11-12学年度量子力学试题BB

湖北文理学院2011—2012学年度下学期物理学系物理专业
《量子力学》期末考试试卷
课程类别：必修
适用专业： 09物理学 试卷编号：B
系 别 专业 学号 姓名
一、填空题（每空1分，共20分。

) 描述粒子运动的波函数为ψ(x,t)，则ψ(x,t)ψ(x,t)*表示 ，归一化条件 。

2、波函数必须满足的条件是单值、 、 。

3、若ˆ,FG GF ik
-=，则算符F 和G 之间满足测不准关系 。

4、表示力学量的算符是_____________算符，力学量算符的本征函数具
有 、完备性、 性，本征函数系构成希尔伯特空间的一组完备的基矢组，任一量子态被视为该空间的一个________。

；
5、定态薛定谔方程表示成_______________，它也是能量算符的本征方程。

6、力学量F ˆ由A 表象变换到B 表象的变换公式 ，态矢量从A 表象到B
表象的变换公式 。

7、自旋为2
的奇数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类
粒子称为 。

8、玻尔 索末菲理论应用于氢原子，只能求出谱线的频率，而不能求出谱线的 。

9、设粒子处于态2021103
1
21cY Y Y ++=
ψ，ψ为归一化波函数，lm Y 为球谐函数，
则系数c 的取值为 ，
的可能值为 。

10、完成对易关系：=]ˆ,[x p x ____,=]ˆ,ˆ[2x L L _______。

=]ˆˆ[,y x σσ_____。

11、处于独态的氦称为 。

二、选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个或几个正确答案，
并将其代号写在题干前面的括号内，答案选错或未选全者，该题不得分。

每小题2分，共6分。

)
1、 根据德布罗意假设： [ ] A 、 辐射不能量子化，但粒子具有波的特性。

B 、 粒子具有波的特性。

C 、 波长非常短的辐射有粒子性，但长波辐射却不然。

D 、 长波辐射绝不是量子化的。

E 、 波动可以量子化，但粒子绝不可能有波动性。

2、关于不确定度关系h x p x ≥∆∆ 有以下几种理解，哪种说法是正确的。

[ ] A 、粒子的动量不可能确定。

B 、粒子的坐标不可能确定。

C 、粒子的坐标和动量不可能同时确定。

D 、粒子的坐标和动量可以同时确定。

3、电子在库仑场中的运动时（不考虑自旋），电子的第n 个能级的简并度为: [ ]
A 、 n ,
B 、 2n ,
C 、2
n , D 、 2l+1 ,
三、判断题：（判断下列每个命题的对错，并在括号里填“√”或“×”，每小题2分，本题满分16分）
1、经典物理学不能用来解释微观体系的主要原因是因为粒子太小； （ ）
2、量子理论就是几个基本假设，其正确性只有通过实验事实来检验； （ ）
3、如果将电子视为一个小球，那么电子的自旋就是电子的自转，如果没有自转，电子的自旋也就消失了； （ ）
4、两个力学量算符同时具有确定值的充分必要条件是二者对易； （ ）
5、力学量本征函数可以是复函数，但是它的本征值一定是实数； （ ）
6、力学量算符在自身表象中是一对角矩阵，其对角元素就是这个算符的本征值；（ ）
7、测不准原理就是在任何情况下测量两个力学量都会产生误差； （ ） 8、Dirac 符号表述的量子力学是一种无表象、抽象的量子力学形式，实际的运算还是要回到具体的表象中； （ ）
四、简答题（回答要点，并简明扼要作解释。

每小题6分，共18分。

)
2、什么是束缚态？
3、请简述氢原子的几个量子数的含义和相互关系，并说明能级n E 对其波函数
()
,,nlm r ψθϕ是多少度简并？
五、计算题（要求写出主要计算步骤及结果, 第1小题15分，第2小题10分，第3小题5分，共40分。

)
1、设氢原子处于状态：()()()()()ϕθϕθϕθψ,2
3,21,,1,1211021--=
Y r R Y r R r ，试求： （1）氢原子角动量平方及角动量分量的可能取值；
（2）取值的几率分布； （3）这些力学量的平均值。

2、设一体系未受微扰作用时只有两个能级；01E 及02E ，现在受到微扰H
ˆ'的作用，微扰矩阵元为a H H ='='2112，b H H ='='2211；b a ,均为实数。

用微扰公式求能量至二级修正值。

3、利用泡利矩阵的对易和反对易关系证明i z y x =σσσ
ˆˆˆ
湖北文理学院2011—2012学年度下学期物理学系物理专业《量子力学》期末考试试卷
2007-2008 学年度下学期量子力学参考答案及评分标准
一、填空题（每空1分，共20分。

)
1、粒子在某时刻某位置附近单位体积内出现的几率 、 1),(2
=⎰τψd t x 2、有限性、连续性、
3、2
2
2
()()4
k F G ∆⋅∆≥
4、线性、厄米算符，正交、归一、矢量
5、H E ψψ=
6、'1F S FS -=、1b s a -=
7、费米子
8、强度
9、
6
1
、0, 10、 i , 0。

z i σ
ˆ2 11、正氦
二、选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个或几个正确答案，并将其代号写在题干
前面的括号内，答案选错或未选全者，该题不得分。

每小题2分，共6分。

) 1、B 2、C 3、C
三、判断题：（判断下列每个命题的对错，并在括号里填“√”或“×”，每小题2分，本题满分16分）
1、×，
2、√，
3、×，
4、√，
5、√，
6、√，
7、×，
8、√
四、简答题（回答要点，并简明扼要作解释。

每小题6分，共18分。

) 1、（1）微观体系的运动状态由相应的归一化波函数描述。

（2）微观体系的运动状态波函数随时间变化的规律遵从薛定谔方程。

（3）力学量由相应的线性算符表示。

（4）力学量算符之间有想确定的对易关系，称为量子条件；坐标算符的三个直角坐标系分量与动量算符的三个直角坐标系分量之间的对易关系称为基本量子条件；力学量算符由其相应的量子条件确定。

（5）全同的多粒子体系的波函数对于任意一对粒子交换而言具有对称性：玻色子系的波函数是对称的，费米子系的波函数是反对称的。

2、通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。

3、 ,2,1=n 主量子数， （1分）
l 是角量子数，对确定的n ，l 取n 个值，1,,2,1,0-=n l ， （2分） m 是磁量子数，对确定的l ，m 取12+l 个值，l m ±±±=,,2,1,0 （2分） 简并度：
2
1
12n
l n l =+∑-=
五、计算题（要求写出主要计算步骤及结果, 第1小题15分，第2小题10分，第3小题
5分，共40分。

)
1、（1）1=l ，角动量平方()222111 =+⨯，1.0-=m 角动量分量取值 -,0；
（4分）
（2）角动量平方取值的几率分布是4
3
,41；角动量分量取值 -,0几率分布分
别是4
3
,41； （5分）
（3）22222243
241 =⨯+⨯=L （3分）
() 4
3
43041-=-⨯+⨯=z L （3分）
2、
02E ______________________
01E ______________________
(２分)
()b H E ='=11101，()
b H E ='=22102 (4分) ()
01
020********E E a
E E H E -=
-'=∑
(２分) ()02
010********E E a
E E H E -=
-'=∑
(２分) 3、解：泡利矩阵的对易关系为：
⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-y z x x z x y z z y z x y y x i i i σσσσ
σσσσσσσσσσσˆ2ˆˆˆˆˆ2ˆˆˆˆˆ2ˆˆˆˆ )3()2()1( 泡利矩阵的反对易关系为：
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+0ˆˆˆˆ0ˆˆˆˆ0ˆˆˆˆz x x z y z z y x y y x σσσ
σσσσσσσσσ )6()5()4( （２分） 将（4）（5）（6）式代入（1）（2）（3）式得到：
⎪⎩⎪⎨⎧=-==-==-=y z x x z x y z z y z x y y x i i i σσσσ
σσσσσσσσσσσˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ )9()8()7( （２分） 以z σ
ˆ右乘（7）式两边，并利用1ˆ2=z σ，得到： i z y x =σσσ
ˆˆˆ （1分）。