高三数学课件 第十二讲 二次函数

注：方程、不等式问题等价转化 图形问题 等价转化简单不等式组
Δ= b2－4ac
Δ>0
Δ=0
二次函数 f(x)=ax2+bx+c
(a>0) 的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0)的根
有相异两
实根x1,x2 (x1<x2)
有相等两实 根x1＝ x2 ＝－b/2a
一元二次不等式
ax2+bx+c>0(a> 0)的解集
变1：函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1对任 意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立，若 当x∈[-1，1]时，f(x)>0,则b的范围？
变2：函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R).给出下 列命题：
①f(x)必是偶函数
②当f(0)=f(2)时，f(x)的图象必关于x=1 对称
③若a2-b≤0则f(x)在区间[a,+∞)上是 增函 数
f1(x)=_________,f2(x)=_______
▪ 7.已知实数a、b、c，函数 f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b，当
▪ －1≤x≤1时|f(x)|≤1. ▪ ⑴证明：|c|≤1； ▪ ⑵证明：当－1≤x≤1时|g(x)|≤2； ▪ ⑶设a＞0，当－1≤x≤1时g(x)的最大
y
中的( )Dy
0
x
y
y
A
0
x
C
0
x
D
0
x
B
2、在区间[-4，-1]上函数
f(x)=-x2+px+q与g(x)=x+4/x同时取 到一样的最大值，求在该区间上函 数f(x)的最小值____
• 3、函数f(x)=4x2－mx+5在区间 [－2,+∞)上是增函数，则f(1)的取 值范围是( A)
• A.f(1)≥25 B.f(1)=25 C.f(1)≤25 D.f(1)>25
值为2，求f(x)。
二次函数在区间上的最值
▪ 例1求函数y＝x2―2ax―1在 ［0,2］上的值域。 分类讨论
• 变：已知函数f(x)=x2+ax+3－a， 若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立， 求实数a的取值范围。
等价于f(x)在[-2,2]的最值大于等于0
▪ 若x≥0,y≥0,且x + 2y＝1，则2x + 3y2的最小值为（ ）B
如果其中恰有三个说的正确，请写出一 个这样的函数_______________。
变：若二次函数f1(x)=a1x2+b1x+c1 和f2(x)=a2x2+b2x+c2，使得f1(x)－ f2(x)在［1,2］上是单调减函数，且 在［1,2］上有最大值5和最小值3。 请写出一组满足上述要求的二次函 数：
0
2
c a
1 2
解： (1) y=ax2+bx+c
∴ax2+bx+c=-3x
y=-bx
ax2+2bx+c=0①
△=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac
=4[(a+
c 2
)2+
3 4
c2]
∵a>b>c a+b+c=0 ∴a>0 c<0
∴△>0 ∴两函数图象交于两个不
同点。
（2）设方程两个根分别为x1,x2 则|A1Bx11|+2==x((2-x=21a+-b)x222a-b)42a-c4=x1x42bx21ax242a=c
x<x1或x>x2 x≠－b/2a
Δ<0
没有实根
R
一元二次不等式
ax2+bx+c<0(a> 0)的解集
x1<x<x2
Φ
Φ
▪ 1.y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图
象只可能是( )D
y
y
0
x
y
y
A
0
x
B
0
x
0
x
C
D
• 变：两个二次函数f(x)=ax2+bx+c 与(x)=bx2+ax+c的图象只可能是图
(－2,－1)∪(3,4)
5.若关于x的方程4x＋2x•a＋a＋1 ＝0有实根，则实数a的取值范
围是(____,2___2___2_].
设t=2x,则原命题等价于关于 t的方程t2+at+a+1=0有正根
6.若方程2ax2-x-1=0在（0，1）内 恰有一解，则实数a的范围（）
A a<-1 B a>1 C -1<a<1 D 0≤a<1
④f(x)的最大值|a2-b|其中正确的序号是 _____
4.已知二次函数f(x)同时满足条件： ▪ ⑴f(1+x)=f(1－x)； ▪ ⑵f(x)的最大值为15； ▪ ⑶f(x)=0的两根立方和等于17， ▪ 求f(x)的解析式。
待定系数法
5.已知二次函数f(x)的定义域为R， f(1)=2，在x=t处取得最值， 若y=g(x)为一次函数，且 f(x)+g(x)=x2+2x－3。
2.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<1/a (1)当x∈(0,x1)时，证明：x<f(x)<x1 (2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明
x0<x1/2 3.已知方程x2+ax+b=0两实根α、β
证明：（1）如果| α |<2,| β |<2则2|a|<4+b且 |b|<4 (2)如果2|a|<4+b且|b|<4则| α |<2,| β |<2
c a
[( = 4(ac)2 4ac a2
=4
a>b>c a+b+c=0
c a
1 2
)
∴a>0
2
3 4
c<0
]
a∴>|-Aa-1cB>1c|2∈(3,1ac2∈) (-2,-
1) 2
3 <|A1B1|<2 3
一元二次方程根的分布
1.集合A={x|x2+(m+2)x+1=0},若A∩ {正实数}= Φ
则实数m的范围？ 2.函数f(x)=ax2+bx+c的图象如右 图，则b的范围___
1
2
▪ 3.已知函数f(x)=mx2+(m－3)x+1的 图象与x轴的交点至少有一个在原 点的右侧，则实数a的取值范围是 (D) A.(0,1] B.(0,1) C.(－∞,1) D.(－∞,1]
• 4.二次函数y=7x2－(k+13)x+k2 －k－2的图象与x轴的两个交点 分别在开区间(0,1)和(1,2)内， 则实数k的取值范围是_______.
练习： 1.（1）关于x的方程(1-m2)x2+2mx-1=0的两根一个小于0，一个大于1，求m的取值范 围？
（2）m为何值时，方程x2-2mx+m2-1=0的两根都在（-2，4）内。 （3）方程3x2+(m-5)x+7=0的两根都大于4，另一根小于4，则m 的范围？ （4）方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2，则m 的范围？
4）二次方程、二次不等式 10与x轴的交点坐标是方程f(x)=0的实 根，它在x轴上的线段长为
| x1 x2 |
(x1
x2 )2
4x1x2
|a|
20突现函数图象，研究二次方程 ax2+bx+c=0的根的分布问题：
①二次项系数a的符号； ②判别式的符号； ③区间端点函数值的正负； ④对称轴x=－b/2a与区间端点的关系
第十五讲 二次函数
基础知识
▪ 1、二次函数的解析式（待定系数法） ▪ ①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) ▪ ②顶点式：y=a(x－h)2+k,a≠0，其中
(h,k)为抛物线的顶点坐标。
▪ ③零点式(两根式)：y=a(x－x1)(x－ x2)，a≠0其中x1、x2是抛物线与x轴两 交点的横坐标。
2、二次函数研究的四元素：
开口a；对称轴-b/2a；顶点；与坐
标轴的交点
1、配方法 2、顶点公式
(
b
, 4ac b2 )
3、对称代入法 2a 4a
1、与y轴的交点:(0,c) 2、与x轴的交点：y=0时， 转化成一元二次方程
3、二次函数的相关量 1）单调性的相关量：开口；对称轴 2）最值相注关：以量静制：动 10定义域R： 20定义域[m,n]： 3）对称轴相关量： 10:对称轴x=-b/2a 20:f(a)=f(b)(a≠b)对称轴x=(a+b)/2

▪ A.2
B.3/4
▪ C.2/3
D.0
▪ 例2、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和 一次函数g(x)= －bx,其中a、b、c满 足a>b>c，a+b+c=0(a、b、c∈R).
▪ ⑴求证：两个函数的图象交于不同的 两点A、B；
▪ ⑵求线段AB在x轴上的射影A1B1之长
的取值范a 围b。 c a b c
▪ ⑴求f(x)的解析式； ▪ ⑵若x∈［－1,2］时f(x)≥－1恒成立，
求t的取值范围。