云南省中考数学二次函数压轴题经典20问
2023年中考数学压轴题专题20 二次函数与对称变换综合问题【含答案】
专题20二次函数与对称变换综合问题【例1】（2021秋•开化县月考）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”．例如：y＝（x﹣h）2﹣k的“镜像抛物线”为y＝﹣（x﹣h）2+k．（1）请写出抛物线y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标，及其“镜像抛物线”y＝﹣（x﹣2）2+4的顶点坐标．写出抛物线的“镜像抛物线”为．（2）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“镜像抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B'，C'，连接BC，CC'，B'C'，BB'．①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值．②求正方形BB'C'C所含（包括边界）整点个数．（说明：整点是横、纵坐标均为整数的点）【例2】（2022•巩义市模拟）已知，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为（﹣1，0），且OB＝OC．（1）求二次函数的解析式；（2）当0≤x≤4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？（3）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB 相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2022•济宁二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．（3）图2中，点C和点C'关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标．【例4】（2022•合肥四模）已知抛物线L1：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）若两个抛物线的交点在x轴上，且顶点关于x轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线L1对称抛物线L2的解析式；（3）在（2）的条件下，点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，设M的横坐标为m，记W＝MN﹣2ON，求W的最大值．一．解答题（共20题）1．（2022•广陵区二模）已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）．（1）求二次函数的顶点坐标；（2）设该二次函数图象上两点A（a，y a）、B（a+2，y b），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是．2．（2022•绿园区二模）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3）．其中，m≠0．（1）当m＝1时．①该二次函数的图象的对称轴是直线．②求该二次函数的表达式．（2）当|m|≤x≤|m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值．（3）若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．3．（2022•荷塘区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（x1，0），B （x2，0）两点，且（x1＜0＜x2），交y轴于点C，顶点为D．（1）a＝﹣1，b＝2，c＝4，①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；（2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．4．（2022•绥江县二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象经过（3，0）．（1）求二次函数的对称轴；（2）点A的坐标为（1，0），将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，若二次函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围．5．（2022•兴化市二模）已知一次函数y＝kx+m的图象过点（2，3），A（k，y1）、B（k+1，y2）是二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+2m图象上的两点．（1）若该二次函数图象的对称轴是直线x＝1，分别求出一次函数和二次函数的表达式；（2）当点A、B在二次函数的图象上运动时，满足|y1﹣y2|＝1，求m的值；（3）点A、B的位置随着k的变化而变化，设点A、B的运动路线分别与直线x＝n交于点P、Q，当PQ＝2时，求n的值．6．（2022•三门峡一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2a（a≠0）．（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝；（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，求抛物线的解析式；（3）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，请结合图象，直接写出x1的取值范围．7．（2022•无锡二模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）．（1）求此二次函数的表达式；（2）①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN 相似，求点N的坐标；②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标；（3）已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标．8．（2022秋•乐陵市校级月考）如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的对称轴、顶点坐标；（3）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．（4）若点D为抛物线与x轴的另一个交点，在抛物线上是否存在一点M，使△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，若存在，请求出M的坐标，若不存在，请说明理由．9．（2022秋•永城市月考）如图，关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且过点D（﹣1，4）．（1）求b的值及该二次函数图象的对称轴；（2）连接AC，AD，CD，求△ADC的面积；（3）在AC上方抛物线上有一动点M，请直接写出△ACM的面积取到最大值时，点M的坐标．10．（2022秋•越秀区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，2），以AB为边向右作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，二次函数的图象经过点C．（1）求二次函数的解析式；（2）平移该二次函数图象的对称轴所在的直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出直线l平移的最远距离；（3）将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折，得到△AB'C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB'C是以B'C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．11．（2022秋•西城区校级期中）定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“对称函数”．（1）函数y＝﹣x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为，函数y＝（x﹣2）2﹣1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为；（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点Q（0，1）互为“对称函数”，若函数y＝x2﹣2x 与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，求x的取值范围；（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），与函数N关于点C互为“对称函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．12．（2022春•鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；（2）请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是．（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．13．（2022春•西湖区校级期末）如图所示，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D 落在OC上的F点．已知AO＝8，AD＝10．（1）求F点的坐标；（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与抛物线仅一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过O，F，且直线y＝6x﹣36是该抛物线的切线．求抛物线的解析式．并验证点M（5，﹣5）是否在该抛物线上．（3）在（2）的条件下，若点P是位于该二次函数对称轴右侧图象上不与顶点重合的任意一点，试比较∠POF与∠MOF的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标x P的取值范围．14．（2022•南京模拟）已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A（﹣1，0），C（0，﹣3）两点，对称轴为直线x＝1，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的点，当∠ACP＝45°时，求点P的坐标；（3）点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．15．（2022•兴宁区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M 的坐标．如果不存在，请说明理由；（3）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为，求的最小值．16．（2022•南京模拟）已知二次函数解析式为y＝x﹣1（a≠0），该抛物线与y 轴交于点A，其顶点记为B，点A关于抛物线对称轴的对称点记为C．已知点D在抛物线上，且点D的横坐标为2，DE⊥y轴交抛物线于点E．（1）求点D的纵坐标．（2）当△ABC是等腰直角三角形时，求出a的值．（3）当0≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为2时，求a的取值范围．（4）设点R（a﹣3，﹣1），点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M，当抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a的取值范围．17．（2021•九龙坡区校级模拟）若直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y＝ax2+3x+c的图象经过点A，交x轴于C、D两点，且抛物线的对称轴为直线x＝．（1）求二次函数的解析式；（2）过点C作直线CE∥AB交y轴于点E，点P是直线CE上一动点，点Q是第一象限抛物线上一动点，求四边形APBQ面积的最大值与此时点Q的坐标；（3）在（2）的结论下，点E是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点G，直线EQ交x轴于点F，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得∠MFQ+∠CAO＝45°，求点M的坐标．18．（2022•成都模拟）如图1所示，直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C（1，2）在经过点A，B的二次函数y＝ax2+bx+c的图象上．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为线段AB上（不与端点重合）的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ+PB取得最大值时点P的坐标；（3）如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上一点，且G（﹣1，0），直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD+∠ABH＝45°，连接BH交OA于点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标．19．（2022秋•甘井子区校级月考）抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，点C、D关于抛物线的对称轴对称．（1）抛物线的解析式是，△ABD的面积为；（2）在直线AD下方的抛物线上存在点P，使△APD的面积最大，求出最大面积．（3）当t≤x≤t+1时，函数y＝x2+bx+c的最小值为5，求t的值．（4）若点M在y轴上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时M点的坐标．20．（2021秋•沙坪坝区月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点E与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴与x轴交于点G．（1）求直线AE的解析式及△ACE的面积．（2）如图1，连接AE，交y轴于点D，点P为直线AE上方抛物线一点，连接PD、PE，直线l过点B且平行于AE，点F为直线l上一点，连接FD、FE，当四边形PDFE面积最大时，在y轴上有一点N，连接PN，过点N作NM垂直于抛物线对称轴于点M，求的最小值．（3）连接AC，将△AOC向右平移得△A'O'C'，当A'C'的中点恰好落在∠CAB的平分线上时，将△A'O'C'绕点O'旋转，记旋转后的三角形为△A″O′C″，在旋转过程中，直线A″C″与y轴交于点K，与直线AC交于点H，在平面中是否存在一点Q，使得以C、K、H、Q为顶点的四边形是以KH为边的菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【例1】（2021秋•开化县月考）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”．例如：y＝（x﹣h）2﹣k的“镜像抛物线”为y＝﹣（x﹣h）2+k．（1）请写出抛物线y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标（2，﹣4），及其“镜像抛物线”y ＝﹣（x﹣2）2+4的顶点坐标（2，4）．写出抛物线的“镜像抛物线”为．（2）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“镜像抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B'，C'，连接BC，CC'，B'C'，BB'．①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值．②求正方形BB'C'C所含（包括边界）整点个数．（说明：整点是横、纵坐标均为整数的点）【分析】（1）根据定义直接求解即可；（2）①分别求出B（1，1﹣3a），C（1，3a﹣1），B'（3，1﹣3a），C'（3，3a﹣1），由正方形的性质可得BB'＝BC，即2＝6a﹣2，求出a即可；②由①求出B（1，﹣1），C（1，1），B'（3，﹣1），C'（3，1），在此区域内找出所含的整数点即可．【解答】解：（1）y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标为（2，﹣4），y＝﹣（x﹣2）2+4的顶点坐标为（2，4），的“镜像抛物线”为，故答案为：（2，﹣4），（2，4），；（2）①∵y＝ax2﹣4ax+1＝a（x﹣2）2+1﹣4a，∴抛物线L的“镜像抛物线”为y＝﹣a（x﹣2）2﹣1+4a，∵点B的横坐标为1，∴B（1，1﹣3a），C（1，3a﹣1），∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴B'（3，1﹣3a），C'（3，3a﹣1），∴BB'＝2，BC＝6a﹣2，∵四边形BB'C'C为正方形，∴2＝6a﹣2，∴a＝；②∵a＝，∴B（1，﹣1），C（1，1），B'（3，﹣1），C'（3，1），∴正方形BB'C'C所含（包括边界）整点有（1，﹣1），（1，1），（3，﹣1），（3，1），（1，0），（3，0），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共9个．【例2】（2022•巩义市模拟）已知，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为（﹣1，0），且OB＝OC．（1）求二次函数的解析式；（2）当0≤x≤4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？（3）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB 相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据OB＝OC可得B点的坐标为（3，0），把A、B的坐标代入二次函数y＝ax2+bx﹣3，求出a、b的值即可；（2）求出二次函数的顶点坐标为（1，﹣4），根据二次函数的性质即可得出答案；（3）先设出P的坐标，根据相似三角形的性质列出方程，解出方程即可得到点P的坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与y轴交于C点，∴C（0，﹣3）．∵OB＝OC，点A在点B的左边，∴B（3，0）．∵点A的坐标为（﹣1，0），由题意可得，解得：，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴二次函数顶点坐标为（1，﹣4），∴当x＝1时，y＝﹣4，最小值∵当0≤x≤1时，y随着x的增大而减小，∴当x＝0时，y＝﹣3，∵当1＜x≤4时，y随着x的增大而增大，∴当x＝4时，y＝5．∴当0≤x≤4时，函数的最大值为5，最小值为﹣4；（3）在y轴上存在点P，使△PCC'与△POB相似，理由如下：设P（0，m），如图，∵点C'与点C关于该抛物线的对称轴直线x＝1对称，C（0，﹣3）．∴C′（2，﹣3）．∴CC'∥OB，∵△PCC'与△POB相似，且PC与PO是对应边，∴，即：，解得：m＝﹣9或m＝﹣，∴存在，P（0，﹣9）或P（0，﹣）．【例3】（2022•济宁二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．（3）图2中，点C和点C'关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标．【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）存在直线l，证明△ACO≌△DBO（ASA）得到OA＝OD，求出A点坐标即可求出D点坐标，再利用待定系数法求直线解析式即可；（3）连接BM，CC′，作C′H⊥BC交BC于H，求出tan∠MBA＝，进一步可求出N（0，）或N（0，﹣）分情况讨论，即可求出M的横坐标为﹣或﹣．【解答】（1）解：抛物线y＝﹣x2+bx+c过B（3，0），C（0.3），∴，解得：，∴函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）解：存在直线l使得以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似，当l⊥AC时，以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似，∴∠ACD＝∠EBO，在Rt△ACO和Rt△DBO中，，∴ΔΑCO≌△DBO（ASA），∴OA＝OD，解﹣x2+2x+3＝0，得：x1＝3（不符合题意，舍去），x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴D（0，1），设直线的解析式为：y＝kx+b，将B（3，0），D（0，1）代入解析式可得，解得：，∴直线的解析式为：y＝x+1；（3）解：连接BM，CC′，作C′H⊥BC交BC于H，∵抛物线对称轴为直线：x＝＝1，∴CC′＝2，∵OB＝OC，∴∠BCO＝45°，∴∠C′CB＝45°，∵C′H⊥BC，CC′＝2，∴C′H＝CH＝，∵OB＝OC＝3，∴BC＝3，∴BH＝，∴tan∠CBC′＝，∵∠MBA＝∠CBC′，∴tan∠MBA＝，∴ON＝，∴N（0，）或N（0，﹣），当N（0，），如图：∵B（3，0），∴，∴，∴直线BN解析式为：y＝x+，解方程﹣x2+2x+3＝﹣x+，得：（不符合题意，舍去），∴M的横坐标为﹣；当N（0，﹣），如图：∵B（3，0），∴，∴，∴直线BN解析式为：y＝x﹣，解方程﹣x2+2x+3＝x﹣，得：（不符合题意，舍去），∴M的横坐标为﹣，综上所述：M的横坐标为﹣或﹣．【例4】（2022•合肥四模）已知抛物线L1：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）若两个抛物线的交点在x轴上，且顶点关于x轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线L1对称抛物线L2的解析式；（3）在（2）的条件下，点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，设M的横坐标为m，记W＝MN﹣2ON，求W的最大值．【分析】（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，即可求解；（2）求出顶点的对称点为（﹣1，4），设抛物线L2的解析式为y＝n（x+1）2+4，再将抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）或（1，0）代入，即可求解析式；（3）由题意可知M（m，﹣m2﹣2m+3），N（m，0），则MN＝﹣m2﹣2m+3，ON＝|m|，分两种情况讨论；当﹣3＜x≤0时，W＝﹣m2+3，当m＝0时，W有最大值3；当0≤x＜1时，W＝﹣（m+2）2+7，当m＝0时，W有最大值3．【解答】解：（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2+2x﹣3；（2）令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，∴抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）或（1，0），∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点为（﹣1，﹣4），∴顶点关于x轴的对称点为（﹣1，4），设抛物线L2的解析式为y＝n（x+1）2+4，∵抛物线经过点（﹣3，0）或（1，0），∴n＝﹣1，∴y＝﹣x2﹣2x+3；（3）∵点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，∴﹣3＜x＜1，∵M的横坐标为m，∴M（m，﹣m2﹣2m+3），N（m，0），∴MN＝﹣m2﹣2m+3，ON＝|m|，当﹣3＜x≤0时，W＝MN﹣2ON＝﹣m2﹣2m+3+2m＝﹣m2+3，∴当m＝0时，W有最大值3；当0≤x＜1时，W＝MN﹣2ON＝﹣m2﹣2m+3﹣2m＝﹣m2﹣4m+3＝﹣（m+2）2+7，∴当m＝0时，W有最大值3；综上所述：W的最大值为3．一．解答题（共20题）1．（2022•广陵区二模）已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）．（1）求二次函数的顶点坐标；（2）设该二次函数图象上两点A（a，y a）、B（a+2，y b），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是0＜m≤4．【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标即可．（2）①根据A，B关于抛物线的对称轴对称，求出a的值，在求出﹣3≤x≤﹣1时，二次函数的最大值，最小值，可得结论．②分四种情形：当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时，当﹣4＜a≤﹣3时，当﹣3＜a≤﹣2时，当a ＞﹣2时，分别求出满足条件的m的取值范围，可得结论．【解答】解：（1）y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4＝﹣m（x2+4x+4）+4＝﹣m（x+2）2+4，∴二次函数的顶点坐标为（﹣2，4）．（2）①∵点A、B关于对称轴对称＝﹣2，∴a＝﹣3，当m＝1时，y＝﹣x2﹣4x﹣4+4＝﹣x2﹣4x，则当x＝﹣3（或x＝﹣1）时，y＝3，最小值＝4，当x＝﹣2时，y最大值∴h＝1．②结论：0＜m≤4，理由如下：当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时，h＝y b﹣y a＝﹣m（a+2+2）2+4﹣[﹣m（a+2）2+4]＝﹣4m（a+3），∵h＝4，∴4＝﹣4m（a+3），∴a＝﹣﹣3≤﹣4，∵m＞0，解得m≤1，当﹣4＜a≤﹣3时，h＝4﹣y a＝4﹣[﹣m（a+2）2+4]＝m（a+2）2，∴可得a＝﹣﹣2，∴﹣4＜﹣﹣2≤﹣3，解得1＜m≤4，当﹣3＜a≤﹣2时，h＝4﹣y b＝4﹣[﹣m（a+2+2）2+4]＝m（a+4）2，可得a＝﹣4，∴﹣3＜﹣4≤﹣2，不等式无解．当a＞﹣2时，h＝y a﹣y b＝﹣m（a+2）2+4﹣[﹣m（a+2+2）2+4]＝4m（a+3），可得a＝﹣3，∴﹣3＞﹣2，∴m＜1，综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤4．故答案为：0＜m≤4．2．（2022•绿园区二模）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3）．其中，m≠0．（1）当m＝1时．①该二次函数的图象的对称轴是直线x＝1．②求该二次函数的表达式．（2）当|m|≤x≤|m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值．（3）若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．【分析】（1）①根据所给的点可知A、B两点关于抛物线对称轴对称，利用对称性可求对称轴；②利用待定系数法求函数的解析式即可；（2）用的待定系数法求函数的解析式y＝﹣（x﹣m）2+m+3，再分两种情况讨论：当m＞0时，m≤x≤m，当x＝m时，函数有最大值m+3；当m＜0时，﹣m≤x≤﹣m，当x＝﹣m时，函数有最大值；分别求m的值即可求解；（3）先判断△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，则过点A、B、C的圆是以AB的中点M为圆心，AB为半径，再分两种情况讨论：当m＞0时，MN＝AM＝|m|＝3，可求C 点坐标；当m＜0时，CM＝AM＝3＝|m|，可求C点坐标．【解答】解：（1）①∵A（0，3）、B（2m，3），∴A、B两点关于抛物线对称轴对称，∵m＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，故答案为：x＝1；②设y＝ax2+bx+c（a≠0），∵m＝1，∴B（2，3）、C（1，4），将点A、B、C代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3）、B（2m，3）两点关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝m，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+m+3，将点A（0，3）代入，∴am2+m+3＝3，∴a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣m）2+m+3，当m＞0时，m≤x≤m，∴当x＝m时，函数有最大值m+3，∴m+3＝4，∴m＝1；当m＜0时，﹣m≤x≤﹣m，∴当x＝﹣m时，函数有最大值，∴4＝﹣（﹣m﹣m）2+m+3，解得m＝﹣；综上所述：m的值为1或﹣；（3）∵A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3），∴AB＝|2m|，AC＝|m|，BC＝|m|，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴过点A、B、C的圆是以AB的中点M为圆心，AB为半径，如图1，当m＞0时，∵⊙M与x轴相切，∴MN＝AM＝|m|＝3，∴m＝3，∴C（3，6）；如图2，当m＜0时，∵⊙M与x轴相切，∴CM＝AM＝3＝|m|，∴m＝﹣3，∴C（﹣3，0）；综上所述：该二次函数的图象的顶点坐标为（3，6）或（﹣3，0）．3．（2022•荷塘区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（x1，0），B （x2，0）两点，且（x1＜0＜x2），交y轴于点C，顶点为D．（1）a＝﹣1，b＝2，c＝4，①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；（2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．【分析】（1）①运用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出答案；②由y＝﹣x与y＝ax2+bx+c联立可得x2﹣3x﹣4＝0，运用根的判别式可得Δ＞0，即可得出结论；（2）如图，连接AC，先求出直线CD的解析式为y＝x+c，可得E（﹣，0），再利用求根公式可得：A（，0），B（，0），再证明△EAC∽△ECB，可得CE2＝AE•BE，即c2+＝（+）（+），化简即可得出答案．【解答】解：（1）①当a＝﹣1，b＝2，c＝4时，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+4，∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为D（1，5）；②当y＝﹣x时，﹣x2+2x+4＝﹣x，整理得：x2﹣3x﹣4＝0，∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣4）＝25＞0，∴二次函数y＝﹣x2+2x+4有两个不同的“零和点”；（2）如图，连接AC，∵y＝ax2+bx+c，∴C（0，c），顶点D（﹣，），设直线CD的解析式为y＝kx+n，则，解得：，∴直线CD的解析式为y＝x+c，∴E（﹣，0），∵A（，0），B（，0），∴AE＝﹣（﹣）＝+，BE＝﹣（﹣）＝+，∵∠ACE＝∠CBE，∠AEC＝∠CEB，∴△EAC∽△ECB，∴＝，∴CE2＝AE•BE，在Rt△CEO中，CE2＝OC2+OE2＝c2+（）2＝c2+，∴c2+＝（+）（+），化简得：ac＝﹣1，故ac的值为﹣1．4．（2022•绥江县二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象经过（3，0）．（1）求二次函数的对称轴；（2）点A的坐标为（1，0），将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，若二次函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围．【分析】（1）首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用对称轴方程求解；（2）根据平移的性质求得B（2，3），然后由“二次函数的图象与线段AB有公共点”得到4a﹣4a﹣3a≤3，通过解该不等式求得答案．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象经过（3，0），∴把（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3a，得9a+3b﹣3a＝0，化简，得b＝﹣2a，∴二次函数的对称轴为：．（2）∵点A的坐标为（1，0），将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，∴B（2，3），∵a＜0，开口向下，∴二次函数图象与线段AB有交点时，4a﹣4a﹣3a≤3，解得a≥﹣1，故a的取值范围是：﹣1≤a＜0．5．（2022•兴化市二模）已知一次函数y＝kx+m的图象过点（2，3），A（k，y1）、B（k+1，y2）是二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+2m图象上的两点．（1）若该二次函数图象的对称轴是直线x＝1，分别求出一次函数和二次函数的表达式；（2）当点A、B在二次函数的图象上运动时，满足|y1﹣y2|＝1，求m的值；（3）点A、B的位置随着k的变化而变化，设点A、B的运动路线分别与直线x＝n交于点P、Q，当PQ＝2时，求n的值．【分析】（1）利用对称轴为1求出m的值，可得二次函数的解析式，将点（2，3）和m＝4代入一次函数y＝kx+m，可得一次函数的解析式；（2）将A（k，y1）、B（k+1，y2）两点分别代入y＝x2﹣（m﹣2）x+2m，求出|y1﹣y2|＝1，再利用y＝kx+m过点（2，3），得出m＝3﹣2k，代入①式，最后得出结果；（3）将A，B坐标代入分别表示出y P和y Q，再由m＝3﹣2k，得出y P＝k2﹣（m﹣2）k+2m，y Q＝（k+1）2﹣（m﹣2）（k+1）+2m，再将k＝n，k+1＝n代入，得出用n表示的y P和y Q，，进而得出|y P﹣y Q|＝|2n﹣4|＝2，求解即可．【解答】解：（1）∵对称轴为x＝1，∴，∴，解得m＝4，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣（4﹣2）x+2x4＝x2﹣2x+8，将点（2，3）和m＝4代入一次函数y＝kx+m，得到3＝2k+4，解得：k＝﹣，∴一次函数的表达式为y＝﹣x+4；∴一次函数表达式：，二次函数的表达式：y＝x2﹣2x+8；（2）将A（k，y1）、B（k+1，y2）两点分别代入y＝x2﹣（m﹣2）x+2m，得到y1＝k2﹣（m﹣2）k+2m，y2＝（k+1）2﹣（m﹣2）（k+1）+2m，∵|y1﹣y2|＝1，∴y1﹣y2＝±1，∴k2﹣（m﹣2）k+2m﹣[（k+1）2﹣（m﹣2）（k+1）+2m]＝±1，整理得：m﹣2k﹣3＝±1①，∵y＝kx+m过点（2，3），代入得：m＝3﹣2k，将m＝3﹣2k代入①式得：k＝±，即k＝或k＝﹣，当k＝时，m＝3﹣2×＝；当k＝﹣时，m＝3﹣2×（﹣）＝，综上所述，m＝或m＝．（3）解：将A（k，）B（k+1，y2）代入二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+2m，得y P＝k2﹣（m﹣2）k+2m，y Q＝（k+1）2﹣（m﹣2）（k+1）+2m，又∵一次函数y＝kx+m过点（2，3），代入得：m＝3﹣2k，∴y P＝3k2﹣5k+6，y Q＝3k2﹣k+6，∵k＝n，k+1＝n，把k＝n代入得y P＝3n2﹣5n+6，把k＝n﹣1代入y Q＝3（n﹣1）2﹣（n﹣1）+6，∴|y P﹣y Q|＝|2n﹣4|＝2，解得n＝1或3．6．（2022•三门峡一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2a（a≠0）．（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝1；（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，求抛物线的解析式；（3）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，请结合图象，直接写出x1的取值范围．【分析】（1）利用对称轴公式计算即可；（2）构建方程求出a的值即可解决问题；（3）结合图象，分两种情况讨论，当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，推出当抛物线开口向上，当﹣1≤x1≤3时，满足条件，由此即可解决问题．【解答】解：（1）对称轴x＝﹣＝1．故答案为1；（2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，且当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，∴当x＝4时，y的最大值为5，∴16a﹣8a+2a＝5，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+1；（3）如图，∵对称轴为直线x＝1，∴x＝﹣1与x＝3时的y值相等，∵x2＞3时，均满足y1＜y2，②当a＜0时，抛物线开口向下，如图1，不成立；②当a＞0时，抛物线开口向上，如图2，当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，此时，x1的取值范围是：﹣1≤x1≤3；∴由①②知：当a＞0时，抛物线开口向上．当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，此时，x1的取值范围是：﹣1≤x1≤3．7．（2022•无锡二模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）．（1）求此二次函数的表达式；（2）①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN 相似，求点N的坐标；②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标；（3）已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标．【分析】（1）先求得点C的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（2）①当点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似时分两种情况：△CDN∽△FEN和△CDN∽△NEF，列比例式可解答；②如图2所示：过点A作GH∥y轴，过点M作MG⊥GH于G，过点A作AE⊥AM，交MP于点E，证明△AEM是等腰直角三角形，得AM＝AE，计算点M的坐标，证明△MGA ≌△AHE（AAS），则EH＝AG＝6，AH＝GM＝2，利用待定系数法可得直线EA的解析式为y＝−2x+8，与二次函数解析式联立方程，解出可得结论；（3）分T在x轴上，x轴上方和下方三种情况：根据符合条件的Q恰好有2个正确画图可得结论．【解答】解：（1）y＝ax2+bx+4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x−4），将点C的坐标代入得：−4a＝4，解得a＝−1，∴抛物线的解析式为y＝−x2+3x+4；（2）①如图1，抛物线的对称轴是：x＝−＝，∴CD＝，EF＝+＝＝，设点N的坐标为（，a）则ND＝4−a，NE＝a，当△CDN∽△FEN时，＝，即＝，解得a＝，∴点N的坐标为（，）；当△CDN∽△NEF时，＝，即＝，解得：a1＝a2＝2，∴点N的坐标为（，2），综上所述，点N的坐标为（，）或（，2）；②如图2所示：过点A作GH∥y轴，过点M作MG⊥GH于G，过点A作AE⊥AM，交MP于点E，∵∠AMP＝45°，∠MAE＝90°，∴△AEM是等腰直角三角形，∴AM＝AE，将x＝1代入抛物线的解析式得：y＝6，∴点M的坐标为（1，6），∴MG＝2，AG＝6，∵∠GAM+∠EAH＝90°，∠EAH+∠AEH＝90°，∴∠GAM＝∠AEH，∵∠G＝∠H＝90°，。
云南中考数学总复习专项练习：专项四二次函数综合题
云南中考数学总复习专项练习：专项四 二次函数综合题类型一 代数问题(2021·杭州)设二次函数y ＝ax2＋bx －(a ＋b)(a ，b 是常数，a ≠0)(1)判定该二次函数图象与x 轴交点的个数，并说明理由；(2)若该二次函数的图象通过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；(3)若a ＋b<0，点P(2，m)(m>0)在该二次函数图象上，求证：a>0.【自主解答】1．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x2＋bx ＋c(b ，c 差不多上常数)的图象通过点(1，0)和(0，2)．(1)当－2≤x ≤2时，求y 的取值范畴．(2)已知点P(m ，n)在该函数的图象上，且m ＋n ＝1，求点P 的坐标．2．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；(2)已知关于x 的二次函数y1＝2x2－4mx ＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx ＋5，其中y1的图象通过点A(1，1)，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x ≤3时，y2的最大值．3．规定：不相交的两个函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“靠近距离”．(1)求抛物线y ＝x2－2x ＋3与x 轴的“靠近距离”；(2)在探究问题：求抛物线y ＝x2－2x ＋3与直线y ＝x －1的“靠近距离”的过程中，有人提出：过抛物线的顶点向x 轴作垂线与直线相交，则该问题的“靠近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离，你同意他的看法吗？请说明理由．(3)若抛物线y ＝x2－2x ＋3与抛物线y ＝14x2＋c 的“靠近距离”为23，求c 的值．4．(2021·舟山)已知，点M 为二次函数y ＝－(x －b)2＋4b ＋1图象的顶点，直线y ＝mx ＋5分别交x 轴，y 轴于点A 、B.(1)判定顶点M 是否在直线y ＝4x ＋1上，并说明理由；(2)如图1，若二次函数图象也通过点A 、B ，且mx ＋5>－(x －b)2＋4b ＋1.依照图象，写出x 的取值范畴；(3)如图2，点A 坐标为(5，0)，点M 在△AOB 内，若点C(14，y1)，D(34，y2)都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．图1 图2类型二 面积问题(2021·泰安节选)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 交x 轴于点A(－4，0)、B(2，0)，交y 轴于点C(0，6)，在y 轴上有一点E(0，－2)，连接AE.(1)求二次函数的表达式；(2)若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求△ADE 面积的最大值．【自主解答】1．(2021·腾冲模拟)已知直线y ＝2x ＋m 与抛物线y ＝ax2＋ax ＋b 有一个公共点M(1，0)，且a<b.(Ⅰ)求抛物线顶点Q 的坐标(用含a 的代数式表示)；(Ⅱ)说明直线与抛物线有两个交点；(Ⅲ)直线与抛物线的另一个交点记为N ； (ⅰ)若－1≤a ≤12，求线段MN 长度的取值范畴；(ⅱ)求△QMN 面积的最小值．2．(2021·金华)如图，抛物线y ＝ax2＋bx(a ≠0)过点E(10，0)，矩形A BCD 的边AB 在线段OE 上(点A 在点B 的左边)，点C ，D 在抛物线上．设A(t ，0)，当t ＝2时，AD ＝4.(1)求抛物线的函数表达式．(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．3．(2021·东营)如图，抛物线y＝a(x－1)(x－3)(a＞0)与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC.(1)求线段OC的长度；(2)设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，要求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．(2021·永州)如图1，抛物线的顶点A的坐标为(1，4)，抛物线与x 轴相交于B、C两点，与y轴交于点E(0，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点F(0，－3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG ＋FG最小，假如存在，求出点G的坐标；假如不存在，请说明理由；(3)如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段A B的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N(点M、N都在抛物线对称轴的右侧)，当MN最大时，求△PON的面积．图1 图2类型三专门三角形的存在性问题(2021·昆明)如图1，对称轴为直线x＝12的抛物线通过B(2，0)、C(0，4)两点，抛物线与x轴的另一交点为A.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；(3)如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在如此的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2【自主解答】1．(2021·枣庄节选)如图1，已知二次函数y ＝ax2＋32x ＋c(a ≠0)的图象与y 轴交于点A(0，4)，与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为(8，0)，连接AB 、AC. (1)请直截了当写出二次函数y ＝ax2＋32x ＋c 的表达式；(2)判定△ABC 的形状，并说明理由；(3)如图2，若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出现在点N 的坐标．图1 图22．(2021·昆明盘龙区模拟)如图，抛物线的图象与x 轴交于A 、B 两点，点A在点B 的左边，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，且A(－6，0)，D(－2，－8)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 下方的抛物线上一动点，不与点A 、C 重合，求过点P 作x 轴的垂线交于AC 于点E ，求线段PE 的最大值及P 点坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．(2021·资阳)已知：如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与坐标轴分别交于点A(0，6)，B(6，0)，C(－2，0)，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．类型四 专门四边形的存在性问题(2021·曲靖)如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝13x －43与x轴交于点A ，通过点A 的抛物线y ＝ax2－3x ＋c 的对称轴是x ＝32.(1)求抛物线的解析式；(2)平移直线l 通过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，P B ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE ＝13PF ，求证PE ⊥PF ；(3)若(2)中的点P 坐标为(6，2)，点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使得四边形PEQF 是矩形？假如存在，要求出点Q 的坐标，假如不存在，请说明理由．【分析】 (1)先确定点A 的坐标，再把抛物线的对称轴直线代入公式求a 值，结合点A 的坐标，确定c 值，从而得出抛物线的解析式；(2)运用两边斜边与一组直角边的比值相等，以及两个三角形差不多上直角三角形，证明两个直角三角形相似，从而得出两个锐角相等，依照PC 与PB 的垂直关系，论述PF 与PE 的垂直关系；(3)画出图形，进行分类讨论，注意(2)中两个三角形相似，构造比例式，建立方程模型进行点的坐标的运算，那个地点有两个答案，不可忽视第二种情形．【自主解答】1．(2021·河南)如图，抛物线y ＝ax2＋6x ＋c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线y ＝x －5通过点B ，C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点A 的直线交直线BC 于点M.①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P(不与点B ，C 重合)，作直线A M 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直截了当写出点M 的坐标．2．(2021·岳阳)已知抛物线F ：y ＝x2＋bx ＋c 的图象通过坐标原点O ，且与x 轴另一交点为(－33，0)．(1)求抛物线F 的解析式；(2)如图1，直线l ：y ＝33x ＋m(m ＞0)与抛物线相交于点A(x1，y1)和点B(x2，y2)(点A 在第二象限)，求y2－y1的值(用含m 的式子表示)；(3)在(2)中，若m ＝43，设点A ′是点A 关于原点O 的对称点，如图2.①判定△AA ′B 的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P ，使得以点A 、B 、A ′、P 为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图23．(2021·南充)如图，抛物线顶点P(1，4)，与y 轴交于点C(0，3)，与x 轴交于点A ，B.(1)求抛物线的解析式；(2)Q 是抛物线上除点P 外一点，△BCQ 与△BCP 的面积相等，求点Q 的坐标；(3)若M ，N 为抛物线上两个动点，分别过M ，N 作直线BC 的垂线段，垂足分别为D ，E ，是否存在点M ，N 使四边形MNED 为正方形？假如存在，求正方形MNED 的边长；假如不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2－2ax －3a(a ＞0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，通过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC.(1)直截了当写出点A 的坐标，并用含a 的式子表示直线l 的函数表达式(其中k 、b 用含a 的式子表示)；(2)点E 为直线l 下方抛物线上一点，当△ADE 的面积的最大值为254时，求抛物线的函数表达式；(3)设点P 是抛物线对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．类型五 相似三角形的存在性问题(2021·昆明)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋32x ＋c(a≠0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的右侧)，与y 轴交于点C ，点A的坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x ＝32.(1)求抛物线的解析式；(2)M 为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，交AC 于点H ，当线段CM ＝CH 时，求点M 的坐标；【分析】 (1)第一利用对称轴公式求出a 的值，然后把点A 的坐标与a 的值代入抛物线的解析式，求出c 的值，即可确定出抛物线的解析式．(2)第一依照抛物线的解析式确定出点C 的坐标，再依照待定系数法，确定出直线AC 解析式为y ＝－12x ＋2；然后设点M 的坐标为(m ，－12m2＋32m ＋2)，H(m ，－12m ＋2)，求出MH 的值，再依照CM ＝CH ，OC ＝GE ＝2，可得MH ＝2EH ，据此求出m 的值是多少，再把m 的值代入抛物线的解析式，求出y 的值，即可确定点M 的坐标．【自主解答】(3)在(2)的条件下，将线段MG 绕点G 顺时针旋转一个角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，设线段MG 与抛物线交于点N ，在线段GA 上是否存在点P ，使得以P 、N 、G 为顶点的三角形与△ABC 相似？假如存在，要求出点P 的坐标；假如不存在，请说明理由．例5题图 备用图【分析】 (3)第一判定出△ABC 为直角三角形，然后分两种情形：①当N1P1AC ＝P1G CB 时；②当N2P2BC ＝P2G CA 时，依照相似三角形的性质，判定出是否存在点P ，使得以P 、N 、G 为顶点的三角形与△ABC 相似即可．【自主解答】1．(2021·达州)如图，抛物线通过原点O(0，0)，点A(1，1)，点B(72，0)．(1)求抛物线解析式；(2)连接OA ，过点A 作AC ⊥OA 交抛物线于C ，连接OC ，求△AOC 的面积；(3)点M 是y 轴右侧抛物线上一动点，连接OM ，过点M 作MN ⊥OM 交x 轴于点N.问：是否存在点M ，使以点O 、M 、N 为顶点的三角形与(2)中的△AO C 相似，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．第1题图备用图2．(2021·德州)如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A，B两点，其中A(m，0)，B(4，n)，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.(1)求m，n的值及该抛物线的解析式；(2)如图2，若点P为线段AD上的一动点(不与A，D重合)，分别以A P，DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；(3)如图3，连接BD，CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直截了当写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．图1 图2 图33．(2021·武汉)抛物线L：y＝－x2＋bx＋c通过点A(0，1)，与它的对称轴直线x＝1交于点B，(1)直截了当写出抛物线L的解析式；(2)如图1，过定点的直线y＝kx－k＋4(k＜0)与抛物线L交于点M、N.若△BMN的面积等于1，求k的值；(3)如图2，将抛物线L向上平移m(m＞0)个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D. F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，同时符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．图1 图2类型六线段问题(2021·湘潭)如图，点P为抛物线y＝14x2上一点．(1)若抛物线y＝14x2是由抛物线y＝14(x＋2)2－1通过图象平移得到的，请写出平移过程；(2)若直线l通过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作PM⊥l于M.①问题探究：如图1，在对称轴上是否存在一定点F ，使得PM ＝PF 恒成立？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．②问题解决：如图2，若点Q 坐标为(1，5)，求QP ＋PF 的最小值． 图1 图2【分析】 (1)找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式．(2)①设出点P 坐标，利用PM ＝PF 运算BF ，求得F 坐标；②利用PM ＝PF ，将QP ＋PF 转化为QP ＋QM ，利用垂线段最短解决问题．【自主解答】1．(2021·红河州二模)如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax2＋bx ＋6(a ≠0)相交于A(12，52)和B(4，m)，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在如此的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出那个最大值；若不存在，请说明理由．2．(2021·宜宾)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且通过点(4，1)，如图，直线y ＝14x 与抛物线交于A 、B 两点，直线l 为y ＝－1.(1)求抛物线的解析式；(2)在l 上是否存在一点P ，使PA ＋PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)知F(x0，y0)为平面内一定点，M(m ，n)为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 (1)解： ∵Δ＝b2＋4a(a ＋b)＝b2＋4ab ＋4a2＝(b ＋2a)2， ∴当b ＋2a ＝0时，Δ＝0，图象与x 轴有一个交点；当b ＋2a ≠0时，Δ>0，图象与x 轴有两个交点；(2)解： ∵当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b)＝0，∴图象不可能过点C(1，1)．∴函数的图象通过A(－1，4)，B(0，－1)两点． 代入可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －（a ＋b ）＝4，－（a ＋b ）＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2， ∴该二次函数的表达式为y ＝3x2－2x －1.(3)证明： ∵点P(2，m)(m>0)在该二次函数图象上，∴m ＝4a ＋2b －(a ＋b)＝3a ＋b>0，又a ＋b<0，∴(3a ＋b)－(a ＋b)>0，整理得2a>0，∴a>0.针对训练 1．解： (1)将(1，0)，(0，2)代入y ＝x2＋bx ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，c ＝2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2. ∴那个函数的解析式为：y ＝x2－3x ＋2＝(x －32)2－14；把x ＝－2代入y ＝x2－3x ＋2得，y ＝12，∴y 的取值范畴是－14≤y ≤12.(2)∵点P(m ，n)在该函数的图象上，∴n ＝m2－3m ＋2，∵m ＋n ＝1，∴m2－2m ＋1＝0，解得m ＝1，n ＝0，∴点P 的坐标为(1，0)．2．解： (1)定义翻译：“同簇二次函数”即两个二次函数y1与y2的顶点坐标一样，且二次项系数的正负性相同．本题是开放题，答案不唯独，符合题意即可．如：y1＝2x2，y2＝x2，顶点坐标都为(0，0)，且二次项系数均为正数，故符合．(2)∵函数y1的图象通过点A(1，1)，则2－4m ＋2m2＋1＝1，解得m ＝1.∴y1＝2x2－4x ＋3＝2(x －1)2＋1.∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，∴可设y1＋y2＝k(x －1)2＋1(k>0)，则y2＝k(x －1)2＋1－y1＝(k －2)(x －1)2.由题意可知函数y2的图象通过点(0，5)，则(k －2)×(－1)2＝5.∴k －2＝5.∴y2＝5(x －1)2＝5x2－10x ＋5.依照y2的函数图象性质可知：当0≤x ≤1时，y 随x 的增大而减小；当1≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，故0≤x ≤3时，y2的最大值＝5×(3－1)2＝20.【一题多解】∵y1＋y2与y1是“同簇二次函数”，则y1＋y2＝(a ＋2)x2＋(b －4)x ＋8(a ＋2>0)． ∴－b －42（a ＋2）＝1，化简得：b ＝－2a ， 又32（a ＋2）－（b －4）24（a ＋2）＝1，将b ＝－2a 代入其中， 解得a ＝5，b ＝－10.∴y2＝5x2－10x ＋5.依照y2的函数图象性质可知：当0≤x ≤1时，y 随x 的增大而减小；当1≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，故0≤x ≤3时，y2的最大值＝5×32－10×3＋5＝20.3．解： (1)∵y ＝(x －1)2＋2，∴抛物线上的点到x 轴的最短距离为2，∴抛物线y ＝x2－2x ＋3与x 轴的“靠近距离”为2；(2)不同意他的看法，理由如下：如解图，P 点为抛物线y ＝x2－2x ＋3任意一点，作PQ ∥y 轴交直线y ＝x －1于Q ，设P(t ，t2－2t ＋3)，则Q(t ，t －1)，∴PQ ＝t2－2t ＋3－(t －1)＝t2－3t ＋4＝(t －32)2＋74，当t ＝32时，PQ 有最小值，最小值为74，∴抛物线y ＝x2－2x ＋3与直线y ＝x －1的“靠近距离”为74，而过抛物线的顶点向x 轴作垂线与直线相交，抛物线顶点与交点之间的距离为2，∴不同意他的看法；(3)M 点为抛物线y ＝x2－2x ＋3上任意一点，如解图，作MN ∥y 轴交抛物线y ＝14x2＋c 于N ， 设M(t ，t2－2t ＋3)，则N(t ，14t2＋c)， ∴MN ＝t2－2t ＋3－(14t2＋c)＝34t2－2t ＋3－c ＝34(t －43)2＋53－c ，当t ＝43时，MN 有最小值，最小值为53－c ，∴抛物线y ＝x2－2x ＋3与抛物线y ＝14x2＋c 的“靠近距离”为53－c ，∴53－c ＝23，∴c ＝1.4．解： (1)由顶点式可知，点M 坐标是(b ，4b ＋1)，∴把x ＝b 代入y ＝4x ＋1，得y ＝4b ＋1，∴点M 在直线y ＝4x ＋1上．(2)如解图1，∵直线y ＝mx ＋5与y 轴交于点B ，∴点B 坐标为(0，5)．又∵B(0，5)在抛物线上，∴5＝－(0－b)2＋4b ＋1，解得b ＝2，∴二次函数的表达式为y ＝－(x －2)2＋9，∴当y ＝0时，得x1＝5，x2＝－1.∴A(5，0)观看图象可得，当mx ＋5>－(x －b)2＋4b ＋1时，x 的取值范畴为x ＜0或x ＞5.图1 图2(3)如解图2，∵直线y ＝4x ＋1与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ， 而直线AB 的表达式为y ＝－x ＋5， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋1，y ＝－x ＋5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝215. ∴点E(45，215)，F(0，1)． ∵点M 在△AOB 内，∴1＜4b ＋1＜215，∴0＜b ＜45.当点C 、D 关于抛物线对称轴(直线x ＝b)对称时，b －14＝34－b ，∴b ＝12. 且二次函数图象的开口向下，顶点M 在直线y ＝4x ＋1上， 综上：①当0＜b ＜12时，y1＞y2；②当b ＝12时，y1＝y2；③当12＜b ＜45时，y1＜y2.类型二 【例2】 (1)由题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝－32，c ＝6，∴二次函数的表达式为y ＝－34x2－32x ＋6. (2)由A(－4，0)，E(0，－2)， 可求得AE 所在直线解析式为y ＝－12x －2.如解图，过点D 作DF 与y 轴平行，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H.设D 点坐标为(x0，－34x02－32x0＋6)， 则F 点坐标为(x0，－12x0－2)， 则DF ＝－34x02－32x0＋6－(－12x0－2)＝－34x02－x0＋8.又S △ADE ＝S △ADF ＋S △EDF ，∴S △ADE ＝12·DF ·AG ＋12DF ·EH ＝12×4×DF＝2×(－34x02－x0＋8) ＝－32(x0＋23)2＋503，∴当x0＝－23时，△ADE 的面积取得最大值503.针对训练1．解： (Ⅰ)∵抛物线过点M(1，0)，∴a ＋a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，∴y ＝ax2＋ax ＋b ＝ax2＋ax －2a ＝a(x ＋12)2－9a 4，∴抛物线顶点Q 的坐标为(－12，－9a 4)．(Ⅱ)∵直线y ＝2x ＋m 通过M(1，0)，∴0＝2×1＋m ，解得m ＝－2.把y ＝2x －2代入y ＝ax2＋ax －2a ，得ax2＋(a －2)x －2a ＋2＝0，(*) ∴Δ＝(a －2)2－4a(－2a ＋2)＝9a2－12a ＋4，由(Ⅰ)知b ＝－2a ，又a<b ，因此a<0，b>0.因此Δ>0，因此方程(*)有两个不相等的实数根，故直线与抛物线有两个交点．(Ⅲ)把y ＝2x －2代入y ＝ax2＋ax －2a ，得ax2＋(a －2)x －2a ＋2＝0，即x2＋(1－2a )x －2＋2a ＝0， ∴[x ＋(12－1a )]2＝(1a －32)2， 解得x1＝1，x2＝2a －2，∴点N(2a －2，4a －6)．(ⅰ)依照勾股定理得， MN2＝[(2a －2)－1]2＋(4a －6)2＝20a2－60a ＋45＝20×(1a －32)2， ∵－1≤a ≤－12，由反比例函数性质知－2≤1a ≤－1，∴1a －32<0， ∴MN ＝25×(32－1a )＝35－25a ，∴55≤MN ≤7 5.(ⅱ)如解图，作直线x ＝－12交直线y ＝2x －2于点E.把x ＝－12代入y ＝2x －2得，y ＝－3，即E(－12，－3)．又∵M(1，0)，N(2a －2，4a －6)，且由(Ⅱ)知a<0，∴△QMN 的面积S ＝S △QEN ＋S △QEM ＝12|(2a －2)－1|·|－9a 4－(－3)|＝274－3a －27a 8.即27a2＋(8S －54)a ＋24＝0，(*)∵关于a 的方程(*)有实数根，∴Δ＝(8S －54)2－4×27×24≥0，即(8S －54)2≥(362)2，又∵a<0，∴S ＝274－3a －27a 8>274，∴8S －54>0，∴8S －54≥362，即S ≥274＋922， 当S ＝274＋922时，由方程(*)可得a ＝－223满足题意，故当a ＝－223，b ＝423时，△QMN 面积的最小值为274＋922.2．解： (1)设抛物线的函数表达式为y ＝ax(x －10)，∵当t ＝2时，AD ＝4，∴点D 的坐标为(2，4)．∴4＝a ×2×(2－10)，解得a ＝－14，∴抛物线的函数表达式为y ＝－14x2＋52x ；(2)由抛物线的对称性得BE ＝OA ＝t ，∴AB ＝10－2t ，当x ＝t 时，AD ＝－14t2＋52t.∴矩形ABCD 的周长＝2(AB ＋AD)＝2[(10－2t)＋(－14t2＋52t)] ＝－12t2＋t ＋20 ＝－12(t －1)2＋412，∵－12＜0，∴当t ＝1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412；(3)当t ＝2时，点A 、B 、C 、D 的坐标分别为(2，0)、(8，0)、(8，4)、 (2，4)，如解图，连接AC 、BD 交于点P ，抛物线与矩形ABCD 交于G 、H 两点，∴矩形ABCD 对角线的交点P 的坐标为(5，2)，当平移后的抛物线过点A 时，点H 的坐标为(4，4)，现在GH 不能将矩形面积平分；当平移后的抛物线过点C 时，点G 的坐标为(6，0)，现在GH 也不能将矩形面积平分．∴当G 、H 中有一点落在线段AD 或BC 上时，直线GH 不可能将矩形的面积平分，当点G 、H 分别落在线段AB 、DC 上时，直线GH 过点P ，必平分矩形ABCD 的面积．∵AB ∥CD ，∴线段OD 平移后得到的线段GH ，∴线段OD 的中点Q 平移后的对应点是P ，在△OBD 中，PQ 是中位线，∴PQ ＝12OB ＝4， ∴抛物线向右平移的距离是4个单位． 3．解：(1)如解图，连接AC ，令y ＝a(x －1)(x －3)＝0，可得：x1＝1，x2＝3，∴OA ＝1，OB ＝3，∵△OCA ∽△OBC ，∴OC OB ＝OA OC ，∴OC2＝OA ·OB ＝1×3＝3，∴OC ＝ 3.(取正)(2)如解图，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，则CD ∥OM ， ∴OD OB ＝MC BM ，∵点C 是BM 的中点，∴OD ＝12OB ＝32，∴CD ＝OC2－OD2＝（3）2－（32）2＝32，∴C 点坐标为(32，－32)，设yBM ＝kx ＋b ，将B ，C 两点的坐标代入得： ⎩⎨⎧3k＋b ＝0，32k ＋b ＝－32， 解得：⎩⎨⎧k ＝3b ＝－3，∴直线BM 的解析式为：y ＝33x －3， 将点C(32，－32)代入y ＝a(x －1)(x －3)得：a(32－1)(32－3)＝－32，解得：a ＝233，∴抛物线的解析式为：y ＝233×(x －1)(x －3)＝233x2－833x ＋2 3.(3)存在点P ，使得四边形ABPC 面积最大．如解图，∵S 四边形ABPC ＝S △ABC ＋S △BPC ，S △ABC 是常量，S △BPC 的面积随点P 的位置变化而变化，∴向下平移直线BM ，当平移后的直线B ′M ′和抛物线y ＝233x2－833x ＋23有唯独公共点时，四边形ABPC 面积最大， 设直线B ′M ′的解析式为：y ＝33x －3－m ， 代入y ＝233x2－833x ＋23得： 33x －3－m ＝233x2－833x ＋23， 233x2－33x ＋33＋m ＝0，① 由题意可得：Δ＝(－33)2－4×233×(33＋m)＝0，解得：m ＝338，方程①变为：233x2－33x ＋2738＝0，解得：x1＝x2＝94，将x ＝94代入y ＝233x2－833x ＋23得： y ＝233×(94)2－833×94＋23＝－538，∴存在点P 使得四边形ABPC 面积最大，现在点P 的坐标为(94，－538)．4．解： (1)设抛物线的表达式为y ＝a(x －1)2＋4，把点E(0，3)代入得a(0－1)2＋4＝3，解得a ＝－1，∴y ＝－(x －1)2＋4＝－x2＋2x ＋3；(2)存在．如解图1，点E 关于对称轴直线x ＝1的对称点为E ′(2，3)， 设过E ′，F 的直线表达式为y ＝mx ＋n ， 把E ′、F 两点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝3，n ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－3， ∴直线E ′F 的表达式为y ＝3x －3，把x ＝1代入，得y ＝0，∴点G 的坐标为(1，0)；(3)要使MN 最大，即要使△ABN 面积最大，连接AN ，过N 作NH ⊥x 轴，交直线AB 于点H ，交x 轴于点K ，如解图2.在y ＝－x2＋2x ＋3中，令y ＝0，则－x2＋2x ＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，即B(3，0)，过A(1，4)，B(3，0)两点的直线表达式为y ＝－2x ＋6，设N(t ，－t2＋2t ＋3)，则H(t ，－2t ＋6)，∴NH ＝－t2＋4t －3，∵MN ⊥AB ，∴当MN 最大时，S △ABN 最大，又∵S △ABN ＝S △ANH ＋S △BHN ＝12NH ·|xB －xA|＝12NH ·2＝NH ，当NH 最大时，△ABN 面积最大，NH ＝－t2＋4t －3＝－(t －2)2＋1， 当t ＝2时，NH 最大，∴N(2，3)．过点A 作AQ ⊥x 轴，垂足为Q ，明显AQ 在抛物线的对称轴上， ∴AQ ＝4，OQ ＝1，BQ ＝BO －OQ ＝3－1＝2.在Rt △AQB 中，由勾股定理得AB ＝2 5.设直线PN 交x 轴于点D ，∵PN ⊥AB ，∴∠BMD ＝90°，∴∠ABD ＋∠BDN ＝90°.∵NH ⊥x 轴，∴∠DKN ＝90°，∴∠DNK ＋∠BDN ＝90°，∴∠ABD ＝∠DNK.在△ABQ 和△DNK 中，∠AQB ＝∠DKN ＝90°，∠ABD ＝∠DNK ，∴△ABQ ∽△DNK ，∴AQ DK ＝BQ NK ，∴4DK ＝23，∴DK ＝6，∴DO ＝DK －OK ＝6－2＝4，∴D(－4，0)．设直线PN 的表达式为y ＝kx ＋c ，把点D(－4，0)，N(2，3) 代入得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋c ＝0，2k ＋c ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝12，c ＝2， ∴直线PN 的表达式为y ＝12x ＋2，与y 轴交点P 的坐标为(0，2)，∴S △PON ＝12×2×2＝2.图1 图2类型三【例3】 解：(1)由对称性得：A(－1，0)，设抛物线的解析式为：y ＝a(x ＋1)(x －2)，把C(0，4)代入解析式得：4＝－2a ，a ＝－2，∴y ＝－2×(x ＋1)(x －2)，∴抛物线的解析式为：y ＝－2x2＋2x ＋4；(2)如解图1，设点P(m ，－2m2＋2m ＋4)，过P 作PD ⊥x 轴，垂足为D ，∴S 四边形COBP ＝S 梯形ODPC ＋S △PDB＝12m(－2m2＋2m ＋4＋4)＋12×(－2m2＋2m ＋4)(2－m)，S ＝－2m2＋4m ＋4＝－2×(m －1)2＋6，∵－2＜0，∴S 有最大值，则S 最大＝6；图1 图2(3)存在如此的点Q ，使△MQC 为等腰三角形且△MQB 为直角三角形， 理由是：分以下两种情形：①当∠BQM ＝90°时，如解图2：∵∠CMQ ＞90°，∴只能CM ＝MQ.设直线BC 的解析式为：y ＝kx ＋b(k ≠0)， 把B(2，0)，C(0，4)代入得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝0，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝4， ∴直线BC 的解析式为：y ＝－2x ＋4，设M(m ，－2m ＋4)，则MQ ＝－2m ＋4，OQ ＝m ，BQ ＝2－m ，在Rt △OBC 中，BC ＝OB2＋OC2＝22＋42＝25，∵MQ ∥OC ，∴△BMQ ∽△BCO ， ∴BM BC ＝BQ BO ，即BM 25＝2－m 2， ∴BM ＝5×(2－m)＝25－5m ，∴CM ＝BC －BM ＝25－(25－5m)＝5m ， ∵CM ＝MQ ，∴－2m ＋4＝5m ，m ＝45＋2＝45－8， ∴Q(45－8，0)．②当∠QMB ＝90°时，如解图3，由①得，QM ＝CM ＝5m ，BM ＝25－5m ，∵△QMB ∽△COB ，∴QM CO ＝BM OB ＝QB CB ，∴5m 4＝25－5m 2＝QB 25， ∴m ＝43，∴QB ＝103，∴OQ ＝103－2＝43，∴Q(－43，0)，综上所述，Q 点坐标为(45－8，0)或(－43，0)．针对训练1．解： (1)∵二次函数y ＝ax2＋32x ＋c 的图象与y 轴交于点A(0，4)，与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为(8，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，64a ＋12＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－14，c ＝4， ∴抛物线表达式为y ＝－14x2＋32x ＋4；(2)△ABC 是直角三角形．理由如下： 令y ＝0，则－14x2＋32x ＋4＝0，解得x1＝8，x2＝－2，∴点B 的坐标为(－2，0)，在Rt △ABO 中，AB2＝BO2＋AO2＝22＋42＝20，在Rt △AOC 中，AC2＝AO2＋CO2＝42＋82＝80，又∵BC ＝OB ＋OC ＝2＋8＝10，∴在△ABC 中，AB2＋AC2＝20＋80＝102＝BC2，∴△ABC 是直角三角形．(3)∵A(0，4)，C(8，0)，∴AC ＝42＋82＝45， ①以A 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N ，现在N 的坐标为(－8，0)；②以C 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N ，现在N 的坐标为(8－45，0)或(8＋45，0)；③作AC 的垂直平分线，交x 轴于N ，现在N 的坐标为(3，0)，综上，若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点N 的坐标分别为(－8，0)、(8－45，0)、(3，0)、(8＋45，0)．2．解： (1)设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋2)2－8， 把A(－6，0)代入得a(－6＋2)2－8＝0，解得a ＝12，∴抛物线的解析式为y ＝12(x ＋2)2－8， 即y ＝12x2＋2x －6； (2)如解图，当x ＝0时，y ＝12x2＋2x －6＝－6，则C点坐标为(0，－6)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A(－6，0)，C(0，－6)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－6k ＋b ＝0，b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－6， ∴直线AC 的解析式为y ＝－x －6，设P(x ，12x2＋2x －6)(－6＜x ＜0)，则E(x ，－x －6)， ∴PE ＝－x －6－(12x2＋2x －6)＝－12x2－3x ＝－12(x ＋3)2＋92，当x ＝－3时，PE 的长度有最大值，最大值为92，现在P 点坐标为(－3，－152)；(3)存在．抛物线的对称轴为直线x ＝－2，设M(－2，t)，∵A(－6，0)，C(0，－6)，∴AC2＝62＋62＝72，AM2＝(－2＋6)2＋t2，CM2＝(－2)2＋(t ＋6)2， 当AC2＋AM2＝CM2，△ACM 为直角三角形，即72＋(－2＋6)2＋t2＝(－2)2＋(t ＋6)2，解得t ＝4，现在M 点坐标为(－2，4)；当AC2＋CM2＝AM2，△ACM 为直角三角形，即72＋(－2)2＋(t ＋6)2＝(－2＋6)2＋t2，解得t ＝－8，现在M 点坐标为(－2，－8)；当CM2＋AM2＝AC2，△ACM 为直角三角形，即(－2＋6)2＋t2＋(－2)2＋(t ＋6)2＝72，解得t1＝－3＋17，t2＝－3－17，现在M 点坐标为(－2，－3＋17)或(－2，－3－17)．综上所述，M 点的坐标为(－2，4)或(－2，－8)或(－2，－3＋17)或(－2，－3－17)．3．解： (1)抛物线过点B(6，0)，C(－2，0)，∴设抛物线解析式为y ＝a(x －6)(x ＋2)，将点A(0，6)代入，得：－12a ＝6，解得：a ＝－12，因此抛物线解析式为y ＝－12(x －6)(x ＋2)＝－12x2＋2x ＋6；(2)如解图1，过点P 作PM ⊥OB 于点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b ，将A(0，6)，B(6，0)代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，6k ＋b ＝0， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝6， 则直线AB 解析式为y ＝－x ＋6，设P(t ，－12t2＋2t ＋6)，其中0<t<6，则N(t ，－t ＋6)，∴PN ＝PM －MN ＝－12t2＋2t ＋6－(－t ＋6)＝－12t2＋2t ＋6＋t －6＝－12t2＋3t ，∴S △PAB ＝S △PAN ＋S △PBN＝12PN ·(AG ＋BM) ＝12PN ·OB＝12×⎝⎛⎭⎪⎫－12t2＋3t ×6 ＝－32t2＋9t ＝－32(t －3)2＋272；∴当t ＝3时，△PAB 的面积有最大值，即点P 运动到(3，152)；(3)如解图2，∵PH ⊥OB 于H ，∴∠DHB ＝∠AOB ＝90°，∴DH ∥AO ，∵OA ＝OB ＝6，∴∠BDH ＝∠BAO ＝45°，∵PE ∥x 轴，PD ⊥x 轴，∴∠DPE ＝90°，若△PDE 为等腰直角三角形，则∠EDP ＝45°，∴∠EDP 与∠BDH 互为对顶角，即P 点E 与点A 重合，则当y ＝6时，－12x2＋2x ＋6＝6，解得x ＝0(舍)或x ＝4.即点P(4，6)．类型四【例4】 解：(1)直线l ：y ＝13x －43与x 轴交于点A ，∴点A 的坐标是(4，0)，抛物线的对称轴是直线x ＝32.∴－－32a ＝32，解得a ＝1，∴抛物线的解析式是y ＝x2－3x ＋c ，代入点A 坐标，得出42－3×4＋c ＝0，解得c ＝－4，∴抛物线的解析式是y ＝x2－3x －4.(2)平移直线l 通过原点O ，得到直线m ，直线l 解析式是：y ＝13x －43，∴直线m 的解析式是y ＝13x ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，设点P 坐标是(p ，13p)(p ＞0)， ∴PC ＝OB ＝p ，PB ＝13p ，点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且P E ＝13PF ， ∴∠PBE ＝∠PCF ＝90°，PE PF ＝PB PC ＝13，∴Rt △PEB ∽Rt △PFC.∴∠FPC ＝∠EPB ，而PC ⊥PB ，∠CPB ＝90°，∴∠FPE ＝∠FPC ＋∠CPE ＝∠CPE ＋∠EPB ＝90°，∴PE ⊥PF.(3)当(2)中的点P 坐标为(6，2)，则B(6，0)，设点E 的坐标是(a ，0)，①当PE ⊥PF 时，Rt △PEB ∽Rt △PFC ，∴PB ＝2，BE ＝6－a ，PC ＝6.当点E 在点B 的左侧时，点F 一定在点C 的上方，即是a ＜6时，Rt △PEB ∽Rt △PFC ，则PB PC ＝BE CF ，∴26＝6－a CF ，得出CF ＝18－3a.∴F(0，20－3a)，设Q 坐标是(xQ ，yQ)，当四边形PEQF 是矩形时，∠FPE ＝90°，只需四边形PEQF 是平行四边形．当四边形PEQF 是矩形时，xE ＋xF ＝xQ ＋xP ，且yE ＋yF ＝yQ ＋yP ， 得出⎩⎪⎨⎪⎧a ＋0＝xQ ＋6，0＋20－3a ＝yQ ＋2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧xQ ＝a －6，yQ ＝18－3a ， ∴点Q 坐标是(a －6，18－3a)，又∵点Q 在抛物线y ＝x2－3x －4上，代入抛物线解析式得出：a2－12x ＋32＝0，解得方程的两根分别是4与8，∵a ＜6，∴只取a ＝4，则a －6＝－2，18－3a ＝6.∴点Q 坐标是(－2，6)．②当点E 在点B 的右侧时，如解图．设E(a ，0)，已知P(6，2)，点F 在点C 的下方，Rt △PEB ∽Rt △PFC ，则PB PC ＝BE CF ，∴26＝a －6CF ，得出CF ＝3a －18.∴F(0，2－3a ＋18)，∴F(0，20－3a)，设点Q 坐标是(xQ ，yQ)，当四边形PEQF 是矩形时，∠FPE ＝90°，只需四边形PEQF 是平行四边形．xE ＋xF ＝xQ ＋xP ，且yE ＋yF ＝yQ ＋yP ， 得出⎩⎪⎨⎪⎧a ＋0＝xQ ＋6，0＋20－3a ＝yQ ＋2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧xQ ＝a －6，yQ ＝18－3a ， ∴点Q 坐标是(a －6，18－3a)，又∵点Q 在抛物线y ＝x2－3x －4上，代入抛物线解析式得出：a2－12x ＋32＝0，解得方程的两根分别是4(舍)与8，∴当a ＝8，点Q 坐标是(2，－6)，∵当x ＝2时，y ＝x2－3x －4＝－6，符合题意．综合所述，符合题意的点Q 坐标分别是(－2，6)与(2，－6)． 针对训练1．解： (1)∵直线y ＝x －5交x 轴于点B ，交y 轴于点C ， ∴B(5，0)，C(0，－5)．∵抛物线y ＝ax2＋6x ＋c 过点B ，C ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝25a ＋30＋c ，－5＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－5， ∴抛物线的解析式为：y ＝－x2＋6x －5.(2)∵OB ＝OC ＝5，∠BOC ＝90°，∴∠ABC ＝45°，∵抛物线y ＝－x2＋6x －5交x 轴于A ，B 两点，∴A(1，0)，∴AB ＝4，∵AM ⊥BC ，∴AM ＝22， ∵PQ ∥AM ，∴PQ ⊥BC ， 若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则PQ ＝AM ＝22，过点P 作PD ⊥x 轴交直线BC 于点D ，则∠PDQ ＝45°，∴PD ＝2PQ ＝4.设P(m ，－m2＋6m －5)，则D(m ，m －5)．分两种情形讨论如下：(ⅰ)当点P 在直线BC 上方时，PD ＝－m2＋6m －5－(m －5)＝－m2＋5m ＝4，∴m1＝1(舍去)，m2＝4(ⅱ)当点P 在直线BC 下方时，PD ＝m －5－(－m2＋6m －5)＝m2－5m ＝4， ∴m1＝5＋412，m2＝5－412. 综上，点P 的横坐标为4或5＋412或5－412. ②M(136，－176)或(236，－76)． 2．解： (1)抛物线y ＝x2＋bx ＋c 通过原点和点(－33，0)，可得抛物线解析式为：y ＝(x ＋33)x ，即y ＝x2＋33x ； (2)直线y ＝33x ＋m 与抛物线y ＝x2＋33x 相交于点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，且点A 在第二象限，联立可得： ⎩⎨⎧y ＝33x ＋m ，y ＝x2＋33x ， ∴x2＝m ，∴x1＝－m ，x2＝m ， ∴x2－x1＝2m ，∵y1＝33x1＋m ，y2＝33x2＋m ， ∴y2－y1＝33x2＋m －33x1－m ＝33(x2－x1)＝23m 3；(3)①若m ＝43，则直线为y ＝33x ＋43，与x 交点M(－433，0)，与y 轴交点N(0，43)， ∴tan ∠MNO ＝OM ON ＝433×34＝3，∴∠MNO ＝60°，又可得直线y ＝33x ＋43与抛物线y ＝x2＋33x 的交点A 和B 的横坐标为：xA ＝－m ＝－233，xB ＝233，∴A(－233，23)，B(233，2)，∴A 为MN 中点，在Rt △MON 中，OA ＝AN ，∴∠NAO ＝∠AON ＝∠ANO ＝60°，∵点A 关于原点的对称点为A ′(233，－23)，∴xA ′＝xB ，∴BA ′∥y 轴，∴∠ABA ′＝∠MNO ＝60°，∴△ABA ′为等边三角形．②存在点P 使得以点A 、B 、A ′、P 为顶点的四边形是菱形，证明如下：∵BA ′∥y 轴，∴当四边形P1AA ′B 是菱形时，如解图，AP1＝A ′B ＝2－(－23)＝83，∵点yA ＝23，∴yP1＝103，∴P1(－233，103)， 同理，当四边形P2ABA ′是菱形时，P2(－233，－2)，当四边形ABP3A ′是菱形时，点P 和点A 关于直线BA ′对称，∴P3(23，23)．综上，存在点P 使得以点A 、B 、A ′、P 为顶点的四边形是菱形，P 点坐标为： P1(－233，103)，P2(－233，－2)，P3(23，23)．3．解： (1)设抛物线解析式为：y ＝a(x －1)2＋4(a ≠0)．∵抛物线过C(0，3)，∴a ＋4＝3，∴a ＝－1.∴y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x2＋2x ＋3；(2)B(3，0)，C(0，3)．∴直线BC 为y ＝－x ＋3.∵S △PBC ＝S △QBC ，∴PQ ∥BC.①如解图1，过P 作PQ ∥BC 交抛物线于Q ，∵P(1，4)，∴直线PQ 为y ＝－x ＋5. 联立直线PQ 和抛物线解析式得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋5，y ＝－x2＋2x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝1，y1＝4；或⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2，y2＝3，∴Q1(2，3)． ②如解图1，设抛物线的对称轴交BC 于点G ，交x 轴于点H ，G(1，2)，∴PG ＝GH ＝2.过点H 作Q2Q3∥BC 交抛物线于Q2，Q3.直线Q2Q3为y ＝－x ＋1. ∴联立直线Q2Q3和抛物线解析式得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y ＝－x2＋2x ＋3. 解得⎩⎨⎧x1＝3＋172，y1＝－1－172， ⎩⎨⎧x2＝3－172，y2＝－1＋172. ∴Q2(3＋172，－1－172)，Q3(3－172，－1＋172)， 综上所述，满足条件的点为Q1(2，3)，Q2(3＋172，－1－172)，Q3(3－172，－1＋172)． (3)存在满足条件的点M ，N.如解图2，过M 作MF ∥y 轴，过N 作NF ∥x 轴交MF 于点F ，过N 作NH ∥y 轴交BC 于H.则△MNF 与△NEH 差不多上等腰直角三角形．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN 为y ＝－x ＋b. ∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，y ＝－x2＋2x ＋3， ∴x2－3x ＋(b －3)＝0.∴NF2＝|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝21－4b.∵△MNF 等腰直角三角形，∴MN2＝2NF2＝42－8b.又∵NH2＝(b －3)2，∴NE2＝12(b －3)2.∵四边形MNED 为正方形，∴NE2＝MN2，∴42－8b ＝12(b2－6b ＋9)．∴b2＋10b －75＝0，∴b1＝－15，b2＝5.∵正方形边长为MN ＝42－8b ，∴MN ＝92或 2.4．解： (1)令y ＝0，则ax2－2ax －3a ＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∵点A 在点B 的左侧，∴A(－1，0)，如解图1，作DF ⊥x 轴于F ，∴DF ∥OC ，∴OF OA ＝CD AC ，∵CD ＝4AC ，∴OF OA ＝CD AC ＝4，∵OA ＝1，∴OF ＝4，∴D 点的横坐标为4，代入y ＝ax2－2ax －3a 得，y ＝5a ，∴D(4，5a)， 把A 、D 坐标代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝04k ＋b ＝5a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝a b ＝a ， ∴直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a.(2)如解图2，过点E 作EH ∥y 轴，交直线l 于点H ，设E(x ，ax2－2ax －3a)，则H(x ，ax ＋a)．∴HE ＝(ax ＋a)－(ax2－2ax －3a)＝－ax2＋3ax ＋4a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋a y ＝ax2－2ax －3a 得x ＝－1或x ＝4， 即点D 的横坐标为4，∴S △ADE ＝S △AEH ＋S △DEH ＝12×(4＋1)×(－ax2＋3ax ＋4a)＝－52a(x －32)2＋1258a ， ∴△ADE 的面积的最大值为1258a.∴1258a ＝254，解得：a ＝25，∴抛物线的函数表达式为y ＝25x2－45x －65.(3)已知A(－1，0)，D(4，5a)．∵y ＝ax2－2ax －3a ，∴抛物线的对称轴为x ＝1，设P(1，m)，①若AD 为矩形的边，且点Q 在对称轴左侧时，则AD ∥PQ ，且AD ＝PQ ，则Q(－4，21a)，m ＝21a ＋5a ＝26a ，则P(1，26a)，∵四边形ADPQ 为矩形，∴∠ADP ＝90°，∴AD2＋PD2＝AP2，∴52＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a －5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2，即a2＝17，∵a ＞0，∴a ＝77，∴P1(1，2677)．②若AD 为矩形的边，且点Q 在对称轴右侧时，则AD ∥PQ ，且AD ＝PQ ，则Q(4，5a)，现在点Q 与点D 重合，不符合题意，舍去；③若AD 是矩形的一条对角线，则AD 与PQ 互相平分且相等． ∴xD ＋xA ＝xP ＋xQ ，yD ＋yA ＝yP ＋yQ ，∴xQ ＝2，∴Q(2，－3a)．∴yP ＝8a ，∴P(1，8a)．∵四边形APDQ 为矩形，∴∠APD ＝90°，∴AP2＋PD2＝AD2，∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a －5a)2＝52＋(5a)2，即a2＝14，∵a ＞0，∴a ＝12，∴P2(1，4)， 综上所述，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为(1，2677)或(1，4)．类型五【例5】 解：(1)∵x ＝－b 2a ＝32，b ＝32，∴a ＝－12，把A(4，0)，a ＝－12代入y ＝ax2＋32x ＋c ， 可得(－12)×42＋32×4＋c ＝0，解得c ＝2，∴抛物线解析式为y ＝－12x2＋32x ＋2.(2)如解图1，连接CM ，过C 点作CE ⊥MH 于点E ， ∵y ＝－12x2＋32x ＋2，∴当x ＝0时，y ＝2，∴C 点的坐标是(0，2)，设直线AC 解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，把A(4，0)、C(0、2)代入y ＝kx ＋b ， 可得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，b ＝2， 解得：⎩⎨⎧k ＝－12，b ＝2， ∴直线AC 解析式为y ＝－12x ＋2， ∵点M 在抛物线上，点H 在AC 上，MG ⊥x 轴，∴设点M 的坐标为(m ，－12m2＋32m ＋2)，H(m ，－12m ＋2)， ∴MH ＝－12m2＋32m ＋2－(－12m ＋2)＝－12m2＋2m ，∵CM ＝CH ，OC ＝GE ＝2，。
中考数学二次函数选择压轴题专练10道答案版(一)
中考数学二次函数选择压轴题专练含解析（一）一、选择题1.已知函数y=3−(x−m)(x−n)，并且a，b是方程3−(x−m)(x−n)=0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A. m<n<b<aB. m<a<n<bC. a<m<b<nD. a<m<n<b解：如图，设y1=−(x−m)(x−n)，y2=−3，显然m、n是y1=0时对应方程的两个根（不妨设m<n）；a，b是方程3−(x−m)(x−n)=0的两个根，即a，b是y1=y2=−3时两个函数交点的横坐标（不妨设a<b），它们的大体图象在坐标系中如图所示，显然a<m<n<b.故答案为：D.2.若（2, 5）、（4, 5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则它的对称轴方程是( )A. x=−1B. x=1C. x=2D. x=3=3,解：对称轴为：x=2+42故答案为：D.3.将抛物线y=(x−1)2+2先向右平移3个单位，再向下平移5个单位得到的抛物线解析式是（）A. y=(x−4)2+7B. y=(x−4)2−3C. y=(x+2)2+7D. y=(x+2)2−3解：y=(x-1)2+2,先向右平移3个单位得y=(x-1-3)2+2, 即y=(x-4)2+2,再向下平移5个单位得y=(x-4)2+2+5, 即y=(x-4)2+7,故答案为：A.4.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=﹣1，则这个二次函数的表达式为（）A. y=﹣x 2+2x+3B. y=x 2+2x+3C. y=﹣x 2﹣2x+3D. y=﹣x 2+2x ﹣3解：由图象知抛物线的对称轴为直线x ＝−1，过点（−3，0）、（0，3），设抛物线解析式为y ＝a （x ＋1）2＋k ，将（−3，0）、（0，3）代入，得：{4a +k ＝0a +k ＝3， 解得：{a =−1k =4， 则抛物线解析式为y ＝−（x ＋1）2＋4＝−x 2−2x ＋3，故答案为：C.5.在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+5）（x-3）经变换后得到抛物线y=（x+3）（x-5），则这个变换可以是（ ）A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位C. 向左平移8个单位D. 向右平移8个单位 解：∵y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16∴顶点坐标为（-1，-16）y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16∴顶点坐标为（1，-16）∴将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位就可得到抛物线y=（x+3）（x-5）故答案为：B6.对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：其中正确结论的个数为（ ）①抛物线的开口向下； ②对称轴为直线x=1； ③顶点坐标为（﹣1，3）；④x ＞1时，y 随x 的增大而减小A. 1B. 2C. 3D. 4解：∵抛物线y=﹣（x+1）2+3，a=-1＜0，∴抛物线的开口向下，①正确；对称轴x=-1，故②错误；顶点坐标为（﹣1，3），③正确，∵当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小，∴x ＞1时，y 随x 的增大而减小，④正确；故答案为：C.7.将抛物线 y =(x −2)2−8 向左平移3个单位再向上平移5个单位, 得抛物线为（ ）A. y ＝(x ＋1)2﹣13B. y ＝(x ﹣5)2﹣3C. y ＝(x ﹣5)2﹣13D. y ＝(x ＋1)2﹣3解：∵将抛物线 y =(x −2)2−8 向左平移3个单位再向上平移5个单位，∴平移后的抛物线的解析式为y ＝(x-2+3)2﹣8+5.即y=（x+1）2-3故答案为：D8.要将抛物线y ＝x2+2x+3平移后得到抛物线y ＝x2，下列平移方法正确的是（ ）A. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位B. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位C. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位解：∵y= x2+2x+3 =（x+1）2+2∴将y=（x+1）2+2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=x2.故答案为：D.9.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：则下列判断中正确的是（）A. 抛物线开口向上B. 抛物线与y轴交于负半轴C. 当x=4时，y＞0D. 方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间解：由图表可得，该函数的对称轴是直线x＝0+32=32，有最大值，∴抛物线开口向下，A不符合题意，∵当x=0时，y=1，∴抛物线与y轴的交点为（0，1），B不符合题意，x＝−1和x＝4时的函数值相等，则x＝4时，y＝−3＜0，C不符合题意，方程ax2＋bx＋c＝0的正根在3与4之间，D符合题意，故答案为：D.10.抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是（）A. 0.B. 1.C. 2.D. 3. 解：当x=0时，y=1，则与y轴的交点坐标为(0,1)，当y=0时，x2−2x+1=0，△=(−2)2−4×1×1=0，所以，该方程有两个相等的解，即抛物线y=x2−2x+1与x轴有1个点.综上所述，抛物线y=x2−2x+1与坐标轴的交点个数是2个.故答案为：C.。
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数与最值(含答案)
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数与最值（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求面积的最大值．3．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可利用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为．(1)求S 与x 的函数关系式；(2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少m ；(3)当的长是多少m 时，S 取得最大值，最大值是多少？DPQ V 24m 10m AB m x 2m S 245m AB AB(1)不论取何值，直线必经过定点，直接写出点(2)如图，已知、两点关于抛物线的对称轴对称．①求证：直线必经过一定点；②当时，的最大值与最小值的差为2，求的值．①当时，求的值；②当取最大值时，求的值．k 23y kx k =-+P B C AC 1m x m +≤≤y m 42S =x S x8．如图（1），一块钢板余料截面的两边为线段，，另一边曲线为抛物线的一部分，其中点为抛物线的顶点，于，以边所在直线为轴，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，规定一个单位代表1米．已知米，米，米．(1)求曲线所在抛物线的函数表达式；(2)若在该钢板余料中截取一个一边长为3米的矩形，设该矩形的另一边长为米，求的取值范围；(3)如图（2），若在该钢板余料中截取一个，其中点在抛物线上，记的面积为，求的最大值．9．公司电商平台准备在2022年十一长假期间销售某种儿童玩具，市场调查反映：当它的售价为每件80元时，每天可卖出100件；售价每增加1元，每天销售量会减少2件．（售价不能超过每件100元），已知玩具的进价为60元．设售价增加x 元，每天售OA OB ACB C CD OA ⊥D OA x OB y xOy 1OD =2DA =4CD =ACB h h PBD △P ACB PBD △S S(1)求该二次函数的表达式；(2)当x 取何值时，该二次函数取得最大值？最大值是多少？(3)当时，请写出x 3y >(1)求的值和反比例函数的表达式；(2)观察图象，直接写出当(3)直线沿轴方向平移，当m 0x >y n =y(1)求抛物线的解析式．(2)当时，求二次函数的最大值和最小值．(3)点P 是抛物线上一点，其横坐标为m ，过点P 作，已知点P 与点Q 不重合，且线段的长度随①求m 的取值范围．②当时，在线段的右边作正方形，直接写出正方形函数的图象交点的个数及对应的m 的取值范围．22x -≤≤PQ 1m --PQ 12m -<<PQ PQRT ²y x bx c =++(1)求抛物线的解析式；(2)若，求点P 的坐标；(3)如图2，过点P 作，求的最大值．6AOP BOC S S =V V PD AC ⊥PD参考答案：。
2022年中考数学复习之二次函数压轴题40个问题
中考复习之二次函数压轴40个问题主要题型：1.二次函数之面积问题2.二次函数之特殊三角形的存在性问题3.二次函数之特殊四边形的存在性问题4.二次函数之线段最值问题5.二次函数之角度问题题目：如图,抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝３，OA＝１，顶点为D第1问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D.求二次函数的解析式；解:设:设二次函数解为y=a(x+1)(x-3)将(0,3)代入得a=-1,故二次函数解析式为y=-x2+2x +3第2问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D1.判断∆BCD的形状；解:D(1,4),B(3,0),C(0,3),方法一:BC=32,CD=2,BD=25,BC2+CD2=BD2,故∆BCD是直角三角形；方法二:KCD =1,KBC=-1,KCD∙KBC=-1,故CD⊥CB,所以∆BCD是直角三角形；yxBCAODyxBCAODyxBCAODyxBCAOD第3问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D, 2. 四边形ABDC 的面积解:BC:y =-x +3,铅垂法:E(1,2)DE=2,S BCD ∆=21∙2∙3=3 S ABDC 四=21∙4∙3+3=9第4问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. P 为直线BC 上方抛物线上一点,求∆PBC 面积最大值及P 点坐标；解:方法一:设P(m,-m+2m+3)S PBC ∆=21∙3∙[-m 2+2m+3-(m+3)] =23(-m 2+3m),当m=23时,S 有最大值,此时P(23,415)S m ax =827 方法二:平移BC 至抛物线相切时,面积可取最大值设切线为y =-x +n,与抛物线y =-x 2+2x+3联立得x2-3x +n -3=0,∆=0,n=23,y =415,故P(23,415)S m ax =827y xBCAODy xBCAODEy xBCAOD第5问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D5点M 为BC 上方抛物线上一点,过点M 作y 轴的平行线交BC 于点N,求MN 的最大值；解:设点M(m,-m 2+2m+3),BC:y =-x +3,则点N(m,-m+3)MN=-m 2+2m+3-(-m+3)=-m 2+3m 当m=23时,MN m ax =49第6问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OC=3,OA=1,顶点为D, 6. 在对称轴上找一点P,使∆ACP 的周长最小,并求出最小值解:点A 、B 关于对称轴对称,连接BP,则BP=AP,PA+PC=PB+PC,当点B 、P 、C 三点共线时,可取最小值,此时P(1,2),∆ACP 周长的最小值为10+32第7问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点E,使∆BDE 为直角三角形,求出E 点坐标, 方法一:y xBCAOPDy xBCAODy xNBCAODMy xBCAOD P1.DE ⊥BE 时,设E(0,m)易知∆DEF~∆EBO,OE DF =BO EF ,即m 1=34m-,m=3或1,故E 1(0,1)、E 2(0,3)2. DE ⊥DB 时,设E(0,m)易知∆DEN~∆BDM,BM DN =DM EN ,即m 1=34m -,m=27故E ；(0,27)3. DB ⊥BE 时,设E(0,m),易知∆DBF~∆BEG,BG DF =EG BF ,即m -2=34,m=-23,故E 4(0,-23)第8问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点F,使∆BDF 为等腰三角形,求出F 点坐标；2. BD=DF,设F(0,m),22)4()01(m -+-=25,m=4+9 或4-19,F 1(0,4+19);F 2(0,4-19)yxFBCAODExyN MBCAODExy GFEBCAODxy BCAODF2.BD=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=25,m=±11,F 1(0,11),F 2(0,-11)3.DF=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=22)4()01(m -+-,m=1,F 4(0,1)第9问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 求抛物线上一点N,使S ABN ∆=S ABC ∆；解:设N 点的坐标(m,n),则∆ABC 与∆ABN 底相同,故n=±3,-m 2+2m+3=3或者-m 2+2m+3=3得m 1=0,m 2=2,m 3=1-7,m 4=1+7,N(0,3),(2,3),(1-7,-3),(1+7,-3)第10问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. 在抛物线上找一点Q,使S BDQ ∆=S AOC ∆解:设Q(m,-m 2+2m+3),S AOC ∆=23,BD ：y =-2x +6,铅垂高QS=|-m 2+2m+3-(-2m+6)| S BDQ ∆=|-m 2+2m+3-(-2m+6)|∙21∙1=23得m=0或4Q(0,3),(4,-5),xBCAODFBCAOD FBCAODFBCAODN第11问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.在抛物线上找一点E,使BE 平分∆ABC 的面积； 解:BE 平分∆ABC 的面积,故BE 经过AC 的中点,AC 中点(-21,23),BE:y =-73x +79; 与抛物线联立得-x 2+2x +3=-73+79x =-74或722,E(-74;4919)或(722；491849)第12问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA =1,顶点为D 1.在对称轴上找一点M,使|MB -MC|取最大值,并求出最大值；解:点B 关于对称轴对称的点A,连接MA,则MB=MA,MA -MC<AC, 当点A 、C 、M 共线时,|MB -MA|m ax =AC=10, AC:y =3x x +3,M(1,6)第13问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 、N 为对称轴上的两点(M 在N 点上方),且MN=1,求四边形ACNM 周长的最小值； 解:A 关于对称轴对称的点B,连接BN,则BN=AN,将点向下平移1个单位得C’、N,则C’N=CM, 故CM+BN=C’N+BN,当C’、N 、B 共线时,取最小值(CM+BN)m in =13,故ACNM 周长得最小值为1+10+13BCAODQABCODEABCODM第14问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 在抛物线对称轴上,在抛物线上找一点F,使得点四边形ACFE 为平行四边形； 解:设E(1,m)F(n,-n 2+2n+3),A(-1,0),C(0,3),A 平行至点C 与E 平移至点F, n=1+1=2,m+3=-n 2+2n+3,m=0,故E(1,0)F(2,3)第15问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 为y 轴上一点,在坐标平面内找一点N,使A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为菱形； 解:当 ACM 为等腰三角形时,问题转化为等腰三角形问题 1.ACNM 为菱形时,M(0,3),N(1,0),2.AMCN 为菱形时,M(0,34),N(-1,35),3.ACMN 为菱形时,M(0,3+10),N(-1,10)ABCODMNABCODM NC'ABCODEFABCODMN ABCONDM4.ACMN 为菱形时,M(0,3-10),N(-1,-10)第16问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 为x 轴上一点,以BE 为边的正方形BEFG ； 另一点G 在抛物线上,求点F 坐标；设E(m,0)则EF=|-m 2+2m+3|由EF=EB 得3-m=|-m 2+2m+3|,m=0或m=-2故F(0,3)或F(-2,-5)第17问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是抛物线上任意一点,过点P 作PE ⊥y 轴于点E,交直线BC 于点G ；过点G 作GF ⊥x 轴,连接EF,求EF 的最小值；连接OG,则OG=EF,当OG ⊥BC 时,OG 最小,即EF 最小,故EF m in =233x C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.M 在抛物线上CB 上方一点过点M 作y 轴的平行线,交BC 于点E,则ME 的最大值是多少? 解:设M(m,-m 2+2m+3),BC :y =-x +3,E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m)=-m 2+3m,当m=23ABCONDMABCNODMGCABO EFF CABOE GFEGCABOPFEGCABOP时,ME m ax =49第19问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.求一点P,使∠POC=∠PCO ； 解:点P 在OC 得垂直平分线上,-x2+2x +3=23,x =1±210P 1(1-210,23)P 2(1+210,23)第20问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.E(2,-2),M 为x 轴上一点,且∠EMO=∠CMO ； 1.M 在右侧时,易知∆CMO~∆EMG,设M(m,0)则有2-m m =23,m=6 2.M 在左侧时,同理易知∆CMO~∆EMG ,m m --2=23,m=6(舍) 第21问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是直线y =x 上的动点,当直接y =x 平分∠APB 时,求点P 的坐标； 如图,∆PAO ≅∆PEO,此时OE=OA=1,故E(0,-1),EB ：y =31x -1,与y =x 得x =-23,P(-23,-23) ECABOMPPCABOCABOEMG第22问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,且∠ABP=∠CBD,求P 坐标；解:C(0,3)D(1,4)B(3,0)tan ∠CBD=31,故tan ∠PBO=31,OE=1或者OF=1,PB ：y =-31x +1或y 且=31x -1,联立可得P 1(-32,911)P 2(-23,-23)第23问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.在抛物线上找一点P,使∠ACP=450；方法1:∠OCB=∠ACP=450,得∠ACO=∠ECB,故tan ∠ECB=31,作EH ⊥BC,设BH=m,则EH=m;CH=3m,故4m=32,m=423,E(23,0)故CE:y =-2x +3,联立得P(4,-5) 方法2:由12345模型得tan ∠ECO=21得E(23,0)第24问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 在抛物线上,∠DBP=450； 由tan ∠CBD=31,∠CBD+∠CBP=450,而∠PBO+∠CBP=450,故tan ∠PBO=31,BP:y =-31x +1,P(-32,911) ECABOPPEFCABODPPHECABOPDP第25问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,∠PCB=150,求点P 的坐标；解:由∠BCO=450得∠PCO=30或∠PCO=600,故PC:y =-3x +3或y =-33x +3联立得P(2+3,-23)P(2+33,3328-)第26问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.直线y =31x -1与y 轴交于点E,求∠EBC -∠CBD ； 由tan ∠DBC=tan ∠EBO=31,故∠EBC -∠CBD=450第27问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.过点P(3,0)作直线与抛物线交于F 、G 、FM 、GN 分别垂直于x 轴,求PM,PN ；设F(1x ,1y )G(2x ,2y ),直线y =k (x +3)与抛物线y =-2x +2x +3联立得2x +(k -2)x +3k -3=0;1x +2x =2-k ,1x •2x =3k -3,PM •PN=(1x +3)(2x +3)=1x •2x +3(1x +2x )+9=12CABOPDPPF CABODPEECABODENMGFCABOPD第28问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DP 是第一象限抛物线上,PE ⊥AB,求BEAE的值,若PE 2=AE •BE,求P 点坐标 设P(m,-m 2+2m+3),AE=m+1,BE=3-m,BE AE =mm -+31,(m+1)(3-m)=(-m 2+2m+3)2得m=1+3,P(1+3,1)第29问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,N(0,-1),求23BM+MN 的最小值, 过点B 作I ⊥x 轴,MH ⊥I,∠MBH=600,MH=23BM,23BM+MN=MH+MN,当N 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(23BM+MN)min=3第30问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求21BM+OM 的最小值 过点B 作I:y =3x -33,MH ⊥I,∠MBH=300,MH=21BH,21BH+OM=MH+OM,当Q 、M 、H共线且垂直于I 时取最值(21BM+MN )min=233xy EBCAOPxy BCA O MN H第31问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求22BM+OM 的最小值 过点B 作I,I 与直线MN 夹角450,MH ⊥I,∠MBH=450,MH=22BM,22BM+OM=MH+OM,当Q 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值两着色三角形相似,得cos150=426,(21BM +MN)min=423-63第32问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D在AB 上是否存在点M,使CM+21BM 取最小值. 过点B 作I,I 与x 轴夹角为300,MH=21BM,21BM+CM=MH+CM,当C 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(21BM+CM)min=2333+第33问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为Dxy BCAMO Hxy BCAMOHxy BCAO M EHM 是抛物线上一点,作MH ⊥x 轴,交BC 于点E,当ME:EH=3:2时,求M 点的横坐标, 设M(m,-m 2+2m+3),则E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m),EH=3-m,ME:EH=3：2 即有-m 2+2m+3-(3-m)=23(3-m) m=23第34问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于顶点为D P 是抛物线上一点,且∠PAB=2CBD,求P 点坐标. tan ∠CBD=31,tan ∠PAB=tan2∠CBD=43(12345模型) 设P(m,-m 2+2m+3)(1)tan ∠PAB=1322+++-m m m =43,m=49,P(49,1639)(2)tan ∠PAB=1322+--m m m =43,m=415,P(415,1657)第35问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(1)证明:M 上任意一点到直线y =417距离等于到F 点的距离, M(m,-m 2+2m+3),MH=417-(-m 2+2m+3)=m 2-2m+45MF=222)41532()1(-++-+-m m m =m 2-2m+45,故MH=MF xyEBCAOMHxy BCAODPP第36问:如图,抛物线与x 轴交于、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(2)证明:N(2,-1)M 为抛物线上一点,求NM+MF 的最小值 由(1)可知MF=MH,故NM+MF=MN+MH,(NM+MF)min=421第37问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D ∠BAC 的角平分线交y 轴于点M,绕点M 作直线I,与x 轴交于点E,与A 交于点F,求证:AE 1+AF 1为定值 过点M 、F 、C 作x 轴的平行线,交AC 于点G,交AM 于点H 、I ，易知:∆AEM~∆HFM,∆AFH~∆ACI,AO GM =AC CG ,CI GM =AC AG ,相加得AO GM +CI GM =AC CG +ACAG=1 即有AO 1+AC 1=GM 1,同理可得AE 1+AF 1=GM1=1+1010第38问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D P 为第四象限抛物线上一点,且tan ∠APC=21,求出点P 的坐标； 过点C 作CE ⊥AC,取一点E 使CE=2AC,过点C 作MN||x 轴,作A M ⊥MN 、EN ⊥MN,易知∆ACM~∆CEN,CN=6,EN=2,E(6,1),P 为以AE 为直径的圆与抛物线的交点AE 的中点F,F(25,21) xy BCOFMHxy BCNOFMHA过点易知AE HF AFACGM AO =CG AC ，GM CI =AGAC，GM AO +GM CI =CG AC +AGAC =1即有1AO +1AC =1GM，同1AE +1AF =1GM =11010xy H G FEMBCOIPF=225,设P(m,-m 2+2m+3),PF 2=(m -25)2+(-m 2+2m+325)2=225m=255,y =2531--,P(255,2531--)第39问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 直线y =x -3与抛物线交于点P,在x 轴正半轴上找一点E,使tan(∠PBO+∠PEO)=25 在x 轴上找一点F,使tan ∠HPF=25,∠HPF=450+∠BPH=∠PBO+∠PEO=450+∠PEO, 故∠BPF=∠PEO,故∆BEP~∆BPF,BP BE =BF BP ,即253-m =21525,m -3=320,m=329故E(329,0)第40问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 对称轴与BC 交于点E,在直线BC 上找一点P,使∆ABP 与∆DEB 相似,∠BED=1350=∠ABP,故P 在CB 的延长线上,DE=2,BE=22,AB=3,1.当∆EDB~∆BAP,AB DE =BP EB ,即42=BP22,BP=42,P(7,-4) 2.∆EDB~∆BPA 时,BP=22,P(5,-2)AxyN MPFEBCOAH PE FAxyIHEBCODP 1P 2。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）1．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式； (2)求MCB △的面积；(3)在坐标轴上是否存在点N ，使得BCN △为直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线212y x bx c =-++（b 、c 为常数）经过()4,0A 和()0,4B 两点，其顶点为C ．(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．4．如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，，()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)动点P ，Q 以相同的速度从点O 同时出发，分别在线段,OB OC 上向点B ，C 方向运动，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ． ①当四边形OQEP 为矩形时，求点E 的坐标；①过点E 作EM BC ⊥于点M ，连接,PM QM ，设BPM △的面积为1S ，CQM 的面积为2S ，当PE 将BCE 的面积分成1:3两部分时，请直接写出12S S 的值． 6．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于A ，B 两点，抛物线的对称轴为直线=1x -，其中点A 的坐标为(3,0)-．(1)求点B 的坐标；(2)已知1a =，C 为抛物线与y 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)若点P 在抛物线上，且4POCBOCSS=，求点P 的坐标；(4)设点Q 是线段AC 上的动点，过点Q 作QD y 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)Q 是x 轴上一动点，M 是第二象限内抛物线上一点，若以A ，C ，M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q 的坐标．8．如图，直线132y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c =-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．9．如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A - 、()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式； (2)求直线BC 的函数解析式；(3)在抛物线上，是否存在一点P ，使PAB 的面积等于ABC 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -，与y 轴交于点A ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，PAB 的面积最大？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE x ∥轴交抛物线于点E ，连接DE ．是否存在点P ，使PDE △为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线l ：112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，经过B ，C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD ①x 轴交l 于点D ，PE ①y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(3)若点P 在直线l 下方的抛物线上，F 为直线l 上的点，以A ，B ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由． 12．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ，(1)求抛物线的解析式；(2)设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点．①当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式；①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △．在①的条件下，记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值．13．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ， 与x 轴交于另一点A ， 顶点为D ．(1)填空： 点B 的坐标为___________， 点D 的坐标为___________．(2)如图1 ， 连结OD P ，为x 轴上的动点， 当以O D P ，，为顶点的三角形是等腰三角形时， 请直接写出点P 的坐标；(3)如图2， M 是点B 关于拋物线对称轴的对称点， Q 是拋物线上的动点， 它的横坐标为 (05)m m <<， 连结MQ BQ MQ ，，与直线OB 交于点E ． 设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ， 设12S t s =， 试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值． 14．如图，二次函数的图象经过点()10A -，，()30B ，，()03C -，，直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D ，E ．(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点．①若点M 在图象上的B ，C 两点之间，求DME 的面积的最大值． ①若MED EDB ∠∠=，求点M 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，B 两点，其对称轴直线2x =与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点P 为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD ，PB ，PC ，求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y '，当抛物线y '经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F 为抛物线y '对称轴上的一点，点M 是平面内一点，若以点A ，E ，F ，M 为顶点的四边形是以AE 为边的菱形，请直接写出满足条件的点M 的坐标______．16．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()21,0A m -和点()2,0B m +，与y 轴交于点C ，对称轴轴为直线=1x -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 上一动点，过点P 作PQ y ∥轴，交抛物线于点Q ，以P 为圆心，PQ 为半径作P ，当P 与坐标轴相切时，求P 的半径；(3)直线()340y kx k k =++≠与抛物线交于M ，N 两点，求AMN 面积的最小值．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于两点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线上有一动点P ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接EC ，作直线BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点时，连接,PB PC ，当23EBC PBC S S =△△时，求点P 坐标；(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q ，x 轴上有一动点N ，是否存在四边形PQCN 是矩形？若存在，在横线上直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，直线122y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c=-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求三角形ACM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90︒得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案：1．(1)245y x x =-++； (2)15(3)存在，点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0)．2．(1)2142y x x =-++，91,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)S 的最大值为4 (3)2m ≥或1249m -<≤-3．(1)抛物线的解析式为2=23y x x -- (2)不存在这样的点P ， (3)M 点坐标是(45)，或315()24-，4．(1)抛物线的解析式：234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；(2)当()26P ，时，四边形PBOC 面积最大； (3)能，点N 的坐标为52124⎛⎫ ⎪⎝⎭，或724⎛- ⎝或724⎛- ⎝．5．(1)2142y x x =--，91,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)①(-；①1215S S =或1279S S =6．(1)(1,0) (2)223y x x =+- (3)(4,21)或()4,5- (4)947．(1)224233y x x =--+(2)3(2P -，5)2(3)(5,0)-或(1,0)-8．(1)03A （，），20B -（，），60C （，），抛物线解析式为：2134y x x =-++； (2)3a =时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为754，此时M 的坐标为153,4⎛⎫⎪⎝⎭；(3)当3m -≤≤-33m ≤≤时，线段O A ''与抛物线只有一个公共点．9．(1)239344y x x =-++(2)334y x =-+(3)存在，点P 的坐标为：()13,3P ，23P ⎫-⎪⎪⎝⎭，33P ⎫-⎪⎪⎝⎭10．(1)21262y x x =-++(2)153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为()46，或()55．11．(1)2512y x x =-+ (2)3(3)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1(1,)212．(1)21119424y x x =-++(2)①4y x =-+；①当02m <≤时，218PQRSm =；当823m <≤时，27448S m m =-+-；当843m ≤≤时，21244S m m =-+；S 的最大值为：47答案第3页，共3页 13．(1)()5,5；()2,4-；(2)点P的坐标为()或()-或()4,0或()5,0； (3)()2150566t m m m =-+<<，当52m =时，t 的最大值为2524．14．(1)该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--；(2)①DME 的面积的最大值为52；①点M的坐标为⎝⎭或()12--．15．(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17，此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭16．(1)223y x x =+-(2)2或4(3)817．(1)2=23y x x --(2)⎝⎭或⎝⎭ (3)存在，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18．(1)()0,2A ，()2,0B -，()4,0C ，211242y x x =-++ (2)2，()2,2(3)34m -≤≤-或32m -+≤。
2023年九年级中考数学：二次函数综合题压轴题(特殊四边形问题)(含答案)
(1)求该抛物线的解析式和顶点 的坐标；
(2)设点 的横坐标是 ，问当 取何值时，四边形 的面积最大；
(3)如图，若直线 的解析式是 ，点 和点 分别在抛物线上和直线 上，问：是否存在以点 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点 的坐标
3．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 为抛物线顶点．
(1)求抛物线解析式；
(2)点 在此抛物线的对称轴上，当 最大时，点 的坐标为_____，此时 的面积为_____；
(3)点 在抛物线上，平面内存在点 使四边形 为菱形时，请直接写出点 的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 和直线 交于 、 两点，直线 交 轴于点 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上， ， ，抛物线 经过点B，且与x轴交于点 和点E．
(1)求抛物线的表达式：
(2)若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；
(3)若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
(1)求点 的坐标与 的值；
(2)当点 恰好是 的中点时，求点 的坐标；
(3)连结 ，作点 关于直线 的对称点 ，当点 落在线段 上时，则点 的坐标为______ 直接写出答案
6．已知抛物线 与x轴有公共点．
二次函数压轴题(含答案)
二次函数压轴题一．解答题（共20小题）1．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．2．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．5．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC 的值最小，求点P的坐标．（Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y 轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．8．如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P 的坐标．②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．9．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．10．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．11．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a ≠0）相交于A （，）和B（4，m），点P 是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC ⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x 轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．13．如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ．（1）点（填M或N）能到达终点；（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．14．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S△BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．15．如图，已知二次函数y=﹣+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．16．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A （﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC 交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A 两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD 于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．19．如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？20．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．二次函数压轴题参考答案一．解答题（共20小题）1．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．解：（1）将x=﹣1，y=﹣1；x=3，y=﹣9，分别代入y=ax2﹣4x+c得，解得，∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣6．（2）对称轴为直线x=2；顶点坐标为（2，﹣10）．（3）将（m，m）代入y=x2﹣4x﹣6，得m=m2﹣4m﹣6，解得m1=﹣1，m2=6．∵m＞0，∴m1=﹣1不合题意，舍去．∴m=6，∵点P与点Q关于对称轴x=2对称，∴点Q到x轴的距离为6．2．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a （x﹣1）（x﹣5），把点A（0，4）代入上式得：a=，∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，∴抛物线的对称轴是：直线x=3；（2）P点坐标为（3，）．理由如下：∵点A（0，4），抛物线的对称轴是直线x=3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y=kx+b，把A′（6，4），B （1，0）代入得，解得，∴y=x ﹣，∵点P 的横坐标为3，∴y=×3﹣=， ∴P （3，）．（3）在直线AC 的下方的抛物线上存在点N ，使△NAC 面积最大．设N 点的横坐标为t ，此时点N （t ，t 2﹣t +4）（0＜t ＜5），如图2，过点N 作NG ∥y 轴交AC 于G ；作AD ⊥NG 于D ，由点A （0，4）和点C （5，0）可求出直线AC 的解析式为：y=﹣x +4，把x=t 代入得：y=﹣t +4，则G （t ，﹣t +4）， 此时：NG=﹣t +4﹣（t 2﹣t +4）=﹣t 2+4t ，∵AD +CF=CO=5， ∴S △ACN =S △ANG +S △CGN=AD ×NG+NG ×CF=NG•OC=×（﹣t 2+4t ）×5=﹣2t 2+10t=﹣2（t ﹣）2+，∴当t=时，△CAN 面积的最大值为，由t=，得：y=t 2﹣t +4=﹣3，∴N （，﹣3）．3．已知二次函数y=x 2﹣2mx +m 2﹣1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC +PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O （0，0），∴代入二次函数y=x 2﹣2mx +m 2﹣1，得出：m 2﹣1=0，解得：m=±1，∴二次函数的解析式为：y=x 2﹣2x 或y=x 2+2x ； （2）∵m=2，∴二次函数y=x 2﹣2mx +m 2﹣1得：y=x 2﹣4x +3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点为：D （2，﹣1）， 当x=0时，y=3，∴C 点坐标为：（0，3）， ∴C （0，3）、D （2，﹣1）；（3）当P 、C 、D 共线时PC +PD 最短，过点D 作DE ⊥y 轴于点E ， ∵PO ∥DE ，∴=，∴=，解得：PO=，∴PC +PD 最短时，P 点的坐标为：P （，0）．4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C （0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．解：（1）依题意得：，解之得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解之得：，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．5．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）令y=0，解得x1=﹣1或x2=3∴A（﹣1，0）B（3，0）将C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3∴C（2，﹣3）∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1；（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1）E（x，x2﹣2x﹣3）∵P点在E点的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x ﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x ﹣）2+，∴当时，PE的最大值=；（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0）．①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由于直线GF 的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF 的解析式为y=﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=﹣x+4+．因此直线GF与x 轴的交点F的坐标为（4+，0）；④如图，同③可求出F的坐标为（4﹣，0）．综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．6．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC 的值最小，求点P的坐标．（Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x ﹣；（Ⅱ）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x ﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x ﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（Ⅲ）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x ﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y 轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．解：（1）将B、C 两点的坐标代入得，解得：；所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；连接PP′，则PE⊥CO于E，∵C（0，﹣3），∴CO=3，又∵OE=EC，∴OE=EC=∴y=；∴x2﹣2x﹣3=解得x1=，x2=（不合题意，舍去），∴P点的坐标为（，）（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d，则，解得：∴直线BC的解析式为y=x﹣3，则Q点的坐标为（x，x﹣3）；当0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，∴AO=1，AB=4，S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=AB•OC+QP•BF +QP•OF==当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．8．如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P 的坐标．②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，∵点A的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）；（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，∴=﹣1，解得b=2．将B（1，0）代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=﹣3．则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC=4S△BOC，∴×3×|x|=4××3×1，∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；②设直线AC的解析式为y=kx+t （k≠0）将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D 点坐标为（x，x2+2x﹣3），QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x +）2+，∴当x=﹣时，QD 有最大值．9．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代y=﹣x2+bx+c 中得，∴．∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）存在．理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称，∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，∵y=﹣x2﹣2x+3，∴C的坐标为：（0，3），直线BC解析式为：y=x+3，Q点坐标即为，解得，∴Q（﹣1，2）；（3）存在．理由如下：设P点（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0），∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO ﹣，若S四边形BPCO 有最大值，则S△BPC就最大，∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC，=BE•PE +OE（PE+OC）=（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）=，当x=﹣时，S四边形BPCO最大值=，∴S△BPC最大=，当x=﹣时，﹣x2﹣2x+3=，∴点P 坐标为（﹣，）．10．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0），根据题意，得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）存在．由y=﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为直线x=1．①若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，得x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=＜1，应舍去，∴x=，∴y=4﹣x=，即点P 坐标为．②若以CD为一腰，∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为（2，3）．∴符合条件的点P 坐标为或（2，3）．（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理，得CB=，CD=，BD=，∴CB2+CD2=BD2=20，∴∠BCD=90°，设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，∵CF=DF=1，∴∠CDF=45°，由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M为（2，3），∴DM∥BC，∴四边形BCDM为直角梯形，由∠BCD=90°及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在．综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）．11．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a ≠0）相交于A （，）和B（4，m），点P 是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC ⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n ﹣）2+，∵PC＞0，∴当n=时，线段PC 最大且为．（3）∵△PAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．如答图3﹣1，过点A （，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，∴M（3，0）．设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：，解得，∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）∴C（3，0），即点C、M点重合．当x=3时，y=x+2=5，∴P1（3，5）；iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2，作点A （，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上，且C （，）．当x=时，y=x+2=．∴P2（，）．∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x 轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．解：（1）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣3）（x+1），∵m≠0，∴当y=0时，x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：，解得，故C1：y=x2﹣x﹣．如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y=x﹣，设P（x ，x2﹣x ﹣），则Q（x，x ﹣），PQ=x ﹣﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x，S△PBC=S△PCQ+S△PBQ =PQ•OB=×（﹣x2+x）×3=﹣（x ﹣）2+，当x=时，S△PBC有最大值，Smax=，×（）2﹣﹣=﹣，P（，﹣）；（3）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣1）2﹣4m，顶点M坐标（1，﹣4m），当x=0时，y=﹣3m，∴D（0，﹣3m），B（3，0），∴DM2=（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2=m2+1，MB2=（3﹣1）2+（0+4m）2=16m2+4，BD2=（3﹣0）2+（0+3m）2=9m2+9，当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2．①DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，解得m=﹣1（∵m＜0，∴m=1舍去）；②DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=9m2+9，解得m=﹣（m=舍去）．综上，m=﹣1或﹣时，△BDM为直角三角形．13．如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ．（1）点M（填M或N）能到达终点；（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）点M．（2）经过t秒时，NB=t，OM=2t，则CN=3﹣t，AM=4﹣2t，∵A（4，0），C（0，4），∴AO=CO=4，∵∠AOC=90°，∴∠BCA=∠MAQ=45°，∴QN=CN=3﹣t∴PQ=1+t，∴S△AMQ=AM•PQ=（4﹣2t）（1+t）=﹣t2+t+2．∴S=﹣t2+t+2=﹣t2+t ﹣++2=﹣（t ﹣）2+，∵0≤t≤2∴当时，S的值最大．（3）存在．设经过t秒时，NB=t，OM=2t则CN=3﹣t，AM=4﹣2t∴∠BCA=∠MAQ=45°①若∠AQM=90°，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高∴PQ是底边MA的中线∴PQ=AP=MA∴1+t=（4﹣2t）∴t=∴点M的坐标为（1，0）②若∠QMA=90°，此时QM与QP重合∴QM=QP=MA∴1+t=4﹣2t∴t=1∴点M的坐标为（2，0）．14．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S△BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得．故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）．∵S△AOP=4S△BOC，∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，解得x=﹣1或x=﹣1±2．则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2，﹣4）；（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，得，解得．即直线AC的解析式为y=x+3．设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD 有最大值．15．如图，已知二次函数y=﹣+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．解：（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入y=﹣+bx+c，得：解得，∴这个二次函数的解析式为y=﹣+4x﹣6．（2）∵该抛物线对称轴为直线x=﹣=4，∴点C的坐标为（4，0），∴AC=OC﹣OA=4﹣2=2，∴S△ABC =×AC×OB=×2×6=6．16．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO==3，∴OB=3OA=3．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC=OB=3，OD=OA=1，∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．代入解析式为，解得：．∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）①∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∴对称轴l=﹣=﹣1，∴E点的坐标为（﹣1，0）．如图，当∠CEF=90°时，PE：CE=2：1，CO：OD=3：1，此时△CEF与△COD不相似．当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．∴，∴MP=3EM．∵P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．∵P在第二象限，∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t，∴﹣t2﹣2t+3=﹣（t﹣1）（t+3），解得：t1=﹣2，t2=﹣3（因为P与C重合，所以舍去），∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．∴P（﹣2，3）．∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）；②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线CD的解析式为：y=x+1．设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t，t+1），∴NM=t+1．∴PN=PM﹣NM=﹣t2﹣2t+3﹣（t+1）=﹣t2﹣+2．∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，∴S△PCD=PN•CM +PN•OM=PN（CM+OM）=PN•OC=×3（﹣t2﹣+2）=﹣（t +）2+，∴当t=﹣时，S△PCD的最大值为．17．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A （﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．方法一：解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5．（2）∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F（m，0）．∴PE=|y P﹣y E|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|，EF=|y E﹣y F|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．由题意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|m+15|①若﹣m2+m+2=m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，解得：m=2或m=；②若﹣m2+m+2=﹣（m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，解得：m=或m=．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=、m=这两个解均舍去．∴m=2或m=．（3）假设存在．作出示意图如下：∵点E、E′关于直线PC对称，∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PE=CE，∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．当四边形PECE′是菱形存在时，由直线CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM ∽△CDO，∴，即，解得CE=|m|，∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2|∴|﹣m2+m+2|=|m|．①若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣；②若﹣m2+m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+，m2=3﹣．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=3+这个解舍去．当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，此时P点横坐标为0，E，C，E'三点重合与y轴上，也符合题意，∴P（0，5）综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（0，5），（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）方法二：（1）略．（2）略．（3）若E（不与C重合时）关于直线PC的对称点E′在y轴上，则直线CD与直线CE′关于PC 轴对称．∴点D关于直线PC的对称点D′也在y轴上，∴DD′⊥CP，∵y=﹣x+3，∴D（4，0），CD=5，∵OC=3，∴OD′=8或OD′=2，①当OD′=8时，D′（0，8），设P（t，﹣t2+4t+5），D（4，0），C（0，3），∵PC⊥DD′，∴K PC×K DD′=﹣1，∴，∴2t2﹣7t﹣4=0，∴t1=4，t2=﹣，②当OD′=2时，D′（0，﹣2），设P（t，﹣t2+4t+5），∵PC⊥DD′，∴K PC×K DD′=﹣1，∴=﹣1，∴t1=3+，t2=3﹣，∵点P是x轴上方的抛物线上一动点，∴﹣1＜t＜5，∴点P的坐标为（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）．若点E与C重合时，P（0，5）也符合题意．综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（0，5），（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）18．如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC 交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A 两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD 于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x+4．∵点M的横坐标为m，点M在AC上，∴M点的坐标为（m ，﹣m+4），∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x2+x+4上，∴点P的坐标为（m ，﹣m2+m+4），∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，即PM=﹣m2+4m（0＜m＜3）；（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F 为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，P点在F上，PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m．情况：①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（﹣m2+m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=．∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，∴△PCM为直角三角形；②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3﹣m）=（﹣m2+m）：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM，∴△PCM为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相。
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Ａ
ＤＣ
Ｂ
Ｏx
y
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ｏx
y
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ｏx
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Ｄ
Ｃ
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Ｏx
y
云南省中考数学二次函数压轴题经典20问
如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线2
y x
=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线
2
()
y x h k
=-+.所得抛物线与x轴交于A B
、两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.
(1)写出抛物线的解析式；
(2)判断ACD
△的形状，并说明理由；
(3)在线段AC上是否存在点M，使AOM
△∽ABC
△？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
(4)在对称轴上找一点P,使PB+PC最小，求出P点坐标.
(5)在对称轴上找一点P,使△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BCP的周长.
(6)在对称轴上找一点Q,使|BQ—CQ|最大？若存在求出Q点的坐标.
(7)在Y轴上是否存在一点Q,使|BQ—DQ|最大？若存在求出Q点的坐标.若不存
在，请说明理由.
(8)在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线L//Y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时线段MN最长?
(9)在AC下方的抛物线上，是否存在一点N使S△CAN最大，且最大面积是多少？
(10) 在AC下方的抛物线上，是否存在一点N使S四边形ABCN最大，且最大面积是多少？
(11)在Y轴上是否存在一点E，使△ADE 为直角三角形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由.
(12)在Y 轴上是否存在一点F ，使 △ADF 为等腰三角形，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由. (13)在抛物线是否存在一点N 使S △ABN= S △ABC ，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.
(14)在抛物线是否存在一点H 使S △BCH= S △ABC ，若存在，求出点H 的坐标，若不存在，说明理由.
(15)在对称轴上是否存在一点P 使S △PBC= S △ABC ，若存在，求出点H 的坐标，若不存在，说明理由.
(16)在抛物线是否存在一点W 使S △AOW= S △COW ，若存在，求出点H 的坐标，若不存在，说明理由. (17)在抛物线是否存在一点E,使BE 平分△ABC 的面积?若存在，求出点E 的坐标，若不存在，说明理由.
(18)在抛物线找一点F,作FM ⊥X 轴，交AC 与H,使AC 平分△AFM 的面积?
(19)在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A ，B ，K ，L 为顶点形成平行四边形，求K ，L 点的坐标.
(20)作垂直于X 轴的直线x=-1交直线AC 与M, 交抛物线与N,以A, M, N,E 为顶点作平行四边形，求第四个顶点E 的坐标.。