最新大学微积分(常见问题与解答)
大学数学微积分练习题及答案
大学数学微积分练习题及答案本文为大学数学微积分练习题及答案的整理，旨在帮助读者巩固和提高微积分的知识和技能。
以下是一些常见的微积分练习题及其解答，供读者参考。
1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数。
解答：我们可以使用导数的定义来求解。
根据定义，导数f'(x)为函数在任意一点x处的斜率，可以通过求极限得到。
根据导数的性质，多项式的导数等于各项的导数之和。
因此，我们可以按照导数的定义，先求出各项的导数，然后相加得到f'(x)。
f'(x) = (3x^2)' - (2x)' + (1)'= 6x - 2所以，函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数为f'(x) = 6x - 2。
2. 求函数f(x) = e^x的不定积分。
解答：根据指数函数e^x的积分规则，不定积分∫e^xdx等于e^x再乘上一个常数C。
因此，∫e^xdx = e^x + C3. 求函数f(x) = sin(x)的定积分∫(0 to π/2)sinx dx。
解答：我们可以利用定积分的定义来求解。
根据定积分的定义，∫(0 to π/2)sinx dx表示在区间[0, π/2]上sinx的面积。
因为sinx在[0, π/2]上是正值，所以∫(0 to π/2)sinx dx等于sinx在[0, π/2]上的图像所围成的面积。
又因为sinx在[0, π/2]上是递增的，所以面积等于∫(0 to π/2)sinx dx等于单位圆上π/2对应的弧长，即π/2。
所以，∫(0 to π/2)sinx dx = π/2。
4. 求函数f(x) = x^3在[1, 2]上的平均值。
解答：函数f(x) = x^3在[1, 2]上的平均值可以通过计算积分的平均值得到。
根据积分的定义，函数在区间[1, 2]上的平均值等于函数在该区间上的积分除以区间的长度。
平均值= ∫(1 to 2)x^3 dx / (2 - 1)= [1/4*x^4] (1 to 2) / 1= (2^4-1^4) / 4= (16-1) / 4= 15/4所以，函数f(x) = x^3在[1, 2]上的平均值为15/4。
微积分(大学数学基础教程答案)大学数学基础教程(二)多元函数微积分习题解答
习题 1—1 解答1．设xf (x, y ) xy，求yf(x ,y),f1(x,1),yf (xy,xy),f1(x, y)解xf (x ,y ) xy；yf1(x,1)y1xyyx; f (xy,xy)x2y ;2 f1(x, y)yxy2x2．设f (x, y ) ln x ln y ，证明：f (xy,uv ) f (x,u ) f (x,v ) f (y,u ) f (y,v)f (xy,uv ) ln(xy ) ln(uv ) (ln x ln y)(ln u ln v )ln x ln u ln x ln v ln y ln u ln y ln vf (x,u ) f (x,v ) f (y,u ) f (y,v)3．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）f (x, y ) 1x 2 y 2 1;4x y（2）f (x, y ) ;ln(1x y )22 2x y z2 2 2（3）f (x, y ) 1;a b c2 2 2x y z（4）f (x, y, z ) .1x 2 y z2 2解（1）D {(x, y) x 1, y 1y1-1 O 1x-1（2）D (x, y) 0x y 1, y 4x2 2 y21-1 1O x-11（3）D x y z2 2 2(x, y ) 1a b c2 2 2zc-a-b O b yax（4）( , , ) 0, 0, 0, 1D x y z x y z x 2 y z2 2z１O y１１x4．求下列各极限：1xy （1）limx0 x y2 2y 11 0= 1 0 1ln(x e y ln(1 e )) 0（2）lim ln 2 x 1 2 12 0x yy02 xy4 (2xy 4)(2 （3）lim limx xy xy0 0 (xy x 2xy4) 4)14y0 y0sin(xy) sin(xy)（4）lim lim x 2 x y2 x 2 xyy0 y05．证明下列极限不存在：x y （1）lim ;x 0 x yy0x y2 2 （2）limx 0 x y (xy )2 2 2y0（1）证明如果动点P(x, y) 沿y 2x 趋向(0,0)x y x 2x则lim lim 3；x 0 x 0x y x 2xy2x0如果动点P(x, y) 沿x 2y 趋向(0,0) ，则lim lim 3 3x y yy0 x y y0 yx 2 y02所以极限不存在。
大学微积分考试题及答案
大学微积分考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在区间(-1, 1)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增函数D. 先增后减函数答案：A2. 极限lim (x->0) [sin(x)/x]的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷大答案：B3. 下列哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = cos(x)答案：C4. 曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线斜率是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C5. 定积分∫[0, 1] x dx的值是：A. 0B. 1/2C. 1/3D. 1答案：C6. 微分方程dy/dx = x^2的通解是：A. y = x^3 + CB. y = e^x + CC. y = sin(x) + CD. y = ln(x) + C答案：A7. 函数f(x) = e^x在点x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. e答案：B8. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(-1)^n / nB. ∑n^2C. ∑(1/n)D. ∑(1/n^2)答案：D9. 曲线y = ln(x)的拐点是：A. x = 1B. x = eC. x = 0D. 没有拐点答案：D10. 以下哪个选项是正确的泰勒公式展开？A. e^x = ∑x^nB. sin(x) = ∑(-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!C. ln(1+x) = ∑(-1)^n * x^n / nD. cos(x) = ∑x^(2n) / (2n)!答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2的驻点是______。
答案：x = 0, x = 312. 极限lim (x->∞) (1 + 1/x)^x的值是______。
答案：e13. 定积分∫[1, e] e^x dx可以通过分部积分法计算，其结果是______。
大学微积分最难题
大学微积分最难题大一高数微积分要完整过程和答案'两题100分'6.8题(6)设p=y',则y''=p·dp/dy py·dp/dy=2p^2 dp/p=2dy/y ln|p|=2ln|y|+C0∴p=-C1·y^2∴dy/dx=-C1·y^2∴dy/y^2=-C1·dx∴-1/y=-C1·x-C2通解为,1/y=C1·x+C2(2)对应.关于高等数学微积分的题目~!f(x)可导,必有df(x)=f'(x)dx(df(x)/dx其实就是求f(x)的导数f'(x))所以df(x²+6)=2x·f'(x²+6)dx(根据复合函数微分运算法则,类比于求导)故原式=2xf'(x²+6)希望你能满意.大一数学微积分题目求答案1.B这个后面根号肯定是大于0的2.C F是f的原函数把e^-x放到后面变成d(e^-x)就ok了3.D把下面选项带入题目即可大一微积分高数题目1.设长方体的底面长,宽分为xcm,ycm.高为zcm由题意得xyz=234,即xyz-234=0……(1)不妨设顶与侧面价格为1/cm2,则底部的价格为2/cm2总造价u=2xy xy 2xz 2yz=3xy.高等数学,微积分题目,求答案,有简易过程即可30.@z/@x=3x²+3y²+2,@²z/@x@y=@(3x²+3y²+2)/@y=6y@z/@y=6xy+3y²+cos y@²z/@y²=@(6xy+3y²+cos y)/@y=6x+6y-sin y 31.切平面的法向量为.大学数学关于微积分的题目!微分是变化量的极限.微分学包括极限、导数与微分、积分这几个部分.微分是变化量的极限,导数是增量比的极限,它们都是极限.它们的计算仿佛相同,但是所表示的概念是不同的.一个是全增量,一个是增量比.积分是导数的逆运算,定积分是一种和式的极限.整个微分学都是讲的极限,因为无论你是导数、微分、积分,它们的本质都是极限.数学微积分题目,题目如下题目要求女人出发15min中两人相距距离增加的速率,只要求出两人距离关于时间的函数,然后求微分就可以求得.而两人距离y^2=470^2+(6*5*60+6t+4t)^2即y=根号下(470^2+(1800+10t)^2),然后求微分,再把t=15*60=900代入,得到的值精确到100ft/s.旦胆测感爻啡诧拾超浆思路就是这样,计算你应该可以完成的吧?高数微分方程题目未知函数以及未知函数的导数都是一次方的形式;所有的系数只和自变量有关系.这样的微分方程称为线性微分方程.比如二阶线性微分方程的标准形式:y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)“齐次”指的是线性微分方程中的那个f(x)=0,若f(x)≠0,称为非齐次线性微分方程高等数学积分试题∫d[f(x)]=∫d[g(x)]f(x)+C₁=g(x)+C₂f(x)=g(x)+C₂-C₁=g(x)+kf(x)与g(x)相差一个常数项k,常数项k为零时,才有f(x)=g(x),因此A 错.f(x)+C₁=g(x)+C₂等式两边同时求导,得f'(x)=g'(x)B、C、D选项只是形式不同,其实都是f'(x)=g'(x),因此都是正确的.选A。
大学微积分(常见问题与解答)
大学微积分(常见问题与解答)大学微积分（常见问题与解答）微积分是大学数学中的重要学科，为了帮助同学们更好地理解和掌握微积分知识，以下是一些常见问题与解答，希望对大家学习微积分有所帮助。
问题一：什么是微积分？微积分是研究极限、导数、积分和无穷级数等概念和方法的数学学科。
它是现代数学的一支基础学科，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，是理解和描述变化过程中的基本工具。
问题二：什么是导数和微分？导数是微积分中的重要概念，表示函数某一点的变化率。
对于函数f(x)，它在x点的导数可以通过求函数在该点的极限得到，记作f'(x)。
微分是导数的一种具体应用，它可以用来求函数在某一点的近似值和切线方程。
问题三：什么是积分和不定积分？积分将函数与几何图形之间的面积或曲线长度等进行联系的数学运算。
不定积分是积分的一种形式，也叫原函数或不定积分，表示求导运算的逆运算。
不定积分的结果常用C表示。
问题四：如何求解微积分中的极限问题？求解极限问题是微积分中的基本内容，有各种求解方法。
常见的方法包括利用基本极限公式、夹逼准则、洛必达法则等来求解。
在具体应用中，可以根据问题的特点灵活选择不同的方法进行求解。
问题五：如何求导？求导是微积分中的重要运算之一。
求导的基本规则包括常数的导数为0、幂函数求导、指数函数和对数函数的求导、三角函数的求导、复合函数的求导等。
根据这些基本规则，可以逐步推导得到更复杂函数的导数。
问题六：如何进行积分运算？积分运算是微积分中的重要内容，有多种方法可供选择。
基本的积分法则包括幂函数积分、三角函数积分、指数函数和对数函数的积分、分部积分法、换元法等。
灵活运用这些积分法则可以解决不同类型的积分问题。
问题七：微积分与实际应用有何关系？微积分是应用广泛的数学学科，可以解决很多实际问题。
比如，通过微积分可以求出曲线的切线、求解最优化问题、计算物体的质心和转动惯量、推导物质的变化规律等。
微积分为其他学科的发展提供了强大的数学工具。
2023大学_微积分学(吴迪光张彬著)课后答案
2023微积分学(吴迪光张彬著)课后答案微积分学历史背景早期思想早在公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想。
古希腊数学家、力学家阿基米德(公元前287~前212)的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线所得的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。
中国古代数学家也产生过积分学的萌芽思想，例如三国时期的刘徽，他对积分学的思想主要有两点：割圆术及求体积问题的设想。
在3世纪，中国数学家刘徽创立的割圆术用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积，求出圆周率的近似值3.141024，并指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”。
刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法，正是极限思想的具体体现。
数列极限是函数极限的基础，一个数列an如果当n无限增大时，an与某一实数无限接近，就称之为收敛数列，a为数列的极限，记作liman=a例如an=1/n，数列的极限为0。
微分学微分学的基本概念是导数。
导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。
牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发，希望用数学工具来刻画这一事实。
若用s=s(t)表示物体的运动规律，即物体运动中所走路程s与时间t的关系，那么物体在t=t0时的瞬时速度为v(t0)，并记v(t0)=s(t0)，并称之为路程s关于时间t的导数或变化率，也可记v(t0)=()|t=t0。
而物体运动的加速度a(t)=v(t)=s(t)=()。
导数作为一个数学工具无论在理论上还是实际应用中，都起着基础而重要的作用。
例如在求极大、极小值问题中的应用。
积分学积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分。
主要内容包括积分的性质、计算，以及在理论和实际中的应用。
不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。
如果对每一xI ，有f(x)=F(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数，f(x)的全体原函数叫做不定积分，记为，因此，如果F(x)是 f(x)的一个原函数，则=F(x)+C，其中C为任意常数。
大一微积分试题及答案详解
大一微积分试题及答案详解一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在区间(-∞, +∞)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减答案：A解析：函数f(x) = x^2的导数为f'(x) = 2x，当x > 0时，f'(x) > 0，说明函数在x > 0的区间内是增函数；当x < 0时，f'(x) < 0，说明函数在x < 0的区间内是减函数。
由于整个定义域内没有区间使得函数单调递减，所以函数在整个定义域上是增函数。
2. 下列函数中，满足f(-x) = -f(x)的是：A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案：A解析：选项A中的函数f(x) = x^3是奇函数，因为对于所有x，都有f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。
选项B是偶函数，选项C和D不满足奇函数的性质。
3-10. （类似上述格式，继续编写选择题及答案详解）二、填空题（每题4分，共20分）1. 极限lim (x→0) [sin(x)/x] 的值是 _______。
答案：1解析：根据极限的性质，我们知道sin(x)/x在x趋近于0时的极限是1，这是著名的极限lim (x→0) [sin(x)/x] = 1。
2. 函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 9x + 1在x = 2处的导数是 _______。
答案：23解析：首先求出函数f(x)的导数f'(x) = 6x^2 - 12x + 9，然后将x = 2代入得到f'(2) = 6(2)^2 - 12(2) + 9 = 24 - 24 + 9 = 9。
3-5. （类似上述格式，继续编写填空题及答案详解）三、解答题（共50分）1. （15分）求曲线y = x^3 - 3x + 2在点(1, 0)处的切线方程。
微积分中的常见问题与解决方法总结
微积分中的常见问题与解决方法总结微积分作为数学的重要分支，常常被应用于各个学科和领域。
然而，由于其抽象性和复杂性，学习微积分可能会遇到一些困难和问题。
本文将总结微积分学习中常见的问题，并提供相应的解决方法，帮助读者更好地掌握微积分知识。
一、导数的计算问题导数是微积分的核心概念之一，但计算导数时常常出现错误。
以下是一些常见的导数计算问题以及相应的解决方法：1.1 未正确应用导数法则：导数具有一系列的运算法则，如常数法则、幂法则、求和法则和乘积法则等。
在计算导数时，需要正确应用这些法则。
如果有疑惑，可以查阅相关的导数法则表格或教材，以确保计算的准确性。
1.2 忽略极小量和高阶无穷小：在计算导数时，有时会出现极小量或高阶无穷小，而忽略它们会导致计算结果的不准确。
要避免这个问题，建议在计算过程中保留所有的无穷小量，并在最后一步统一进行化简。
1.3 误用链式法则：链式法则是计算复合函数导数的重要方法。
然而，在应用链式法则时，常常会出现求导的方向错误、求导对象选取错误等问题。
要避免这些错误，应仔细分析函数的复合结构，并正确应用链式法则进行求导。
二、积分的计算问题积分是微积分中另一个重要的概念，用于求函数与坐标轴之间的面积、弧长、体积等问题。
以下是一些常见的积分计算问题以及相应的解决方法：2.1 忽略常数项：在进行不定积分时，常常会忽略常数项的写法。
然而，这样做可能导致最后的结果不准确。
为了避免这个问题，应该始终在不定积分结果后面添加表示常数的符号。
2.2 忘记应用换元法：换元法是一种常用的积分计算方法，有时可以使积分变得更简单。
在进行积分计算时，应该仔细观察被积函数的形式，并尝试进行合适的变量代换。
2.3 未正确应用分部积分法：分部积分法是求定积分的重要手段，它可以将一个积分转化为另一个积分。
在应用分部积分法时，一定要正确选择u和v，并保持不变式的完整性。
三、极限计算问题极限是微积分中另一个基本概念，用于研究函数在某一点的趋势。
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大学微积分(常见问题与解答)辅导答疑第一章微积分的基础和研究对象1. 问：如何理解微积分（大学数学）的发展历史？微积分与初等数学的主要区别是什么？答：微积分的基础是---集合、实数和极限，微积分的发展历史可追溯到17世纪，在物理力学等实际问题中出现大量的（与面积、体积、极值有关的）问题，用微积分得到了很好的解决。
到19世纪，经过无数数学家的努力，微积分的理论基础才得以奠定。
可以说，经过300多年的发展，微积分课程的基本内容已经定型，并且已经有了为数众多的优秀教材。
但是，人们仍然感到微积分的教与学都不是一件容易的事，这与微积分学科本身的历史进程有关。
微积分这座大厦是从上往下施工建造起来的。
微积分从诞生之初就显示了强大的威力，解决了许多过去认为高不可攀的困难问题，取得了辉煌的胜利，创始微积分数学的大师们着眼于发展强有力的方法，解决各式各样的问题，他们没来得及为这门学科建立起严格的理论基础。
在以后的发展中，后继者才对逻辑细节作了逐一的修补。
重建基础的细致工作当然是非常重要的，但也给后世的学习者带来了不利的影响，今日的初学者在很长一段时间内只见树木不见森林。
微积分重用极限的思想，重用连续的概念，主要是在研究函数，属于变量数学的范畴。
而初等数学研究不变的数和形，属于常量数学的范畴。
2．问：大学数学中研究的函数与初等数学研究的函数有何不同之处？答：在自然科学，工程技术甚至社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念之一，其意义远远超过了数学范围，在数学中函数处于基础核心地位。
函数不仅是贯穿中学《代数》的一条主线，它也是《大学数学》这门课程的研究对象。
《大学数学》课程中，将在原有初等数学的基础上，对函数的概念、性质进行重点复习和深入的讨论，并采用极限为工具研究函数的各种分析性质，进而应用函数的性质去解决实际问题。
第二章微积分的直接基础-极限1．问：阿基里斯追赶乌龟的悖论到底如何解决的？答：阿基里斯追赶乌龟的悖论是一个很有趣的悖论。
如果芝诺的结论是正确的，则追赶者无论跑得多么快也追不上在前面跑的人，这显然与我们在生活中经常见到的现象相违背。
芝诺的说法中有合理的成分：阿基里斯追赶乌龟的过程确实是一个无穷的过程--一个无穷的位置变化过程。
芝诺的说法中的错误在于：他把阿基里斯追赶乌龟的无穷的位置变化过程与无穷的时间变化过程混为一谈了。
芝诺的结论"阿基里斯永远也追不上乌龟"中的"永远"一词，指的当然是"时间"。
条件中谈的是"位置"的变化，结论却谈"时间"，这是芝诺悖论偷梁换柱之所在。
事实上，阿基里斯追赶乌龟的悖论的解决借助于高等数学的一部分重要内容---无穷级数，在那里，我们将会看到，尽管是无穷多个数相加，却可以等于一个有限的数。
虽然芝诺将追赶时间一段一段叙述，造成无穷多个时间的迷惑，实际上，这无穷多个时间的和是个有限的数。
从而，阿基里斯在有限的时间内就可以追赶上乌龟了，这与我们的生活常识一致。
2．问：极限的定性描述和定量描述有何不同之处？答：极限的定性描述是用所谓的描述性语言，例如，“无限趋近”“越来越靠近”这些都只是一种模糊的描述，一种直观的想象，缺乏精确性；为避免直观想象可能带来的错误判断，作为微积分工具的极限概念，必须有定量描述的精确定义。
在R.克朗的名著《数学是什么》一书中，数学大师也提到：定量描述极限的语言接受起来有一定的心理上的困难，但是文科学生要通过这种定量定义，理解、领悟、欣赏数学语言区别于自然语言的简洁、一义、科学、严谨的方面。
3．问：如何理解连续的概念？连续函数有什么应用？答：自然界中连续变化的现象是很多的，例如，我们身边的容易理解例子：空气的流动，植物的生长，温度的变化，这种种现象反映到数学的函数关系上，就是函数的连续性。
实际遇到的情形是：当自变量的改变非常小时，相应的函数值改变也非常小。
例如，气温作为时间的函数，就有这种性质。
一天之中的温差可能很大，但考虑时间间隔很短的瞬间，温度的改变将是很微小的。
连续函数是大学数学中着重要讨论的一类重要函数。
一方面，连续函数是人们在科学实验，生产实践中经常碰到的一类函数（例如，初等函数在其有定义的区间内均为连续的）；另一方面，在数学上，人们经常用连续函数去逼近非连续函数，进而研究非连续函数的性质和近似计算函数值。
第三章变量变化速度与局部改变量估值问题-导数与微分1. 问：导数是如何引进的？举例说明导数的实际运用。
答：在生产实践和科学实验中，常常需要研究函数相对于自变量变化的快慢程度。
例如，要预报人造地球卫星飞过各大城市的时间，就要知道卫星的飞行速度，要研究轴和梁的弯曲变形问题，就必须会求曲线的切线的斜率，等等。
求曲线的切线斜率、求速度的问题，叫做求变化率的问题，数学上称为求导数。
例如，我们可以应用导数的概念，证明旋转抛物面的光学性质。
（抛物线绕它的对称轴旋转所形成的曲面就是旋转抛物面。
放在焦点处的光源所发出的光，经过旋转抛物面各点反射之后就形成平行光束，人们利用这一性质制造需要发射平行光的灯具，例如，探照灯、汽车前灯等）。
2. 问：如何理解微分的概念？答：可以从多个角度和方面来理解和加深对微分的认识。
1）从几何角度考，微分dx x f dy )(0'=正好是切线函数的增量；2）从代数角度看，微分dx x f dy )(0'=是增量)()(00x f x x f y -∆+=∆的线性主要部分，二者之差是一个高阶无穷小量)(x o ∆；3）有了微分的概念以后，可以把导数的记号dxdy 解释为dy 与dx 之商：)(0x f dxdy '=，故导数也称为微商； 4）可以利用微分做近似计算和误差估计（dy y ≈∆），但精度受限。
第四章 导数的应用问题-洛必达法则、函数的性质和图像1. 问：微分学的中值定理的作用？如何运用中值定理解决问题答：微分中值定理是由函数的局部性质来研究函数的整体性质的桥梁，其应用十分广泛。
在具体处理问题时，注意首先确定函数以及讨论的区间，判断函数在所讨论的区间上是否满足中值定理的条件。
人们常用中值定理证明某些不等式或者涉及函数和它的一阶导数的问题。
补充一点：中值定理有三种常用的形式：Rolle 中值定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理，这三种形式一个比一个适用范围要广。
但最常用的还是Lagrange 中值定理，故人们一般提到微分中值定理时均指Lagrange 中值定理。
2. 问：应用计算不定式极限的一般方法-洛必达法则时，有什么注意事项？ 答：1）洛必达法则可以处理7种函数不定式极限，十分好用；但是在)()(x g x f ''极限不存在的情况下，洛必达法则失效；故，不能从)()(x g x f ''极限不存在推出)()(x g x f 极限不存在； 2）尽管洛必达法则只针对未定式是函数的极限形式，但对于未定式是数列的极限形式，可以通过归结原则将数列极限转化为函数极限，再利用洛必达法则。
（注意：没有数列极限的洛必达法则）3. 问：利用导数研究函数的图像和进行函数图像的绘制与初等数学中的描点作图的区别是什么？答：中学《代数》应用描点法绘制了一些简单函数的图像。
但是应用描点法得到的函数是比较粗糙的，这是因为，描点法所选取的点不可能很多，而一些关键的点，如极值点、拐点等可能被漏掉；曲线的单调性、描述其弯曲性质的凸性等一些重要性态常常得不到确切的反映。
因此，用描点法所描绘的函数图象常与真实的函数图象相差很多。
现在，有了微积分这个工具，我们已经掌握了应用导数讨论函数单调性、极值、凸性、拐点、渐近线等的方法，再结合前面所讲的周期性、奇偶性等知识就能比较准确地描绘函数的图像。
注意，利用微积分的方法作图，也具有一定的局限性，更何况许多实际问题所得到的函数不一定可以用公式表示的，而只是测得一系列数据，因而数值计算适当地多算出一些点，然后描点作图，仍不失为一种有效的作图方法。
随着电子计算机的发展和应用的普及，用描点作图就更方便、更精确了。
第五章 微积分的逆运算问题-不定积分1. 问：不定积分与原函数是同一个概念吗？答：不是同一个概念。
前者是一个集合，是所有原函数构成的集合，后者是集合中的一个元素。
2．问：不定积分运算与微分运算（求导运算）有何关系？答：由不定积分的定义，有如下关系式：d dx f x dx f x [()]()⎰= 或 d f x dx f x dx [()]()=⎰'=+⎰F x dx F x C ()() 或 dF x F x C ()()=+⎰由此可见，微分运算 (记号为d ) 与不定积分运算 (记号为⎰)是互逆的。
当记号合在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。
3. 问：第一类换元积分法与第二类换元积分法有何不同？答：第一类换元积分法：若 连续可导, 则C x F dx x x f +='⎰))(()())((ϕϕϕ。
第二类换元积分法：设 是单调的可微函数,并且 又具有原函数. 则有换元公式不同在于：前者是作变量代换t x =)(ϕ，后者是作变量代换)(t x ϕ=。
在求不定积分时，先考虑用第一换元积分法，即凑微分法，如果用此法失效，再考虑用第二换元积分法。
4. 问：在分部积分法如何选取)(),(x v x u ？答：在分部积分公式⎰⎰-=vdu uv udv 中，一般来说，选取)(),(x v x u 的原则就是：使得dx x u x v )()(⎰'比dx x v x u )()(⎰'简单，具体说有2个原则：（1）积分容易者选为dv ；（2）求导简单者选为u ，在二者不可兼得的情况下，首先要保证的是前者。
在分部积分法中常用凑微分的形式将dx x v )('凑成)(x dv ，因此应熟记常见的凑微分形式。
5.问：是不是所有的初等函数都可以求出其不定积分？答：不是。
如dx x dx xx x dx ⎰⎰⎰2sin ,sin ,ln 都“积不出来”，它们都不能用初等函数表示。
第六章 求总量的问题-定积分1.问：定积分与不定积分有何区别？答：定积分和不定积分有很大的不同，不定积分⎰dx x f )(表示函数)(x f 的所有原函数构成的集合，而⎰ba dx x f )(是一个常数。
并且定积分有明显的几何意义。
但在计算方法上二者是相通的，各种求不定积分的方法都适用于定积分，结合牛顿-莱布尼兹公式便可以求得定积分。
2.问：积分中值定理与微分中值定理有何区别？答：积分中值定理：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则在积分区间],[b a 上至少存在一点ξ，使下式成立:⎰-⋅=ba ab f dx x f )()()(ξ。