2021年1月15日四川省高2021届绵阳二诊理科数学试题答题卡
四川省绵阳市2021届新高考数学二模试卷含解析
四川省绵阳市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．14B ．15C ．25D ．35【答案】A 【解析】 【分析】由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解. 【详解】由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.则恰好第三次就停止摸球的概率为51204p ==. 故选：A. 【点睛】本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题. 2．已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-【答案】A 【解析】 【分析】求导得到'()xf x e =，根据切线方程得到ln b a a =，故2ln ab a a =，设()2ln g x x x =，求导得到函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min g x g e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算得到答案.【详解】()x f x e b =+，则'()x f x e =，取0x e a =，()0a >，故0ln x a =，()0f x a b =+.故(ln 1)a b a a +=+，故ln b a a =，2ln ab a a =.设()2ln g x x x =，()()'2ln 2ln 1g x x x x x x =+=+，取()'0g x =，解得12x e -=.故函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min 12g x g e e -⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．22 B ．2C ．4D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法求出z ，再由模的定义计算出模． 【详解】44(1)22,221(1)(1)i i i z i z i i i +===-+=--+． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 4．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.5．已知等差数列{}n a 中，51077,0a a a =+=，则34a a +=（ ） A ．20 B ．18C ．16D ．14【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得34a a +即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d .由51077,0a a a =⎧⎨+=⎩得11147,960a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩,解得115,2a d =⎧⎨=-⎩.所以341252155(2)20a a a d +=+=⨯+⨯-=.故选：A 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.6．函数2sin cos ()20x x xf x x =+在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得； 【详解】解：依题意，22sin()()cos()sin cos ()()2020x x x x x xf x f x x x ----=+=+=-，故函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C ； 而2()020f ππ=-<，排除B ；2(2)05f ππ=>，排除D.故选：A . 【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.7．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．4747,33⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．6767,33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，可得P 在圆()2211x y -+=上，由(),Q a b 坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，可得Q 在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y bk x a-=-求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果. 【详解】Q 点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，P ∴在圆()2211x y -+=上，(),Q a b Q 在坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，Q ∴在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y bk x a-=-作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为AB 与CD ， 由图可知AB PQ CD k k k ≤≤， 设两圆内公切线方程为y kx m =+，则1341k m k m =⇒+=-+-=， Q 圆心在内公切线两侧，()34k m k m ∴+=--+-，可得2m k =+，1==，化为23830k k ++=，43k -±=，即4433AB CD k k --+==，PQ y b k x a -≤=≤- y bx a --的取值范围⎣⎦，故选B.【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解. 8．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y ==，则U A B =I ð( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】求得集合B 中函数的值域，由此求得U B ð，进而求得U A B ⋂ð. 【详解】由11y =≥，得[)1,B =+∞，所以()U ,1B =-∞ð，所以[)U 0,1A B =I ð.故选：A 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.9．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（ ）A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<C ．01a <<，1c >D ．01a <<，01c <<【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项. 【详解】从题设中提供的图像可以看出()01,log 0,log 10a a a c c <<>+>， 故得01,01c a <<<<， 故选：D ． 【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.10．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 【答案】D 【解析】 【分析】采用逐一验证法，根据图表，可得结果. 【详解】A 正确，从图表二可知，3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大 B 正确，从图表二可知，4月份只有北京市居民消费价格指数低于102 C 正确，从图表一中可知，只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大 D 错误，从图表一可知上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 故选：D 【点睛】本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题. 11．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280 B ．4864 C ．－4864 D ．1280【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的公式得到具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简求值即可.【详解】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出33x 项，第二个括号里出1x项，或者第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x ，具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简得到-1280 x 2 故得到答案为：A. 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．C ．D 【答案】A 【解析】 【分析】在12PF F ∆中，由余弦定理，得到2||PF ，再利用12||||2PF PF a -=即可建立,,a b c 的方程. 【详解】由已知，1||HF b ===，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2||PF ===1133PF HF b ==，12||||2PF PF a -=，所以32b a =，32b a ⇒=e =∴= 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立,,a b c 三者间的关系，本题是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年1月15日四川省高2018级2021届绵阳二诊理科数学试题及参考答案附答题卡
绵阳市高中2018级第二次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1—5 DADCB 6—10 CCCAB 11—12 DA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．-i 14．0.8 15．3 16．②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）证明：∵211(2)n n n n a a a a ++=+，∴2211112(2)()0n n n n n n n n a a a a a a a a ++++−−=−+=．又数列{a n }各项均为正数，∴10n n a a ++>，∴120n n a a +−=，即12n na a +=． …………………………………………………4分 数列{a n }是首项a 1=1，公比为2的等比数列．∴数列{a n }的通项公式为12n n a −=． …………………………………………6分（2）∵1(1)1221112n nn n a q S q −−===−−−， ∴S 2n =22n -1， ………………………………………………………………… 8分 ∵S 2n >1609n a ， ∴29(21)802n n −>⨯，即(921)(29)0n n ⨯+−>，∴290n −>，又*n N ∈ ，∴正整数n 的最小值为4． …………………………………………………12分18．解：（1）由题意得，1=(23456)45x ⨯++++=，1=(35 6.5810.5) 6.65y ⨯++++=，……………………2分1()()18n i i i xx y y =−−=∑，21()10n i i x x =−=∑，……………………………………4分1.8b =， 6.6 1.840.6a y bx =−=−⨯=−， ………………………………………5分∴y 关于x 的线性回归方程 1.8.6ˆ0yx =−． ……………………………………6分（2）由（1）所得回归方程计算2月至7月份预测生产量依次为3，4.8，6.6，8.4，10.2，12．可得，其中“甲级月”有3个，“乙级月”有3个．……………………… 9分 记6个月中随机抽取2个月均为“乙级月”为事件A ，∴P(A )=232631155C C ==．…………………………………………………………12分 19．解：（1）在△APC 中， 30PAC ∠=，AC =，由余弦定理得CP 2=AP 2+AC 2-2AP ×AC ×cos ∠PAC ，即CP 2=AP 2+3-AP ×cos30°， ……………………………………………2分 又AP +CP =2，联立解得AP =1，CP =1． ………………………………………………………4分 ∴∠APC =120°． ……………………………………………………………………6分 （2）∵∠APC =120°，∴∠APB =60°．∵cos B =∴sin B = ……………………………………………………………………8分 在△APB 中，由正弦定理sin sin AB AP APB B=∠，∴AB = …………………………………………………………………………10分 在△APB 中，由余弦定理2222cos AB AP PB AP PB APB =+−⋅⋅∠，得7=1+PB 2-2PBcos60°，即PB 2-PB -6=0，解得BP =3．∴△APB的面积为11sin 1322AP BP APB ⨯⨯∠=⨯⨯=12分 20．解：（1）由21()()2g x f x mx =+=(22)4ln m x x +−，x >0， 得4(22)4(1)2()(22)=2m x m x g x m x x x+−+−'=+−=⋅． ……………………………2分 ①当1≤m −时，(1)2()20=≤m x g x x+−'⨯， 此时g (x )在(0)，+∞上单调递减， g (x )在(0)，+∞上不可能有两个零点，故1≤m −不合题意. ……………………4分②当m>-1时，f(x)在区间2(0)1，m+上单调递减，在区间2()1，+m∞+上单调递增．……………………………5分要使得函数g(x)在(0)，+∞上有两个零点，则22()44ln011gm m=−<++，解得2e1em−−<<．综上，实数m的范围是2e1em−−<<．………………………………………6分（2）4(2)(2)()(22)mx xf x m mxx x−−'=+−−=−，x>0．①当0<m<1时，函数f(x)在2(2)，m上单调递增，在(0，2)，2()，+m∞上单调递减，当44xm>+时，函数f(x)在2()，+m∞上单调递减．∴14()(22)4ln(4)02f x x m mx x fm=+−−<+<,∴f(x)≥0，在x>0恒成立不成立，即0<m<1不合题意.……………………8分②当m≥1时，函数f(x)在2(2)，m上单调递增，函数f(x)在2(0)，m，(2)，+∞上单调递减，当442xm>+>时，f(x)在(2)，+∞上单调递减，∴14()(22)4ln(4)02f x x m mx x fm=+−−<+<,∴f(x)≥0在x>0恒成立不成立，即m≥1不合题意.………………………………………………………………10分③当m≤0时，函数f(x)在(0，2)上单调递减,在(2)，+∞上单调递增，∴要使得f(x)≥0的充要条件是f(2)≥0，解得m≥2ln2-2，∴2ln2-2≤m≤0．综上所述，实数m的范围是[2ln2-2，0].……………………………………12分21．解：（1）由题意得425)25(21p p x A +=+=，25||p DF −=．……………………2分 由抛物线的定义可知2||p x AF A +=， 则由AF DF =，解得2=p ．∴抛物线C 的方程为x y 42=．…………………………………………………5分（2）设直线l 1的方程为m kx y +=， 则5(55)(5)(0)2k m G k m E P m ++，，，，，． ∴以DG 为直径的圆E ：2225(5)(5)()24k m k m x y ++−+−=， 即22(5)(5)0x y k m y −+−+=． …………………………………………………7分联立24y x y kx m ⎧=⎨=+⎩，，消去y 整理得0)42(222=+−+m x km x k ． ……………8分 ∵l 1与曲线C 相切，∴04)42(222=−−=∆m k km ，化简得1=km ． …………………………………………………………………9分 设直线l 2与的方程为y tx m =+，H (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)．联立22(5)(5)0y tx m x y k m y =+⎧⎨−+−+=⎩，，消去y ，整理得22(1)(510)2550t x tm kt x km ++−−+−=， ∴12222015521km x x t t ⋅=−=++． …………………………………………………11分∵1PH =，2PQ =， ∴22122(1)(1)20120PH PQ t x x t t ⋅=+⋅=+⋅=+， 即|PH |•|PQ |为定值20．……………………………………………………………12分22．解：（1）∵曲线C 1的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=6，∴曲线C 1的极坐标方程为24cos 20ρρθ−−=． …………………………………4分 将曲线C 2的参数方程消参得x 2-y 2=4(x ≥2)，∴曲线C 2的极坐标方程为2cos 24(cos 2)ρθρθ=≥． ……………………………5分（2）曲线C 1的极坐标方程为24cos 20-ρρθ−=，将直线l ：()22=ππθαα−<<，ρ∈R 代入上式，得24cos 20ρα−−=，∴124cos ρρα+=，1220ρρ=−<． ………………………………………………7分设1OA ρ=，2OB ρ=．∴12||||AB ρρ=−=∵曲线C 2的极坐标方程为2cos 24(cos 2)ρθρθ=≥，设点()C ρα，，∴||OC =∵||||AB OC =， ……………………………………………………………………9分 ∴24cos 28cos250αα+−=， 解得1cos22α=． ∵22ππα−<<， ∴66或-ππαα==． …………………………………………………………………10分23．解：（1）当x ≥3时，f (x )=x -3+x -2=2x -5．由f (x )<3，得x <4，综合得3≤x <4．当2<x <3时，f (x )=3- x +x -2=1．由f (x )<3，得1<3恒成立，综合得2<x <3．当x ≤2时，f (x )=3- x +2-x =5-2x ．由f (x )<3，得x >1，综合得1<x ≤2．综上，不等式f (x )<3的解集为(1，4)． ……………………………………………5分 （2）证明：∵()32(3)(2)1f x x x x x −+−−−−==≥，(当且仅当2≤x ≤3时，取“=”)∴函数f (x )的最小值为1，即m =1．∴ab +bc +ac =abc ．∴ab +bc +ac =()ab bc ac a b c abc ++⨯++）（c b a cb a ++⋅++=()111 3()()()b ac b c a a b b c a c=++++++ ≥3+2+2+2=9．(当且仅当a =b =c 时取“=”)∴9ab bc ca ++≥． ………………………………………………………………10分。
2021年四川省绵阳市游仙区中考数学二诊试卷 (解析版)
2021年四川省绵阳市游仙区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．4的平方根是（）A．±2B．2C．±D．2．下列函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．y＝x2B．y＝C．y＝|x﹣2|D．y＝3．“中国疫苗，助力全球战疫”．据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产能将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（）A．2×108B．2×109C．2×1010D．20×1084．如图是立方体的展开图，在立方体中“仙”的对面上的字是（）A．人B．杰C．地D．灵5．某天7名学生在进入校门时测得体温（单位：℃）分别为：36.5，36.7，36.4，36.3，36.4，36.2，36.3，对这组数据描述正确的是（）A．众数是36.4B．中位数是36.3C．平均数是36.4D．方差是1.96．为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用2倍多0.2元，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则可列方程为（）A．B．C．D．7．一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜mB．当x≥0时，ax2+2ax+c≤cC．若（﹣，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜cD．﹣ac+bk＞08．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．已知矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的4倍，则点B1的坐标为（）A．（8，6）B．（8，6）或（﹣8，﹣6）C．（16，12）D．（16，12）或（﹣16，﹣12）9．把边长为2+的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（）A．1B．2C．D．210．如图，点A，B，C，D，E是⊙O上5个点，若AB＝AO＝2，将弧CD沿弦CD翻折，使其恰好经过点O，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型”的轴对称图形，则“钻戒型”（阴影部分）的面积为（）A．B．4π﹣3C．4π﹣4D．11．如果关于x的方程﹣2＝有正整数解，且关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，若m的值为整数，则符合条件的m的值有几个（）A．0B．1C．2D．312．如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝11，BC＝13，AB＝12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ＝2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP＝x．下列说法正确的有几个（）（1）四边形PQCD为平行四边形时，x＝；（2）＝；（3）当点P运动时，四边形EFGQ的面积始终等于；（4）当OPQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，则x＝、2或．A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上）13．在实数范围内分解因式：ab3﹣5ab＝．14．在函数y＝中，自变量x的取值范围是．15．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC 的外角，若∠1+∠3＝82°，则∠2＝．16．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为320cm，AB坡度i＝1：，BE ＝CA＝60cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB 于点E．点A到地面的垂直距离为50cm，则支撑角钢EF的长度是cm．（结果保留根号）17．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆直径为．18．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3在t≤x≤t+3时的最小值是t，则t的值为．三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）（1）计算：﹣2﹣2+﹣|﹣|．（2）先化简÷（+1﹣x），然后从﹣2≤x＜3中选择一个你最喜欢的整数作为x的值代入求值．20．绵阳市为了解九年学生对森林防灭火知识的了解程度，在某校九年级学生中做了一次抽样调查，并将结果分为四个等级：A．非常了解：B．比较了解：C．基本了解：D．不了解．根据调查结果绘制了两幅尚不完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息解答下列问题：（1）这次参与调查的学生中“基本了解”的人数为人；扇形图中C部分扇形圆心角度数为．（2）若该校九年级共有1500名学生，请你估计该校九年级学生中“非常了解”森林防灭火知识的学生大约有多少人？（3）九（9）班被调查的学生中A等级的有5人，其中3名男生2名女生．现打算从这5名学生中任意抽取2名进行电话采访，请用列表或画树状图的方法求拾好抽到两名男生的概率．21．如图，某养殖户利用一面长20m的墙搭建矩形养殖房，中间用墙隔成两间矩形养殖房，每间均留一道1m宽的门．墙厚度忽略不计，新建墙总长34m，设AB的长为x米，养殖房总面积为S．（1）求养殖房的最大面积．（2）该养殖户准备400元全部用于购买小鸡和小鹅养殖，小鸡每只5元，小鹅每只7元，并且小鸡的数量不少于小鹅数量的2倍．该养殖户有哪几种购买方案？22．菱形ABCD的边AD在x轴上，C点在y轴上，B点在第一象限．对角线BD、AC相交于H，AC＝2，BD＝4，双曲线y＝过点H，交AB边于点E，直线AB的解析式为y＝mx+n．（1）求双曲线的解析式及直线AB的解析式；（2）求双曲线y＝与直线AB：y＝mx+n的交点横坐标．并根据图象直接写出不等式＞mx+n的解集．23．如图1，AB为⊙O的直径，C为弧BE的中点，AD和过点C的直线相交于D，交⊙O 于点E．连接OC，BE，相交于点F，DE＝CF．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接AC，交BE于点P，若EP＝2，CD＝3，求直径AB的长；（3）猜想AE、AB和AD之间的数量关系，并证明．24．如图抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上直线BC上方的一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，求PQ的最大值及此时P点坐标；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠BCM＝∠BCO？若存在，求直线CM的解析式．25．如图，线段AB＝10cm，C是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），在AB上方分别以AC、BC为边作正△ACD和正△BCE，连接AE，交CD于M，连接BD，交CE于N，AE、BD交于H，连接CH．（1）求sin∠AHC；（2）连接DE，设AD＝x，DE＝y，求y与x之间的函数关系式；（3）把正△BCE绕C顺时针旋转一个小于60°的角，在旋转过程中H到△DCE的三个顶点距离和最小，即HC+HD+HE的值最小，HC+HD+HE的值总等于线段BD的长．若AC＝2，旋转过程中某一时刻2AH＝3DH，此刻△ADH内有一点P，求PA+PD+PH的最小值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。
四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二次诊断性考试理科数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 设为虚数单位，则复数（ ）A．B．C．D．2.若函数在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．3.已知，则的取值范围是（ ）A ．[0，1]B．C ．[1，2]D ．[0，2]4. 已知，是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（ ）A ．，，，B ．，C ．，D ．，5. 截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST ），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST 模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（）A ．1B ．2C ．4D ．86. 已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．7. 已知，现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若两函数与图象的对称中心完全相同，则满足题意的的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48. 高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最．对于高斯函数，表示不超过实数的最大整数，如，，表示的非负纯小数，即．若函数（且）有且仅有3个零点，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．9. 已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ）A．数列为等比数列B ．数列为等比数列C．D．10. 如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列结论中正确的是（ ）四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二次诊断性考试理科数学试题(1)四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二次诊断性考试理科数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．存在y，使得B ．当时，存在z 使得∥平面AEFC ．当时，异面直线与EF所成角的余弦值为D ．当时，点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍11. 已知圆，直线l过点，且交圆O 于P ，Q 两点，点M 为线段PQ 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．点M 的轨迹是圆B ．的最小值为6C ．使为整数的直线l 共有9条D ．使为整数的直线l 共有16条12. 过双曲线的左焦点的直线交的左､右支分别于两点，交直线于点，若，则（ ）A．B．C．D．13. 下图是单叶双曲面的立体结构图，且为中心对称图形，此双曲面可由线段绕与其不共面的直线旋转而成，其轴截面为双曲线的一部分，若该几何体的高为2，上底面圆的直径为4，垂直于旋转轴的截面圆的面积最小值为，则双曲线的离心率为___________.14. 已知函数向右平移个单位长度后得到．若对于任意的，总存在，使得，则的最小值为______．15. 某校进行了物理学业质量监测考试，将考试成绩进行统计并制成如下频率分布直方图，a 的值为______；考试成绩的中位数为______．16.在中，已知角，，的对边分别为，，，若，．（1）求角的大小；（2）若的平分线交于点，△的面积为，求线段的长度．17.已知数列的前项和为，且．(1)求的值，并证明：数列是一个常数列；(2)设数列满足，记的前项和为，若，求正整数的值．18. 已知双曲线的离心率为，右顶点到的一条渐近线的距离为.(1)求的方程；(2)是轴上两点，以为直径的圆过点，若直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由.19. 的内角，，的对边分别为，，，且满足=．（1）求；（2）若，求的最小值．20. 如图，在四棱台中，，平面，.(1)证明：；(2)若，，，求平面与平面的夹角的余弦值.21. 如图，直三棱柱中，，M为棱上一点．(1)求三棱锥的体积；(2)求证：．。
2021年四川绵阳高三二模理科数学试卷-学生用卷
2021年四川绵阳高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第1题5分设集合A ={x ∈N|−1⩽x ⩽1}，B ={x|log 2x <1}，则A ∩B =（ ）．A. [−1,1)B. (0,1)C. {−1,1}D. {1}2、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第2题5分2021年四川绵阳高三二模文科第2题5分已知直线l 1:ax +2y +1=0，直线l 2:2x +ay +1=0，若l 1⊥l 2，则a =（ ）．A. 0B. 2C. ±2D. 43、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第3题5分2021年四川绵阳高三二模文科第3题5分已知平面向量a →=(1,√3)，b →=(2,λ)，其中λ>0，若|a →−b →|=2，则a →⋅b →=（ ）．A. 2B. 2√3C. 4√3D. 84、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第4题5分二项式(2x −√x )6的展开式中，常数项为（ ）． A. −60 B. −40 C. 60 D. 1205、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第5题5分2021年四川绵阳高三二模文科第4题5分已知函数f (x )=x 3+sinx +2，若f (m )=3，则f (−m )=（ ）．A. 2B. 1C. 0D. −16、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第6题5分已知曲线y=e x（e为自然对数的底数）与x轴、y轴及直线x=a(a>0)围成的封闭图形的面积为e n−1．现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC内随机投入400个点，其中恰有255个点落在图中阴影部分内，若OA=1，则由此次模拟实验可以估计出e的值约为（）．A. 2.718B. 2.737C. 2.759D. 2.7857、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第7题5分2021年四川绵阳高三二模文科第7题5分已知命题p:若数列{a n}和{b n}都是等差数列，则{ra n+sb n}(r,s∈R)也是等差数列；命题q:∀x∈)(k∈Z)，都有sinx<cosx，则下列命题是真命题的是（）．(2kπ,2kπ+π2A. ¬p∧qB. p∧qC. p∨qD. ¬p∨q8、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第8题5分对全班45名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为80，方差为25，现发现数据收集时有两个错误，其中一个95分记录成了75分，另一个60分记录成了80分．纠正数据后重新计算，得到平均数为x，方差为s2，则（）．A. x=80，s2<25B. x=80，s2=25C. x=80，s2>25D. x<80，s2>259、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第9题5分已知双曲线E:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0))的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为其渐近线上一点，若△PF 1F 2是顶角为2π3的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）．A. √72B. 2C. √3D. √510、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第10题5分2021年四川绵阳高三二模文科第10题5分若函数f(x)=x 3−(a 2+3)x 2+2ax +3在x =2处取得极小值，则实数a 的取值范围是（ ）． A. (−∞,−6) B. (−∞,6) C. (6,+∞) D. (−6,+∞)11、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第11题5分已知正实数x ，y 满足lnx y >lgy x ，则（ ）． A. lnx >ln(y +1) B. ln(x +1)<lgy C. 3x <2y−1D. 2x−y >112、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第12题5分已知点O 为坐标原点，|OP |=2√2，点B ，点C 为圆x 2+y 2=12上的动点，且以BC 为直径的圆过点P ，则△OBC 面积的最小值为（ ）．A. 2B. 4C. 6D. √2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第13题5分2021年四川绵阳高三二模文科第13题5分2020~2021学年四川成都金牛区成都市实验外国语学校高二下学期开学考试理科第13题5分2019~2020学年四川南充高二下学期期末文科第13题5分若复数z满足z(1+i)=1−i，则z=．14、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第14题5分已知某科技公司员工发表论文获奖的概率都为p，且各员工发表论文是否获奖相互独立．若X为该公司的6名员工发表论文获奖的人数，D(X)=0.96，E(X)>2，则p为．15、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第15题5分已知F(1,0)为椭圆E：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，过E的下顶点B和F的直线与E的另一交点为A，若4BF→=5FA→，则a=.16、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第16题5分关于函数f(x)=sin2x+2cos2x，下列说法正确的序号是．①函数f(x)的一条对称轴为x=3π8；②若f(x1)=f(x2)=1，则x1−x2=kπ2(k∈Z)；③函数f(x)关于(−π8,0)成中心对称；④设[a,b]⊆[0,π]，对任意x1，x2∈[a,b]，若f(x1)>f(x2)，则有x1>x2，那么b−a的最大值为3π8．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第17题12分已知各项均为正数的数列{a n }满足a 1=1， a n+12=a n (a n+1+2a n )．(1) 证明：数列{a n }为等比数列，并求通项公式．(2) 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2n >1609a n ，求n 的最小值．18、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第18题12分某食品厂2020年2月至6月的某款果味饮料生产产量（单位：万瓶）的数据如下表：(1) 根据以上数据，求y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x +a ^． (2) 当统计数据中，某月实际生产产量与所得回归方程预测的生产产量的误差在[−0.1,0.1]内时，称该月为“甲级月”，否则称该月为“乙级月”．将所得回归方程预测的7月生产产量视作该月的实际生产产量，现从该年2月至7月中随机抽取2个月，求这2个月均为“乙级月”的概率． 附：参考公式：b ^=∑(x i −x )n i=1(y i −y )∑(x i −x )2n i=1，a =y −b ^x ．19、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第19题12分如图，在△ABC 中，点P 在边BC 上，∠PAC =30°，AC =√3，AP +PC =2．(1) 求∠APC ．(2) 若cosB =5√714，求△APB 的面积．20、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第20题12分已知函数f(x)=(2m +2)x −4lnx −12mx 2(m ∈R)．(1) 若函数g(x)=f(x)+12mx 2有两个零点，求m 的取值范围．(2) 若f(x)⩾0，求m的取值范围．21、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第21题12分已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点A在第一象限内且为抛物线C上一点，点D(5,0)，当直线AD的倾斜角为2π3时，△ADF恰为等边三角形．(1) 求C的方程．(2) 过y轴上一点P作抛物线C的切线l1交直线x=5于G，以DG为直径作圆E，过点P作直线l2交圆E 于H，Q两点，试问：|PH|⋅|PQ|是否为定值？并说明理由．四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题，共10分）选修4-4：坐标与参数方程22、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x−2)2+y2=6，曲线C2的参数方程为{x=t2+1t2y=t2−1t2（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=α(−π2<α<π2,ρ∈R)．(1) 求曲线C1与C2的极坐标方程．(2) 已知直线l与曲线C1交于A，B两点，与曲线C2交于点C，若|AB|:|OC|=√5:√2，求α的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第23题10分已知函数f(x)=|x−3|+|x−2|．(1) 求不等式f(x)<3的解集．(2) 记函数f(x)的最小值为m，a>0，b>0，c>0，a+b+c=mabc，证明：ab+bc+ac⩾9．1 、【答案】 D;2 、【答案】 A;3 、【答案】 D;4 、【答案】 C;5 、【答案】 B;6 、【答案】 C;7 、【答案】 C;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 D;12 、【答案】 A;13 、【答案】−i;14 、【答案】0.8;15 、【答案】3;16 、【答案】②④;17 、【答案】 (1) 通项公式为a n=2n−1；证明见解析．;(2) 4．;18 、【答案】 (1) y^=1.8x−0.6．;(2) 1．5;19 、【答案】 (1) 120°．;(2) 3√34．;20 、【答案】 (1) −1<m<2−ee．;(2) [2ln2−2,0]．;21 、【答案】 (1) y2=4x．;(2) |PH|⋅|PQ|为定值20，理由见解析．;22 、【答案】 (1) C1的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ−2=0．C2的极坐标方程为ρ2cos2θ=4(ρcosθ⩾2)．;(2) π6或−π6．;23 、【答案】 (1) (1,4)．;(2) 证明见解析．;。
四川省绵阳市2021届新高考数学二模考试卷含解析
四川省绵阳市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．4π3B ．82π3C ．32π3D 642 【答案】B【解析】【分析】利用均值不等式可得()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=,即可求得AB ,进而求得外接球的半径,即可求解.【详解】由题意易得BC ⊥平面11ACC A ,所以()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=, 当且仅当AC BC =时等号成立, 又阳马11B ACC A -体积的最大值为43, 所以2AB =,所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径221222AA AB R ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以外接球的体积348233V r π==, 故选:B【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.2．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x -=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D. 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.3．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．A ．15B ．25C ．310D ．14【答案】A【解析】【分析】基本事件总数4520n =⨯=，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．【详解】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，基本事件总数4520n =⨯=，其和等于11包含的基本事件有：(9,2)，(3,8)，(7,4)，(5,6)，共4个，∴其和等于11的概率41205p ==． 故选：A ．【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．4．如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u v u u u v ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．34【答案】C【解析】【分析】由题意，可根据向量运算法则得到25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ，从而由向量分解的唯一性得出关于t 的方程，求出t 的值.【详解】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ， 又AP =u u u r t 13AB AC +u u u r u u u r ，所以12153m t m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得m 56=，t 16=， 故选C ．【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题. 5．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）．A ．()1,+∞B ．()(),11,-∞-+∞UC ．()1,1-D ．()()1,00,1-U【答案】B【解析】【分析】 由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知：()f x 定义域为R ，()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++-Q ，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()21ln 11f x x x=+-+， ()ln 1y x =+Q 在[)0,+∞上单调递增，211y x =+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，x \的取值范围为()(),11,-∞-+∞U .故选：B .【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.6．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题；③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（ ）A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④【答案】B【解析】【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确；“2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.故选：B ．【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．7．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】【分析】先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数．【详解】由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个．故选：D ．【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个． 8．622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．60-B ．12-C ．12D ．60 【答案】B【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得含3x 项的系数．【详解】 622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()663166222rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令633r -=，得1r =，可得含3x 项的系数为()16212C ⨯-=-. 故选：B.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 9．已知函数()2x f x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 【答案】A【解析】【分析】 根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围.【详解】函数()2x f x x a =+⋅，()ln 42x g x x a -=-⋅，由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=， 即0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-， 令()ln 5h x x x =+-，∴()111x h x x x -'=-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减，∴()()14max h x h ==，而0024224x x a a a -⋅+⋅≥=，当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立，∴44a ≤，∴01a <≤.故选：A.【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.10．已知函数f （x ）＝sin 2x+sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C．4 D．2【答案】A【解析】【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x+sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A【点睛】 本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF =，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D ．3【答案】B【解析】【分析】 设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2a x c=，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF =，列出相应方程，求出离心率.【详解】解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，由()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab yc =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由16PF OP =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得223a c =，所以离心率3==c e a ． 故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．12．函数()cos2x f x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1n i i i x y =+=∑（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】C【解析】【分析】根据直线()g x 过定点()1,0，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果.【详解】由题可知：直线()g x kx k =-过定点()1,0且()cos2x f x π=在[]6,8-是关于()1,0对称 如图通过图像可知：直线()g x 与()f x 最多有9个交点同时点()1,0左、右边各四个交点关于()1,0对称所以()912419i ii x y =+=⨯+=∑ 故选：C【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数cos y x =的性质，属难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年四川绵阳高三二模理科数学试卷(详解)
【答案】（ 1 ） （2）
． ．
【解析】（ 1 ）由
，
得
．
①
时，
，
此时 在 在
上单调递减， 上不可能有两个零点，故
不合题意．
②
时， 在区间
上单调递减，
在区间
上单调递增．
要使得函数 在
上有两个零点，
则
，解得
．
综上，实数 的范围是
（2）
①当
时，函数 在
．
，
．
上单调递增，
在，
上单调递减，
当
时，函数 在
上单调递减．
内随机投入 个点，其中恰有 个点落在
图中阴影部分内，若
，则由此次模拟实验可以估计出 的值约为（ ）．
y
O
x
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 ∵
与
交于点 ，
∴
，
∵四边形
是长方形，
，
∴，
∴
，阴影面积
，
，
∵向矩形
投 个点有 个在阴影内，
∴
，
∴
，
∴
，
故选 ．
7. 已知命题 若数列 A.
和 都是等差数列，则
B.
C.
【答案】 C 【解析】 二项式
的通项公式为
令
，得 ，
则常数项为
．
故选 ．
D. ，
5. 已知函数 A.
，若 B.
，则 C.
【答案】 B
【解析】 由
令 易得
， ，
， 为奇函数，
， ，
（ ）． D.
． 故选 ．
6. 已知曲线
四川省绵阳市高中2021届高三数学第二次诊断性测试试题 理(含解析)
四川省绵阳市高中2021届高三数学第二次诊断性测试(cèshì)试题理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名(xìngmíng)、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应(duìyìng)题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试(kǎoshì)结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有(zhǐyǒu)一项是符合题目要求的.1.设全集，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定集合的元素，再由补集定义求解．【详解】由题意，∴．故选：D．【点睛】本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性．2.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由除法计算出复数z．【详解(xiánɡ jiě)】由题意．故选：A．【点睛】本题考查(kǎochá)复数的除法运算，属于基础题．3.已知两个(liǎnɡ ɡè)力，作用于平面内某静止物体的同一点(yī diǎn)上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，则（）A. B. C. D.【答案(dá àn)】A【解析】【分析】F.根据力的平衡条件下,合力为,即可根据向量的坐标运算求得3【详解】根据力的合成可知因为物体保持静止,即合力为0,则即故选:A【点睛】本题考查了向量的运算在物理中的简单应用,静止状态的条件应用,属于基础题. 4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率．【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为．故选：B．【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有(suǒyǒu)的基本事件．5.已知为任意(rènyì)角，则“”是“”的（）A. 充分(chōngfèn)不必要条件B. 必要(bìyào)不充分条件C. 充要条件D. 既不充分(chōngfèn)也不必要【答案】B【解析】【分析】说明命题1cos23α=3sin3α=和3sin3α=⇒1cos23α=是否为真即可．【详解】，则，因此“1cos23α=”是“3sin3α=”的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题为真，则是的充分条件，q 是p的必要条件．6.若的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含项的系数为（）A. -80B. -10C. 10D. 80【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理展开式的各项系数和为1,即可得参数的值.由二项展开式的通项即可求得3x项的系数.【详解】因为51axx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1令代入可得,解得即二项式为展开式中含3x的项为所以(suǒyǐ)展开式中含3x项的系数(xìshù)为故选:A【点睛】本题考查(kǎochá)了二项定理展开式的简单应用,指定(zhǐdìng)项系数的求法,属于(shǔyú)基础题.7.已知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表：x（单位：万元）0 1 2 3 4y（单位：万元）10 15 30 35若根据表中的数据用最小二乘法求得y对x的回归直线方程为，则下列说法中错误的是（）A. 产品的销售额与广告费用成正相关B. 该回归直线过点C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D. m的值是20【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程中x系数为正，说明两者是正相关，求出后，再由回归方程求出，然后再求得m，同样利用回归方程可计算出时的预估值．【详解】因为回归直线方程中x系数为 6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A正确；又，∴，回归直线一定过点，B正确；x 时，，说明(shuōmíng)广告费用为10万元时，销售额估计为74 10万元，不是一定为74万元，C错误；由，得，D正确(zhèngquè)．故选：C．【点睛】本题考查回归(huíguī)直线方程，回归直线方程中x系数的正负说明两变量间正负相关性，回归直线(zhíxiàn)一定过中心点，回归直线方程(fāngchéng)中计算的值是预估值，不是确定值．8.双曲线的右焦点为，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】把四边形OAFB面积用表示出来，它等于bc，变形后可求得离心率．【详解】由题意，渐近线方程，不妨设方程为，由，得，即，同理，∴，由题意，∴．故选：B．【点睛】本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于,,a b c的一个等式，本题中四边形OAFB的面积是bc就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得．9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为，则X的期望为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案(dá àn)】C【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】根据(gēnjù)古典概型概率求法,列举出现的所有(suǒyǒu)可能.由离散型随机变量的概率求法,可得小明得分的对应的概率与分布列,即可求出得分之和的期望.【详解】进行“手心手背”游戏,3人出现的所有可能情况如下所示:(心,心,心), (心,心,背),(心,背,心),(背,心,心)(心,背,背),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背)则小明得1分的概率为,得0分的概率为1 4进行4次游戏,小明得分共有5种情况:0分,1分,2分,3分,4分由独立重复试验的概率计算公式可得:则得分情况的分布列如下表所示:X1234P则X 的期望(qīwàng)故选:C【点睛】本题考查(kǎochá)了离散型随机变量的概率分布及期望的求法,属于(shǔyú)基础题. 10.已知圆：，点M ，在圆C 上，平面(píngmiàn)上一动点满足(mǎnzú)且，则的最大值为（ ） A. 4 B.C. 6D.【答案】D 【解析】 【分析】根据几何意义可知动点P 位于以为直径的圆上,由正弦定理即可求得PC 的最大值.【详解】圆C ：2268110x y x y +---= 化成标准方程可得所以圆C 的半径为因为点M ,N 在圆C 上,动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥ 所以P 位于以MN 为直径的圆上,位置关系如下图所示:则,即在三角形中,由正弦定理可得代入可得则因为(yīn wèi)所以(suǒyǐ)PC 的最大值为62 故选:D【点睛】本题考查(kǎochá)了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的几何(jǐ hé)性质,正弦定理(dìnglǐ)的简单应用,属于中档题. 11.已知为偶函数，且当时，，则满足不等式的实数m 的取值范围为（ ）A. B. C.D. ()2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数性质把不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭化为，由导数确定函数在上的单调性，利用单调性解不等式．【详解】∵()f x 是偶函数，∴，则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，，，令，则，∴是上的增函数，∴当时，，∴0x ≥时，，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数，∴由2(log )(1)f m f <得，即，．故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调(dāndiào)性，考查解对数不等式．此各种类型不等式的解法是：本题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为，转化(zhuǎnhuà)为，一种(yī zhǒnɡ)是偶函数，不等式为，转化(zh uǎnhuà)为，然后由单调性去函数(hánshù)符号“”．12.函数在区间上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数零点存在定理可求得a 的取值范围.并根据区间10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,分析可知当时函数有两个零点,不符合要求,即可求得最终a 的取值范围.【详解】函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,则,由二次函数的图像与对数函数的图像可知,函数零点至多有两个.且因为恰有一个零点,所以满足且与在10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不同时成立.解不等式()()110log 2log 3a a --≤可得当3a =时,函数(hánshù),区间(qū jiān)为且满足(mǎnzú),,所以(suǒyǐ)在内有一个(yī ɡè)零点, 为一个零点.故由题意可知,不符合要求综上可知, a 的取值范围为[)2,3 故选:D【点睛】本题考查了函数零点存在定理的综合应用,根据零点个数求参数的取值范围.需要判断零点个数及检验参数是否符合题目要求,属于难题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.直线：与直线平行，则实数a 的值是______.【答案】2. 【解析】 【分析】由两直线平行的条件判断． 【详解】由题意，解得2a =． 故答案为：2．【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线和平行，条件是必要条件，不是充分条件，还必须有或，但在时，两直线平行的充要条件是．14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对,x y的个数m；最后再根据统计数m来估计；再统计两数的平方和小于1的数对()π的值.已知某同学一次试验统计出，则其试验估计π为______.【答案(dá àn)】3.12【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】,x y构成(gòuchéng)第一象限内的一个正方形, 横、纵坐标都小于1的正实数(shìshù)对(),x y为单位圆在第一象限的部分.由几何概型概率的计算公式,两数的平方和小于1的数对()及试验所得结果,即可估计π的值.,x y构成第一象限内的一个正方形,【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:两数的平方和小于1的数对()则阴影部分与正方形面积的比值为由几何概型概率计算公式可知解得故答案为:【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,根据题意得各部分的关系是解决问题的关键,属于基础题.f x在区间上的零15.函数的图象如图所示，则()点之和为______.【答案(dá àn)】.【解析(jiě xī)】 【分析(fēnxī)】先求出周期(zhōuqī)，确定，再由点确定(quèdìng)，得函数解析式，然后可求出上的所有零点．【详解】由题意，∴，又且，∴，∴．由得，，，在[,]-ππ内有：，它们的和为23π． 【点睛】本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程得出零点，就可确定在已知范围内的零点．本题也可用对称性求解，由函数周期是π，区间[,]-ππ含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此()f x 在[,]-ππ上有4个零点，它们关于直线对称，由此可得4个零点的和．16.过点的直线l 与抛物线C ：交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：，则与的面积之和的最小值是______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据直线l 过点()1,0M -,设出直线l 的方程.联立抛物线后可表示出A 、B 两点的纵坐标,利用5NA AF =可表示出点N 的纵坐标.由三角形面积公式可表示出ABF ∆与AMN ∆的面积之和.对表达式求导,根据导数即可求得面积和的最小值. 【详解】根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:因为(yīn wèi)直线l 过点()1,0M - 设直线(zhíxiàn)的方程为则,化简可得因为有两个(liǎnɡ ɡè)不同交点,则,解得或不妨(bùfáng)设1t >, 则解方程可得因为(yīn wèi)5NA AF =,则所以所以则,(1t >)令则令解得当时, ,所以(suǒyǐ)在内单调(dāndiào)递减当时, ,所以(suǒyǐ)()f t在内单调(dāndiào)递增即当54t=时()f t取得(qǔdé)最小值.所以故答案为:【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线中三角形面积的求法,利用导数求函数的最值的应用,综合性强,属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间（小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m.（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.列联表22男女总计总计附表：015 0.10 0.052.072 2.7063.841其中(qízhōng)：.【答案(dá àn)】（1）；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读(yuèdú)与性别有关.【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】（1）频率为0.5对应的点的横坐标为中位数；（2）100名学生中男生45名，女生55名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为50人，小于m的也有50人，阅读时间低于m的女生有30名，这样可得列联表中的K，对照附表可得结论．各数，得列联表，依据公式计算2【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为.所以阅读时间的中位数.（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为人，故列联表补充如下：男女总计≥25 25 50t mt m20 30 50<总计45 55 100 2K的观测(guāncè)值，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为(rènwéi)阅读与性别有关.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验．正确认识频率分布直方图是解题(jiě tí)基础．18.已知等差数列(děnɡ chā shù liè)的前项和为，且满足(mǎnzú)，.各项均为正数的等比数列满足，.（1）求和；（2）求和：.【答案】(1) .. (2)【解析】【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式,可得方程组,解方程组即可求得数列{}n a与数列{}b的通项公式.n（2）根据等比数列{}n b的前n项和公式,可先求得的通项公式,进而根据分组求得即可求得.【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为,等比数列{}n b的公比为q.由题意,得,解得,∴23n a n =-∵等比数列(děnɡ bǐ shù liè){}n b 的各项均为正数(zhèngshù)由解得或（舍）∴（2）由（1）得,.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列(děnɡ bǐ shù liè)通项公式的求法,等比数列(děnɡ bǐ shù liè)前n 项和公式的简单(jiǎndān)应用,属于基础题. 19.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，，.已知.（1）求A ； （2）若为边上一点，且，，求.【答案】（1）；（2）12. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得A ； （2）把ABC ∆的面积用两种方法表示建立与三角形各边的关系，由23BC AD =，即即代入可得，再代入余弦定理中可求得，从而可得，于是得sin B 的值．【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得，即.由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得，结合(jiéhé)，可知(kě zhī)23A π=. （2）在ABC ∆中，，即.由已知23BC AD =，可得23a AD =.在ABC ∆中，由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得，即，整理(zhěnglǐ)得，即b c =，∴.∴.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第（2）问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式：．20.已知椭圆C ：，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.（1）若点满足（O 为坐标原点），求弦的长；（2）若直线l 的斜率不为0且过点，M 为点A 关于x 轴的对称点，点满足，求n 的值.【答案】(1) (2)【解析】 【分析】（1）设出A ,B 两点的坐标,结合关系式0OA OB OP ++=,即可得线段AB 的中点坐标.利用点差法可求得直线AB 的斜率,根据点斜式求得直线AB 的方程.再结合弦长公式即可求得弦AB 的长;（2）设出直线(zhíxiàn)AB 的方程,根据(gēnjù)M 的坐标及MN NB λ=可知(kě zhī).由两点的斜率(xiélǜ)公式,可得,将A ,B 两点的坐标代入直线方程(fāngchéng)后,整理代入n 的表达式,联立圆的方程,即可得关于y 的方程.进而用韦达定理求得n 的值即可. 【详解】（1）设,由0OA OB OP ++=,且点()1,1P -,得,.①∴线段AB 的中点坐标为,其在椭圆内由两式相减得,整理得,即.将①代入,得.∴直线AB 方程为,即.联立消去x 得,由韦达定理得121y y +=-,.∴.（2）设直线AB 的方程为,由题意得,由已知MN NB λ=,可知M ,N ,B 三点共线,即MN MB k k =. ∴,即,解得()121121y x x n x y y -=++.将,,代入得.②联立消去x 得由韦达定理(dìnglǐ)得,.③将③代入②得到(dé dào)1n =【点睛】本题考查了直线与椭圆(tuǒyuán)的位置关系,点差法在求直线(zhíxiàn)方程中的应用,弦长公式(gōngshì)的用法,综合性较强,属于难题. 21.已知函数，其中.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若，记函数()f x 的两个极值点为，（其中），当的最大值为时，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 当时,()f x 在上单调递增；当时,()f x 在和上单调递增,在上单调递减. (2) [)3,+∞ 【解析】 【分析】（1）先求得()f x 的导函数,并令.通过对判别式及a 的讨论,即可判断单调性.（2）根据（1）可知当22a >,()f x 有两极值点1x ,2x ,且两个极值点为的两根.进而可得两个极值点间的关系.利用作差法可得()()21f x f x -的表达式,并令,及.进而通过求导得的单调性,进而根据最大值可求得t 的值.解得1x ,2x 的值.即可得a 的取值范围.【详解(xiánɡ jiě)】（1）.令()22g x x ax =-+,则.①当或,即22a ≤时,得恒成立(chénglì),∴()f x 在()0,∞+上单调(dāndiào)递增.②当,即22a >时,由,得或；由,得.∴函数(hánshù)()f x 在280,2a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和28,2a a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调(dāndiào)递增, 在2288,22a a a a ⎛⎫--+-⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述,当22a ≤时,()f x 在()0,∞+上单调递增；当22a >时,()f x 在280,2a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和28,2a a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增, 在2288,22a a a a ⎛⎫--+-⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）得当22a >,()f x 有两极值点1x ,2x （其中21x x >）. 由（1）得1x ,2x 为()220x a g x x =-+=的两根,于是,.∴.令()211x t t x =>,则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+. ∵,∴()h t 在上单调(dāndiào)递减.由已知的最大值为32ln 22-, 而.∴.设t 的取值集合(jíhé)为,则只要(zhǐyào)满足且T 中的最小元素(yuán sù)为2的T 集合(jíhé)均符合题意. 又,易知在[)2,+∞上单调递增,结合22a >,可得a 与t 是一一对应关系. 而当2t =,即时,联合122x x =, 解得,,进而可得3a =.∴实数a 的取值范围为[)3,+∞.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的综合应用,分类讨论判断函数的单调区间,构造函数法判断函数的单调性及参数的取值范围,综合性强,是高考的常考点和难点,属于难题. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点，曲线的直角坐标方程为.（1）求曲线(qūxiàn)1C 的普通(pǔtōng)方程，曲线2C 的极坐标方程(fāngchéng)；（2）若，是曲线(qūxiàn)2C 上两点，当时，求的取值范围(fànwéi).【答案】（1），；（2）.【解析】 【分析】 （1）由消元后得普通方程，由代入直角坐标方程可得极坐标方程； （2）直接把两点的极坐标代入曲线2C 的极坐标方程，得，这样2211OAOB+就可转化为三角函数式，利用三角函数知识可得取值范围． 【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程为.由，，得点2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为，代入1C ，得，∴曲线1C 的普通方程为()2213x y -+=.2C 可化为，即，∴曲线2C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=. （2）将点()1,A ρα，代入曲线2C 的极坐标方程，得，，∴.由已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得，于是(yúshì).所以(suǒyǐ)2211OAOB +的取值范围(fànwéi)是3,32⎛⎤⎥ ⎝⎦. 【点睛】本题考查(kǎochá)极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化．消元法和公式法是解决此类问题的常用方法． 23.已知关于(guānyú)x 的不等式，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若该不等式对恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式，最后要合并（求并集）； （2）设，同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数，求得()f x 最大值，解相应不等式可得a 的范围．【详解】（1）由4a =时，.原不等式化为，当时，，解得，综合得4x≥；当时，，解得，综合得；当时，，解得，综合(zōnghé)得1x≤-.∴不等式的解集为2|43x x x⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.（2）设函数(hánshù)，画图可知(kě zhī)，函数()f x的最大值为.由，解得24a<≤.【点睛】本题考查(kǎochá)解含绝对值的不等式，解题方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，用分类讨论的方法分段解不等式．内容总结。