高中数学北师大版必修二课件：第一章 立体几何初步§6 6-2 (1)
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2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件 第一章§6.1
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 直线与平面垂直的判定 例1
在正方体A1B1C1D1-ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的
中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.
栏目 导引
第一章
立体几何初步
【证明】 如图所示，连接AC，BD,则O是AC和BD的交点，∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BO，∵B1B⊥平面ABCD，AC
∴BB1⊥AC. ∵E、F分别是棱AB、BC的中点， ∴AC∥EF， ∴EF⊥BO，EF⊥BB1.
平面ABCD，
又∵BO∩BB1＝B，
∴EF⊥平面BB1O.
栏目 导引
第一章
立体几何初步
【名师点评】
证明直线与平面垂直时， 一定要证明直线和
平面内两条相交直线垂直，如果没有考虑相交的情况就可能 把本来不垂直的情况证明成垂直的，得到错误结论．
栏目 导引
第一章
立体几何初步
又∵ AO 平面 AA1C1C， ∴ BD⊥ A1O. 在矩形 AA1C1C 中，
2 A1O＝ AA1 ＋ AO2， 2 OM＝ MC2＋ OC2， A1M＝ A1C2 ＋ C M . 1 1
设正方体的棱长为 1， 则在△ A1OM 中， A1M2＝ A1O2＋ OM2， ∴∠ A1OM＝ 90° ，即 A1O⊥ OM. 又∵ BD∩ OM＝ O， BD 平面 MBD， OM 平面 MBD， ∴ A1O⊥平面 MBD.
平面角是直角 的二面角叫作直二面角． ⑤直二面角： _____________ (2)平面与平面的垂直 直二面角 ， ①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是 __________ 就说这两个平面互相垂直．
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新教材高中数学第6章立体几何初步6简单几何体的再认识 球的表面积和体积课件北师大版必修第二册
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
球的表面积
例 1 一个球内有相距9 cm的两个平行截面,面积分别为49π cm2和400π cm2,试求球的表面积．
[分析] 求球的表面积或体积只需要求出球的半径,要求球的半径只 需解球的半径、截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角三角形．
[解析] (1)当球心在两个截面同侧时,如右图,设OD＝x,由题意知 π·CA2＝49π,
(B)
4．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为
A．R
B．2R
(D)
C．3R
D．4R
[解析] 设圆柱的高为h，则πR2h＝3·43πR3，∴h＝4R.
4π 5．球的表面积为4πcm2,则其体积为______3_cm3.
[解析] 设球的半径为r，则4πr2＝4π，∴r＝1(cm)． ∴V＝43πr3＝43π(cm3)．
知识点2 球的表面积和体积公式 S球面＝__4_π_R__2 __,V球＝_____43_π_R_3.其中R为球的半径．
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)球心和球的小圆圆心的连线和球的小圆垂直．
(2)球的表面积S和体积V的大小是关于半径R的函数．
2．球的体积是323π，则此球的表面积是
知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 4
3 ，底面周长
为3，那么这个球的体积为___3_π__.
[分析] 要求球的体积，关键是求出其半径R，而正六棱柱外接球的 直径恰好是正六棱柱的体对角线长．
[解析] ∵底面是正六边形， ∴边长为12.∴AD＝1． AD1为球直径，其长度为 3＋1＝2，∴R＝1． ∴V＝43πR3＝43π.
第1章 §2 直观图-2020秋北师大版高中数学必修二课件(共55张PPT)
小 结
·
探
提
新 你发现直观图的面积与原图形面积有何关系？
素
知
养
合
课
作
时
探
分
究
层
释
作
疑
业
难
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·
32
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自
课
主
堂
预
小
习
结
探
提示：由题意，易知在△ABC 中，AC⊥AB，且 AC＝6，AB＝3， 提
·
新
素
知
∴S△ABC＝12×6×3＝9.
养
合
课
作 探 究
又
S△A′B′C′＝12×3×(3sin
45°)＝9 4 2，∴S△A′B′C′＝
结
探
OB＝2O′B′＝2 2，OC＝O′C′＝AB＝
·
提
新
素
知 A′B′＝1，
养
·
·
合
且 AB∥OC，∠BOC＝90°.
BC ＝ B′C′ ＝ 1 ＋
2，在
y
轴上截取线段
BA ＝
课 堂
预
小
习 2B′A′＝2.
·
结
探
提
新 知
过 A 作 AD∥BC，截取 AD＝A′D′＝1.
素 养
·
·
合
连接 CD，则四边形 ABCD 就是四边形 A′B′C′D′的平面图 课
作
时
探 形．
分
究
层
释 疑
四边形 ABCD 为直角梯形，上底 AD＝1，下底 BC＝1＋
自
课
主
堂
预
小
习
结
高中数学必修二第一章立体几何初步知识点
高中数学必修二第一章立体几何初步知识点立体几何初步是高中数学必修二第一章的内容，有哪些知识点需要掌握的呢?下面是店铺给大家带来的高中数学必修二立体几何初步知识点，希望对你有帮助。
高中数学必修二第一章立体几何初步棱柱表面积A=L*H+2*S,体积V=S*H(L--底面周长,H--柱高,S--底面面积)圆柱表面积A=L*H+2*S=2π*R*H+2π*R^2,体积V=S*H=π*R^2*H(L--底面周长,H--柱高,S--底面面积,R--底面圆半径)球体表面积A=4π*R^2,体积V=4/3π*R^3(R-球体半径)圆锥表面积A=1/2*s*L+π*R^2,体积V=1/3*S*H=1/3π*R^2*H (s--圆锥母线长,L--底面周长,R--底面圆半径,H--圆锥高)棱锥表面积A=1/2*s*L+S,体积V=1/3*S*H(s--侧面三角形的高,L--底面周长,S--底面面积,H--棱锥高)长方形的周长=(长+宽)×2 正方形 a—边长 C=4aS=a2 长方形 a和b-边长 C=2(a+b)S=ab 三角形 a,b,c-三边长 h-a边上的高s-周长的一半 A,B,C-内角其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2 =ab/2·sinC [s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D-对角线长α-对角线夹角S=dD/2·sinα 平行四边形 a,b-边长 h-a边的高α-两边夹角S=ah =absinα =菱形 a-边长α-夹角 D-长对角线长 d-短对角线长 S=Dd/2=a2sinα 梯形 a和b-上、下底长 h-高m-中位线长 S=(a+b)h/2 =mh d-直径C=πd=2πrS=πr2 =πd2/4 扇形 r—扇形半径正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积= (长×宽+长×高+宽×高)×2 长方体的体积 =长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体(正方体、圆柱体)的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S a—圆心角度数C=2r+2πr×(a/360) S=πr2×(a/360)弓形l-弧长b-弦长h-矢高r-半径α-圆心角的度数S=r2/2·(πα/180-sinα) =r2arccos[(r-h)/r] -(r-h)(2rh-h2)1/2 =παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2=r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3 圆环R-外圆半径r-内圆半径D-外圆直径d-内圆直径S=π(R2-r2)=π(D2-d2)/4 椭圆 D-长轴 d-短轴S=πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V 正方体 a-边长 S=6a2 V=a3 长方体 a-长 b-宽 c-高 S=2(ab+ac+bc)V=abc 棱柱 S-底面积 h-高 V=Sh 棱锥 S-底面积h-高V=Sh/3 棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3拟柱体 S1-上底面积 S2-下底面积S0-中截面积 h-高 V=h(S1+S2+4S0)/6圆柱 r-底半径 h-高 C—底面周长S底—底面积 S侧—侧面积 S表—表面积C=2πr S底=πr2S侧=Ch S表=Ch+2S底 V=S底h =πr2h空心圆柱 R-外圆半径 r-内圆半径h-高V=πh(R2-r2) 直圆锥 r-底半径 h-高V=πr2h/3圆台 r-上底半径 R-下底半径h-高V=πh(R2+Rr+r2)/3 球 r-半径d-直径V=4/3πr3=πd2/6 球缺 h-球缺高 r-球半径a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6 =πh2(3r-h)/3 a2=h(2r-h) 球台r1和r2-球台上、下底半径 h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6 圆环体 R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2 =π2Dd2/4桶状体 D-桶腹直径 d-桶底直径 h-桶高V=πh(2D2+d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)三视图的投影规则是：主视、俯视长对正主视、左视高平齐左视、俯视宽相等点线面位置关系公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面推论三：两平行直线确定一个平面公理四：和同一条直线平行的直线平行异面直线定义：不平行也不相交的两条直线判定定理：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线。
2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件 第一章§6.2
(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
栏目 导引
第一章
立体几何初步
【证明】 (1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB ＝60°， ∴△ABD为正三角形． ∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴BG⊥平面PAD.
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 线面垂直的性质定理的应用 例1 如图,已知直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b, 平面α∩β＝c.求证：AB∥c.
栏目 导引
第一章
立体几何初步
【证明】 如图，过点 B 作直线 a′∥ a， a′与 b 确定的 平面设为 γ. 因为 a′∥ a， AB⊥ a，所以 AB⊥ a′， 又 AB⊥ b，a′∩b＝ B， 所以 AB⊥ γ. 因为 b⊥ β， c β， 所以 b⊥ c.① 因为 a⊥ α， c α，所以 a⊥ c， 又 a′∥a，所以 a′⊥ c.② 由①②可得 c⊥ γ，又 AB⊥ γ，所以 AB∥ c.
栏目 导引
第一章
立体几何初步
做一做
判断下列说法是否正确．
(1)若两个平面垂直，经过一个平面内一点垂直于另一平
面的垂线必在该平面内．( √ ) (2)垂直于同一平面的两直线平行．( √ ) (3)两平行直线中，若其中一条垂直于平面，则另一条直 线也垂直于该平面．( √ )
栏目 导引
第一章
立体几何初步
(3)直线必须垂直于两平面的交线．
栏目 导引
第一章
立体几何初步
跟踪训练 2．如图，S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面 SAB⊥平面SBC. 求证：AB⊥BC.
2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件 第一章§1.1
圆锥；若绕其斜边所在的直线旋转得到的是两个同底面圆锥
构成的一个几何体，如图(1)．B项错误，没有说明这两个平行 截面的位置关系,当这两个平行截面与底面平行时正确，其他
情况则结论是错误的，如图 (2) ． D 项错误，通过圆台侧面上
一点，只有一条母线，如图(4)．C项正确，如图(3)．
栏目 导引
第一章
由圆柱、圆锥、圆台定义可知,三者分别为矩形、
三角形、直角梯形旋转而得，所以其上、下底面都是圆面， 故正确； B 圆台的母线是直角梯形不垂直于旋转轴的边，不
是上、下底面圆周上任意两点的连线，故错误； C 球的截面
一定是圆，用平行于圆柱底面的面截圆柱得到的截面是圆， 其他平面截得的截面不是圆，故错误； D 以直角三角形的一 条直角边所在的直线为轴旋转，其余各边旋转而成的旋转面 形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥，以斜边为轴旋转形成
第一章
立体几何初步
第一章 立体几何初步
栏目 导引
第一章
立体几何初步
§1 简单几何体
1．1 简单旋转体栏目 导引Fra bibliotek第一章
立体几何初步
学习导航
学习目标
理解
实例 ― ― → 旋转体
了解
― ― → 圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征 重点难点 重点：圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．
难点：多面体和旋转体概念的理解及几何体形状的判断．
栏目 导引
第一章
立体几何初步
想一想 2.“ 直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体必是圆
锥”，这种说法正确吗？
提示：不正确，当以斜边所在直线为轴旋转时，其余各边 旋转形成的曲面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，是
由两个同底圆锥组成的几何体．
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.6 棱柱、棱锥、棱
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 2】 已知正六棱台的两底面边长分别为 1 cm 和 2 cm,高是 1 cm,求它的侧面积.
解:如图所示是正六棱台的一个侧面及其高组成 的一部分(其余部分省略),则侧面 ABB1A1 为等腰梯 形,OO1 为高,且 OO1=1 cm,AB=1 cm,A1B1=2 cm,取 AB 和 A1B1 的中点 C,C1,连接 OC,CC1,O1C1,则 CC1 为正六 棱台的斜高,且四边形 OO1C1C 为直角梯形.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 如图所示,正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm,高与斜 高的夹角为 30°,求该正四棱锥的侧面积和表面积.
思路分析:根据多面体的侧面积公式,必须求出相应多面体的底面边长 和各侧面的斜高,我们可以把问题转化到三角形内加以分析求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:正四棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE 组成一个 Rt△POE. 因为 OE=2 cm,∠OPE=30°, 所以 PE=sin���3������0��� °=4(cm).
思考 1 斜棱柱的侧面展开图是什么?它的侧面积如何求解?
提示:斜棱柱的侧面展开图是一些平行四边形连接起来的不规则图形, 它的侧面积等于各个侧面面积之和,也等于直截面(与侧棱垂直相交的截面) 的周长与侧棱长的乘积.
2.圆柱、圆锥的侧面积 几何体 侧面展开图 圆柱
圆锥
侧面积公式
S 圆柱侧=2πrl r 为底面半径 l 为侧面母线长
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
课程目标
1.掌握棱柱、棱锥和棱台的表面积公式 的推导方法,进一步加强空间问题与平 面问题相互转化的思想,并熟练运用公 式求面积. 2.了解棱柱、棱锥和棱台的侧面积的求 法——侧面展开图. 3.了解球的表面积公式,并会熟练运用公 式求球的表面积. 4.了解旋转体的构成,并会求旋转体的表 面积.
高中数学北师大版必修二课件：第一章 立体几何初步
向量的加法运算：向量加法遵循平行四边形 法则如(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)
添加 标题
向量的减法运算：向量减法遵循平行四边形 法则如(x1, y1, z1) - (x2, y2, z2) = (x1x2, y1-y2, z1-z2)
向量积的坐标表示：两个向量的向 量积的坐标表示为两个向量坐标的 乘积
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混合积：三个向量的混合积是一个 向量其坐标表示为三个向量坐标的 乘积
混合积的坐标表示：三个向量的混 合积的坐标表示为三个向量坐标的 乘积
总结与展望
本章内容的总结与回顾
本章主要介绍了立体几何的基本概念和性质包括点、线、面、体等。 学习了立体几何的度量方法如长度、角度、体积等。 掌握了立体几何的证明方法如平行、垂直、相似等。 学习了立体几何的应用如空间图形的绘制、空间物体的测量等。 展望未来我们将继续深入学习立体几何掌握更多的知识和技能为未来的学习和工作打下坚实的基础。
棱锥的表面积和体积
棱锥的定义： 由一个多边 形底面和若 干个侧面组 成的几何体
棱锥的表面 积：底面积+ 侧面积
棱锥的体积： 底面积×高 ÷3
棱锥的表面 积和体积的 计算公式： S=πr²+n(l ×h)V=πr²h /3
棱锥的表面 积和体积的 应用：建筑、 工程等领域
球的表面积和体积
球的表面积：4πr^2 球的体积：4/3πr^3 球的表面积和体积公式推导 球的表面积和体积在实际生活中的应用
几何性质：立体几何具有空间位置、 形状、大小等性质平面几何具有位 置、形状等性质
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阶
阶
段
段
一
三
6.2 垂直关系的性质
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理．(重点) 2．理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化．(难点、易错点) 3．能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题．(难点)
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[基础·初探] 教材整理 1 直线与平面垂直的性质定理 阅读教材 P39“练习 2”以下至 P40“例 3”以上部分，完成下列问题． 1．文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 2．符号语言：l⊥α，m⊥α⇒ l∥m .
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[再练一题] 1．如图 1-6-21，已知平面 α∩平面 β＝l，EA⊥α，垂足为 A，EB⊥β，垂足 为 B，直线 a β，a⊥AB.求证：a∥l.
图 1-6-21
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【证明】 因为 EA⊥α，α∩β＝l， 即 l α，所以 l⊥EA.
同理 l⊥EB， 又 EA∩EB＝E， 所以 l⊥平面 EAB.因为 EB⊥β，a
【自主解答】 连接 AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示． ∵DD1⊥平面 ABCD，AC 平面 ABCD，
∴DD1⊥AC. 又∵AC⊥BD，BD∩DD1＝D， ∴AC⊥平面 BDD1B1， ∴AC⊥BD1. 同理 BD1⊥B1C，又 AC∩B1C＝C，
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∴BD1⊥平面 AB1C. ∵EF⊥A1D，且 A1D∥B1C， ∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C， ∴EF⊥平面 AB1C，∴EF∥BD1.
β，所以 EB⊥a，
又 a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以 a⊥平面 EAB，因此，a∥l.
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面面垂直性质的应用 如图 1-6-22，A，B，C，D 为空间四点，在△ABC 中，AB＝2，AC
＝BC＝ 2.等边三角形 ADB 以 AB 为轴转动．
(1)当平面 ADB⊥平面 ABC 时，求 CD； (2)当△ADB 转动时，是否总有 AB⊥CD？证明你的 结论.
【自主解答】 (1)如图，取 AB 的中点 E，连接 DE，CE.因为△ADB 是等 边三角形，所以 DE⊥AB.
当平面 ADB⊥平面 ABC 时，因为平面 ADB∩平面 ABC ＝AB，所以 DE⊥平面 ABC，可知 DE⊥CE.由已知可得 DE ＝ 3，EC＝1.
在 Rt△DEC 中，CD＝ DE2＋EC2＝2.
又 CD 平面 CDE，得 AB⊥CD.
综上所述，总有 AB⊥CD.
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1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法．所以当已 知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面 垂直．
2．证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一 种是利用面面垂直的性质定理．应用后者时要注意：(1)两个平面垂直；(2)直线 在一个平面内；(3)直线垂直于交线．以上三点缺一不可．
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(2)当△ADB 以 AB 为轴转动时，总有 AB⊥CD. 证明：①当 D 在平面 ABC 内时， 因为 AC＝BC，AD＝BD， 所以 C，D 都在线段 AB 的垂直平分线上，即 AB⊥CD. ②当 D 不在平面 ABC 内时，由(1)知 AB⊥DE. 又因 AC＝BC，所以 AB⊥CE. 又 DE∩CE＝E，所以 AB⊥平面 CDE.
A．n∥α
B．n∥α 或 n α
C．n α 或 n 与 α 不平行 D．n α 【解析】 ∵l α，且 l 与 n 异面，∴n⊆/ α.
又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α. 【答案】 A
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2．已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，点 P∈l，给出下面四个结论：
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(2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD. 证明：取 PC 的中点 F，连接 DE，EF，DF， 在△PBC 中，FE∥PB. 在菱形 ABCD 中，GB∥DE， 而 FE 平面 DEF，DE 平面 DEF，EF∩DE＝E，
∴平面 DEF∥平面 PGB. 由(1)得 PG⊥平面 ABCD，而 PG 平面 PGB，
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图 1-6-24
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【提示】 垂直．连接 AC. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD.又 SA⊥平面 ABCD，∴SA⊥BD， ∴BD⊥平面 SAC，∴SC⊥BD. 又∵SC⊥BK，BK∩BD＝B，∴SC⊥平面 KBD. 又 SC 平面 SBC，∴平面 SBC⊥平面 KBD.
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探究 2 在上述问题中，判断平面 SBC 与平面 SDC 是否垂直，并说明理由．
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【提示】 不垂直．假设平面 SBC⊥平面 SDC. ∵BK⊥SC，∴BK⊥平面 SDC. ∵DC 平面 SDC，∴BK⊥DC，
又 AB∥CD，∴BK⊥AB. ∵ABCD 是正方形，AB⊥BC， ∴AB⊥平面 SBC，又 SB 平面 SBC，
(1)求证：AD⊥PB； (2)若 E 为 BC 边的中点，能否在 PC 棱上找到 一点 F，使平面 DEF⊥平面 ABCD，并证明你的结 论．
图 1-6-25
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【精彩点拨】 解答本题要首先从菱形、正三角形中找到其中所蕴含的垂 直关系，联系所学的判定定理与性质定理，得出结论．
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【自主解答】 (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG， ∵△PAD 为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°， G 为 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又 BG∩PG＝G，∴AD⊥平面 PGB. ∵PB 平面 PGB，∴AD⊥PB.
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3．图形语言：如图 1-6-18 所示．
4．作用：证明两直线 平行．
图 1-6-18
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在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面
的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 C．异面
B．平行 D．相交或平行
【解析】 圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知 B 正确．
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线面垂直的性质
[小组合作型]
如图 1-6-20，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， EF 与异面直线 AC，A1D 都垂直相交．求证：EF∥BD1.
图 1-6-20 【精彩点拨】 连接 AB1 与 CB1，证明 EF 与 BD1 都与平面 AB1C 垂直．
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图 1-6-19 4．作用：证明直线与平面垂直．
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若平面 α⊥平面 β，且平面 α 内的一条直线 a 垂直于平面 β 内的一条直线 b， 则( )
A．直线 a 必垂直于平面 β B．直线 b 必垂直于平面 α C．直线 a 不一定垂直于平面 β D．过 a 的平面与过 b 的平面垂直
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图 1-6-26
【证明】 (1)∵E，F 分别为 AC，BC 的中点，∴EF∥AB. 又 EF⊆/ 平面 PAB，AB 平面 PAB，
∴EF∥平面 PAB. (2)∵PA＝PC，E 为 AC 的中点，∴PE⊥AC. 又∵平面 PAC⊥平面 ABC， ∴PE⊥平面 ABC，∴PE⊥BC.
∴BC⊥平面 VAB，VA 平面 VAB，∴BC⊥VA， 又 VB⊥平面 VAD，∴VB⊥VA，又 VB∩BC＝B， ∴VA⊥平面 VBC， ∵VA 平面 VAC， ∴平面 VBC⊥平面 VAC.
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[探究共研型] 垂直关系的综合应用 探究 1 如图 1-6-24，ABCD 是正方形，SA⊥平面 ABCD，BK⊥SC 于点 K， 连接 DK.判断面 SBC 与平面 KBD 是否垂直，并说明理由．
【导学号：10690024】
图 1-6-22
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【精彩点拨】 (1)取 AB 的中点 E，连接 DE，CE，由于平面 ADB⊥平面 ABC，故由面面垂直的性质定理得 DE⊥CE，从而在 Rt△DCE 中，可求 CD.
(2)分 D 是否在平面 ABC 内进行讨论．
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【解析】 α⊥β，a α，b β，a⊥b，当 α∩β＝a 时，b⊥α；当 α∩β＝b 时，a⊥β，其他情形则未必有 b⊥α 或 a⊥β，所以选项 A、B、D 都错误，故选 C.
【答案】 C
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
阶
段
段
一
三
6.2 垂直关系的性质
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理．(重点) 2．理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化．(难点、易错点) 3．能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题．(难点)
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[基础·初探] 教材整理 1 直线与平面垂直的性质定理 阅读教材 P39“练习 2”以下至 P40“例 3”以上部分，完成下列问题． 1．文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 2．符号语言：l⊥α，m⊥α⇒ l∥m .
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[再练一题] 1．如图 1-6-21，已知平面 α∩平面 β＝l，EA⊥α，垂足为 A，EB⊥β，垂足 为 B，直线 a β，a⊥AB.求证：a∥l.
图 1-6-21
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【证明】 因为 EA⊥α，α∩β＝l， 即 l α，所以 l⊥EA.
同理 l⊥EB， 又 EA∩EB＝E， 所以 l⊥平面 EAB.因为 EB⊥β，a
【自主解答】 连接 AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示． ∵DD1⊥平面 ABCD，AC 平面 ABCD，
∴DD1⊥AC. 又∵AC⊥BD，BD∩DD1＝D， ∴AC⊥平面 BDD1B1， ∴AC⊥BD1. 同理 BD1⊥B1C，又 AC∩B1C＝C，
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∴BD1⊥平面 AB1C. ∵EF⊥A1D，且 A1D∥B1C， ∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C， ∴EF⊥平面 AB1C，∴EF∥BD1.
β，所以 EB⊥a，
又 a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以 a⊥平面 EAB，因此，a∥l.
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面面垂直性质的应用 如图 1-6-22，A，B，C，D 为空间四点，在△ABC 中，AB＝2，AC
＝BC＝ 2.等边三角形 ADB 以 AB 为轴转动．
(1)当平面 ADB⊥平面 ABC 时，求 CD； (2)当△ADB 转动时，是否总有 AB⊥CD？证明你的 结论.
【自主解答】 (1)如图，取 AB 的中点 E，连接 DE，CE.因为△ADB 是等 边三角形，所以 DE⊥AB.
当平面 ADB⊥平面 ABC 时，因为平面 ADB∩平面 ABC ＝AB，所以 DE⊥平面 ABC，可知 DE⊥CE.由已知可得 DE ＝ 3，EC＝1.
在 Rt△DEC 中，CD＝ DE2＋EC2＝2.
又 CD 平面 CDE，得 AB⊥CD.
综上所述，总有 AB⊥CD.
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1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法．所以当已 知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面 垂直．
2．证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一 种是利用面面垂直的性质定理．应用后者时要注意：(1)两个平面垂直；(2)直线 在一个平面内；(3)直线垂直于交线．以上三点缺一不可．
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(2)当△ADB 以 AB 为轴转动时，总有 AB⊥CD. 证明：①当 D 在平面 ABC 内时， 因为 AC＝BC，AD＝BD， 所以 C，D 都在线段 AB 的垂直平分线上，即 AB⊥CD. ②当 D 不在平面 ABC 内时，由(1)知 AB⊥DE. 又因 AC＝BC，所以 AB⊥CE. 又 DE∩CE＝E，所以 AB⊥平面 CDE.
A．n∥α
B．n∥α 或 n α
C．n α 或 n 与 α 不平行 D．n α 【解析】 ∵l α，且 l 与 n 异面，∴n⊆/ α.
又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α. 【答案】 A
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2．已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，点 P∈l，给出下面四个结论：
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(2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD. 证明：取 PC 的中点 F，连接 DE，EF，DF， 在△PBC 中，FE∥PB. 在菱形 ABCD 中，GB∥DE， 而 FE 平面 DEF，DE 平面 DEF，EF∩DE＝E，
∴平面 DEF∥平面 PGB. 由(1)得 PG⊥平面 ABCD，而 PG 平面 PGB，
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图 1-6-24
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【提示】 垂直．连接 AC. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD.又 SA⊥平面 ABCD，∴SA⊥BD， ∴BD⊥平面 SAC，∴SC⊥BD. 又∵SC⊥BK，BK∩BD＝B，∴SC⊥平面 KBD. 又 SC 平面 SBC，∴平面 SBC⊥平面 KBD.
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探究 2 在上述问题中，判断平面 SBC 与平面 SDC 是否垂直，并说明理由．
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【提示】 不垂直．假设平面 SBC⊥平面 SDC. ∵BK⊥SC，∴BK⊥平面 SDC. ∵DC 平面 SDC，∴BK⊥DC，
又 AB∥CD，∴BK⊥AB. ∵ABCD 是正方形，AB⊥BC， ∴AB⊥平面 SBC，又 SB 平面 SBC，
(1)求证：AD⊥PB； (2)若 E 为 BC 边的中点，能否在 PC 棱上找到 一点 F，使平面 DEF⊥平面 ABCD，并证明你的结 论．
图 1-6-25
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【精彩点拨】 解答本题要首先从菱形、正三角形中找到其中所蕴含的垂 直关系，联系所学的判定定理与性质定理，得出结论．
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【自主解答】 (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG， ∵△PAD 为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°， G 为 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又 BG∩PG＝G，∴AD⊥平面 PGB. ∵PB 平面 PGB，∴AD⊥PB.
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3．图形语言：如图 1-6-18 所示．
4．作用：证明两直线 平行．
图 1-6-18
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在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面
的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 C．异面
B．平行 D．相交或平行
【解析】 圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知 B 正确．
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线面垂直的性质
[小组合作型]
如图 1-6-20，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， EF 与异面直线 AC，A1D 都垂直相交．求证：EF∥BD1.
图 1-6-20 【精彩点拨】 连接 AB1 与 CB1，证明 EF 与 BD1 都与平面 AB1C 垂直．
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图 1-6-19 4．作用：证明直线与平面垂直．
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若平面 α⊥平面 β，且平面 α 内的一条直线 a 垂直于平面 β 内的一条直线 b， 则( )
A．直线 a 必垂直于平面 β B．直线 b 必垂直于平面 α C．直线 a 不一定垂直于平面 β D．过 a 的平面与过 b 的平面垂直
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图 1-6-26
【证明】 (1)∵E，F 分别为 AC，BC 的中点，∴EF∥AB. 又 EF⊆/ 平面 PAB，AB 平面 PAB，
∴EF∥平面 PAB. (2)∵PA＝PC，E 为 AC 的中点，∴PE⊥AC. 又∵平面 PAC⊥平面 ABC， ∴PE⊥平面 ABC，∴PE⊥BC.
∴BC⊥平面 VAB，VA 平面 VAB，∴BC⊥VA， 又 VB⊥平面 VAD，∴VB⊥VA，又 VB∩BC＝B， ∴VA⊥平面 VBC， ∵VA 平面 VAC， ∴平面 VBC⊥平面 VAC.
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[探究共研型] 垂直关系的综合应用 探究 1 如图 1-6-24，ABCD 是正方形，SA⊥平面 ABCD，BK⊥SC 于点 K， 连接 DK.判断面 SBC 与平面 KBD 是否垂直，并说明理由．
【导学号：10690024】
图 1-6-22
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【精彩点拨】 (1)取 AB 的中点 E，连接 DE，CE，由于平面 ADB⊥平面 ABC，故由面面垂直的性质定理得 DE⊥CE，从而在 Rt△DCE 中，可求 CD.
(2)分 D 是否在平面 ABC 内进行讨论．
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【解析】 α⊥β，a α，b β，a⊥b，当 α∩β＝a 时，b⊥α；当 α∩β＝b 时，a⊥β，其他情形则未必有 b⊥α 或 a⊥β，所以选项 A、B、D 都错误，故选 C.
【答案】 C
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________