量子力学期末考试试题和答案A
华中师范大学2014-量子力学A卷-参考答案
4r 2 2 r / a0 e 3 a0
r 4 r / a0 w21 (r ) R21 (r )r e 5 24a0 8r 6 w32 (r ) R32 (r )r 2 e 2r /3a0 7 81 15a0
2 2
概率密度 wnl (r ) 的极值由一阶偏导数为零得出，即
2 论依据是，在电偶极近似下跃迁概率 wn m rmn ( mn ) 。当 ( mn ) 0 时，若 2 2 rmn 0 ，导致跃迁概率为零，跃迁是禁戒的。允许的跃迁要满足 rmn 0 ，就得到选择
定则。 5. 分波法的基本思想。 答：对于中心力场，角动量是守恒量。应用角动量守恒，把受势场作用前后的定态按分波 展开，各分波在散射过程中可以分开来一个一个处理，势场对各分波的效应在于改变分波 的相位。
2. 处于定态的体系具有哪些性质。
答： （a）定态是能量有确定值的状态； （b）处于定态的系统，几率分布与时间无关，几率流密度 与时间无关； （c）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化。总之，定态是一种力学性 质稳定的状态。
3. 隧道效应。 答： 微观粒子能穿越比它的能量高的势垒的现象， 称为隧道效应。 它是微观粒子波动性的 体现。 4. 跃迁的选择定则及其理论依据。 答： 光照射原子时， 即使入射光中与玻尔频率对应的能量密度不为零， 跃迁也不一定发生。 还要求两能级的量子数满足 l l ' l 1, m m ' m 0, 1 ，这称为选择定则。其理
w10 (r ) 4 2 3 2re 2 r / a0 r 2e 2 r / a0 ( ) 0 r a0 a0 w21 (r ) 1 3 r / a0 1 4r e r 4 e r / a0 ( ) 0 5 r 24a0 a0 w32 (r ) 8 2 7 r 81 15a 0
《量子力学》期末考试试卷及答案12
2006-2007学年第1学期《量子力学》（A 卷）参考答案及评分标准一、简答题（每小题4分，共32分）1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
答：束缚态：粒子在一定范围内运动，∞→r 时，0→ψ。
能级分立。
非束缚态：粒子的运动范围没有限制，∞→r 时，ψ不趋于0。
能级连续分布。
2. ）（z L L ,2 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 解：()z L L ,2的共同本征函数是球谐函数),(ϕθlm Y 。
),(),(,),()1(),(22ϕθϕθϕθϕθlm lm z lm lm Y m Y L Y l l Y L =+=。
3. 给出如下对易关系： [][][][]?,?,?,?,====xyz xzyz L Lp L L y σσ 解： [][][][]zxyyz xxzyz i L i L Lpi p L xi L y σσσ2,,,,-=-===4. 完全描述电子运动的旋量波函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2/,()2/,(),(r r s r z ψψψ， 准确叙述 2)2/,(r ψ及 23)2/,(⎰-r r d ψ分别表示什么样的物理意义。
解：()22/,r ψ表示电子自旋向上（2 =z s ）、位置在r处的几率密度；()232/,⎰-r r d ψ表示电子自旋向下（2 -=z s ）的几率。
5. 二电子体系中，总自旋 21s s S += ，写出（z S S ,2）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。
解：（2,z S S ）的归一化本征态记为S SM χ，则 自旋单态为]00(1)(2)(1)(2)χαββα=- 自旋三重态为]111011(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)χααχαββαχββ-=⎧⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩6. 给出一维谐振子升、降算符a a 、+的对易关系式；粒子数算符N 与a a 、+的关系；哈密顿量H 用N 或a a 、+表示的式子；N （亦即H ）的归一化本征态。
理工大学物理工程学院电子科学与技术专业量子力学期末考试试卷及答案
、如果原子本身处于激发态，在没有外界光照时，也可能跃迁到某些较低能级而放出光来，（B）自发和受激吸收（C）光的吸收是可观测量，应为实数，表示力学量的算符必须是ˆx p μω+ˆx p μω-1=- （2）,a a a +⎡⎤⎣⎦,a a a a +++⎤=⎦（3）ˆH 、2题各15分，第3、,要求有具体计算步骤）的矩阵为： ⎤⎥理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸| 课程名称—量子力学—— （ A 卷） | 一、选择题（每题3分，共15分） 装 1.B 2.C 3. A 4.D 5.B | 二、填空题 (每空2分，共20分）1. 单值的，平方可积的2. 线性算符，厄米算符3. 平均值 几率分布4. 4 200ψ，211ψ，210ψ，211ψ-5. 平均场 积三、 证明题（共15分）证明：（1）[][]ˆˆˆˆ,,21111ˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,2222ˆˆˆˆ,,122a a x p x p i i i x x x p p x p pi i x p p x μωμωμωμωμωμωμωμωμωμω+⎡⎤⎫⎛⎫⎡⎤=-+⎥⎪ ⎪⎣⎦⎪ ⎪⎥⎭⎝⎭⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎤=+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-=- 其中利益[]ˆˆ,xp i = （6分） （2）[],,,a a a aa a a a a a +++⎡⎤⎡⎤=+=-⎣⎦⎣⎦ ,,,a a a a a a a a a a +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （4分）（3）可以求得：()ˆxa a +=+ ()ˆpa a +=-系统Hamilton 为()()()()22222ˆ1111ˆˆ2222211121222p H x a a a a a a aa a a a a μωωμωωω++++++⎡⎤=+=--++⎢⎥⎣⎦⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭（5分）四 计算题（第1、2题各15分，第3、4题各10分，要求有具体计算步骤）1、解:(1)一维无限深势阱的本征态波函数是()n n xx aπψ=（2分） 利用三角函数积化和、差，将()x ψ改写 ()2cos x xx a a ππψ=21cosx x a a ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦ 22sin 2sin cos x x x a a aπππ⎤=+⎥⎦3sin sin x x a a ππ⎤=+⎥⎦ 3x x a a ππ⎤=⎥⎦()()13x x ψψ=+⎤⎦ （4分）()x ψ是非本征态，它可以有二种本征态，部分处在()1xx aπψ=出现几率为12，能量为22122E ma π=部分处在()33x x a πψ=，出现几率为12，能量为223292E ma π= （2分） (2)处于这种状态下粒子的能量平均值22132115222E E E ma π=+= （3分）（3）粒子随时间变化的波函数为 ()222292223,sin 2n i i iE tt t ma ma nnx x x t C ee e a a ππππψψ---⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎪⎪⎭⎭∑ （4分） 2、解：（1）在z σ表象中，0110x σ⎛⎫=⎪⎝⎭ 00y i i σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1001z σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（3分）cos sin sin cos i x x y y z z i e n n n n eϕϕθθσσσσθθ-⎛⎫=++= ⎪-⎝⎭，其本征方程为cos sin cos sin 0sin cos sin cos i i i i a a a e e b b b ee ϕϕϕϕθθθλθλθθθθλ--⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 有非零解的条件为cos sin 01sin cos i i e eϕϕθλθλθθλ--=⇒=±-- （4分）当1λ=时，对应的本征态为()()1cos /2sin /2i e ϕθψθ-⎛⎫=⎪⎝⎭ 当1λ=-时，对应的本征态为()()2sin /2cos /2i e ϕθψθ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （2分） （2）在ˆz s本征态1/2χ下，n σ的可能测值为1± 故n σ的可能测值为1+的几率为()()()()22211/21cos /2,sin /2cos /20i e ϕψχθθθ⎛⎫== ⎪⎝⎭（3分）故n σ的可能测值为1-的几率为()()()()22221/21sin /2,cos /2sin /20i e ϕψχθθθ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（3分）3、解：微扰算符的的矩阵是'''111213'''212223'''31323300'000H H H b H H H H a H H H ba **⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （1） 根据无简并微扰论，一级能量修正量是： kk H从（1）中看出，对角位置的矩阵元全是零，因此一级修正量0)0(3)0(2)0(1===E E E （2分）又二级能量公式是： 2'(2)(0)(0)nkkn k nn kH E E E ≠=-∑（2分）所需的矩阵元'nk H 已经直接由式（1）表示出，毋需再加计算，因而有：2222'''12131(2)1(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)1121313n nnH H H b E EEEEE E E E ==+=----∑（2分） 2222'''21232(2)2(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)2312123n nnH H H a E E E E E E E E E ==+=----∑（2分） 22222'''32313(2)3(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)332313132n nnH H Hb a E EEEEE E E E E E ==+=+-----∑（2分） 4．解：（1）利用21ˆˆ2q H P A q c φμ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得系统的哈密顿量为 222222211ˆˆˆˆˆ221ˆˆˆ2x x y y zz x y z q q q q H P A q P A P A P A q y c c c c q P By P P q yc φεμμεμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（4分）（2）证明：2222221ˆˆˆˆˆˆ,,2111ˆˆˆˆˆˆˆ,,,,0222x x y z x x x y x z x x q H P P By P P q y P c q P By P P P P P q y P c εμεμμμ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦2222221ˆˆˆˆˆˆ,,2111ˆˆˆˆˆˆˆ,,,,0222z x y z z x z y z z z z q H P P By P P q y P c q P By P P P P P q y P c εμεμμμ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦ˆx P 的本征函数为()/x x ip x P x e ψπ=，本征值为x p -∞<<∞ ˆz P 的本征函数为()/z zip z P x e ψπ=，本征值为z p -∞<<∞ （4分） （3）选守恒量完全集为()ˆˆˆ,,x zH P P （2分）。
量子力学期末试题及答案
（11）
⎛−i⎞
1⎜ ⎟
ψ1
=
2
⎜ ⎜
⎝
2 ⎟;
i
⎟ ⎠
ψ2 =
⎛1⎞
1
⎜⎟ ⎜ 0 ⎟;
2
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
⎛i⎞
1⎜ ⎟
ψ3
=
2
⎜ ⎜
⎝
2⎟
−
i
⎟ ⎠
（12）
Lˆ x 满足的本征方程为
相应的久期方程为 将其化为
ℏ 2
⎛ ⎜
⎜ ⎜⎝
0 1 0
1 0 1
0 ⎞ ⎛ c1 ⎞
⎛ c1 ⎞
1
⎟ ⎟
⎜ ⎜
c2
c1
⎞ ⎟
⎛ ⎜
c1
⎞ ⎟
0 − i⎟ ⎜ c2 ⎟ = λ ⎜ c2 ⎟
i
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
c3
⎟ ⎠
⎜ ⎝
c3
⎟ ⎠
iℏ
−λ −
0
2
iℏ
−λ
− iℏ = 0
2
2
0
iℏ
−λ
2
（8） （9）
λ3 − ℏ 2λ = 0
（10）
得到三个本征值分别为 λ1 = ℏ; λ 2 = 0; λ 3 = −ℏ
将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
Wˆ ψ 0
显然，求和号中不为零的矩阵元只有
ψ 0 Wˆ ψ 23
= ψ 23 Wˆ ψ 0
λ =−
2α 2
于是得到基态能量的二级修正为
E0(2)
=
E00
1 − E20
λ2 4α 4
λ2ℏ =−
8µ 2ω 3
2020年级-量子力学试卷及答案A
2020年学年第1学期考试试题及答案 （A ）卷课程名称 《 量子力学 》 任课教师签名 出题教师签名 审题教师签名 考试方式 （闭）卷 适用专业 考试时间 （120 ）分钟一、填空题（25分）1、（2分）Planck 的量子假说揭示了微观粒子的 特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的 性。
2、（6分）氢原子处于状态()()()()()φθφθφθψ,23,21,,1,1211021--=Y r R Y r R r 中，则氢原子的能量值为 ；角动量平方值为 ；角动量在Z 轴方向分量的平均值为 。
3、（3分）电子处于某能态的寿命为81.0010s -⨯，则该能态能量的最小不确定度E ∆为 。
4、（3分）已知在阱宽为a 的无限深势阱中运动的粒子，设阱内粒子处于()x x =ψ的状态，则在该态下，能量的测值为E 1的几率为 。
5、（3分）一一维自由粒子的初态为()x p i e x 00,η=ψ，则(),x t ψ＝ 。
6、(2分)微观体系的状态波函数ψ满足的薛定谔方程为 。
7、(2分)量子力学中两力学量能同时有确定值的条件是 。
8、(4分)设体系处于202111Y c Y c +=ψ状态(已归一化，即12221=+c c )，则z L 的可能测值及平均值分别为 和 。
二、简答题(10分)1、(5分)简述势垒贯穿效应，并举例说明其在实际中的应用。
2、(5分)简要说明波函数和它所描写的粒子之间的关系。
三、证明题(10分)1、(5分)证明：在定态中，几率流密度与时间无关。
2、(5分)证明： iz y 1+=ψ为角动量算符x L ˆ的本征值为η的本征态。
四、计算 (55分)1、(15分)粒子在一维势阱()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x a x U x x U 0000中运动(U 0>0)，求证粒子的束缚态能量由式()()E E U E U a tg +--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+0022ημ决定。
080910203量子力学I期末考题A谜底
对于氢原子来说，由哈密顿的表达式 Tˆ V Hˆ
两边取平均值，有
前式代入，得
即
三、计算题（本题共 3 小题，每小题 15 分，共 45 分）
1、已知在
sz
表象中，
(1) sx 的本征值和所属本征函数；
sx
2
0 1
T V En
T En
p'
i p'( x' x'')
| 10 1 [ (1) (2) (2) (1)] 2
自旋单重态一个: | 00 1 [ (1) (2) (2) (1)] 2
（后面两个写得正确，给 3 分） 二、证明题（本题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）
1、证明在定态下，任意不显含时间 t 力学量 A 的取值概率分布不随时间改变。
i p''x''
ak
的本征函数为
1
2
（3 分）
（2 分）
（2 分）
（2 分）
（2 分）
（2 分）
i px
e ，试证明
（2 分）
（2 分）
利用 函数的定义 (x x')
( p) x'x"
1
2
1 2
dp'e
i
1
2
i
i p'( x' x'')
p'|
E
|
E( p)
（2 分）
（3 分）
（2 分）
（3 分）
(2 分)
量子力学期末考试题库含答案22套
量子力学期末考试题库含答案22套量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。
（4分）4、证明)??(22x x p x x p i -是厄密算符（5分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x p之间的测不准关系。
（6分）二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A，且0=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A、B ?的矩阵表示； 2、在B 表象中算符A的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。
三、（15分）设氢原子在0=t 时处于状态),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021?θ?θ?θψ-+-=Y r R Y r R Y r R r ，求1、0=t 时氢原子的E 、2L和z L ?的取值几率和平均值；2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2L ?和z L ?的取值几率和平均值。
四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出+????? ??-=C C C H000000200030001? 这里，H H H'+=)0(，C 是一个常数，1<<="">五、（10分）令y x iS S S +=+，y x iS S S -=-，分别求+S 和-S 作用于z S 的本征态???? ??=+0121和=-1021的结果，并根据所得的结果说明+S 和-S 的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：)(Et r p i Ae -?=ρρηψ2、定态：定态是能量取确定值的状态。
(完整版)量子力学期末考试题及解答
一、 波函数及薛定谔方程1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;()(),,w r t J r t o t∂+∇•=∂解答：由波函数的概率波解释可知，当(),r t ψ已经归一化时，坐标的取值概率密度为()()()()2,,,,w r t r t r t r t ψψψ*== （1） 将上式的两端分别对时间t 求偏微商，得到()()()()(),,,,,w r t r t r t r t r t t t tψψψψ**∂∂∂=+∂∂∂ （2） 若位势为实数，即()()V r V r *=，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m h ψψψ∂=∇-∂ （3）()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m hψψψ***∂=-∇+∂ （4） 将上述两式代入（2）式，得到()()()()()22,,,,,2r t ih r t r t r t r t t mψψψψψ**∂⎡⎤=∇-∇⎣⎦∂ ()()()(),,,,2ihr t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇•∇-∇⎣⎦ （5） 若令()()()()(),,,,,2ih J r t r t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇-∇⎣⎦ （6） 有()(),,0w r t J r t t∂+∇•=∂ （7） 此即概率（粒子数）守恒的微分表达式。
2.若线性谐振子处于第一激发态()2211exp 2x C x α⎛⎫ψ=- ⎪⎝⎭求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数0α>。
解答：欲求取值概率必须先将波函数归一化，由波函数的归一化条件可知()()222221exp 1x dx Cx x dx ψα∞∞-∞-∞=-=⎰⎰（1）利用积分公示())2221121!!exp 2n n n n x x dx αα∞++--=⎰ （2） 可以得到归一化常数为C = （3）坐标的取值概率密度为 ()()()322221exp w x x x x ψα==- （4）由坐标概率密度取极值的条件())()3232222exp 0d w x x x x dx αα=--= （5） 知()w x 有五个极值点，它们分别是 10,,x α=±±∞（6）为了确定极大值，需要计算()w x 的二阶导数()()()232222322226222exp d w x x x x x x dx αααα⎤=----⎦)()32244222104exp x x x ααα=-+- （7）于是有()23200x d w x dx ==> 取极小值 （8）()220x d w x dx =±∞= 取极小值 （9）()23120x d w x dx α=±=< 取极大值 （10）最后得到坐标概率密度的最大值为2111w x x ψαα⎛⎫⎛⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（11）3.半壁无限高势垒的位势为()()()()000x v x x a v x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求粒子能量E 在00E v <<范围内的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2002级量子力学期末考试试题和答案A 卷一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。
（4分）4、证明)ˆˆ(22x x p x x p i -是厄密算符 （5分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x pˆ之间的测不准关系。
（6分）二、（15分）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符Aˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在B 表象中算符Aˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。
三、（15分）设氢原子在0=t 时处于状态),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021ϕθϕθϕθψ-+-=Y r R Y r R Y r R r ，求1、0=t 时氢原子的E 、2Lˆ和z L ˆ的取值几率和平均值； 2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2L ˆ和z L ˆ的取值几率和平均值。
四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C C C H 000000200030001ˆ 这里，H H H'+=ˆˆˆ)0(，C 是一个常数，1<<C ，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。
五、（10分）令yx iS S S +=+，yx iS S S -=-，分别求+S 和-S 作用于z S 的本征态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0121和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1021的结果，并根据所得的结果说明+S 和-S 的重要性是什么？一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：)(Et r p i Ae-⋅=ρρηψ2、定态：定态是能量取确定值的状态。
性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。
两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：[])()()()(2112212211q q q q A ϕϕϕϕφ-=。
4、)ˆˆ(22x x p x x p i -=x x x x x x p p x p i x p p i x p i ˆ2ˆ],ˆ[],ˆ[ˆ],ˆ[2η=+=，因为x p ˆ是厄密算符，所以)ˆˆ(22x x p x x p i -是厄密算符。
5、设Fˆ和G ˆ的对易关系k ˆi F ˆG ˆG ˆF ˆ=-，k 是一个算符或普通的数。
以F 、G 和k 依次表示Fˆ、G ˆ和k 在态ψ中的平均值，令 F F ˆF ˆ-=∆，G G ˆG ˆ-=∆， 则有4222k )G ˆ()F ˆ(≥⋅∆∆，这个关系式称为测不准关系。
坐标x 和动量x pˆ之间的测不准关系为：2ˆη≥∆⋅∆x px二、解1、由于1ˆ2=A，所以算符A ˆ的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ˆ的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ˆ的矩阵是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001)(ˆA A 设在A 表象中算符B ˆ的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211)(ˆb b b b A B ，利用0ˆˆˆˆ=+A B B A 得：02211==b b ；由于1ˆ2=B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b 10012212112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b ，21121b b =∴；由于B ˆ是厄密算符，B B ˆˆ=+，∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011212b b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*12*12b b *12121b b =∴令δi e b =12，其中δ为任意实常数，得Bˆ在A 表象中的矩阵表示式为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00)(ˆδδi i ee A B2、类似地，可求出在B 表象中算符A ˆ的矩阵表示为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-00)(ˆδδi i e e B A在B 表象中算符Aˆ的本征方程为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλβαδδ00i i e e ，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλαβδδi i e e⇒ ⎩⎨⎧=-=+--00λβαβλαδδi i e e α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即=---λλδδi i ee ⇒ 012=-λ 1±=∴λ对1=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+121δϕi Ae ，对1-=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-121δϕi A e 所以，在B 表象中算符Aˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121δi e 3、类似地，在A 表象中算符Bˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121δi e 从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符Bˆ在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121δδi i e e S三、解： 已知氢原子的本征解为：)3,2,1(12202Λ=-=n n a e E s n),()(),,(ϕθϕθφlm nl nlm Y r R r =，将)0,(r ψ向氢原子的本征态展开， 1、)0,(r ψ=∑nlmnlm nlmr c),,()0(ϕθφ，不为零的展开系数只有三个，即21)0(210=c ，21)0(310-=c ，21)0(121=-c ，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：54，于是归一化的展开系数为：515421)0(210==c ，525421)0(310-=-=c ， 525421)0(121==-c（1）能量的取值几率535251)0,(2=+=E W ，52)0,(3=E W ，平均值为：325253E E E += （2）2L ˆ取值几率只有：1)0,2(2=ηW ，平均值222ˆη=L （3）z L ˆ的取值几率为：535251)0,0(=+=ηW ，52)0,(=-ηW ，平均值η52ˆ-=z L2、0>t 时体系的波函数为：),(t r ψ=∑-nlmn nlm nlm t E ir c )ex p(),,()0(ηϕθφ)exp(),,()0()exp()],,()0(),,()0([33103102121121210210t E ir c t E i r c r c ηη-+-+=--ϕθφϕθφϕθφ)ex p(),,(52)ex p()],,(52),,(51[33102121210t E ir t E i r r ηη---+=-ϕθφϕθφϕθφ 由于E 、2Lˆ和z L ˆ皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与0=t 时的结果是一样的。
四、解：（1）H ˆ的本征值是方程0)ˆdet(=-I H λ的根)34)(2(200301022C C C C C -+---=----=λλλλλλ结果：2-=C λ，212C +±=λ，这是Hˆ的精确解。
（2）根据题意，体系能级的二级修正可写为：)2()1()0(n n n n E E E E ++=由题设可知：能量的一级修正为：011='H ，022='H ，C H ='33对于二级修正，有：2)2(103122)0(3)0(13113)0(2)0(12112)2(1C C E E H H E E H H E -=--+-=-''+-''= 2)2(301322)0(3)0(23223)0(1)0(21221)2(2C C E E H H E E H H E =--+-=-''+-''=0)0(2)0(32332)0(1)0(31331)2(3=-''+-''=E E H H E E H H E 所以，2121C E -=，2322C E +=，C E +-=23 将212C +±=λ展开：)211(21222Λ++±=+±=C C λ=⇒1λ2213C +，=2λ2211C -，)1(2<<C （3）对比可知，根据微扰公式求得的能量二级修正值，与精确求解的结果是吻合的。
五、解：021)2(212212121=-+-=+++=++ηηi i iS S S y x ，2121)2(212212121+=+-++=-+-=-+ηηηi i iS S S y x 2121)2(212212121-=---=+-+=+-ηηηi i iS S S y x021)2(212212121=+--+=---=--ηηi i iS S S y x所以+S 和-S 分别作用于z S 的本征态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0121和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1021的结果是 021=++S ，2121+=-+ηS ，2121-=+-ηS ，021=--S结果表明：称+S 为自旋升算符是合理的，因为它将z 方向的自旋从2η-增加到2η。
同样，称-S 为自旋降算符，因为它将z 方向的自旋从2η降到2η-。
+S 和-S 容许我们从z S 的一个本征态跳跃到另一个本征态，它们在自旋的计算中是非常有用的。