，再根据平行四边形对边平行的性质，解得AB B B BE ''∠=∠，进而证明()BFE B FA ASA '≅，根据全等三角形对应边相等的性质，可解得AF EF =，结合已知条件及勾股定理，可解题．【解析】根据翻折的性质，可知AE BB BF B F ''⊥=，在平行四边形ABCD 中，//AB BE 'AB B B BE ''∴∠=∠AFB BFE '∠=∠()BFE B FA ASA '∴≅AF EF ∴=8AE =，6BB '=，43AF BF ∴==，，由勾股定理得5AB ==，故选：A ．【小结】本题考查翻折、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．14．如图，平行四边形纸片ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，将平行四边形纸片沿对角线BD 拆叠，使点C 落在平面上的点C '处，若45AOB ∠=︒，1AC =，则点A ，C '之间的距离是（ ）A ．1B C ．D 【答案】D【分析】 连接A C '，由折叠的性质，解得O C '的长，45AOB CO D D C O ∠=∠='=∠︒，根据三角形内角和180°，解得90AOC ∠'=︒，最后根据勾股定理解题即可．【解析】连接A C '，根据折叠的性质可知1122OC OC AO AC '==== 45AOB CO D D C O ∠=∠='=∠︒ 18090AOC AOB C OD ∴∠'=︒-∠-∠'=︒在t AO R C '中AC '= 故选：D ．【小结】本题考查折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．如图，长方形纸片ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 的长为（ ）A ．254B ．6C ．74D ．234【答案】A【分析】设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm ，利用矩形纸片ABCD 中，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，由勾股定理求AF 即可．【解析】设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm ，△矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，△DF=D′F ，在Rt△AD′F 中，△AF 2=AD′2+D′F 2，△x 2=62+（8-x ）2，解得：x=254， 故选：A ．【小结】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键．16．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上且与AE 重合，则CD 等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【答案】B【分析】 根据翻折的性质可知：AC ＝AE ＝6，CD ＝DE ，设CD ＝DE ＝x ，在RT△DEB 中利用勾股定理解决．【解析】在RT△ABC 中，△AC ＝6，BC ＝8，△AB =10，△ADE 是由△ACD 翻折，△AC ＝AE ＝6，EB ＝AB−AE ＝10−6＝4，设CD ＝DE ＝x ，在RT△DEB 中，△DE 2＋EB 2＝DB 2，△x 2＋42＝（8−x ）2△x ＝3，△CD＝3．故选：B．【小结】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．17．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．4cm2B．5cm2C．6cm2D．7cm2【答案】C【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解析】将此长方形折叠，使点B与点D重合，△BE=ED．△AD=9cm=AE+DE=AE+BE．△BE=9-AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．△△ABE的面积为3×4÷2=6．故选C．【小结】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．18．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC如图折叠，使点A和点B重合，则折痕DE 的长是（）A ．3B ．3.5C ．3.75D ．4【答案】C【分析】 由勾股定理求解AB ，由对折可得,5,AE BE BD AD ===设,BE x = 则,8,AE x CE x ==- 利用勾股定理求解x ，再利用勾股定理可得答案．【解析】90,6,8,C BC AC ∠=︒==10,AB ∴===由折叠可得：,5,AE BE BD AD ===设,BE x = 则,8,AE x CE x ==-()22286,x x ∴-+= 25,4x ∴=15 3.75,4DE ∴==== 故选C ．【小结】本题考查的是求一个数的算术平方根，轴对称的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 19．如图，在矩形ABCD 中，8BC =，6CD =，将ABE △沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则折痕BE 的长是（ ）A ．3B ．5C ．D ．【答案】D【分析】 由折叠性质，可知BEF BAE ≅，根据勾股定理，计算BD 的长，进而计算FD 的长，设EF AE x ==，再用勾股定理解得AE 的长，最终求BE 的长．【解析】在矩形ABCD 中，90BAD ∠=︒，由折叠可得BEF BAE ≅，EF BD AE EF AB BF ∴⊥==，，，在t R ABD 中，AB=CD=6,BC=AD=8，根据勾股定理得：BD=10，即FD=10-6=4，设EF AE x ==，则8ED x =-，根据勾股定理得：2224(8)x x +=-，解得：3x ，=BE ∴=故选：D ．【小结】本题考查折叠的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．20．如图，点F 是长方形ABCD 中BC 边上一点将△ABF 沿AF 折叠为△AEF ，点E 落在边CD 上，若AB ＝5，BC ＝4，则BF 的长为（ ）A ．73B ．52C ．136D ．56【答案】B【分析】根据矩形的性质可得CD=AB=5，AD=BC=4，△C=△D=90°，由折叠的性质可得AE=AB=5，BF=EF，利用勾股定理即可求出DE，从而求出CE，设BF=EF=x，利用勾股定理列出方程即可求出结论．【解析】△四边形ABCD为矩形，AB＝5，BC＝4，△CD=AB=5，AD=BC=4，△C=△D=90°由折叠的性质可得AE=AB=5，BF=EF在Rt ADE中，3=△CE=CD－DE=2设BF=EF=x，则CF=4－x在Rt CEF中，CF2＋CE2=EF2即（4－x）2＋22=x2解得x=5 2即BF=5 2故选B．【小结】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质和勾股定理是解决此题的关键．21．如图，ABC 中，△C=90°，AC=3，AB = 5，点D 是边BC 上一点，若沿将ACD翻折，点C刚好落在边上点E处，则BD等于（）A．2B．52C．3D．103【答案】B 【分析】根据勾股定理，求出BC 的长度，设 BD=x ，则DC= 4-x ，由折叠可知：DE= 4-x ，BE=2，在 Rt BDE 中，222BD =BE DE +，根据勾股定理即可求出x 的值，即BD 的长度．【解析】△△C= 90°，AC=3，AB=5∴BC= ，设BD=x ，则DC= 4-x ，由折叠可知：DE=DC=4-x ，AE=AC=3，△AED= △C=90°，△ BE= AB -AE = 2．在 Rt BDE 中，222BD =BE DE +，即：222x =2(4-x)+，解得：x=52， 即BD=52， 故选：B ．【小结】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，解题的关键在于写出直角三角形BDE 三边的关系式，即可求出答案．22．如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，若△1＝40°，则△AEF 的度数为（ ）A ．130°B ．120°C ．110°D ．100°【答案】C【分析】 如图，设B 的对应点为K ．由AD△BC ，推出△AEF+△BFE=180°，求出△BFE 即可解决问题．【解析】如图设B 的对应点为K ．△△BFE ＝△EFK ，△1＝40°，△△BFK ＝180°﹣40°＝140°，△△BFE ＝70°，△AD △BC ，△△AEF +△BFE ＝180°，△△AEF ＝110°，故选：C ．【小结】本题考查了矩形折叠的问题，掌握折叠的性质、矩形的性质、平行线的性质是解题的关键．23．在矩形纸片ABCD 中，6,10AB AD ==．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A '处，折痕为PQ ，当点A '在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在线段AB 、AD 边上移动，则点A '在BC 边上可移动的最大距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】 根据翻折的性质，△当P 与B 重合时，可得BA′与AP 的关系，根据线段的和差，可得A′C ，△当Q 与D 重合时，根据勾股定理，可得A′C ，根据线段的和差，可得答案．【解析】△当P 与B 重合时，BA′＝BA ＝6，CA′＝BC−BA′＝10−6＝4，△当Q 与D 重合时，由勾股定理，得CA′8，CA′最大是8，CA′最小是4，点A′在BC 边上可移动的最大距离为8−4＝4，故选：B ．【小结】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．24．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B F '的长为（ ）A ．45B ．35C ．23D ．34【答案】A【分析】根据折叠的性质可知AC=CD ，△A=△CDE ，CE△AB ，Rt△ABC 中根据勾股定理求得AB=5，再根据三角形的面积可求得B′F 的长．【解析】△Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，△AB ＝5，根据折叠的性质可知AC ＝CD ，△A ＝△CDE ，CE △AB ，△B ′D ＝BC ﹣CD ＝4﹣3＝1，△DCE +△B ′CF ＝△ACE +△BCF ，△△ACB ＝90°，△△ECF ＝45°，△△ECF 是等腰直角三角形，△EF ＝CE ，△EFC ＝45°，△△BFC ＝△B ′FC ＝135°，△△B ′FD ＝90°，△S △ABC ＝12AC •BC ＝12AB •CE ， △AC •BC ＝AB •CE ，△CE ＝125，△EF ＝125，ED ＝AE 95=， △DF ＝EF ﹣ED ＝35△B ′F 45=． 选：A ．【小结】此题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键．25．如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上．将AEF 沿EF 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点G 处．若45A ∠=︒，AB =5BE AE =，则AF 长度为（ ）A．152 B ．7 C ．6 D ．【答案】A【分析】过B 作BM△AD 于M ，作FH△BC 于H ，作EN△BC 于N ，交CB 延长线于N ，分别求出BN 、EN 、AM 、BM ，继而在Rt△GEN 中求出GN 的值，设FM=BH =x ，在Rt△GFH 中，由勾股定理列方程解出x ，即可得出结果．【解析】过B 作BM△AD 于M ，作FH△BC 于H ，作EN△BC 于N ，交CB 延长线于N ，如图1所示：则BM△BC ，BM=FH ，FM=BH ，由折叠的性质得：AE=GE= GF=AF ，△四边形ABCD 是平行四边形，△AD△BC ，△△EBN=△A=45°，△△ABM 和△BEN 是等腰直角三角形，△BN=EN=，AM=BM= ， △FH=6，在Rt△GEN 中，由勾股定理得：12+GN 2= 2，解得：GN=±7（负值舍去），△GN=7，设FM=BH =x ，则GH=7-1-x=6-x ，GF=AF=x+6，在Rt△GFH 中，由勾股定理得：62+（6-x ）2=（x+6）2， 解得：x=32， △AF=32+6=152； 故选：A ．【小结】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质．等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．26．如图，已知 Rt ABC 中，90,6,8C AC BC ∠︒＝＝＝，将它的锐角A 翻折，使得点A 落在边 BC 的中点D 处，折痕交 AC 边于点E ，交AB 边于点F ，则 DE 的值为（ ）A ．5B ．4C ．133D ．143【答案】C【分析】 由折叠可得△AEF△△DEF ，可知AE=DE ，由点 D 为边 BC 的中点，可求CD=118422CB =⨯=，设DE=x ，CE=6-x ，在Rt△CDE 中由勾股定理()22246x x +-=解方程即可．【解析】 △将它的锐角A 翻折，使得点A 落在边 BC 的中点 D 处，折痕交 AC 边于点E ，交AB 边于点F ， △△AEF△△DEF ，△AE=DE ，△点 D 为边 BC 的中点， △CD=118422CB =⨯=， 设DE=x ，CE=6-x ，在Rt△CDE 中由勾股定理，222CD CE DE +=即()22246x x +-=， 解得133x =． 故选择：C ．【小结】本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾股定理构造方程．27．如图，矩形纸片ABCD ，3AB =，5AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的E 处，折痕为PQ ，当点E 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点E 在BC 边上可移动的最大距离为（ ）A．1B．2C．4D．5【答案】B【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点E到达最左边，当点P与点B重合时，点E到达最右边，所以点E就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时EB的长度，然后两数相减就是最大距离．【解析】如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得ED=AD=5，在Rt△ECD中，ED2=EC2+CD2，即52=（5-EB）2+32，解得EB=1，如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得EB=AB=3，△3-1=2，△点E在BC边上可移动的最大距离为2．故选：B．【小结】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．28．如图，已知ABCD 是长方形纸片，3CD =，在CD 上存在一点E ，沿直线AE 将AED 折叠，D 恰好落在BC 边上的点F 处，且6AFB S =△，则AED 的面积是（ ）．A ．253B ．256 C ．43 D ．23 【答案】B 【分析】根据面积求出BF 、AF 、CF ，设DE 为x ，列方程求出即可．【解析】ABCD 是长方形纸片，△AB=CD=3，12AFB S AB BF =⋅△， △1632BF =⨯⋅， △BF=4，△AF=5=，△AF=AD=BC=5，CF=1，设DE 为x ，EF=DE=x ，EC=3-x ，x 2=(3-x)2+1，解得，x=53， △1152552236AED S AD ED ∆=⋅=⨯⨯=， 故选：B ．【小结】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．29．如图，点A是y正半轴上一点，点B是x负半轴上一点，3BC=，AB=，点C（在B的右边）在x轴上，且5点D是x轴上一动点，将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，已知CE的最小值为1，则点A的坐标是（）A．（0，2）B．（0，2.4）C．（0，2.5）D．（0，1.8）【答案】B【分析】由折叠的性质可求AC的长，由勾股定理可求OA的长．【解析】△将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，△AB＝AE=3，△EC≥AC-AE，△当点A，点E，点C共线时，EC有最小值，如图，△CE的最小值为1，△AC＝4，△AO2+OC2＝16，AO2+（5﹣OC）2＝9，△OC=3.2,OA＝2.4，△点A坐标为（0，2.4），故选：B．【小结】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程组是解决问题的关键．30．如图，在Rt△ABC中，△BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI ＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（）A．2B．52C．4D．6【答案】D【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝【解析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，△AB=，AC=，BC=，△△BAC＝90°，△AB2+AC2＝BC2，△2a2+2b2＝2c2，△a2+b2＝c2，△将等腰Rt△ADB 和等腰Rt△AFC 按如图方式叠放到等腰Rt△BEC ，△BG ＝GH ＝a ，△S 四边形GHCE ＝S 四边形GKJE +S 四边形KHCJ ＝9， △12（a +c ）（c ﹣a ）＝9， △c 2﹣a 2＝18，△b 2＝18，△b ＝△AC =＝6，故选：D ．【小结】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．31．如图，矩形ABCD 中，6,8AB BC ==．点E 、F 分别为边BC 、AD 上一点，连接EF ，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使得点A 落到边CD 上的点A '处，且2DA A C '='，则折痕EF 的长度为（ ）A ．B ．C D【答案】A【分析】 由2DA A C '='，6DC =，可求出DA '，A C '的长，再根据折叠和勾股定理可求出DF 和FA '，依据三角形相似可求出NC 、NA '，进而求出MF ，最后根据勾股定理求出EF ．【解析】如图，过点E 作EM AD ⊥，垂足为M ，2DA A C ''=，6DC =， 243DA DC '==，123A C DC '==，由折叠得，AF FA ='，6AB A B =''=， 设DF x =，则8FA FA x ='=-， 在Rt DFA ∆'中，由勾股定理得， 2224(8)x x +=-，解得3x =，即3DF =，835FA FA ∴='=-=，1809090NA C DA F ∠'+∠'=︒-︒=︒，90NA C A NC ∠'+∠'=︒， DA F A NC ∴∠'=∠'，90C D ∴∠=∠=︒，∴△A NC '∽△FA D '， ∴A C NC A N FD A D FA ''==''，即2345NC A N '==， 解得83NC =，103A N '=， 108633B N A B A N NC ∴'=''-'=-==， ∴△()A CN ENB AAS '≅∆'，103EN A N ∴='=， 108633EC EN NC MD ∴=+=+==， 633MF ∴=-=，在Rt EFM ∆中，EF == 故选：A ．【小结】 本题考查矩形的性质、折叠轴对称、相似三角形、全等三角形以及勾股定理等知识，掌握折叠的性质和直角三角形的边角关系是得出答案的前提，建立图形中线段之间的关系是解决问题的关键．32．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把△ACD 沿AD 翻折，得到△AD C '，D C '与AB 交于点E ，连结B C '，若BD ＝B C '＝2，AD ＝3，则点D 到A C '的距离( )AB C D 【答案】B【分析】连接CC '，交AD 于点M ，过点D 作DH AC '⊥于点H ，由翻折知，ADC ADC '∆≅∆，AD 垂直平分CC '，证BDC '∆为等边三角形，利用解直角三角形求出1DM =，C M '=2AM =，在Rt 'AC M ∆中，利用勾股定理求出AC '的长，在ADC '∆中利用面积法求出DH 的长．【解析】如图，连接CC '，交AD 于点M ，过点D 作DH AC '⊥于点H ，2BD BC ='=，D 是AC 边上的中点，2BD DC ==，由翻折知，ADC ADC '∆≅∆，AD 垂直平分CC '，2DC DC '∴==，AC AC '=，CM C M '=，2BD BC DC '∴='==，BDC '∴∆为等边三角形，60BDC BC D C BC '''∴∠=∠=∠=︒，DC DC '=，160302DCC DC C ''∴∠=∠=⨯︒=︒，在Rt △C DM '中，30DC C '∠=︒，2DC '=，1DM ∴=，C M '=312AM AD DM ∴=-=-=，在Rt 'AC M ∆中，AC ==' 1122ADC S AC DH AD CM ∆''==， ∴3=DH =， 故选：B ．【小结】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．二、填空题33．如图，AD 是ABC 的中线，45ADC ∠=︒，10BC =，把ABC 沿直线AD 折叠，点C 落在点C '处，那么BC '的长为________．【答案】【分析】由题意可得BD=CD=5，根据折叠的性质可得CD=C'D=5，△ADC=△ADC'=45°，根据勾股定理可求BC'的长．【解析】△AD 是ABC 的中线，10BC =，△BD=CD=5，△把ABC 沿直线AD 折叠，△CD=C'D ，△ADC=△ADC'=45°，△BD=C'D=5，△BDC'=90°，=故答案为：【小结】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．34．如图，在三角形纸片ABC 中，90,30,6C A AC ︒︒∠=∠==,折叠纸片，使点C 落在AB 边上的点D 处，折痕BE 与AC 交于点E ，则折痕BE 的长为_____________；【答案】4【分析】根据勾股定理求得BC =AB =△CBE=△ABE=12△ABC=30°，继而证得BE=AE ，在Rt△BCE 中，利用勾股定理列方程即可求得答案．【解析】在Rt△ABC 中，90,30,6C A AC ︒︒∠=∠==，设BC x =，则2AB x =，△222BC AC AB +=，即()22262x x +=，解得：x =△BC =AB =△折叠△ABC 纸片使点C 落在AB 边上的D 点处，△△CBE=△ABE ，在Rt△ABC 中，△A=30°，△△ABC=60°， △△CBE=△ABE=12△ABC=30°，△△ABE=△A=30°，△BE=AE ，在Rt△BCE 中，△C=90°，BC =6CE AC AE BE =-=-，△222BC CE BE +=，即(()2226BE BE +-=， 解得：4BE =．【小结】本题主要考查了勾股定理的应用，含30度的直角三角形的性质以及折叠的性质，利用勾股定理构建方程求线段的长是解题的关键．领会数形结合的思想的应用．35．如图，在长方形ABCD 中，AB =3cm ，AD =9cm ，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则ΔABE 的面积为________cm 2.【答案】6【解析】【分析】由折叠的性质可知AE 与BE 间的关系，根据勾股定理求出AE 长可得面积.【解析】由题意可知BE =ED .因为AD =AE +DE =AE +BE =9cm ，所以BE =(9−AE )cm.在RtΔABE 中，根据勾股定理可知，AB 2+AE 2=BE 2，所以32+AE 2=(9−AE )2，所以AE =4cm ，所以RtΔABE 的面积为12×AB ×AE =12×3×4=6（cm 2）. 故答案为：6【小结】本题考查了勾股定理，由折叠性质得出直角边与斜边的关系是解题的关键.36．如图，在Rt ABC ∆中，B 90∠=︒，AB 30=，BC 40=，将ABC ∆折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B'重合，AE 为折痕，则EB'=_________.【答案】15【分析】根据折叠的性质可设BE=EB′=x，EC=40﹣x，然后再利用勾股定理在Rt△ABC中求得AC，进而在Rt△B′EC 中求解x即可.【解析】根据折叠的性质可得BE=EB′，AB′=AB=30，设BE=EB′=x，则EC=40﹣x，△△B=90°，AB=30，BC=40，△在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=50，△B′C=50﹣30=20，在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+202=（40﹣x）2，解得x=15．故答案是15．【小结】勾股定理和翻折变换是本题的考点，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键.37．如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将其沿AC折叠，点D落在E处，CE与AB交于点F，且EF=FB，则重叠部分△ACF的面积是____________【答案】10【分析】因为BF=EF，所以可设EF=x，则在Rt△AFE中，根据勾股定理求x，进而求出即可．【解析】△EF=BF，△设EF =x ，则AF =8-x ，在Rt △AFE 中，（8-x ）2=x 2+42，解之得：x =3，△AF =AB -FB =8-3=5，1102AFC S AF BC ∴==△． 故答案为：10．【小结】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理的应用，利用已知设EF =x ，根据直角三角形AFE 中运用勾股定理求x 是解题的关键．38．如图，在三角形纸片ABC 中，△C ＝90°，AC ＝18，将△A 沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，折痕和AC 交于点E ，BC ＝12，则EC 的长为__________．【答案】5【分析】由翻折的性质可知BE =EA =18-EC ，最后在Rt △BCE 中由勾股定理求得EC 的长即可．【解析】△AC =18，△BE =AE =18-EC ，△可得()2221218EC EC +=-，解得：EC =5，故答案为：5．【小结】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用翻折的性质求得BE =EA =18-EC 是解题的关键． 39．如图，在菱形纸片ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 边的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，则GE =_______．【答案】2.8【分析】过点E 作EH AD ⊥于H ， 根据菱形的性质，得到//AB CD ，4AD BC CD AB ====，继而可证60A HDE ∠=∠=︒，再利用含30°角的直角三角形性质，解得12DH DE =，结合勾股定理解得HE 的长，根据折叠的性质，得到,AG GE AF EF ==，最后在Rt HGE 中利用勾股定理得222GE GH HE =+，据此整理解题即可．【解析】过点E 作EH AD ⊥于H ，ABCD 是菱形//AB CD ∴，4AD BC CD AB ====60A HDE ∴∠=∠=︒ E 是CD 中点2DE ∴=在Rt DHE △中，2DE =HE DH ⊥60HDE ∠=︒30HED ∴∠=︒1,DH HE ∴===折叠,AG GE AF EF ∴==在Rt HGE 中222GE GH HE =+22(41)3GE GE ∴=-++2.8GE ∴=故答案为：2.8．【小结】本题考查翻折变换、菱形的性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．40．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点E 、F 分别在AC 、BC 上，将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，则CF 的长为______．【答案】258【分析】 过点M 作MN BC ⊥于N ，则//MN AC ，可得MN 是Rt ABC △的中位线，利用三角形中位线定理可得MN=12AC=3，BN=CN=12BC=4，设CF=x ，则NF=4-x ，由折叠的性质可得MF=CF ，在Rt MNF △中，利用勾股定理即可求解．【解析】过点M 作MN BC ⊥于N ，△90ACB ∠=︒，MN BC ⊥，△//MN AC ，△M 是AB 的中点，△MN 是Rt ABC △的中位线， △MN=12AC=3，BN=CN=12BC=4， 设CF=x ，则NF=4-x ，△将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，△MF=CF=x ，在Rt MNF △中，222MN NF MF +=，△()22234x x +-=，解得258x =， △CF=258． 故答案为：258． 【小结】本题考查折叠的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握三角形的中位线定理，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．41．如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，6BC =，8AC =，点D 是AC 边上一点，将BCD △沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的E 点，那么DE 的长度是________．【答案】3【分析】先根据勾股定理得到AB=10，再根据折叠的性质得到DC=DE ，BC=BE=6，则AE=4，设DE=x ，在Rt△ADE 中利用勾股定理得（8-x ）2=x 2+42，解得方程即可．【解析】△△C=90°，BC=6，AC=8，△10AB ==△将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的E 点，△△BCD△△BED ，△△C=△BED=△AED=90°，DC=DE ，BC=BE=6，△AE=AB -BE=4，设DC=x ，则AD=8-x ，在Rt△ADE 中，AD 2=AE 2+ED 2，即（8-x ）2=x 2+42，解得x=3，△DE=3【小结】本题考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，利用折叠性质折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分是解题关键．42．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，按图中所示方法将BCD △沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C '处，则点D 到AB 的距离=________．【答案】3【分析】首先根据勾股定理求出AB 的长，然后利用折叠的性质求出AC ′的长，在△AC ′D 中，设DC ′=x ，则AD =8-x ，根据勾股定理求出x 的值即可．【解析】△△C =90°，AC =8，BC =6，△AB =10．根据折叠的性质，BC =BC ′，CD =DC ′，△C =△AC ′D =90°．△AC ′=10-6=4．在△AC ′D 中，设DC ′=x ，则AD =8-x ，根据勾股定理得（8-x ）2=x 2+42．解得x =3．△DC ′=CD =3，故答案为3．【小结】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．43．如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，对角线AC 、BD 相交于点O ，点P 为边AD 上一动点，连接OP ，以OP 为折痕，将AOP 折叠，点A 的对应点为点E ，线段PE 与OD 相交于点F ．若PDF 为直角三角形，则DP 的长__________．【答案】52或1 【分析】 先根据矩形的性质、折叠的性质可得90DAB ∠=︒,8AD =,10BD =,5OA OD OE ===，,EP AP E ADB =∠∠=∠，设DP x =，从而可得8EP x =-，再根据直角三角形的定义分90DFP ︒∠=和90DPF ︒∠=两种情况，然后分别利用相似三角形的判定与性质、勾股定理求解即可得．【解析】四边形ABCD 是矩形，6AB =，8BC =，90DAB ︒∴∠=，8AD BC ==，10BD =，152OA OD BD ===，。
专题05 勾股定理在折叠问题中的应用(解析版)
专题05 勾股定理在折叠问题中的应用折叠问题是中考的热点也是难点问题，通常与动点问题结合起来，这类问题的题设通常是将某个图形按一定的条件折叠，通过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理等知识进行解答。
此类问题立意新颖，充满着变化，要解决此类问题，除了能根据轴对称图形的性质作出要求的图形外，还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。
下面就从以下的题目中逐一进行论述.题1. 如图1-1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD=__________．图1-1【答案】5 2 .【解析】∵∠A=90°，AB=3，AC=4∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=5. 由折叠的性质知：AB=AB’=3，AD=A’D∴A’C=2设CD=x，则AD=A’D=4－x在Rt△A’DC中，由勾股定理得：CD2=A’C2+A’D2x2=4+(4－x)2解得：52 x .故答案为5 2 .题2. 如图2-1，△ABC是一张纸片，∠C=90°，AC=6，BC=8，现将其折叠．使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（）A．1.75 B．3 C．3.75 D．4图2-1【答案】C.【解析】∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10.由折叠的性质知：AD=BD=3，AE=BE=5.设CD=x，则BD=AD=8－x，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2=AC2+CD2(8－x)2=36+x2解得：x=1.75 .∴BD=6.25.在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=3.75.故答案为C.题3. 如图3-1，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B 落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．【答案】3或1.5.【解析】分两种情况讨论：ABCDEB'图3-2①当∠CEB ′=90°时，如图3-2所示.由折叠性质得：AB =AB ′，四边形ABE B ′是矩形. 所以四边形ABE B ′是正方形. 此时，BE =AB =3.ABC DEB'图3-3②当∠CB ′E =90°时，如图3-3所示.由折叠性质知，∠AB ′C =90°，所以∠AB ′C+∠CB ′E =180°. ∴点A 、B ′、C 共线在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC =5 由折叠得：AB = AB ′=3 所以B ′C =2设BE =x ，则B ′E =x ，EC =4－x在Rt △ABC 中，由勾股定理得：EC 2=B ′E 2+B ′C 2 即：（4-x ）2=x 2+22 解得：x =1.5.综上所述，BE 的值为3或1.5.【点睛】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论，并作出相应图形利用折叠的性质及勾股定理解题. 题4. 如图4-1，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°， E 为AB 上一点，分别以ED ，EC 为折痕将两个角（∠A ,∠B ）向内折起,点A ,B 恰好落在CD 边的点F 处.若AD =3，BC =5，则EF 的值是（ ）图4-1A.15B.215C.17D.217【答案】A.【解析】由折叠性质知：AE=EF，AD=DF，BE=EF，BC=CF∴CD=CF+FD=8，AE=BE=EF.∵∠AED=∠DEF，∠BEC=∠CEF∠AED+∠DEF+∠BEC+∠CEF=180°∴∠DEC=90°在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2同理得：DE2=AD2+AE2CD2=CE2+DE2∴CD2= BE2+BC2 +AD2+AE2即64=2EF2+9+25解得：EF=15.故答案为A.题5. 如图5-1，在长方形ABCD中，将∆DBC沿BD对折至∆DBC’位置，BC’与AD交于点E. （1）试说明：BE=DE；（2）如果AB=6，BC=8，求△EBD的面积.图5-1【答案】见解析.【解析】（1）证明：由折叠性质知：∠EBD =∠DBC ， ∵ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC ∴∠EDB =∠DBC ∴∠EBD =∠EDB ∴BE =DE .（2）解：设DE =BE =x ，则AE =8-x ， 在Rt △ABE 中，由勾股定理得：222BE AB AE =+即()22268x x =+- 解得：x =254. ∴△EBD 的面积为17524DE AB ⨯⨯=. 题6. 如图6-1所示，把长方形纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF . 若CD =6，求AF 的长度.F图6-1【答案】见解析.【解析】由折叠性质知：∠BAF =∠F AE ，AB =AE ∵E 是长方形ABCD 的边CD 的中点， ∴AE =CD =2DE ∴∠DAE =30° ∴∠BAF =∠F AE =30° 设BF =x ，则AF =2x在Rt △ABF 中，由勾股定理得：222AF AB BF =+即()22226x x =+ 解得：x=∴AF =2x=题7. 如图7-1，在矩形OABC 中，OA =5，AB =4，点D 为边AB 上一点,将△BCD 沿直线CD 折叠,使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系. 求点D 的坐标.【答案】见解析.【解析】由折叠性质可知：BD =DE , BC =CE =5 ∵OC =AB =4∴在Rt △OCE 中，由勾股定理得：3OE ==.∴AE =OA -OE =2.设AD =x ，则BD =DE =4-x , 在Rt △ADE 中，由勾股定理得：222AD AE DE +=()22224x x +=-解得：x =32. 因为D 点在第三象限，所以D 点坐标为352⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.题8. 如图8-1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，21BC =+，点M ，N 分别是边BC ，AB上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MBC ∆为直角三角形，则BM 的长为 ．21+ 1. 【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论.A (B')BCN图8-2①当∠CM B ′=90°时，如图8-2所示.由折叠知：∠BMN =∠B ′MB =45°，又因为∠B =45°，所以∠BNM =90°，∠MNB ′=90° 即∠BNM +∠MN B ′=180°，所以B 、N 、B ′三点共线，此时B ′与点A 重合. 所以，1212BM BC +==A BCN B'图8-3②当∠CB ′M =90°时，如图8-3所示.由折叠知∠B =∠B ′=45°，因为∠C =45°，可得∠B ′MC =45°，所以△B ′MC 是等腰直角三角形 设BM = B ′M =x ，B ′C =x ，则MC = 2x因为BC 2+1所以x +2x=2+1 解得：x =1，即BM =1.故答案为：212或1. 题9. 如图9-1，AD 是△ABC 的中线，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，若∠ADC =45°，BC =4. 求BC ’的长.图9-1【答案】见解析. 【解析】由折叠性质得： ∠ADC =∠ADC ’=45°，CD =C ’D ∴∠C ’DC =∠BDC ’=90° 如图9-2所示.CAA (C')BD图9-2△BDC ’为等腰直角三角形，BD =C ’D =2， 根据勾股定理，得BC ’ =22故BC ’的长为22题10. 已知，如图10-1长方形ABCD 中，AB =3cm ，AD =9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为AB CDEF图10-1【答案】6.【解析】由折叠性质得：DE=BE设AE=x，则BE=DE=9-x,在Rt△ABE中，由勾股定理得：222AB AE BE+=()22239x x+=-解得：x=4.所以三角形ABE的面积为：11346 22AB AE⨯⨯=⨯⨯=.故答案为6.题11. 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5. 如图11-1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为.图11-1【答案】2.【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度，二者之差即为所求.①当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，如图11-2所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'Q=AQ，所以以点Q为圆心，以AQ长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'QA的角平分线，与AB的交点即为点P.AD (Q )C B P A'5534图11-2由折叠性质可知，AD = A 'D =5，在Rt △A 'CD 中，由勾股定理得，2222''534A C A D CD =-=-=②当点P 与点B 重合时，点A '的位置处于最右端，如图11-3所示.AD CB (P )A'Q332图11-3确定点A '的位置方法：因为在折叠过程中，A 'P =AP ，所以以点P 为圆心，以AP 长为半径画弧，与BC 的交点即为点A '. 再作出∠A 'P A 的角平分线，与A D 的交点即为点Q . 由折叠性质可知，AB = A 'B =3，所以四边形AB A 'Q 为正方形. 所以A 'C =BC －A 'B =5－3=2.综上所述，点A 移动的最大距离为4－2=2. 故答案为：2.【点睛】此题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。
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动手折一折
折叠过程就是轴对称变
成用面一积张减直半角的三矩角形形吗形换? 痕,状说折两的痕明边纸就理的片是图由对,形。你称全能轴等，折。折叠
若用一张任意三角形形状的纸片,你还能 折叠成面积减半的矩形吗?
相信你,一定行
折叠问题中,求角度
如图，a是长方形纸带，将时纸，带往往沿可EF通折过叠动成手
图b， 如果∠GEF=20°，那折叠么，∠A或E将G图=形还14原0°。
C′
求能角重得平叠到分等部线腰分与三△平角B行形E线D的组面合积时,。 A E
D
B
C
在矩形的折叠问题中，求线段长时，常设未知数，找
到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方
程思想解决问题。
探究三 如图,矩形纸片ABCD中， AB=6cm,
把矩形ABCD折叠，使点C恰好落在AB边的 中点F处，折痕为DE，则AD的长为多少？
E D
C
图1
A(B)
长方形中的折叠
例2：如图2所示，将长方形纸片ABCD的一边 AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知 AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。
解：根据折叠可知，△AFE≌△ADE，
∴AF=AD=10cm，EF=ED，
AB=8 ，DC=DE＋EC ∴在Rt△ABF中
上的A′点，过A′作A′G∥AB交EF于H点，
交AD于G点。
y
（（2）1）请找你出自图己中提所出有一 B
A'
C
相个等问的题线，段自（己不解包决括。矩 形的对边）
E2
１
3
H(x,y)
A
G F Dx
探究五
如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=10cm，
点E、F仍在矩形ABCD的边AB 、AD上，仍将 △AEF沿EF折叠，使点A′在BC边上, 当折痕EF 移动时，点A′在BC边上也随之移动。则A′C 的范围为 4≤A′C≤8
（3）在折叠问题中，若直接解决较困难时，可将 图形还原，可让问题变得简单明了。有时还可采用 动手操作，通过折叠观察得出问题的答案。
谢谢大家！
课后作业
1、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在
BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么
∠DAE等于
y
AD
B
E
O
C
x
2、如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系 中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.在OA上取 一点E，将△EOC沿EC折叠，使O落在AB边上 的D点，求E点的坐标。
课后作业
3、 如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘
米，现将A、C重合，再将纸片折叠压平，
（1）找出图中的一对全等三角形，并证明；
（2）△AEF是何种形状的三角形？说明你的理由；
（3）求AE的长。
G
（4）试确定重叠部分△AEF的面积。 A
FD
B
C
E
谢谢！
图中∠1，∠2，∠3 A
有何关系？你能求
出它们的大小吗？
3
F
11 D
6 23
B
E
C
探究四
证明线段相等的方法有证
如图,矩形纸片ABCD中全四，等边，形A等，B=角 等6c对 量m,等 线A边 段D=， 的8c平 和m行 差，
点E、F是矩形ABCD的边等A。B 、AD上的两个
点，将△AEF沿EF折叠，使A点落在BC边
在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点 落在对角线BD上的点E处，此时折痕DF的长是 多少？
发挥你的想象力
❖ 长方形还可以怎样折叠，要求折叠 一次，给出两个已知条件，提出问题， 并解答问题。
E
A
E
DD
CA
D
F
B F
C
C
A
B
B
E FCΒιβλιοθήκη 课堂小结❖ 1、标已知； ❖ 2、找相等； ❖ 3、设未知，利用勾股定理，列方程； ❖ 4、解方程，得解。
分析：根据点E、F分别在 AB、AD上移动，可画出两 个极端位置时的图形。
6
4
(E)
6
F
8
E
10 6
(F)
10
我的感悟我的收获
(1)折叠过程实质上是一个轴对称变换，折痕就是 对称轴，变换前后两个图形全等。
（2）在矩形的折叠问题中，若有求边长问题，常设未 知数，找到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程， 利用方程思想解决问题。
=EF＋EC=8，A
D
B F A2 F A2 B12 0 8 2 6
FC=BC-BF=10-6=4
设EC=x ,则EF=DC－EC=(8－x)
在Rt△EFC中，根据勾股定理得
EC²=FC²=EF²
B
即x²＋4²=（8－x）²，x=3，
∴EC的长为3cm。
E
F
C
图2
探究二
如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
勾股定理解析折叠问题含详细的 答案
解题步骤
1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三 角形中，设适当的未知数x； 2、利用折叠，找全等。 3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示） 转化到同一直角三角形中表示出来。 4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
三角形中的折叠
例1：一张直角三角形的纸片，如图1所 示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合。若 ∠B=30°，AC= ，3 求DC的长。 B
A
E
DA
E 20°
D' A
E
D
B
FC B
20° G
F C' B
C
?C F
G
C´
图a
图b
图c
D
D´
如果再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的 度数是 120°
探究活动
如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
探究一：把矩形沿对角线BD折叠，点C
落在C′处。猜想重叠部分△BED是什么
三角形？说明你的理由.