a小学数学奥赛5-1-3-3数阵图(三).教师版

1. 了解数阵图的种类

2. 学会一些解决数阵图的解题方法

3. 能够解决和数论相关的数阵图问题

知识点拨

、数阵图定义及分类：

1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.

2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐

射型数阵图和复合型数阵图.

3.

二、解题方法：

解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：

第一步：区分数阵图中的普通点（或方格）和关键点（或方格）；

第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．

例题精讲

数阵图与数论

例1】把0—9 这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8 题

数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有种可能的取值．

考点】数阵图与数论难度】 3 星题型】填空

解析】设顶点分别为A、B、C、D、E，有45+A+B+C+D+E=55，所以A+B+C+D+E=10，所以A、B、C、D、

E 分别只能是0-4 中的一个数字.则除之外的另外 5 个数（即边上的）为45-10=35. 设所形成的等差数

列的首项为a1，公差为 d.利用求和公式5（a1＋a1+4d）2=55，得a1+2d=11，故大于等于

0+1+5=6 ，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0.

答案】 2 种可能

例2】将1~ 9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．

解析】根据题意可知

1的两边只能是 3与7；2的两边只能是 6与9 ；3的两边只能是 1、5或 8；4的两边只 能

是 7与 9．可以先将 3— 1—7--写出来，接下来 7的后面只能是 4， 4的后面只能是 9，9 的后面只 能是 2， 2的后面只能是 6，可得： 3—1—7—4—9—2—6--，还剩下 5和 8两个数．由于 6 8 14是 7 的倍数，所以接下来应该是 5，这样可得： 3—1—7— 4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法 符合题意．

答案】 3—1—7—4—9—2— 6—5—8—3

例 3】 在下面 8个圆圈中分别填数字 l ，2，3，4，5，6，7，8（1已填出）．从 1开始顺时针走 1步进入下 一个

圆圈，这个圆圈中若填 n （n ≤8。） 则从这个圆 圈开始顺时针走 n 步进入另一个圆圈．依此下 去，

走 7 次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写

8．请给出两种填法．

考点】数阵图与数论 【难度】 4 星 【题型】填空 关键词】走美杯， 5 年级，决赛，第 12 题， 15分

解析】 按顺时针方向： 1,2，5,3，8，7,4，6或 1,5,2，4，8，6，7,3或1,6,2,3，8，5，7，4或 1,6，4，2，8，

7，5，3 （答对任一种给 6分，总得分不超过 12）由于无论如何填 8 都是最后一个填写，而填之前，已 经走过了 28步，因为 28÷8=3余4，即 8永远只能在最底下的圆圈里。顺推：试算，从 1到8顺序 填写发现可以，此时从 1 顺时针为 1、2、5、3、8、7、4、6；逆推： 8 前面的一个填有 2、 3、 5、6、 7共 5种可能。假设为 2，如上图，再往前一个数有 3、4、5、7共4种可能，设为 3，再前推一个 数可能是 4或 6，设为 4， ⋯依次类并排除错误的选择，可得 1、5、2、 4、 8、6、7、3。

答案】 1、 5、2、 4、 8、6、 7、 3。

例 4】 在圆的 5条直径的两端分别写着 1～10（如图） 。现在请你调整一部分数的位置， 但保留 1、10、5、

6 不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上） 。

关键词】走美杯，五年级，初赛，第 4 题 解析】 共 6 种

考点】数阵图与数论

难度】 4 星 考点】数阵图与数论 难度】 5 星 【题型】填空 题型】填空

答案】

考点】数阵图与数论 【难度】 4 星 【题型】填空 关键词】希望杯，六年级，二试，第 18 题，10 分

解析】 图中共有 4 个不同的数，每个数除以 3 的余数只可能有 0、1、2 三种，根据抽屉原理可知，这 4个 数

中必然至少存在一对同余的数，那么这两个数的差必然为 3 的倍数，故不存在这样的填法。

答案】不存在这样的填法

例 7】 如图 ABC 被分成四个小三角形，请在每个小三角形里各填入一个数，满足下面两个要求： （1）

任

例 5 】 图中是

入 7 个圆圈之

中． 填在菱形的

中心 F 依次分别个边长为 1 的正六边形，它被分成六个小三角形．将 相邻的两个小正三角形可以组成 6 个菱形， 、、、 、 、位置上（例如：

4、6、8、10、12、14、16 各一个填

把每个菱形的四个顶点上的数相加， g

A ）．已知 A 、

B 、

C 、

D 、

E 、 【难度】 5 星

初赛，第

12 题

先考虑菱形顶点的和为 3、 6的倍数， 7 个数被 3 除的余数分别为 1、0、

2、 中间数 g 8 或 14，同样分析 5 的倍数， 7 的倍数，得到具体的填法（如图）， 评注：采用余数分析法，找到关键数的填法。

考点】数阵图与数论 关键词】迎春杯，六年级， 解析】 1、 0、2、1，可以得到

a g d 4 8 10 320

答案】 320

在如图所示的圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数的差都不能被 样的填法存在吗 ?如存在，请给出一种填法；如不存在，请说明理由。

3 整除。请问这

2、3、 4、

5、