时间序列预测模型

1089.5
1124.0
1249.0
1501.9
1866.4
一元线性回归模型
例 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下: 身高 143 145 146 147 149 150 153 154 腿长 88 85 88 91 92 93 93 95
身高 155 156 157 158 159 160 162 164 腿长 96 98 97 96 98 99 100 102
S=
( 指数平滑法平滑值的计算还需给出一个初值S 01) , 可取原时间序列
的第一项或前几项的算术平均值为初值. 一次指数平滑法适用于变化比较平稳、 增长或下降趋势不明显的 时间序列数据的下一期的预测.
例2 下表数据是某股票在8个连续交易日的收盘价, 试用一次指数
( 平滑法预测第9个交易日的收盘价(初值S 01) = y1 , α = 0.4).
1) S t(1) = αyt + (1 − α )S t(−1 (2 ) (1) 2 S t = αSt + (1 − α )St −1 ˆ yt +T = at + btT
其中 : at = 2 St(1) − S t(2 ) ,
bt =
St(1)表示第t期的一次指数平滑值; S t(2 )表示第t期的二次指数平滑值; ˆ yt 表示第t期实际值; yt +T 表示第t + T期预测值;α表示平滑系数.初值
∑ (y
t +1
ˆ − yt +1 )
2
例1.某企业1月~11月的销售收入时间序 列如下表所示.取n=4,试用简单一次移动 平均法预测第12月的销售收入,并计算预 测的标准误差.
月份 t 销售 收入 y t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
533.8
574.6
606.9
649.8 705.1 772.0 816.4 892.7 963.9 1015.1
∑
6.48
( S 01) = y1 = 16.41
( S 21) = αy2 + (1 − α )S1(1) ( ( S31) = αy3 + (1 − α )S 21)
( S1(1) = αy1 + (1 − α )S 01) = 16.41
= 0.4 ×17.62 + 0.6 ×16.41 = 16.89
( ( S 02 )的取值方法与S 01)的取法相同.
α (St(1) − St(2 ) ) 1−α
预测的标准差为 :
S=
ˆ ( yt − yt )2 ∑
t =1
n
n−2
二次指数平滑预测法适用于时间序列呈线性增 长趋势情况下的短期预测. 例3 仍以例2为例.试用二次指数平滑预测法预测第9 个交易日的收盘价 (S 0(2 ) = S 0(1) = y1 ,α = 0.4).
ˆ yt +1
ˆ yt +1 − yt +1 ( yt +1 − yt +1 ) 2 ˆ
1.21 -0.74 -1.05 1.07 0.24 1.46 -0.21 1.46 0.55 1.10 1.14 0.06 2.13 0.04
16.41 16.89 16.59 16.17 16.59 16.68 17.26 17.18
1102.7
月份 t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
销售收 入 yt
553.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772.0 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7
Mt
(1)
ˆ ˆ yt +1 yt +1 − yt +1 ( yt +1 − yt +1 ) 2 ˆ
(1)
yt + yt −1 + ⋯ + yt − n +1 = n
1 n = ∑ yt − n + j n j =1 上式中 : yt 表示第t期实际值; M t(1)表示第t期一次移动平均数; ˆ yt +1表示第t + 1期预测值(t ≥ n ).
其预测标准误差为 : N −n 上式中, N为时间序列{yt }所含原始数据的个数. 项数n的数值,要根据时间序列的特点而定,不宜过 大或过小.n过大会降低移动平均数的敏感性,影响预 测的准确性;n过小,移动平均数易受随机变动的影响, 难以反映实际趋势.一般取n的大小能包含季节变动 和周期变动的时期为好,这样可消除它们的影响.对于 没有季节变动和周期变动的时间序列,项数n的取值 可取较大的数;如果历史数据的类型呈上升(或下降) 型的发展趋势,则项数n的数值应取较小的数,这样能 取得较好的预测效果. S=
W1 y3 + W2 y2 + W1 y1 ˆ y4 = W3 + W2 + W1 3 × 606.9 + 2 × 574.6 + 1× 533.8 = 584.0 3 + 2 +1 ⋯⋯ W1 y11 + W2 y10 + W3 y9 ˆ y12 = W1 + W2 + W3 3 ×1102.7 + 2 × 1015.1 + 1× 963.9 = = 1050.4 3 + 2 +1 80810.7 S= = 100.1 11 − 3
( ˆ y9 = S8(1) = αy8 + (1 − α )S 71) = 17.18
= 0.4 ×16.15 + 0.6 ×16.89 = 16.59 ⋯⋯
6.48 = 0.96 S= 8 −1
2. 二次指数平滑预测法 二次指数平滑预测法是对一次指数平滑值再作一次 指数平滑来进行预测的方法,但第t+1期预测值并非第 t期的二次指数平滑值,而是采用下列公式进行预测:
时间 t
1
2
3
4
5
6
7
来自百度文库
8
价格观测 16.41 17.62 16.15 15.54 17.24 16.83 18.14 17.05 值 yt
解:
时间t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
价格观 指数平 预测值 测值 yt 滑值 S t 16.41 17.62 16.15 15.54 17.24 16.83 18.14 17.05 16.41 16.89 16.59 16.17 16.59 16.68 17.26 17.18
由观测或实验获得n组数据( xi , yi ), i = 1,2, ⋯ , n.运用 最小二乘法确定参数的估计值 ˆ ˆ ˆ b0 = y − b1 x , b1 =
∑ (x − x )( y − y ) , ∑ (x − x )
i 2
1 n 1 n x = ∑ xi , y = ∑ yi n i =1 n i =1 ˆ ˆ b0 , b1的计算公式可通过求解如下的优化问题得到 min Q = ∑ ( yi − b0 − b1 xi )
2
回归方程的显著性检验
在实际工作中,事先我们并不能断定y与x之间有 线性关系。当然，这个假设不是没有根据，我们可 以通过专业知识和散点图作粗略判断。但在求出回 归方程后，还需对线性回归方程同实际观测数据拟 合的效果进行检验。
当 b1 越大, y随x的变化趋势就越明显; 反之, 当 b1 越小, y随x 的变化趋势就越不明显, 特别当b1 = 0时, 则认为y与x之间不存 在线性关系.当b1 ≠ 0时, 则认为y与x之间有线性关系.因此,问题 归结为对假设 H 0 : b1 = 0; H1 : b1 ≠ 0 进行检验.假设H 0 : b1 = 0被拒绝, 则回归显著, 认为y与x存在线 性关系, 所求的线性回归方程有意义; 否则回归不显著, y与x不 能用一元线性回归模型来描述.
为了研究这些数据之间的规律性,作散点图 散点图。数据大致 散点图 落在一条直线附近，这说明x（身高）与y（腿长）之 间的关系大致可以看作是直线关系。不过这些点又不 都在一条直线上，这表明x和y之间的关系不是确定性 关系。
实际上, 腿长y除了与身高x有一定关系外, 还受到许多 其它因素的影响.因此y与x之间可假设有如下结构式 : y = β 0 + β1 x + ε 其中β 0、 β1是两个未知参数, ε为其它随机因素对y的影响. x是非随机可精确观察的， ε是均值为零的随机变量， 是 不可观察的。 一般地, 称一元线性回归模型为 : y = β 0 + β1 x + ε Eε = 0, Dε = σ 2 β 0 , β1称为回归系数, x称为回归变量. 两边同时取期望得 : y = β 0 + β1 x 称为y对x的回归直线方程.
三、指数平滑预测法
1、一次指数平滑预测法
一次指数平滑预测法是以α (1 − α ) 为权数(0 < α < 1),
i
(i = 1,2,3,⋯)对时间序列{yt }进行加权平均的一种预测 方法. yt的权数为α , yt −1的权数为α (1 − α ), yt − 2的权数为 2 α (1 − α ) , ⋯,以此类推.其计算公式如下 : 1) ˆ yt +1 = St(1) = αyt + (1 − α )St(−1
其中 : yt 表示第t期实际值; ˆ yt +1表示第t + 1期预测值;
1) St(−1 , St(1)分别表示第t − 1, t期一次指数平滑值;
α表示平滑系数,0 < α < 1.
预测标准误差为 : ˆ ( yt +1 − yt +1 )2 ∑
t =1 n −1
n −1 上式中, n为时间序列所含原始数 据个数. 平滑系数α的取值对预测值的影响 是很大的,因此, 利用指数平滑法进行预 测, α的选值是很关键的, 但目前 还没有一个很好的统一 的选值方法, 一般是根据经验来 确定的.当时间序列数据是水平 型的发展趋势类型,α可 取较小的值, 在0 ~ 0.3之间;当时间序列数据是上升 (或下 降)的发展趋势类型, α应取较大的值, 在0.6 ~ 1之间.在进 行实际预测时, 可选不同的α值进行比较, 从中选择一个 比较合适的 α值.
591.3 634.1 683.5 735.8 796.6 861.3 922.0 993.6
591.3 634.1 683.5 735.8 796.6 861.3 922.0 993.6
113.8 137.9 132.9 156.9 167.3 153.8 180.7
12950.4 19016.4 17662.4 24617.6 27989.3 23654.4 32652.5
2
N −n
158542.7 = ≈ 150.5 11 − 4
二、加权一次移动平均预测法
简单一次移动平均预测法，是把参与平 均的数据在预测中所起的作用同等对待， 但参与平均的各期数据所起的作用往往是 不同的。为此，需要采用加权移动平均法 进行预测，加权一次移动平均预测法是其 中比较简单的一种。
计算公式如下 : W1 yt + W2 yt −1 + ⋯ + Wn yt − n +1 ˆ yt +1 = W1 + W2 + ⋯ + Wn = ∑ Wi yt − n +1
1、某商场1~12月份的销售额时间序列数据如下表所 示。取试用简单一次移动平均法和加权一次移动平均 法（取W1=3，W2=2，W3=1）预测下年一月份（第 13月）的销售额（单位：万元）
月份 实际销 售额
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
49 53 55 59 50 51 52 52 51 52 53 59
2、一公司某种产品的市场销售量按年变化的时间序 列资料如下表，取平滑系数为0.7,初值为前三年数据 的平均值,用一次指数平滑法预测其下一年的销售量 (单位:吨).
年度
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
销售量
874.5
1121.1
1103.3
1085.2
12
∑
158542.7
y11 + y10 + y9 + y8 ˆ y12 = M 11 = 4 1102.7 + 1015.1 + 963.9 + 892.7 = 4 ≈ 993.6(万元 )
(1)
为第12月份销售收入的预测值. 12月份销售收入的预测值
预测的标准误差为 : S=
∑ (y
t +1
ˆ − yt +1 )
时间序列预测模型
时间序列是指把某一变量在不同时 间上的数值按时间先后顺序排列起来所 形成的序列,它的时间单位可以是分、时、 日、周、旬、月、季、年等。时间序列 模型就是利用时间序列建立的数学模型， 它主要被用来对未来进行短期预测，属 于趋势预测法。
一、简单一次移动平均预测法
设时间序列为{yt }, 取移动平均的项数为n, 则第 t + 1期预测值的计算公式为 : ˆ yt +1 = M t
i =1 n
∑W
i =1
n
i
其中 : yt 表示第t期实际值; ˆ yt +1表示第t + 1期预测值; Wi 表示权数; n 表示移动平均的项数. 预测标准误差的计算公式与简单一次移动平均相同.
仍以例1为例, 取n = 3, 并取权数W1 = 3, W2 = 2, W3 = 1, 试用加权一次移动平均预测法预测12月份的销售收入.