浙教版八年级数学一次函数知识要点：《常量与变量》_知识点总结
(完整word版)八年级数学一次函数知识点总结
新新教育1一次函数知识点总结一、函数1.变量的定义：在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。
注：变量还分为自变量和因变量。
2.常量的定义：在某一变化过程中，有些量的数值向来不变，我们称它们为常量。
3.函数的定义：一般地，在一个变化过程中，若是有两个变量 x 与 y，并且关于 x?的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数，y 的值称为函数值．4.函数的三种表示法：〔1〕表达式法〔剖析式法〕；〔 2〕列表法；〔3〕图象法．a、用数学式子表示函数的方法叫做表达式法〔剖析式法〕。
b、由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。
c、把这些对应值〔有序的〕看作点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。
5.求函数的自变量取值范围的方法．〔1〕要使函数的表达式有意义：a、整式〔多项式和单项式〕时为全体实数；b、分式时，让分母≠0；c、含二次根号时，让被开方数≠ 0 。
〔 2〕对实责问题中的函数关系，要使实责问题有意义。
注意可能含有隐含非负或大于0 的条件。
6.求函数值方法：把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值．7.描点法画函数图象的一般步骤以下：Step1 ：列表〔表中给出一些自变量的值及其对应的函数值〕；Step2 ：描点〔在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点〕；Step3 ：连线〔依照横坐标由小到大的序次把所描出的各点用圆滑曲线连接起来〕．8.判断 y 是不是 x 的函数的题型A、给出剖析式让你判断：可给 x 值来求 y 的值，假设 y 的值唯一确定，那么 y 是 x 的函数；否那么不是。
B、给出图像让你判断：过 x 轴做垂线，垂线与图像交点节余一个〔≥ 2〕时， y 不是 x 的函数；否那么y 是 x 的函数。
二、正比率函数1.正比率函数的定义：一般地，形如 y=kx〔 k 是常数， k≠0〕的函数，叫做正比率函数， ?其中 k 叫做比率系数。
浙教版初中数学八年级上册一次函数全章复习与巩固(提高)知识讲解(1)
一次函数全章复习与巩固（提高）【学习目标】 1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识. 4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力. 【知识网络】要点一、函数的相关概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数. y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为y kx b =+，其中k 、b 是常数，k ≠0.特别地，当b ＝0时，一次函数y kx b =+即y kx =（k ≠0），是正比例函数.要点三、一次函数的图象及性质 1、函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 要点诠释：直线y kx b =+可以看作由直线y kx =平移|b |个单位长度而得到（当b ＞0时，向上平移；当b ＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数y kx b =+与函数y kx =的图象之间可以相互转化.2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）要点诠释：理解k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：（1）k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势（及倾斜角α的大小——倾斜程度），b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．（2）两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：12k k ≠⇔1l 与2l 相交；12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行； 12k k =，且12b b =⇔1l 与2l 重合；（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线x a =、直线y b =不是一次函数的图象. 要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题从“数”的角度看从“形”的角度看求关于x 、y 的一元一次方程ax b +＝0（a ≠0）的解x 为何值时，函数y ax b =+的值为0？确定直线y ax b =+与x 轴（即直线y ＝0）交点的横坐标求关于x 、y 的二元一次方程组1122=+⎧⎨=+⎩，．y a x b y a x b 的解．x 为何值时，函数11y a x b =+与函数22y a x b =+的值相等？ 确定直线11y a x b =+与直线22y a x b =+的交点的坐标求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围【典型例题】类型一、函数的概念1、（2014春•桃城区校级月考）在国内投寄平信应付邮资如下表： 信件质量x （克） 0＜x≤20 0＜x≤40 0＜x≤60 邮资y （元） 0.80 1.60 2.40（1）y 是x 的函数吗？为什么？（2）分别求当x=5，10，30，50时的函数值． 【思路点拨】（1）根据函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量可得y 是x 的函数；（2）根据表格可以直接得到答案． 【答案与解析】 解：（1）y 是x 的函数，当x 取定一个值时，y 都有唯一确定的值与其对应； （2）当x=5时，y=0.80；当x=10时，y=0.80； 当x=30时，y=1.60； 当x=50时，y=2.40．【总结升华】此题主要考查了函数定义，关键是掌握函数的定义． 类型二、一次函数的解析式2、某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000印数x （册） 5000800010000 15000 ……成本y （元） 28500 36000 41000 53500 ……（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y （元）是印数x （册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？【思路点拨】待定系数法求函数解析式，根据两点得到两个二元一次方程，组成一个二元一次方程组求出解即可．表中信息取两组就可以了.【答案与解析】=+，解：（1）设所求一次函数的解析式为y kx b则解得k＝，b＝16000．∴所求的函数关系式为y＝x＋16000．（2）∵48000＝x＋16000．∴x＝12800．答：能印该读物12800册．【总结升华】此类问题主要是考查考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知系数，从而确定该函数解析式的能力．举一反三：【变式】已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式．【答案】解：因为直线过点，所以，①又因为直线与x轴、y轴的交点坐标分别为，再根据，所以整理得②．根据方程①和②可以得出，，所以，．所以所求一次函数解析式为或．类型三、一次函数的图象和性质【396533一次函数复习例2 】3、若直线y kx b =+（k ≠0）不经过第一象限，则k 、b 的取值范围是（ ） A. k ＞0, b ＜0 B. k ＞0,b ≤0 C. k ＜0, b ＜0 D. k ＜0, b ≤0 【思路点拨】根据一次函数的图象与系数的关系解答.图象不经过第一象限，则k ＜0，此时图象可能过原点，也可能经过二、三、四象限. 【答案】D ；【解析】当图象过原点时，k ＜0，b ＝0，当图象经过二、三、四象限时，k ＜0且b ＜0. 【总结升华】图象不经过第一象限包括经过二、三、四象限和过原点两种情况. 举一反三：【396533一次函数复习 例3 】 【变式】一次函数()2y kx k =--与kxy =在同一坐标系内的图象可以为（ ）A. B. C. D.【答案】D ；提示：分为k ＜0；0＜k ＜2；k ＞2分别画出图象，只有D 答案符合要求.类型四、一次函数与方程（组）、不等式 4、（2016春•枣阳市期末）直线a ：y=x +2和直线b ：y=﹣x +4相交于点A ，分别与x 轴相交于点B 和点C ，与y 轴相交于点D 和点E ． （1）在同一坐标系中画出函数图象； （2）求△ABC 的面积；（3）求四边形ADOC 的面积；（4）观察图象直接写出不等式x +2≤﹣x +4的解集和不等式﹣x +4≤0的解集． 【思路点拨】（1）根据直线的画法画出图形即可；（2）根据直线a 、b 的解析式可得出点B 、C 的坐标，联立两直线的解析式成方程组，解方程组可得出点A 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论；（3）根据直线a 的解析式可求出点D 的坐标，利用分割图形求面积法结合三角形的面积公式即可得出结论；（4）根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集． 【解析】解：（1）依照题意画出图形，如图所示． （2）令y=x +2中y=0，则x +2=0，解得：x=﹣2， ∴点B （﹣2，0）；令y=﹣x +4中y=0，则﹣x +4=0，解得：x=4， ∴点C （4，0）； 联立两直线解析式得：，解得：，∴点A（1，3）．S△ABC=BC•y A=×[4﹣（﹣2）]×3=9．（3）令y=x+2中x=0，则y=2，∴点D（0，2）．S四边形ADOC=S△ABC﹣S△DBO=9﹣×2×2=7．（4）观察函数图形，发现：当x＜1时，直线a在直线b的下方，∴不等式x+2≤﹣x+4的解集为x≤1；当x＞4时，直线b在x轴的下方，∴不等式﹣x+4≤0的解集为x≥4．【总结升华】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）画出函数图象；（2）找出点A、B、C的坐标；（3）利用分割图形求面积法求出面积；（4）根据函数图象的上下位置关系解不等式．举一反三：【变式】（2015春•东城区期末）已知直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．【答案】解：（1）∵直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4），∴，解得，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+5；（2）∵若直线y=2x ﹣4与直线AB 相交于点C ，∴．解得，∴点C （3，2）；（3）根据图象可得x ＞3． 类型五、一次函数的应用5、某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2h 后血液中的含药量最高，达每升6mg ，接着逐步衰减，10h 后血液中的含药量为每升3mg ，每升血液中的含药量y mg 随时间x h 的变化情况如图所示．当成人按规定剂量服药后：(1)分别求出x ≤2和x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式；(2)如果每升血液中的含药量为4mg 或4mg 以上时，治疗疾病是有效的，那么这个有效时间是多长?【思路点拨】（1）根据题意由待定系数法求函数的解析式.（2）令y ≥4，分别求出x 的取值范围，便可得出这个药的有效时间． 【答案与解析】解：(1)由图知，x ≤2时是正比例函数，x ≥2时是一次函数．设x ≤2时，y kx =，把(2，6)代入y kx =，解得k ＝3， ∴ 当0≤x ≤2时，3y x =．设x ≥2时，y k x b '=+，把(2，6)，(10，3)代入y k x b '=+中，得26103k b k b '+=⎧⎨'+=⎩，解得38274k b ⎧'=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即32784y x =-+．当y ＝0时，有327084x =-+，18x =． ∴ 当2≤x ≤18时，32784y x =-+．(2)由于y ≥4时在治疗疾病是有效的，∴ 34327484x x ≥⎧⎪⎨-+≥⎪⎩，解得42233x ≤≤． 即服药后43h 得到223h 为治病的有效时间， 这段时间为224186()333h -==．【总结升华】分段函数中，自变量在不同的取值范围内函数的解析式也不相同，因此注意根据自变量或函数的取值确定某段函数来解决问题． 类型六、一次函数综合6、如图所示，直线1l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线2l 与直线1l 关于y 轴对称，且与x 轴交于点C ．已知直线1l 的解析式为4y x =+．(1)求直线2l 的解析式；(2)D 为OC 的中点，P 是线段BC 上一动点，求使OP ＋PD 值最小的点P 的坐标． 【答案与解析】解： (1)由直线4y x =+可得：A(－4，0)，B(0，4)∵ 点A 和点C 关于y 轴对称，∴ C(4，0)． 设直线BC 解析式为：y kx b =+，则4004b k b=+⎧⎨=+⎩ 解得14k b =-⎧⎨=⎩． ∴ 直线BC 解析式为：4y x =-+．(2)作点D 关于BC 对称点D ′，连结PD ′，OD ′．∴ PD DP '=，∴ OP ＋PD ＝PD ′＋OP ． ∴ 当O 、P 、D ′三点共线时OP ＋PD 最小．∵ OB ＝OC ，∴ ∠BCO ＝45°，∴ ∠D CO '＝90°，∴ (4,2)D '，∴ 12OD y x '=． 由124y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩ 得8343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 当点P 坐标为84,33⎛⎫⎪⎝⎭时，OP ＋PD 的值最小． 【总结升华】(1)由直线1l 的解析式得到A 、B 点的坐标，进一步得到C 点的坐标，然后利用B 、C 两点的坐标利用待定系数法求解析式．(2)利用轴对称性质求出使OP ＋PD 值最小的点P 的坐标． 举一反三：【变式】如图所示，已知直线8y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，过B 作BD ⊥AB 交y轴于D ．(1)求直线BD 的解析式；(2)若点C 是x 轴负半轴上一点，过C 作AC 的垂线与BD 交于点E ．请判断线段AC 与CE 的大小关系？并证明你的结论．【答案】解：(1)由直线8y x =-+可得：A(0，8)，B(8，0)．∴ OA ＝OB ＝8，∠ABO ＝45°． ∵ BD ⊥AB ，∴ ∠DBO ＝45°，△ABD 为等腰直角三角形．∴ OD ＝OA ＝8，D 点坐标为(0，－8)． 设BD 的解析式为y kx b =+． ∵ 过B(8，0)，D(0，－8) ∴ 808k b b +=⎧⎨=-⎩，解得18k b =⎧⎨=-⎩．∴ BD 的解析式为8y x =-(2)AC ＝CE ；过点C 作CM ⊥AB 于M ，作CN ⊥BD 于点N ． ∵ BC 为∠ABD 的平分线， ∴ CM ＝CN ．∵ ∠ACE ＝90°，∠MCN=90° ∴ ∠ACM ＝∠ECN ． 在△ACM 和△ECN 中90,AMC ENC CM CN ACM ECN ∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩°, ∴ △ACM ≌△ECN(ASA)． ∴ AC ＝CE ．。
浙教版数学八年级上71《常量和变量》ppt课件
04 常量与变量的实际意义
生活中的常量与变量
总结词
生活中的常量与变量无处不在，它们影响着我们的日常生活和决策。
详细描述
在日常生活中，有些事物是固定不变的，如地球的周长、光速等，这些被称为常量。而有些事物则随 着时间、环境或其他因素的变化而变化，如温度、价格、距离等，这些被称为变量。了解和区分常量 与变量有助于我们更好地理解和预测事物的发展趋势。
常量与变量的转换
在编程中，有时需要将常量转换为变 量或将变量转换为常量。例如，在数 学运算中，有时需要将常数作为变量 参与运算，或者将变量表示的值赋给 常量。
转换过程可以通过赋值语句或函数调 用实现。例如，在Python中，可以使 用赋值语句将常量值赋给变量，如 `x = 5`；同样地，也可以将变量的值赋 给常量，如 `const_pi = 3.14159`。
常量和变量
contents
目录
• 常量和变量的定义 • 常量和变量的应用 • 常量和变量的关系 • 常量与变量的实际意义 • 常量与变量的总结与思考
01 常量和变量的定义
常量的定义和特性
定义
常量是在程序运行过程中其值不能被 改变的量。
特性
常量的值是固定的，一旦被定义后就 不能再被修改。常用于表示一些固定 不变的数值，如数学常数、物理常数 等。
的准确性和实用性至关重要。
05 常量与变量的总结与思考
常量与变量的意义和作用
常量
在程序运行过程中，其值不会改变的量。常量的作用是提供固定的值，以便在程序中进 行计算和比较。
变量
在程序运行过程中，其值可以改变的量。变量的作用是存储数据，以便在程序中进行修 改和引用。
常量与变量的关系和转换
要点一
八年级数学上册知识点归纳：常量与变量
八年级数学上册知识点归纳：常量与变量八年级数学上册知识点归纳：常量与变量自变量的取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体叫做函数的自变量的取值范围.对于一个确定的函数关系式，自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义.四、函数值函数值是指自变量在数值范围内取某个值时，另外一个变量与之对应的一个值.五、函数的表示方法在表达变量之间关系时，图像法、列表法和解析法是表达变量之间关系的重要方式：1.图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做图象法.优点：可以直观、形象地把函数关系表示出来，从图象中函数的性质一目了然地看出来.缺点：由图象只能观察出函数近似的数量关系. 2.列表法：用表格列出自变量与函数的对应值，表示函数两个变量之间的关系，这种表示函数的方法叫做列表法.优点：能明显地显示出自变量的值和与之对应的函数值.缺点：它只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出，不能反映函数变化的全貌.3.解析法：用自变量x的各种运算构成的式子表示函数y的方法叫做解析法.优点：简明扼要、规范准确，并且可以根据解析式列表和画图象，进而研究函数的性质；缺点：有些函数无法写出解析式，只能通过列表或画图象来表示.【变量间的关系考点分析】变量之间的关系与其它联系密切，应用广泛，因而成为中考热点之一，是历来中考数学的重点和热点，考查这部分以填空题、选择题、解答题等形式出现.既有对函数基本知识的考查，也有函数的综合题目.跨越了代数、几何、等多个知识点，囊括了整个初中数学知识和重要的思想方法.特别是近几年涌现出大量设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放探索题以及函数应用题.这就要求同学们要注重生活实际，善与思考和分析，活用数学知识，学会把实际问题转化为数学问题，注重数学思想方法来解决实际问题．复习本考点主要集中于基本概念、写变化关系式、观察图象获取信息的能力以及学生对自变量与因变量的概念的理解，来考查通过对表达变量之间关系的正确理解，来书写变量之间关系的表示方法；考查学生会阅读图象获取有用信息，弄请图象反映的是哪两个变量之间的关系，用数学语言加以合理地表达；考查学生通过对表达变量之间关系的正确理解，来书写变量之间关系的表示方法.考查学生会阅读图象获取有用信息，弄请图象反映的是哪两个变量之间的关系，用数学语言加以合理地表达.考查学生用表格分析数据关系的能力.能从中提炼信息，发现规律，归纳出一般性的结论，从而解决实际问题.【变量间的关系知识点误区】解题中出现错误是难免的，但必须弄清产生错误的原因，掌握正确的解题方法．1．概念混淆有些同学往往将自变量当成因变量，同时对变化趋势表述不准确．2．忽视书写要求有些同学在写出的变化关系式中往往出现以下错误：未分清自变量；写成方程的形式，没有把因变量单独放在等式的左边，自变量与常量放在等式的右边．3．忽视横、纵轴的意义在解关于坐标系的问题时，未弄清横、纵轴表示的意义，从而得出了与答案相反的结论.4．注意两种图象的区别公路上依次有A，B，C三个汽车站，上午8时，小明骑自行车从A，B两站之间距离A站8km处出发，向C站匀速前进，他骑车的速度是每小时16.5km，若A，B两站间的路程是26km，B，C两站的路程是15km．（1）在小明所走的路程与骑车用去的时间这两个变量中，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）设小明出发x小时后，离A站的路程为ykm，请写出y与x之间的关系式．（3）小明在上午9时是否已经经过了B站？（4）小明大约在什么时刻能够到达C站？ma满分网如图所示，梯形的上底长是5cm，下底长是13cm．当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化．（1）在这个变化过程中，自变量是，因变量是．（2）梯形的面积y（cm2）与高x（cm）之间的关系式为．（3）当梯形的高由l0cm变化到1cm时，梯形的面积由cm2变化到cm2．已知等腰三角形的顶角为x度，底角为y度，那么底角度数y与顶角度数x之间的关系式是，其中自变量是，因变量是．在烧开水时，水温达到l00℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：ma满分网（1）上表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？（3）时间推移2分钟，水的温度如何变化？（4）时间为8分钟，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？（5）根据表格，你认为时间为16分钟和18分钟时水的温度分别为多少？（6）为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？一次试验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂砝码，下面是测得的弹簧长度y（cm）与所挂砝码的质量x（g）的一组对应值：ma满分网（1）表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）弹簧的原长是多少？当所挂砝码质量为3g时，弹簧的长度是多少？（3）砝码质量每增加1g，弹簧的长度增加______cm．下表给出了橘农王林去年橘子的销售额（元）随橘子卖出质量（千克）的变化的有关数据：ma满分网（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当橘子卖出5千克时，销售额是多少？（3）估计当橘子卖出50千克时，销售额是多少？下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据：ma满分网（1）时间是8分钟时，水的温度为；（2）此表反映了变量和之间的关系，其中是自变量，是因变量；（3）在时间内，温度随时间增加而增加；时间内，水的温度不再变化．2012年1-12月某地大米的平均价格如下表所示，其中自变量是，因变量是；当自变量等于时，因变量的值最小．ma满分网在正方形的面积公式S=a2中，随a的增大，S也，其中自变量是，因变量是．公路上一辆汽车以50km/h的速度匀速行驶，它行驶的时间与路程这两个量中，是自变量，是因变量．。
5.1 常量与变量八年级上册数学浙教版
5.1 常量与变量
学习目标
1.通过实例体验在一个过程中有些量固定不变，有些量不断地变化.
2.了解常量、变量的概念，体验在一个过程中常量与变量相对地存在.
3.会在简单的过程中辨别常量与变量.
知识点 常量、变量的概念 重点
定义
举例
常量
在一个过程中，固定不变的量称为常量.
在圆周长的计算公式 中， 是常量， 是变量.
典例 已知 的底边 的长为 ， 边上的高为 ， 的面积为 ，则 .在下面三种情况下，试说出常量与变量： 字母不等于变量，字母表示一固定值时，就是常量
变量
在一个过程中，可以取不同数值的量称为变量.
注意 （1）在一个过程中，可以出现多个变量和常量；（2）变量与字母的指数无关，如 中， ， 是变量，而不能说 ， 是变量.
敲黑板变量与常量是相对而言的，判断变量与常量的前提是“在某一过程中”，因为同一个量在某一过程中是常量，而在另一过程中可能就是变量，所以变量与常量是由问题的条件决定的.如在 中，当 一定时, ， 是变量, 是常量；当 一定时， , 是变量， 是常量.
（1） 面积 一定；
解：当面积 一定时， ， 是常量， ， 是变量.
（2） 底边长 一定；
当底边长 一定时， 是常量， ， 是变量.
（3） 高 一定.
当高 一定时， 是常量， ， 是变量.
本节知识归纳
浙教八上数学期末复习五 一次函数概念、图象及性质
期末复习五 一次函数概念、图象及性质必备知识与防范点一、必备知识1． 设有两个变量，如果对于x 的 的值，y 都有 的值．那么就说y 是x 的函数，x 叫做 ．表示函数的三种方法： 、 、 ．2．函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，且k ≠0）叫做 ． 当b ＝0时，函数y ＝kx （k 是常数，k ≠0）叫做 ，常数k 叫做比例系数．3．一次函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条 ．（1）k>0，b>0，图象经过 、 、 象限；（2）k>0，b<0，图象经过 、 、 象限；（3）k<0，b>0，图象经过 、 、 象限；（4）k<0，b<0，图象经过 、 、 象限；4．一次函数y ＝kx ＋b ，当k>0时，y 随着x 的增大而 ；当k<0时，y 随着x 的增大而 ．二、防范点1．同一题求解析式时有两个一次函数，要区别k 1，k 2.2．求自变量取值范围时，注意题中隐含的条件；画出实际问题的图象时注意自变量的取值范围．3．函数增减性问题遇到k 不确定，应分类讨论．例题精析知识点一 函数及一次函数概念例1 （1）（云南中考）函数y ＝21 x 的自变量x 的取值范围为（ ） A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≤2 D ．x ≠2（2）已知y ＝（m －3）xm －2＋1是一次函数，则m 的值是 ．【反思】对于（1）（2）求自变量取值范围主要考虑分母不为零，根号内为非负数等，但在求解过程中也应注意题中的隐含条件．（3）（重庆中考）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A 地到B 地，乙驾车从B 地到A 地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y （千米）与甲出发的时间x （分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A 时，甲还需 分钟到达终点B ．（4）（阜新中考）如图1．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，动点P 从点B 出发，沿B →C →D →A 的方向运动，到达点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 与x 的函数图象如图2所示，那么AB 边的长度为 ．【反思】对于（3），利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键．对于（4），通过读图、分析，能根据图形求得BC ，CD ，DA 的值是解题的关键． 知识点二 求一次函数解析式例2 （1）已知直线y=kx （k ≠0）经过点（-2，4），那么该直线的表达式为 ；若该直线向右平移3个单位，则得到的直线表达式为 ．【反思】对于（1），根据待定系数法得出正比例函数解析式，再根据“左加右减”的原则解答．（2）已知y －4与x 成正比例，且当x ＝6时，y ＝－4.①求y 与x 的函数关系式；②设点P 在y 轴上，若（1）中函数的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且以A 、B 、P 为顶点的三角形面积为9，试求点P 的坐标．【反思】对于（2）,△ABP 的面积以BP 为底，OA 为高较为简便，注意P 有两解． 知识点三 一次函数的图象例3 （1）点P 是直线y=-x+4上一动点，O 为原点，则线段OP 的最小值为 .（2）已知函数y=（2m+1）x+m-3，若这个函数的图象不经过第二象限，则m 的取值范围是 .（3）已知一次函数y=-21x+2，当1≤x ≤4时，y 的最大值是 .（4）如图，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A （1，1），B （3，1），C （2，2），当直线y=21x+b 与△ABC 有交点时，b 的取值范围是 .【反思】对于（1），利用点到直线之间，垂直线段最短找出点P 的位置是解题的关键，面积法求长度是常用方法． 对于（2），当k ＞0，b ＜0时，函数的图象经过一三四象限是解答此题的关键，注意不经过第二象限，这时b ≤0. 对于（3），k ＜0，y 随x 的增大而减小是解题的关键，故x=1时y 取最大值．对于（4），用动态观点来分析图形，直线y=21x+b 平移，过C （2，2）时b 最大，过B （3，1）时b 最小.知识点四 一次函数的性质例4 点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）是一次函数y ＝－4x ＋3图象上的两点，且x 1<x 2，则y 1，y 2的大小关系是（ ）A ．y 1>y 2B ．y 1>y 2>0C ．y 1<y 2D ．y 1＝y 2【反思】函数y ＝－4x ＋3中，由于k<0，所以y 随x 的增大而减小，x 1<x 2，所以y 1>y 2.他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌手表共100块，设该经销商购进A 品牌手表x 块，这两种品牌手表全部销售完后获得利润为y 元． （1）试写出y 与x 之间的函数关系式；（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于1.26万元，该经销商有哪几种进货方案？（3）选择哪种进货方案，该经销商可获利最大？最大利润是多少元？【反思】用一次函数的性质可以解决实际问题中的最值问题，往往根据题意把利润y 表示成x 的一次函数，再根据比例系数k 的取值及自变量x 的取值范围，确定利润y 的最小值或最大值．校内练习1．两个一次函数y1＝mx ＋n ，y2＝nx ＋m ，它们在同一坐标系中的图象可能是（ ）2. 已知一次函数y=kx-m-2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（）A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜03. 如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．（1）点C的坐标是；（2）将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x-6上时，线段AC扫过的面积为．4．已知一次函数y＝（4m＋1）x－（m＋1），（1）m为何值时，y随x的增大而减小？（2）m为何值时，直线位于第二，三，四象限？（3）m为何值时，直线不经过第一象限？5．已知y1与x成正比例，y2与x＋2成正比例，且y＝y1＋y2，当x＝2时，y＝4；当x＝－1时，y＝7，求y与x之间的函数关系式．6．如图，直线y＝kx＋4与y轴交于点A.（1）直线y＝－2x＋1与y轴交于点C，与直线y＝kx＋4交于点B，且点B的横坐标为－1.①求点B的坐标及k的值；②求△ABC的面积；（2）若直线y＝kx＋4与x轴交于点E（a，0），且－2＜a＜－1，求k的取值范围．答案期末复习五 一次函数概念、图象及性质【必备知识与防范点】一、1. 每一个确定 唯一确定 自变量 解析法 列表法 图象法2. 一次函数 正比例函数3. 直线 （1）一 二 三 （2）一 三 四 （3）一 二 四 （4）二 三 四4. 增大 减小【例题精析】例1 （1）D （2）－3 （3）78 （4）6例2 （1）y=-2x y=-2x+6 （2）①y ＝－34x ＋4； ②（0，10）或（0，－2）． 例3 （1）22 （2）-21＜m ≤3 （3）23 （4）-21≤b ≤1 例4 A例5 （1）y ＝（900－700）x ＋（160－100）×（100－x ）＝140x ＋6000. 由700x ＋100（100－x ）≤40000，得x ≤50. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝140x ＋6000（0＜x ≤50）；（2）令y ≥12600，即140x ＋6000≥12600，解得x ≥47.1.又∵x ≤50，∴经销商有以下三种进货方案：50＋6000＝13000，∴选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13000元．【校内练习】1—2. BA3. （1）（1，4） （2）164. （1）m<－41； （2）－1＜m ＜－41； （3）－1≤m ＜－41. 5. 设y 1＝kx ，y 2＝m （x ＋2），∵y ＝y 1＋y 2，∴y ＝kx ＋m （x ＋2），当x ＝2时，y ＝4；当x ＝－1时，y ＝7，可得方程组：4＝2k ＋4m ，7＝－k ＋m ，解得：k ＝－4，m ＝3，∴y 与x 之间的函数关系式为：y ＝－x ＋6.6. （1）①当x ＝－1时，y ＝－2x ＋1＝2＋1＝3，则点B 的坐标为（－1，3）；把B （－1，3）代入y ＝kx ＋4得－k ＋4＝3，解得k ＝1；②当x ＝0时，y ＝x ＋4＝4，则A （0，4）；当x ＝0时，y ＝－2x ＋1＝1，则C （0，1），所以三角形ABC 的面积＝21×（4－1）×1＝23. （2）2＜k ＜4。
2021-2022 浙教版 八上 一次函数 5.1、常量与变量同步梳理
1．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：
温度/℃
﹣20
﹣10
0
10
20
30
声速/m/s
318
324
330
336
342
348
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为 20℃时，声音 5s 可以传播 1740m
C．V、R 是变量， 、π为常量
D．以上都不对
6．一本笔记本 5 元，买 x 本共付 y 元，则 5 和 y 分别是（ ）
A．常量，常量
B．变量，变量
C．常量，变量
D．变量，常量
7．弹簧挂重物会伸长，测得弹簧长度 y（cm）最长为 20cm，与所挂物体重量 x（kg）间有
下面的关系．
x
0
1
2
3
4
…
y
C．π，R
D．S，R
【考点】常量与变量． 菁优网版 权所有
【分析】在圆的面积计算公式 S＝πR2 中，π是圆周率，是常数，变量为 S，R． 【解答】解：在圆的面积计算公式 S＝πR2 中，变量为 S，R．
D．速度 v、时间 t、路程 s 都是常量
14．半径是 r 的圆的周长为 C＝2πr，下列说法正确的是（ ）
A．C，r 是变量，2π是常量
B．C 是变量，2，r 是常量
C．C 是变量，π，r 是常量
D．C，π是变量，2 是常量
15．在进行路程 s、速度 v 和时间 t 的相关计算中，若保持行驶的路程不变，则下列说法正
B．所挂物体为 6kg，弹簧长度为 11cm
浙教版数学八年级上册《5.1常量与变量》说课稿1
浙教版数学八年级上册《5.1 常量与变量》说课稿1一. 教材分析浙教版数学八年级上册《5.1 常量与变量》这一节主要介绍常量和变量的概念。
教材通过生活中的实例，让学生感受常量和变量的存在，进而引导学生探究常量和变量的数学定义。
本节课的内容是学生学习函数的基础，对于学生理解函数的实质，以及后续学习一次函数、二次函数等函数知识具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、代数式等基础知识，对于生活中的变化和规律有一定的认识。
但是，对于数学中的常量和变量概念，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将以生活中的实例为导入，引导学生感受常量和变量的存在，再逐步引入数学定义，帮助学生理解和掌握常量和变量的概念。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解常量和变量的概念，能够正确地识别常量和变量。
2.过程与方法目标：通过生活中的实例，培养学生从实际问题中抽象出常量和变量的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生理解常量和变量的概念，能够正确地识别常量和变量。
2.教学难点：如何引导学生从实际问题中抽象出常量和变量的概念。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用情境教学法、问题教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中的一些实例，如气温变化、商品价格变动等，让学生感受常量和变量的存在。
2.新课导入：引导学生从实例中抽象出常量和变量的概念，给出常量和变量的数学定义。
3.实例分析：通过一系列的实例，让学生进一步理解和掌握常量和变量的概念。
4.练习巩固：让学生进行一些相关的练习题，巩固所学知识。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，引导学生理解常量和变量在数学中的重要性。
七. 说板书设计板书设计如下：常量：数值不变的量变量：数值可变的量八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、作业完成情况和课后反馈来进行。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浙教版八年级数学一次函数知识要点：《常量与变量》_知识点总结
八年级数学一次函数知识要点内容：理解一次函数和正比例函数的概念，能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，仔细阅读可以帮助大家更好的了解本单元的重点内容，希望大家及时阅读。
课题一：
《常量与变量》
数学中表征事物量的一对概念。
在事物的特定运动过程中，固定保持不变，则称之为常量;反之，可以去不同数值的量则称之为变量，在生活中有广泛运用。
数学中表征事物量的一对概念。
在事物的特定运动过程中，某量若保持不变，则称之为常量;反之，则称之为变量。
变量分为自变量和因变量，亦称函数。
课题二：
《函数》
函数(function)表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。
这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素。
课题三：
《一次函数》
一次函数和正比例函数的概念
若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量)，特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
课题三：
《一次函数的图像及性质》
当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
当k当b>0时，直线必通过一、二象限;
课题三：
《一次函数的应用》
(1)简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用。
(2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
八年级数学一次函数知识要点及时提供给同学们，知识点对朋友们的学习非常重要，大家一定要认真掌握，希望大家能够使用~同样的，一次函数练习题、初二数学一次函数练习题(附答案)希望大家可以好好运用。