二次函数专题(求二次函数的解析式)

二次函数专题

求二次函数的解析式

确定二次函数的解析式一般采用待定系数法．应根据已知条件的不同特点，适当选取二次函数的一般式、顶点式或交点式，以使计算最简便为宜．

（1）已知抛物线上三个点的坐标，最好选用一般式．

例1已知抛物线经过A（0，4），B（1，3）和C（2，6）三点，求二次函数的解析式．

（2）若已知条件与抛物线的顶点有关，则用顶点式比较恰当．

例2已知二次函数的图象顶点为（2，3），且经过点（3，1），求这个二次函数的解析式．

（3）已知抛物线与x轴两个交点的坐标，选用交点式比较简便．

例3已知A（2，0），B（－1，0），C（1，－3）三个点在抛物线上，求二次函数的解析式．

例4已知二次函数的图象经过点A（3，—2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式．

思路启迪一

已知对称轴是直线x ＝3，因对称轴经过顶点，所以这是与顶点有关的问题．

.h 3)-a(x y 12+=设二次函数的解析式为规范解法

把A （3，－2），b （1，0）两点的坐标代入，得

⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-.

2h ,21a .0h )31(a ,2h )33(a 22解得 .2)3x (21y 2--=

故所求解析式为

思路启迪二 由对称轴是直线x ＝3，且点A 的横坐标是3，知点A （3，—2）是抛物线的顶点，可设解析式为顶点式．

23)-a(x y 22-=设二次函数的解析式为规范解法

21a ,02)31(a ,)0,1(B 2=

=--解得得的坐标代入把点

.2)3x (21y 2--=故所求解析式为

思路启迪三 由对称轴是直线x ＝3，可得关于a 、b 的一个方程

.3a 2b =-

又知图象经过两定点，可设解析式为一

般式， .c bx ax y 32++=设二次函数的解析式为规范解法

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++=-.0c b a 2

c b 3a 9,

3a 2b ,得根据题意 解这个方程组，得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-==.25,

3,21c b a .25x 3x 21y 2+-=

故所求析式为

思路启迪四

由点B （1，0）的纵坐标是0知，它是抛物线与x 轴的交点，若能求出抛物线与x 轴的另一个交点，即点B 关于对称轴x ＝3的对称点．则可设解析式为交点式．

.5m ,32

m 1(m,0),B 3x B(1,0) 4==+'=解得则

的对称点关于直线设点规范解法)0,5(B 的坐标为所以点'

设二次函数的解析式为y ＝a （x －1）（x －5）． 得代入的坐标把点,)2,3(A -

a （3－1）（3－5）＝－2，

.21a =解得

).5x )(1x (21y --=

故所求解析式为

思路启迪五 同解法4得到B′（5，0），就具备了图象过三个定点，可设其解析式为一般式．

规范解法5 同解法4，求得点B （1，0）关于对称轴x ＝3的对称点B '（5，0），设二次函数的解析

式为

.c bx ax y 2++= ),2,3(A 0c bx ax 5x ,1x 2-=++==的两根及图象过点是一元二次方程由

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+++=+=-.25c ,

3b ,21a .2c b 3a 9,51a c ,51a b 解得得

.25x 3x 21y 2+-=

故所求解析式为

点评 例4各解法中以解法2最佳．它体现在对点A （3，—2）是所求抛物线的顶点这一隐含条件挖掘得好．因此，我们在解题过程中既要学会一题多思，一题多解，拓开思路；更要注意寻求合理的解题途径，选好突破口．

注 本题还可直接把A 、B 、B′三点坐标代入所设一般式，求a 、b 、c 的值．