希尔伯特变换-单边带调制

t <0
其傅里叶变换
1 1 H( jω) = H( jω) ∗ π δ (ω) + 2π jω
又
H(jω) = H( jω) ejϕ (ω ) = R( jω) + jX(jω)
则 1 1 R(jω) + jX( jω) = [R(jω) + jX(jω)]∗ π δ (ω) + 2 π jω 1 1 j 1 = π R( jω) + X( jω) ∗ ω + 2π π X( jω) − R( jω) ∗ ω 2 π
f (t ) b F(ω)
ˆ f (t ) b ˆ F(ω)
h(t )
jsgn(ω) b
输出信号
ˆ (t ) ∗ h(t ) = f (t ) ∗ − 1 ˆ f (t ) = f π t
X
第 7 页
ˆ (t ) = F( jω) = F( jω) ⋅ [− jsgn( )] = − jF( jω) ˆ ω Ff jF( jω)
§4.12 希尔伯特(Hilbert)变换 希尔伯特(
•希尔伯特变换的引入 希尔伯特变换的引入 •可实现系统的网络函数与希尔伯特变换 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换 •单边带调制中的应用
计通学院通信工程系 2010.9
第
一．由傅里叶变换到希尔伯特变换
已知符号函数的傅里叶变换
2 页
1 2 ⋅ ↔sgn(−ω) 根据对称性得到 2π jt 则 sgn(ω)为奇函数 1 1 ↔ jsgn(−ω) ↔−jsgn( ) ω πt πt
Y(ω) 是带通信号（上边带调幅信号）的频谱。 是带通信号（上边带调幅信号）的频谱。
X
第 18 页
从理论上讲，这种实现单边带调制的方法回避 了制作滤波特性陡峭的边带滤波器之困难，然而，在 模拟系统中要实现上述全通相移网络也十分困难。两 种方法对滤对器的苛刻要求都只能在一定条件下近似 满足，不可能严格实现。但是在数字信号处理技术 中，要实现宽带
m(t )ejω0t
以上分析表明，信号 f ( t ) 经过系统函数为 − j sgn(ω) 的网络，即可产生其在时域相应的希尔伯特变换对。
X
第
三． 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换
可实现系统是因果系统， 可实现系统是因果系统，其冲激响应
11 页
h(t ) = h(t )ε (t )
即: h(t ) = 0
X
第
例4-11-3
试分析下面系统可以产生单边带信号 y1(t )
乘法器
1
14 页
G(ω)
g(t )
cosω0t
移相
π
2
∑
y(t )
−ωm
ωm
ω
− sinω0t
H( jω)
是带限信号， 已知信号 g(t )是带限信号，其频谱函数为G( jω)
ˆ g(t )
乘法器
y2 (t )
ω 图中系统函数 H( jω) = −jsgn ( ) 载频 ω0 >>ωm
ˆ f (t ) b ˆ F(ω)
ˆ 系统的零状态响应 f (t ) ˆ (t ) = f (t ) ∗ h(t ) = f (t ) ∗ 1 f πt 利用卷积定理
ˆ (t ) = F( jω) = F( jω) ⋅ [− jsgn( )] = − jF( jω) ˆ ω Ff jF( jω)
[ ]
ω> 0 ω< 0
具有系统函数为 jsgn ( )的网络是一个使相位滞 − ω 的网络是一个使相位滞 π 弧度的宽带相移全通网络 宽带相移全通网络。 后 2 弧度的宽带相移全通网络。
X
第 4 页
以上分析表明， 以上分析表明，信号 f ( t ) 经过系统函数为 − j sgn(ω) 的网络， 的网络，而这一网络的频域特性是一个全通相移网 络，它对信号的全部正频率分量产生滞后 90o 之相 它对信号的全部正频率分量产生滞后 移。对所有负频率分量产生超前 90o 之相移， 这种 对所有负频率分量产生超前 之相移， 网络可称为全通 相移网络或垂直滤波器。 90 相移网络或垂直滤波器。
90o 相移的希尔伯特滤波器却是比
较简单的事情。（示
y(t ) = y1 (t ) + y2 (t )
Y(ω) = Y1 (ω) + Y2 (ω)
X
第
频谱图
17 页
Y2 ( jω)
1 − G[ j (ω + ω0 )] 2
1 1 F[ y1(t )] = Y ( jω) = G( jω +ω0 ) + G( jω −ω0 ) 1 2 2
1 h(t ) = − πt
的网络是一个使相位超前 具有系统函数为 jsgn(ω) 的网络是一个使相位超前 π 弧度的宽带相移全通网络 宽带相移全通网络。 弧度的宽带相移全通网络。 2
X
第
若系统框图为
f (t ) F(ω) b
6 页
h(t )
b − jsgn(ω)
ˆ f (t ) b ˆ F(ω)
o
X
第
同理可得到: 同理可得到
5 页
1 − ↔ jsgn( ) ω πt 其网络的频响函数为 j 90o ω> 0 ω H( jω = F[h(t )] = jsgn( ) = ) −j 90o ω< 0
若系统冲激响应为
jF( jω) ω> 0 ω F( jω) ⋅ [ j sgn( )] = - jF( jω) ω< 0
ˆ y2 (t ) = g(t ) ⋅ (− sinω0t )
X
第
ˆ ˆ F[g(t )] = G( jω) = − jG( jω)sgn(ω)
其频谱函数
16 页
ˆ y2 (t ) = g(t ) ⋅ (− sinω0t ) 1 ˆ F[ y2 (t )] = Y2 ( jω) = G( jω) ∗ jπ[δ(ω− ω0 ) − δ(ω+ ω0 )] 2 π j = [− jG[ j(ω− ω0 )]sgn(ω− ω0 ) + jG[ j(ω+ ω0 )]sgn(ω+ ω0 )] 2 即 1 1 Y2 ( ) = G[ j( −ω )]sgn( −ω ) − G[ j( +ω )]sgn( +ω ) ω ω 0 ω 0 ω 0 ω 0 2 2
[ ]
ω> 0 ω< 0
利用卷积定理
ˆ ( jω) ⋅ jsgn( ) = F( jω) F ω F( jω)
ˆ f (t ) b ˆ F(ω)
ω> 0 ω< 0
f (t ) b F(ω)
h(t )
jsgn(ω) b
X
第
希尔伯特变换
ˆ (t ) = f (t ) ∗ h(t ) = f (t ) ∗ 1 f πt
的实部与虚部满足希尔 因果系统频响函数H( jω) 伯特变换约束关系。 伯特变换约束关系。
X
第
希尔伯特变换对
1 X( jλ ) R(jω) = ∫ dλ π −∞ ω − λ
∞
13 页
1 R( jλ ) X( jω) = − ∫ dλ π −∞ω − λ
∞
系统可实现性的实质是具有因果性。由于因果性 系统可实现性的实质是具有因果性。 的限制， 的限制，系统函数的实部与虚部或模与辐角之间将具 有某种相互制约的特性， 有某种相互制约的特性，这种特性以希尔伯特 Hilbert)变换的形式表现出来 变换的形式表现出来。 （Hilbert)变换的形式表现出来。 进一步，对于任意因果函数， 进一步，对于任意因果函数，傅里叶变换的实部 与虚部都满足希尔伯特变换的约束关系。 与虚部都满足希尔伯特变换的约束关系。 希尔伯特变换作为一种数学工具在通信系统中得 到了广泛的应用。 到了广泛的应用。
X
第
解：
由调制定理可知
15 页
y1(t ) = g(t ) cosω0t
其频谱函数
为带通信号
ˆ g(t ) 是 g(t ) 的希尔伯特变换信号
其频谱 则
1 1 F[ y1(t )] = Y ( jω) = G[ j( +ω )] + G[ j( −ω )] ω 0 ω 0 1 2 2
ˆ ˆ F[g(t )] = G( jω) = − jG( jω)sgn(ω)
8 页
1 ∞ f (τ ) ˆ H[ f (t )] = f (t ) = ∫ dτ −∞ t −τ π
ˆ (t ) ∗ − 1 f (t ) = f π t
π 滞后 2
π 超前 2
H
−1
[ ]
ˆ 1 ∞ f (τ ) ˆ f (t ) = f (t ) = − ∫ dτ π −∞ t −τ
− j H( jω) = − j sgn(ω) = j 则冲激响应
2 F[sgn(t )] = jω
若频响函数为
π − 2 π 2 1 −1 h(t ) = F [H( jω)] = πt
ω> 0 ω< 0
X
第
系统框图: 系统框图
f (t ) F(ω) b
3 页
h(t )
b − jsgn(ω)
X
1 1 j 1 = π R( jω) + X( jω) ∗ ω + 2π π X( jω) − R( jω) ∗ ω 2 π 1 ∞ X( jλ) 1 d λ 所以 R( jω) + jX( jω) = R( jω) + ∫ −∞ ω − λ 2 π 2
X
第 9 页
以上分析表明，信号 f ( t ) 经过系统函数为 − j sgn(ω) 的网络，即可产生其在时域相应的希尔伯特变换对。