数值计算课后答案1
《数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
(湖南大学-曾金平《数值计算方法》课后题答案)
1习题一1．设x>0相对误差为2%，4x的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈得（1）()f x=11()()*2%1%22x xδδδ≈===；（2）4()f x x=时444()()'()4()4*2%8%xx x x xxδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P关于1212.m nx a a a bb b=±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl≈⨯+⨯= 21(0.3197100.259110)fl⨯+⨯=0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？2解：设该正方形的边长为x，面积为2()f x x=，由(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈解得(())()()'()f x f xxxf xδδ≈=2(())(())22f x x f xx xδδ==0.5%5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x<<，（A）11121xyx x-=-++，（B）22(12)(1)xyx x=++；（2）已知1x>>，（A）y=，（B）y=；（3）已知1x<<，（A）22sin xyx=，（B）1cos2xyx-=；（4）（A）9y=（B）y=解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
应用数值分析(第四版)课后习题答案第1章
应用数值分析(第四版)课后习题答案第1章第一章习题解答1.在下列各对数中，某是精确值ａ的近似值（1）ａ=π，某=3.1（2）ａ=1/7，某=0.143（3）ａ=π/1000，某=0.0031（4）ａ=100/7，某=14.3试估计某的绝对误差和相对误差。
解：（1）e=∣3.1-π∣≈0.0416，δr=e/∣某∣≈0.0143（2）e=∣0.143-1/7∣≈0.0143δr=e/∣某∣≈0.1（3）e=∣0.0031-π/1000∣≈0.0279δr=e/∣某∣≈0.9(4)e=∣14.3-100/7∣≈0.0143δr=e/∣某∣≈0.0012.已知四个数：某1=26.3，某2=0.0250，某3=134.25，某4=0.001。
试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1=某1某2某3和μ1=某3某4/某1的相对误差限。
-2解：某1=26.3ｎ=3δ某1=0.05δr某1=δ某1/∣某1∣=0.19011某10-2某2=0.0250ｎ=3δ某2=0.00005δr某2=δ某2/∣某2∣=0.2某10-4某3=134.25ｎ=5δ某3=0.005δr某3=δ某3/∣某3∣=0.372某10某4=0.001ｎ=1δ某4=0.0005δr某4=δ某4/∣某4∣=0.5n由公式：er（μ）=e（μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σi=1∣f/某i∣δ某ier（μ1）≦1/∣μ1∣［某2某3δ某1+某1某3δ某2+某1某2δ某3］=0.34468/88.269275=0.00390492er（μ2）≦1/∣μ2∣［-某3某4/某1δ某1+某4/某1δ某3+某3/某1δ某4］=0.497073.设精确数ａ>0，某是ａ的近似值，某的相对误差限是0.2，求㏑某的相对误差限。
n解：δr≦Σi=1∣f/某i∣δ某i=1/㏑某·1/某·δ某=δr某/㏑某=0.2/㏑某即δr≦0.2/㏑某4.长方体的长宽高分别为50cm，20cm和10cm，试求测量误差满足什么条件时其表面积的2误差不超过1cm。
数值计算方法课后习题答案
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
最新数值计算课后答案1
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯ 有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯ 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯ 有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯ 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-L L 相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯ 有效数字：因为π＝3.14159265...=0.314159265 (10)22 3.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
《数值计算方法》课后题答案(湖南大学-曾金平)
习题一1．设x >0相对误差为2%，4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A ）y=，（B ）y =； （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos 2xy x-=；（4）（A）9y =（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算课后答案1
数值计算课后答案1习题⼀解答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各⾃的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的⽅法是按定义直接计算。
求相对误差的⼀般⽅法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那⼀位的半个单位，再确定有效数的末位是哪⼀位，进⼀步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，⾸先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈?有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
⽽π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--?=?所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-?有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
⽽π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--?=?所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.141592653.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-?有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==?，m=1。
数值计算方法答案
1数值计算方法(李有法)习题一1．设x>0相对误差为2%，4x的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈得（1）()f x=11()()*2%1%22x xδδδ≈===；（2）4()f x x=时444()()'()4()4*2%8%xx x x xxδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P关于1212.m nx a a a bb b=±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl≈⨯+⨯= 21(0.3197100.259110)fl⨯+⨯=0.3456210⨯2易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x，面积为2()f x x=，由(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈解得(())()()'()f x f xxxf xδδ≈=2(())(())22f x x f xx xδδ==0.5%5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x<<，（A）11121xyx x-=-++，（B）22(12)(1)xyx x=++；（2）已知1x>>，（A）y=，（B）y=；（3）已知1x<<，（A）22sin xyx=，（B）1cos2xyx-=；（4）（A）9y=（B）y=解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
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习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.141592653.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
而22 3.14159265 3.1428571430.0012644937π-=-=-所以 221322 3.14159265 3.1428571430.0012644930.0057110.510101022π----=-=≤=⨯=⨯=⨯所以，227作为π的近似值有3个有效数字。
（4）绝对误差:355() 3.14159265 3.141592920.00000027050.000000271113e x π=-=-=-≈-相对误差：7()0.000000271()0.86310355113r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 3553.141592920.31415929210113==⨯，m=1。
而355 3.14159265 3.141592920.0000002705113π-=-=-所以6617355 3.14159265 3.141592920.00000027050.0000005113110.510101022π----=-=≤=⨯=⨯=⨯所以，355113作为π的近似值有7个有效数字。
指出：①实际上，本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差和相对误差。
2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。
346．7854，7．000009，0．0001324580，0．600300 解：346．7854≈346．79， 7．000009≈7．0000，0．0001324580≈0．00013246， 0．600300≈0．60030。
指出： 注意0。
只要求写出不要求变形。
3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。
12340.0315,0.3015,31.50,5000x x x x ====。
分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。
其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字个数。
有效数字由定义可以直接得出。
解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是1234()0.00005,()0.00005,()0.005,()0.5x x x x εεεε==== 由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是111222333444()0.00005()0.16%,0.0315()0.00005()0.02%,0.3015()0.005()0.002%,31.5()0.5()0.01%.5000x x x x x x x x x x x x εδεδεδεδ==≈==≈==≈==≈有效数字分别有3位、4位、4位、4位。
指出：本题显然是直接指出有效数位、直接写出绝对误差，用定义求出相对误差。
4.0.1％。
解：设取n 个有效数字可使相对误差小于0.1％，则 111100.1%2n a -⨯<，而34≤≤，显然13a =，此时，1111110100.1%223n n a --⨯=⨯<⨯， 即13110106n --⨯<， 也即461010n ⨯> 所以，n=4。
3.162≈。
5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中，对31120.14281100.31415910x x =⨯=-⨯与，试求它们的机器浮点数()(1,2)i fl x i =及其相对误差。
解：3333111111112222()0.142810,(())()0.14281100.1428100.0000110,()0.314210,(())()0.31415910(0.314210)0.0004110fl x e fl x x fl x fl x e fl x x fl x =⨯=-=⨯-⨯=⨯=-⨯=-=-⨯--⨯=⨯其相对误差分别是3112310.00001100.000041100.007%,0.013%0.1428100.314210e e ⨯⨯=≈=≈-⨯-⨯。
6、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数4220.2337125810,0.3367842910,0.3367781110x y z -=⨯=⨯=-⨯，试按(),()x y z x y z ++++两种算法计算x y z ++的值，并将结果与精确结果比较。
解：422222222(())(0.23371258100.3367842910)0.3367781110(0.00000023100.3367842910)0.33677811100.33678452100.33677811100.0000064110fl x y z -++=⨯+⨯-⨯=⨯+⨯-⨯=⨯-⨯=⨯42242222(())0.2337125810(0.33678429100.3367781110)0.23371258100.00000618100.00000023100.00000618100.0000064110fl x y z --++=⨯+⨯-⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯精确计算得：4222222220.23371258100.33678429100.3367781110(0.00000023371258100.3367842910)0.33677811100.33678452371258100.33677811100.000064137125810x y z -++=⨯+⨯-⨯=⨯+⨯-⨯=⨯-⨯=⨯第一种算法按从小到大计算,但出现了两个数量级相差较大的数相加,容易出现大数吃小数.而第二种算法则出现了两个相近的数相减,容易导致有效数位的减少。
计算结果证明，两者精度水平是相同的。
***在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数4220.2337125810,0.3367842910,0.3367781110x y z --=⨯=⨯=-⨯，试按(),()x y z x y z ++++两种算法计算x y z ++的值，并将结果与精确结果比较。
解：42222222222(())(0.23371258100.3367842910)0.3367781110(0.00233713100.3367842910)0.33677811100.33912142100.33677811100.00003391100.33677811100.336744210fl x y z -----++=⨯+⨯-⨯=⨯+⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=-⨯42242242222(())0.2337125810(0.33678429100.3367781110)0.2337125810(0.00003368100.3367781110)0.23371258100.33674742100.00000023100.33674742100.3367471910fl x y z ----++=⨯+⨯-⨯=⨯+⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=-⨯第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更精确。
精确计算得：42220.23371258100.33678429100.33677811100.0000233712580.003367842933.6778110.00339121415833.67781133.6744197858420.3367441978584210x y z --++=⨯+⨯-⨯=+-=-=-=-⨯显然，也是第一种算法求出的结果和精确结果更接近。
7、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U)，用浮点运算分别从左到右计算及从右到左计算10.40.30.20.040.030.020.01+++++++ 试比较所得结果。
解：从左到右计算得10.40.30.20.040.030.020.010.1100.04100.03100.02100.00100.00100.00100.00100.19101.9+++++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=从右到左计算得111110.40.30.20.040.030.020.010.010.020.030.040.20.30.410.1100.2100.3100.4100.20.30.410.10.20.30.410.11010.1100.1100.2102----+++++++=+++++++=⨯+⨯+⨯+⨯++++=++++=⨯+=⨯+⨯=⨯=从右到左计算避免了大数吃小数，比从左到右计算精确。