高数常用公式手册(最新整理)

1 np
ｐ１时发散 p 1时收敛
幂级数：
1 x x2 x3 xn
x 1时，收敛于 1 1 x
x 1时，发散
对于级数(3)a0 a1x a2 x2 an xn ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全 x R时收敛
数轴上都收敛，则必存在R，使 x R时发散，其中R称为收敛半径。
x R时不定
1、乘法与因式分解公式
1.1
1.2
高等数学复习公式
常用高数公式
的解
1.4 an bn (a b)(an1 an2b an3b2 abn2 bn1) n （ 为奇数）
2、三角不等式 2.1 2.2 2.3 2.4 2.6
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3、一元二次方程
高等数学复习公式
的解
3.2(韦达定理)根与系数的关系：
绝对收敛与条件收敛：
(1)u1 u2 un ，其中un为任意实数； (2) u1 u2 u3 un
如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；
如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。
调和级数： 1 发散，而 (1)n收敛；
n
n
级数：
1 n2
收敛；
p级数：
x
(
Fx Fy
)＋ y
(
Fx Fy
)
dy dx
隐函数F (x, y, z) 0， z Fx ， z Fy
x Fz
y Fz
F(x, y,u,v) 0 隐函数方程组：G(x, y,u,v) 0
F F
J
(F,G) (u, v)
u G
v G
Fu Gu
Fv Gv
u v
u 1 (F,G) x J (x,v)
1时，级数收敛
设： lim U n1 ，则 1时，级数发散
U n n
1时，不确定
3、定义法：
sn
u1
u2
u
n
;
lim
n
sn
存在，则收敛；否则发散。
交错级数u1 u2 u3 u4 (或 u1 u 2u3 ,un 0)的审敛法 — —莱布尼兹定理： 如果交错级数满足lnuimnunun10，那么级数收敛且其和s u1,其余项rn的绝对值 rn un1。
)
(
x
x0
)
n
余项：Rn
f (n1) ( ) (n 1)!
(x
x0
) n1 ,
f
( x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim n
Rn
0
x0
0时即为麦克劳林公式：f (x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
f (n) (0) xn n!
2、一般方程：Ax By Cz D 0
3、截距世方程：x y z 1 abc
平面外任意一点到该平面的距离：d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C2
空间直线的方程：x x0 m
y y0 n
z z0 p
t,其中s
{m,n,
p};
x 参数方程： y
x0 y0
mt nt
F (b) F (a) F ( ) 当F(x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
12、空间解析几何和向量代数：
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高等数学复习公式
空间2点的距离：d M1M 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
向量在轴上的投影：Pr ju AB AB cos,是AB与u轴的夹角。
cot 2 cot2 1 2 cot
tan
2
2 1
tan tan2
sin 3 3sin 4sin3
cos3 4 cos3 3cos
tan
3
3
tan tan3 1 3 tan2
·半角公式：
sin
1 cos
2
2
cos
1 cos
2
2
tan
2
1 cos 1 cos
1 cos sin sin 1 cos
Pr
a
bju(aa1
a2
)
Pr
ja1
Pr
ja2
b cos axbx ayby
azbz
,是一个数量,
两向量之间的夹角：cos
axbx ayby azbz
ax 2 ay 2 az 2 bx 2 by 2 bz 2
c
a
b
i ax
j ay
k az
,
c
a
b
sin .例：线速度：v
双曲正弦 : shx ex ex 2
双曲余弦 : chx ex ex 2
双曲正切 :
thx
shx chx
ex ex
ex ex
arshx ln(x x2 1）
archx ln(x x2 1) arthx 1 ln 1 x
2 1 x
9、三角函数公式：
lim sin x 1 x0 x
AC 则： AC
B2 B2
A 0时，
A
0, 0,
( (
x0 x0
, ,
y0 y0
)为极大值 )为极小值
0时， 无极值
AC
B2
0时, 不确定
f xy (x0 , y0 ) B,
f yy (x0 , y0 ) C
15、级数
常数项级数：
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高等数学复习公式
lim(1 1 )x e 2.718281828459045...
x
x
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高等数学复习公式
·和差角公式：
·和差化积公式：
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan(
)
tan 1 tan
tan tan
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全微分：dz z dx z dy x y
du u dx u dy u dz x y z
全微分的近似计算：z dz f x (x, y)x f y (x, y)y
多元复合函数的求导法：
z f [u(t),v(t)]
dz z u z v dt u t v t
cot
2
1 cos 1 cos
1 cos sin sin 1 cos
·正弦定理： a b c 2R ·余弦定理： c2 a 2 b2 2ab cosC sin A sin B sin C
·反三角函数性质： arcsin x arccos x 2
arctan x arc cot x 2
在点M处的法平面方程： (t0 )(x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
若空间曲线方程为：GF
( (
x, x,
y, y,
z) z)
0 0
,
则切向量T
{
Fy Gy
Fz , Fz G z Gz
Fx , Fx G x Gx
Fy } Gy
曲1、面过F此(x点, y的, z)法向0上量一：点n M {(Fxx0(,
1、乘法与因式分解公式 2、三角不等式 3、一元二次方程 4、某些数列的前 n 项和 5、二项式展开公式 6、基本求导公式 7、基本积分公式 8、一些初等函数两个重要极限 9、三角函数公式正余弦定理 10、莱布尼兹公式 11、中值定理 12、空间解析几何和向量代数 13、多元函数微分法及应用 14、多元函数的极值 15、级数 16、微分方程的相关概念
求收敛半径的方法：设 lim an1 a n
n
，其中an，an1是(3)的系数，则
0时，R
1
0时，R
时，R 0
函数展开成幂级数：
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函数展开成泰勒级数：f (x)
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
y0 , x0 ,
z0 y0
)，则： , z0 ), Fy (
x0
,
y0
,
z0
),
Fz
(
x0
,
y0
,
z0
)}
2、过此点的切平面方程：Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
等比数列：1 q q2 qn1 1 qn 1 q
等差数列：1 2 3 n (n 1)n 2
调和级数：1 1 1 1 是发散的
23
n
级数审敛法：
1、正项级数的审敛法 — —根植审敛法（柯西判别法）：
1时，级数收敛
设：
lim n
n
un，则 1时，级数发散 1时，不确定
2、比值审敛法：
z z0 pt
二次曲面：
1、椭球面：x2 y2 z 2 1 a2 b2 c2
2、抛物面：x2 y2 z（, p, q同号） 2 p 2q
3、双曲面：
单叶双曲面：x2 y2 z 2 1 a2 b2 c2
双叶双曲面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
（1 马鞍面）
13、多元函数微分法及应用
v 1 (F,G) x J (u, x)
u 1 (F,G) y J ( y,v)
v 1 (F,G) y J (u, y)
微分法在几何上的应用：
x (t)
空间曲线 y z