初二数学下册二次根式
人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
数学八下二次根式
数学八下二次根式
1.定义：一般地，形如√a（a≥0）的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，在实数范围内，这样的二次根式是没有意义的。
2.最简二次根式：在二次根式的化简过程中，无论是计算还是得出最后的结果，二次
根式必须化为最简形式，即被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
3.二次根式的加减法：
•同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
•合并同类二次根式：将几个同类二次根式合并为一个二次根式。
•加减法则：在进行二次根式的加减运算时，首先需要将每个二次根式化为最简形式，然后找出被开方数相同的项进行合并。
4.二次根式的乘除法：
•乘法：当两个二次根式相乘时，将被开方数相乘，而根指数保持不变。
然后，将结果化为最简二次根式。
•除法：与乘法类似，当两个二次根式相除时，将被开方数相除，根指数保持不变，并将结果化为最简二次根式。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
八下二次根式知识点
八下二次根式知识点
八年级下册的数学课程中，二次根式是一个重要的知识点。
二次根式，也被称为平方根式，是一种特殊的代数式，其根指数是2，也就是说，被开方数的次数是2。
理解和掌握二次根式的相关知识，对于学生理解代数运算、培养逻辑思维和空间想象力具有重要意义。
首先，我们需要理解二次根式的定义。
二次根式是形如√a（a≥0）的代数式，其中a 是被开方数，根号表示开方运算。
被开方数a必须是非负数，这是因为在实数范围内，负数没有实数的平方根。
其次，我们需要掌握二次根式的性质。
二次根式有一些重要的性质，如非负性、对应性等。
非负性指的是，对于任何非负实数a，√a都是非负的。
对应性则是指，如果两个二次根式的被开方数相等，那么这两个二次根式也相等。
此外，我们还需要学习二次根式的运算。
二次根式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
在进行二次根式的运算时，我们需要遵循一些基本的运算法则，如先乘除后加减、括号内的运算优先等。
同时，我们还需要注意运算结果的化简，尽可能将结果化为最简二次根式。
最后，我们还需要了解二次根式在实际生活中的应用。
二次根式在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
通过学习二次根式，我们可以更好地理解这些领域中的一些实际问题，提高解决实际问题的能力。
总之，二次根式是八年级下册数学课程中的重要知识点。
通过学习和掌握二次根式的定义、性质、运算和应用，我们可以更好地理解代数运算的本质，提高数学素养和实际应用能力。
二次根式运算专题：八年级下册
二次根式运算专题：八年级下册1. 简介二次根式是数学中的一种基本表达形式，通常表示为√a，其中a是非负实数。
在八年级下册的数学课程中，我们将学习如何进行二次根式的运算，包括加减乘除以及指数幂的运算。
2. 二次根式的加减法2.1 同底数二次根式的加减法同底数二次根式的加减法运算规则如下：√a + √a = 2√a√a - √a = 02.2 不同底数二次根式的加减法不同底数二次根式的加减法运算规则如下：√a + √b = √(a + b) （a ≥ b）√a - √b = √(a - b) （a ≥ b）3. 二次根式的乘除法3.1 同底数二次根式的乘除法同底数二次根式的乘除法运算规则如下：√a * √a = √a^2 = a√a / √a = 13.2 不同底数二次根式的乘除法不同底数二次根式的乘除法运算规则如下：√a * √b = √(a * b)√a / √b = √(a / b)4. 二次根式的指数幂二次根式的指数幂运算规则如下：(√a)^n = √(a^n) （n为正整数）(√a)^(-n) = 1 / (√(a^n)) （n为正整数）5. 综合练习以下是一些八年级下册数学课程中关于二次根式运算的综合练习题：1. 计算：(√2 + √3) * (√2 - √3)2. 计算：√8 / √23. 计算：(√3)^44. 计算：√(16 * 9)6. 总结通过本专题的学习，我们了解了二次根式的加减法、乘除法以及指数幂的运算规则，并通过综合练习题进行了巩固。
希望同学们能够掌握这些运算方法，并在实际问题中灵活运用。
人教版八年级下册数学二次根式
人教版八年级下册数学二次根式二次根式是指形如$\sqrt{a}$的式子，其中$a\geq 0$。
最简二次根式是指被开方数的因数是整数且因式是整式（分母中不含根号），同时被开方数中含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
如果几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
二次根式有一些性质，比如$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（其中$a\geq 0$，$b\geq 0$），以及$\sqrt{a}=\sqrt{|a|}$（其中$a$为任意实数）。
分母有理化是指将分母中的根号化去，有理化因式则是指两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。
在解题时，需要掌握二次根式的计算和化简求值，以及二次根式的运算法则，包括加减乘除四则运算和分母有理化。
在选择题中，常考查最简二次根式、同类二次根式的概念，而在中等难度的解答题中，则常考查二次根式的计算和化简求值。
在计算或化简求值时，可以使用因式的外移和内移的方法，将被开方数中的因式移到根号外面或根号里面。
11.当$x=-2$时，代数式$5x^2-3x-1$的值是多少？1.计算：$(3-2)+\frac{1}{3}+4\cos30^\circ-|-12|$。
2.在进行二次根式化简时，有时会遇到如下式子：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，其实我们还可以将其进一步化简：begin{aligned} \frac{\sqrt{5}-1}{2} &= \frac{\sqrt{5}-1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} \\ &= \frac{5-1}{4} \\ &=\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \end{aligned}$$以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
还可以用以下方法化简：begin{aligned} \frac{3+1}{\sqrt{2^2\cdot 3^2}} &=\frac{3+1}{2\sqrt{3}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{2\sqrt{3}} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{6} \end{aligned}$$1) 请用不同的方法化简$\frac{2}{5+\sqrt{3}}$。
最新人教版八年级数学下册 二次根式知识点归纳及题型总结
最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。
2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。
4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。
5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。
6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A。
$-3$；B。
$x$；C。
$x^2+1$；D。
$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。
八年级下册数学第一章二次根式
第一节：概述1.1 介绍数学第一章的主题 - 二次根式 1.2 定义二次根式第二节：二次根式的运算2.1 开方2.2 含有根号的算术式的加减乘除2.3 对一元二次方程进行求根第三节：二次根式的化简3.1 提取因数3.2 合并同类项3.3 求解含有二次根式的方程第四节：一元二次方程的复根4.1 i的引入4.2 复数解的运算第五节：二次根式在几何中的应用5.1 定理的引入5.2 二次根式的计算第六节：二次根式的实际应用6.1 实际问题6.2 解题方法6.3 实际应用案例第七节：总结7.1 本章知识点总结7.2 学习方法和技巧的总结第八节：拓展8.1 相关知识的拓展8.2 学科交叉知识的拓展第一节：概述1.1 介绍数学第一章的主题 - 二次根式数学是一门关于数量、结构、空间和变化等概念的研究。
而二次根式作为数学课程中的一个重要内容，是数学在现实生活中的一种具体应用。
八年级下册的数学教材中，第一章就是关于二次根式的学习。
在这一章节中，我们将会学习到如何对含有二次根式的算式进行运算、如何对二次根式进行化简、以及二次根式在几何和实际生活中的应用等知识。
1.2 定义二次根式在数学中，二次根式指的是形如a√b的数学表达式，其中a和b都是实数，b为大于等于0的数，且a不等于0。
其中√b表示对b开平方的结果。
2√3和-5√8都是二次根式。
在这一章节中，我们将深入学习二次根式的运算规则，化简方法以及实际应用，全面掌握二次根式的相关知识。
第二节：二次根式的运算2.1 开方在学习二次根式的运算过程中，我们首先需要了解开方的概念。
开方是指找出一个数的平方根。
对于一个非负数a，如果存在另一个非负数b，使得b的平方等于a，则称b为a的平方根，记作√a。
在实际应用中，开方是一种常见的运算方法，我们将学习如何对含有根号的算式进行加减乘除等运算。
2.2 含有根号的算术式的加减乘除含有根号的算术式在运算过程中与普通的算术式有些许不同。
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一、知识要点：1）形式： 一般地，把式子)0(≥a a 叫做二次根式。
二次根式的根指数为2次。
2）意义：被开方数0≥a 时，a 才有意义，a a ,0<没有意义。
注意：a 是被开方数，是根号里面的所有内容，可以是单项式，也可以是多项式。
特别地，当a a -,均有意义时，0=a 。
即，一个式子中，有2个被开方数互为相反数时，则这两个被开方数均为0。
思考：设：n m ,都是实数，且满足369922-+-+-=n n n m 。
求：n m ⋅的值注意：a a ,0≥是个非负数特别地，()2,""，均为非负数，当几个非负数的和为0时，则每个非负数均为0。
3）利用)0()(2≥=a a a 给多项式在实数范围内分解因式反过来2)(a a =)0(≥a ,这样任何一个非负数都能写成一个数（其正的平方根）的平方。
特别地，这样可把在有理数范围内不能分解因式的式子在实数范围内分解因式。
4）最简二次根式的条件：1、被开方数中不含有分母（或小数）2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
特别：当被开方数为多项式时，先因式分解分解成因式再判断根式是否是最简。
5）同类二次根式的概念同类二次根式条件：化简后，1、被开方相同 2、都是二次根式特别提醒：判断二次根式是否同类二次根式，必须先将二次根式化为最简二次根式，再判断。
6）根式的化简)0(<-a a2a 的化简：a a =2，即a = )0(0=a)0(>a a 7）根式的乘除法积（商）的算术平方根：)0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a)0,0(>≥=b a ba b a注意： 1）利用公式时，要注意a,b 的符号。
当a,b 为负数时，可以通过添（减）负号，将其变为正数，添（减）负号时，不要改变式子的值。
2）在化简时，首先要根式的意义确定各字母的符号，不能确定的要分开讨论。
3）将根号里的因式．．移到根号外时，要去平方并加绝对值。
将根号外的非负因式移到根号内添平方：如果要移动的因式是负数移到根号内时，要先添负号变正。
在移动因式之前，一定要先判断因式的符号。
8）根式的加减法二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。
合并同类二次根式与在多项式中合并同类项类似，因此，二次根式的加减类似于整式的加简。
9）二次根式的混合运算分母有理化问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式。
b a 的有理化因式为bd c b a ±的有理化因式为d c b a μ（两数和的有理化因式为这两数的差，两数的差的有理化因式为这两数的和）。
10）混合运算乘除法法则：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a)0,0(>≥=b a baba(c ≥0) n =( a ≥0)加减法法则：合并同类二次根式（把根式前的系数相加减）根号不变。
混合计算法则，有括号先算括号，先乘除，后加减，能化简尽量先化简。
二、典型例题【例1】下列各式1 其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子3x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=解题思路：式子a （a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩5x =，y=2009，则x+y=2014举一反三：1、11x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。
1、已知a b 是 12a b ++的值。
2、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
3、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.【例4】若()2240a c --=，则=+-c b a ．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）A ．3B ．– 3C ．1D ．– 13、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.4、若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。
（公式⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2的运用）【例5】 化简：21a -+的结果为（ ）A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、4【例6】已知2x <,A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -举一反三：1、( )A ．-3B ．3或-3C ．3D ．92、已知a<02a │可化简为（ ）A ．－aB ．aC ．－3aD ．3a3、若23a p p）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a - 4、若a －3＜0，则化简aa a -++-4962的结果是（ ）(A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－2a 5、2得（ ）（A ） 2 （B ）44x -+ （C ）－2 （D ）44x -6、当a ＜l 且a ≠0时，化简a a a a -+-2212＝ ．7、已知0a<【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │的结果等于（ ）A ．－2bB ．2bC ．－2aD ．2a举一反三：实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：1______a -=．ob a【例8】化简1x -2x -5，则x 的取值范围是（ ）（A ）x 为任意实数 （B ）1≤x ≤4 （C ） x ≥1 （D ）x ≤1举一反三：若代数式2，则a 的取值范围是（ ）Ａ．4a ≥ Ｂ．2a ≤Ｃ．24a ≤≤Ｄ．2a =或4a =【例9】如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ ）A. a=0B. a=1C. a=0或a=1D. a ≤1举一反三：1、如果3a =成立，那么实数a 的取值范围是（ ）.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥2、若03)3(2=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ）（A ）3>x （B ）3<x （C ）3≥x （D ）3≤x【例10】化简二次根式22a a a +-的结果是 （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a1、把二次根式a a-1化简，正确的结果是（ ）A. -aB. --aC. -aD. a2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，x xb＝ ；a a --11)1(＝ 。
例11.化简计算已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyy x xyy x x x y例12. 化简：a31)3a (--例13.已知：4x y ,5y x =-=+，求xy y x+的值。
例14.（忽略同类二次根式的定义）（1）已知b a 3b 4b a ++与是同类二次根式，则a 、b 的值是（ ）A. 0a =，2b =B. 1a =，1b =C. 1b ,1a 2b ,0a ====或D.0b ,2a ==（2）m 为何值时，二次根式6m 24-与43m 26-是同类二次根式？三、总结与反思：四、课后作业：1．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A ．a a a 321与B ．232a a 与C ．3233a a 与D ．2a aa a 12与 2.下列各式中，计算正确的是（ ） A ．532=+ B ．2+626= C ．a 10)(1010b a b -=-D ．9432712+=+3.把（a －b ）)(1b a ba <--化成最简二次根式，其正确结果是（ ） A ．ab - B ．b a - C ．－b a - D ．－a b -4．化简aa a 13---得（ ） A ．（a －1）a - B ．（1－a ）a - C ．－（a +1）a D ．（a －1）a5.在下列各组二次根式中：①215831和; ②;2aa 和③222a a 与；④)0(>>+--+n m nm nm n m n m 和，是同类二次根式的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④6．将（a －2）)0(22<-a aa 化简的结果是（ ）A ．a a -2B ．－a a -2C ．a 2-aD ．－a 2-a7. 计算：（1）8x3293514x x x x x +-- （2）)0,0()3(33>>÷+-b a ab ab ab b a8．已知：x =5－2,625,6+=y 求5x 2－12xy +5y 2的值。
9．已知()()x y =+=-12751275，，求下列各式的值。
（1）x x y y 22-+ （2）x y y x+10．已知-≤≤121x ，则x x x x 2221441-++++的结果为（ ）A. xB. x +2C. --x 2D. -3x4、当a<0时，||2a a -=________5、满足5-<x<3整数x 是_______________________6、在Rt △ABC 中，直角边BC=5，AB=25则△ABC 的面积是________.三、计算或化简（1-4每题8分，5-6每题10分，计52分） 1、315.01812+-- 2、)65153(1021-⨯3、)2463)(2463(+-4、)35)(15()25(2+++-5、2362723423a ab b a a b a -+ 6、523a ab a b b a a b-+-。