空间向量与立体几何导学案

第七章 空间向量与立体几何 导学案

一、 引

1、判断下列命题的真假．

(1)空间向量就是空间中的一条有向线段；(2)不相等的两个空间向量的模必不相等；

(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；(4)向量BA →与向量AB →

的长度相等．

(5)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →

＝0；

(6)对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →

(其中x 、y 、z ∈R)，

则P 、A 、B 、C 四点共面。

2、在正方体ABCD －A1B1C1D1中，E 、F 分别为棱BC ，A1B1的中点，设DA →＝a ，DC →＝b ，DD1→

＝c ，

请用a 、b 、c 表示向量B1E →，CF →

.

3、已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →

＝( )

A ．a ＋b －c

B ．c －a －b

C ．c ＋a －b

D ．c ＋a ＋b

4、在正方体A1B1C1D1－ABCD 中，E 是C1D1的中点，

则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值为( )

A ．－1010

B ．－120 C.120 D.1010 5、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(1,0,1)，b ＝(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是( ) A ．90° B ．30°

C ．45°

D ．60°

6、已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为( )

A ．45°

B ．135°

C ．45°或135°

D ．90°

二、 探

●课程标准

1．了解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘向量运算的性质，会运用上述知识熟练地进行空间向量的运算．

2．理解共线向量、直线的方向向量、共面向量，会用所学知识解决立体几何中有关的简单问题．

3．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质及运算律，会用它解决立体几何中的简单问题．

4．理解空间向量的正交分解及其坐标的表示，掌握空间向量的坐标运算及数量积的坐标表示，会判断两个向量平行或垂直；掌握两个向量的夹角公式和向量长度的坐标计算公式，并会用这些公式解决有关问题．

5．理解平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．

6．能用向量方法证明有关线、面位置关系，能够用向量方法解决线线、线面、面面的夹角及其长度问题．

7．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，在运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题中，体会向量方法在研究几何图形的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力．

●学法探究：作类比

1．空间向量概念、坐标表示及运算与平面向量类似，向量加法的平行四边形法则、三角形法则仍然成立． 共线向量定理、

数量积及其运算都是平面向量在空间的推广，空间向量基本定理，是由二维到三维的推广．

2．可类比用平面向量解决平面几何问题探究如何用空间向量解决立体几何问题．

(1)a ⊥b ，a ∥b ，是用向量研究立体几何中线线、线面、面面平行与垂直的基本工具，直线的方向向量、平面的法向量是关键．

(2)cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|

是计算空间各种角的基础，但应注意线线角、线面角、二面角的范围． ●请填空

1、空间向量的概念及表示

(1)与平面向量一样，我们把空间中具有 和 的量叫做空间向量，向量的 叫做向量的长度或模．

(2)与平面向量一样，空间向量也用 表示．起点是A ，终点是B 的向量a 也可以记作 .其模记作 .

(3) 的向量叫做零向量，记为0；模为 的向量叫做单位向量．

(4) 的向量称为相等向量．与向量a 的向量称为a 的相反向量，记为

2、空间向量的线性运算

空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样．

(1)加法满足平行四边形法则，加法和减法满足三角形法则，加法的交换律、结合律都成立．

(2)实数λ与向量a 的乘积λa 是一个向量，λ 0时，λa 与a 方向相同，λ 0时，λa 与a 方向相反，λ 0时，λa ＝ ，其方向是任意的，|λa |＝ .

设λ、μ是实数，则有

①分配律：λ(a ＋b )＝ ②结合律：λ(μa )＝ .

3、空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

①两向量的夹角

已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作 ，

其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2

，则称a 与b ，记作a ⊥b. ②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a ，b 则 叫做向量a ，b 的数量积，

(2)空间向量数量积的运算律

①结合律：(λa )·b ＝ ；②交换律：a·b ＝ ；③分配律：a·(b ＋c)＝

4．基本定理

(1)共线向量定理：空间任意两个向量a 、b(b≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使 .

(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b ，p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数x ，y 使p ＝xa ＋yb.

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c ，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使 .

5、坐标运算：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则（1）_________________a b +=，_________________a b -=，__________________a λ=，___________________a b ?=。

（2）平行垂直的条件：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =

//________________________a b ?， ________________________a b ⊥?．

（3）向量夹角与长度的坐标计算公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则||______________a a a =?=，||________________b b b =?=，

cos ______________________||||

a b a b a b ??==?．

三、 讲

例题1、如图，在四面体S-ABC 中，若SA ⊥BC ，SB ⊥AC ，试证SC ⊥AB.

例题2、20XX 年辽宁高考（理科）第18题.

如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=，

/,AB AC AA λ==点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。

(Ⅰ)证明：MN ∥平面//A ACC ;

(Ⅱ)若二面角/A MN C --为直二面角，求λ的值。

例题3、20XX 年辽宁高考（理科）第18题

如图，.AB PA C 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点

（I ）求证：PAC PBC ⊥平面平面；

（II ）2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值

例题4、20XX 年辽宁高考（理科）第19题.

如图，ABC ?和BCD ?所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0

120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.

例题5、20XX 年辽宁高考（理科）第19题

如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E = D 1F = 4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值。

四、 练

金版教程●高考总复习首选用卷 数学(理)

第113页考点测试46 空间向量以其运算

基础>经典全面扫描

第115页考点测试47 立体几何中的向量方法

基础>经典全面扫描

五、 小结与反思：

六、 作业

金版教程●高考总复习首选用卷 数学(理)

第113页考点测试46 空间向量以其运算

规范特训>3年高考题组

第115页考点测试47 立体几何中的向量方法

规范特训>3年高考题组 D

D C 1 A 1

E

F A B C B 1