【青蓝教育】慈溪中学自主招生数学试题
慈溪中学提前招生自然试卷(含答案)
自 然说明：I. 本卷考试时间100分钟，满分100分。
II. 本卷分试题（共6页）和答卷（共4页），答案必须做在答题卷上。
III. 本卷可能用到的相对原子质量：（H —1、C —12、O —16、S —32、Cl —35.5、Mg —24、Fe —56、Na —23、Al —27、K —39、Zn —65、Cu —64、Ag —108 Ba —137）试 题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。
每小题只有一个正确选项．．．．．．．．） 1. 某人不慎撞伤，下肢某处鲜红色的血从伤口迅速流出，在送医院前须急救止血，其中正确的做法是A 、用冷湿毛巾放在伤口上，减慢血循环B 、速将伤口的下部扎紧C 、速将伤口的上部扎紧D 、把受伤下肢尽量抬高2. 同种生物个体之间有时会存在很大的差异，如橡树树叶的长度，有的长3厘米，有的则长达8厘米。
形态上存在差异的不同种生物在适应环境变化的能力上，也会存在差异，如仙人掌的叶刺能更好的适应沙漠气候。
下图为某地3种不同植物叶片面积与单位面积个体数量之间的关系图。
如果该地遭遇干旱，根据图判断下列叙述中正确的是A 、植物甲比植物乙更能适应B 、植物乙比植物丙更能适应C 、植物丙比植物甲更能适应D 、植物甲和植物丙具有同样的适应能力3. 在一定温度下，一定量的Ca(OH)2饱和溶液中，加入少量的CaO 并维持温度不变，则下列说法中正确的是A 、溶液中Ca(OH)2质量分数增大B 、溶液中Ca(OH)2质量分数减小C 、溶液中的Ca 2+总数减少D 、溶液中的Ca 2+总数增加叶片面积（cm 2）（第2题）单位面积个体数（株/m 2）4. 有三种有机物C 2H 6O 、C 2H 4和C 6H 12组成的混合物，已知碳元素的质量分数为a%，则混合物中氧元素的质量分数为A 、10%B 、1－67a %C 、100－67a % D 、98（100－67a ）%5. 在用氢气还原氧化铜实验中，根据氢气在本实验中的作用，生成的铜与消耗氢气的质量M 、m 关系图像正确的是6. 下述关系式中既表示物理量的概念的数学定义表达式，又体现该物理量与其它物理量之间的内在联系规律的是A 、P=W/tB 、ρ=m/νC 、p=F/SD 、I=U/R7. 下列有关凸透镜成像的说法中，正确的是A 、人们在电影院看到银幕上的画面，对人眼而言是物而不是像，对放映机镜头而言才是像B 、用黑纸遮住凸透镜的上半部分，则光屏上只能成一半的像C 、物体沿主轴从6倍焦距移到2倍焦距处的过程中，像移动的速度大于物体移动的速度，并且像逐渐变小D 、幻灯机的幻灯片总是倒插在焦点与镜头之间8. 如图所示，甲乙丙三个相同的小钢球从相同高度以相同的速度分别沿所示的方向抛出，若不计空气阻力，则关于小球落地时的速度与落地过程所需的时间的叙述正确的是（第8题）A 、落地速度甲最小，落地也最晚B 、乙的落地速度大小与落地时间都居中C 、落地的速度大小与所需的时间都一样D 、落地速度大小都一样，但丙最早落地9. 如图所示，甲、乙两只完全相同的金属球，甲用细线悬挂在天花板上，乙放在水平面上。
2024-2025学年浙江省慈溪市(区域联考)九年级数学第一学期开学学业质量监测模拟试题【含答案】
2024-2025学年浙江省慈溪市（区域联考）九年级数学第一学期开学学业质量监测模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°，∠BAC 的角平分线AF 与AB 的垂直平分线DF 交于点F ，连接CF ，BF ，则∠BCF 的度数为（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．45°2、（4分）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题．从下列四个条件：①AB ＝BC ；②∠ABC ＝90°；③AC ＝BD ；④AC ⊥BD 中选出两个作为补充条件，使平行四边形ABCD 成为正方形(如图所示)．现有下列四种选法，你认为其中错误的是()A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③3、（4分）如图，已知一组平行线a //b //c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且AB =2，BC =3，DE =l .6，则EF =（）A ．2.4B ．1.8C ．2.6D ．2.84、（4分）下面的两个三角形一定全等的是()A ．腰相等的两个等腰三角形B ．一个角对应相等的两个等腰三角形C ．斜边对应相等的两个直角三角形D ．底边相等的两个等腰直角三角形5、（4分）如图，将△ABC 沿着水平方向向右平移后得到△DEF ，若BC=5，CE=3，则平移的距离为()A ．1B ．2C ．3D ．56、（4分）如图是由三个边长分别为6、9、x 的正方形所组成的图形，若直线AB 将它分成面积相等的两部分，则x 的值是（）A ．1或9B ．3或5C ．4或6D ．3或67、（4分）如图所示的图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．8、（4分）下列二次根式中与）A ．BCD ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，点A ，B 分别是反比例函数y ＝与y ＝的图象上的点，连接AB ，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，连接AC 交y 轴于点E ．若AB ∥x 轴，AE ：EC ＝1：2，则k 的值为_____．10、（4分）已知关于x 的方程()200ax bx c a --=≠的系数满足420a b c --=，且0c a b --=，则该方程的根是______．11、（4分）在平面直角坐标系中，点P （–2，–3）在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12、（4分）若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是㎝1．13、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，AD=5，AB=3，AE 平分∠BAD 交BC边于点E，则EC 的长为________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，直线2y kx =+与直线13y x =相交于点A （3，1），与x 轴交于点B ．（1）求k 的值；（2）不等式123kx x +<的解集是________________．15、（8分）如图，四边形中，，，，是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求四边形的面积.16、（8分）因式分解：am 2﹣6ma +9a ．17、（10分）已知反比例函数k y x =的图像与一次函数1y x =+的图像的一个交点的横坐标是-1．（1）求k 的值，并画出这个反比例函数的图像；（2）根据反比例函数的图像，写出当1x <-时，y 的取值范围．18、（10分）已知点P Q ，分别在菱形ABCD 的边BC CD ，上滑动（点P 不与B C ，重合），且PAQ B ∠=∠．（1）如图1，若⊥AP BC ，求证：AP AQ =；（2）如图2，若AP 与BC 不垂直，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，说明理由；（3）如图3，若460AB B =∠=︒，，请直接写出四边形APCQ 的面积．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，一棵大树在离地面4米高的B 处折断，树顶A 落在离树底端C 的5米远处，则大树折断前的高度是______米（结果保留根号）.20、（4分）如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交点O ，，P 、Q 分别为AO 、AD 的中点，则PQ 的长度为________．21、（4分）已知a b <的正确结果是_______________．22、（4分）将一次函数y=3x ﹣1的图象沿y 轴向_____平移_____个单位后，得到的图象经过原点．23、（4分）如图，a ∥b ，∠1＝110°，∠3＝50°，则∠2的度数是_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）“十年树木,百年树人”,教师的素养关系到国家的未来.我市某区招聘音乐教师采用笔试、专业技能测试、说课三种形式进行选拔,这三项的成绩满分均为100分,并按2∶3∶5的比例纳入总分.最后,按照成绩的排序从高到低依次录取.该区要招聘2名音乐教师,通过笔试、专业技能测试筛选出前6名选手进入说课环节,这6名选手的各项成绩见下表:序号123456笔试成绩/分669086646584专业技能测试成绩/分959293808892说课成绩/分857886889485(1)写出说课成绩的中位数、众数;(2)已知序号为1,2,3,4号选手的成绩分别为84.2分,84.6分,88.1分,80.8分,请你判断这6名选手中序号是多少的选手将被录用?为什么?25、（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜BC ．（1）利用尺规作图，在BC 边上确定点E ，使点E 到边AB ，AD 的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC =8，CD =5，则CE =．26、（12分）如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BC 相交于点N ，连接BM ，DN .求证：四边形BMDN 是菱形；参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B【解析】根据线段垂直平分线的意义得FA=FB，由∠BAC=50°，得出∠ABC=∠ACB=65°，由角平分线的性质推知∠BAF=25°，∠FBE=40°，延长AF交BC于点E，AE⊥BC，根据等腰三角形的“三线合一”的性质得出：∠BFE=50°，∠CFE=50°，即可解出∠BCF的度数．【详解】延长∠BAC的角平分线AF交BC于点E，∵AF与AB的垂直平分线DF交于点F，∴FA=FB，∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°∴∠BAF=25°，∠FBE=40°，∴AE⊥BC，∴∠CFE=∠BFE=50°，∴∠BCF=∠FBE=40°．故选：B．本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质的内容是解答本题的关键．2、D【解析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．【详解】A、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．C、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意.故选D．此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．3、A【解析】根据平行线分线段成比例定理得到AB DEBC EF=，然后利用比例性质可求出EF的长．【详解】解：∵a∥b∥c，∴AB DE BC EF=，即2 1.6 3EF =，∴EF=2.1．故选：A．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．4、D【解析】解：A．错误，腰相等的两个等腰三角形，没有明确顶角和底角的度数，所以不一定全等．B．错误，一个角对应相等的两个等腰三角形，没有明确边的长度是否相等，所以不一定全等．C．错误，斜边对应相等的两个直角三角形，没有明确直角三角形的直角边大小，所以不一定全等．D．正确，底边相等的两个等腰直角三角形，明确了各个角的度数，以及一个边，符合ASA 或AAS，所以，满足此条件的三角形一定全等．故选D．点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5、B【解析】根据平移的性质即可求解.【详解】∵△ABC沿着水平方向向右平移后得到△DEF,BC=5,CE=3，∴BE=2，即平移的距离为2.故选B.此题主要考查平移的性质，解题的关键是熟知平移的性质.6、D【解析】以AB为对角线将图形补成长方形，由已知可得缺失的两部分面积相同，即3×6=x×(9-x)，解得x=3或x=6，故选D.【点睛】本题考查了正方形的性质，图形的面积的计算，准确地区分和识别图形是解题的关键．7、D【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；C 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；D 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D ．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8、B 【解析】先将各选项化简,再根据同类二次根式的定义解答.【详解】A ,与,故不是同类二次根式,选项错误;B 、,与,故是同类二次根式,选项正确;C 、与,故不是同类二次根式,选项错误;D 3是整数,不是二次根式,故选项错误.所以B 选项是正确的.本题主要考查同类二次根式的定义，正确对根式进行化简,以及正确理解同类二次根式的定义是解决问题的关键.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1．【解析】设A （m ，），则B （﹣mk ，），设AB 交y 轴于M ，利用平行线的性质，得到AM 和MB 的比值，即可求解.【详解】∵EM∥BC，∴AM：MB＝AE：EC＝1：1，∴﹣m：（﹣mk）＝1：1，∴k＝1，故答案为1．本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义，解题关键是利用平行线的性质进行解题.和1．10、1【解析】把x=1，和x=-1代入方程正好得出等式4a-1b-c=0和c-a-b=0，即可得出方程的解是x=1，x=-1，即可得出答案．【详解】∵ax1-bx-c=0（a≠0），把x=1代入得：4a-1b-c=0，即方程的一个解是x=1，把x=-1代入得：c-a-b=0，即方程的一个解是x=-1，故答案为：-1和1．本题考查了一元二次方程的解的应用，主要是考查学生的理解能力．11、C【解析】应先判断出点P的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限．【详解】解：∵点P的横坐标-2＜0，纵坐标为-3＜0，∴点P（-2，-3）在第三象限．故选：C．本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．12、14【解析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，根据S=12ab=12×6×8=14cm1，故答案为14．13、1【解析】先根据角平分线及平行四边形的性质得出∠BAE=∠AEB，再由等角对等边得出BE=AB，从而求出EC的长．【详解】解：∵AE平分∠BAD交BC边于点E，∴∠BAE=∠EAD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=5，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴EC=BC-BE=5-3=1，故答案为：1．本题考查了角平分线、平行四边形的性质及等边对等角，根据已知得出∠BAE=∠AEB是解决问题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、(1)13k =-;(2)x ＞3.【解析】（1）根据直线y=kx+2与直线13y x =相交于点A （3，1），与x 轴交于点B 可以求得k 的值和点B 的坐标；（2）根据函数图象可以直接写出不等式kx+2＜13x 的解集．【详解】（1）321k +=，解得：13k =-（2）11233x x -+<，解得：x ＞3本题考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．15、（1）见解析；（2）四边形的面积.【解析】（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC ∥AD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE ，然后利用“角角边”证明△BEC 和△FCD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF ，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；（2）利用勾股定理列式求出AB ，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得．【详解】解：（1）证明：∵，∴，∴，又∵是边的中点，∴，在与中，，∴，∴∴四边形是平行四边形；（2）∵，∴，∴四边形的面积．本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．16、a （m ﹣3）1．【解析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可解答【详解】原式＝a （m 1﹣6m +9）＝a （m ﹣3）1．此题考查提公因式法和公式法的综合运用，解题关键在于熟练掌握运算法则17、（1）6k =，图像见解析，（2）60y -<<．【解析】（1）根据题意，先将3x =-代入一次函数，求得y ，即可求得交点坐标，再将交点坐标代入反比例函数解析式，即可求得k ，根据描点法即可画出图像；（2）将=1x -，代入反比例函数解析式，即可求得y 值，当1x <-时，观察图像即可求得y 的取值范围．【详解】解：（1）根据题意，将3x =-代入1y x =+，解得2y =-，∴交点坐标为（-1，-2），再代入反比例函数k y x =中，解得6k =，∴反比例函数解析式为6y x =，列出几组x 、y 的对应值：描点连线，即可画出函数图像，如图：（2）当=1x -时，6y =-，根据图像可知，当1x <-时，60y -<<．故当1x <-时，y 的取值范围是60y -<<．本题考查一次函数与反比例函数的综合，难度不大，是中考的常考知识点，理解交点的含义并正确画出函数图形是顺利解题的关键．18、（1）证明见解析；（2）（1）中的结论还成立，证明见解析；（3）四边形APCQ 的面积为【解析】（1）根据菱形的性质及已知，得到90AQC ∠=︒，再证()APB AQD AAS ≌，根据三角形全等的性质即可得到结论；（2）作AE BC AP CD ⊥⊥，，垂足分别为点E F ，，证明()AEP AFQ ASA ≌，根据三角形全等的性质即可得到结论；（3）根据菱形的面积公式，结合（2）的结论解答.【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴180B C ∠+∠=︒，B D AB AD ∠=∠=，．∵PAQ B ∠=∠，∴180PAQ C ∠+∠=︒，∴180APC AQC ∠+∠=︒．∵⊥AP BC ，∴90APC ∠=︒，∴90AQC ∠=︒．在APB △和AQD 中，90APB AQD B D AB AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()APB AQD AAS ≌，∴AP AQ =．（2）若AP 与BC 不垂直，（1）中的结论还成立证明如下：如图，作AE BC AP CD ⊥⊥，，垂足分别为点E F ，．由（1）可得PAQ EAF B AE AF ∠=∠=∠=，，∴EAP FAQ ∠=∠，在AEP △和AFQ △中，90AEP AFQ AE AF EAP FAQ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AEP AFQ ASA ≌，∴AP AQ =．（3）如图，连接AC BD ，交于点O ．∵60ABC BA BC ∠=︒=，，∴ABC 为等边三角形，∵AE BC ⊥，∴BE EC =，同理，CF FD =，∴四边形AECF 的面积12=⨯四边形ABCD 的面积，由（2）得四边形APCQ 的面积=四边形AECF 的面积∵460AB B =∠=︒，，∴122OA AB ==，OB ==∴四边形ABCD 的面积为142⨯⨯=∴四边形APCQ 的面积为本题主要考查全等三角形的性质和判定，菱形的性质的应用.主要考查学生的推理能力，证明三角形全等是解题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4+）【解析】设出大树原来高度，用勾股定理建立方程求解即可．【详解】设这棵大树在折断之前的高度为x 米，根据题意得：42+52=（x ﹣4）2，∴x =4或x =40（舍），∴这棵大树在折断之前的高度为（4）米．故答案为：（4）．本题是勾股定理的应用，解答本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．此题也可以直接用算术法求解．20、1【解析】根据矩形的性质可得AC=BD=8，BO=DO=BD=4，再根据三角形中位线定理可得PQ=DO=1．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD=8，BO=DO=BD ，∴OD=BD=4，∵点P 、Q 是AO ，AD 的中点，∴PQ 是△AOD 的中位线，∴PQ=DO=1．故答案为：1．主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．21、-【解析】由题意：-a 3b≥0，即ab≤0，∵a＜b，∴a≤0＜b；22、上1【解析】根据“上加下减”的平移规律解答即可．【详解】解：将一次函数y=3x-1的图象沿y 轴向上平移1个单位后，得到的图象对应的函数关系式为y=3x-1+1，即y=3x ，该函数图象经过原点．故答案为上，1．此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意直线平移时k 的值不变，只有b 发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．23、60【解析】根据平行线的性质：两直线平行内错角相等，可得∠BOD=50°，再根据对顶角相等可求出∠2.【详解】解：如图所示：∵直线a ∥b ，∠3=50°，∴∠BOD=50°，又∵∠1=∠BOD+∠2，∠2=∠1-∠BOD=110°-50°=60°.故本题答案为：60.平行线的性质及对顶角相等是本题的考点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）中位数是1.5分;众数是1分；（2）序号是3,6号的选手将被录用，见解析.【解析】（1）利用中位数、众数的定义求解；（2）先求出序号为5号的选手成绩和序号为6号的选手成绩，再与序号为1、2、3、4号选手的成绩进行比较，即可得出答案．【详解】将说课的成绩按从小到大的顺序排列：78、1、1、86、88、94，∴中位数是（1+86）÷2=1.5，1出现的次数最多，∴众数是1．（2）这六位选手中序号是3、6的选手将被录用．原因如下：序号为5号的选手成绩为：65288394586.4235⨯+⨯+⨯=++（分）；序号为6号的选手成绩为：84292385586.9235⨯+⨯+⨯=++（分）．因为88.1＞86.9＞86.4＞84.6＞84.2＞80.8，所以序号为3、6号的选手将被录用．此题考查了中位数、众数与加权平均数，用到的知识点是极差公式与加权平均数公式，熟记各个公式是解题的关键．25、（1）见解析；（2）1．【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A 的平分线即可；根据平行四边形的性质可知AB=CD=5，AD ∥BC ，再根据角平分线的性质和平行线的性质得到∠BAE=∠BEA ，再根据等腰三角形的性质和线段的和差关系即可求解．【详解】（1）如图所示：E 点即为所求．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=5，AD ∥BC ，∴∠DAE=∠AEB ，∵AE 是∠A 的平分线，∴∠DAE=∠BAE ，∴∠BAE=∠BEA ，∴BE=BA=5，∴CE=BC ﹣BE=1．考点：作图—复杂作图；平行四边形的性质26、见解析【解析】根据MN 是BD 的垂直平分线可得OB=OD ，根据两直线平行，内错角相等可得∠OBN=∠ODM ，然后利用“角边角”证明△BON 和△DOM 全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=MD ，从而求出四边形BMDN 是平行四边形，再根据线段垂直平分线上的点到第21页，共21页两端点的距离相等可得MB=MD ，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【详解】∵MN 是BD 的垂直平分线，∴OB=OD ，∠BON=∠DOM ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠OBN=∠ODM 在△BON 和△DOM 中，90OBN ODM OB OD BON DOM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝，∴△BON ≌△DOM （ASA ），∴BN=MD ，∴四边形BMDN 是平行四边形，∵MN 是BD 的垂直平分线，∴MB=MD ，∴平行四边形BMDN 是菱形．本题考查了菱形的判定，主要利用了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．。
2024届浙江省慈溪市中考二模数学试题含解析
2024学年浙江省慈溪市中考二模数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．已知x+1x =3，则x 2+21x =（ ） A ．7 B ．9 C ．11 D ．82．设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣5＝0的两根，则x 12+x 22的值为（ ）A ．6B ．8C ．14D ．16 3．若分式方程1x a a x -=+无解，则a 的值为（ ） A ．0 B ．-1 C ．0或-1 D ．1或-14．四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是（ ）A ．﹣1B ．2C ．0D ．﹣35．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．6．一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形7．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC 的大小为（ ）A ．140°B ．160°C ．170°D ．150°8．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，若∠C ＝65°，则∠P 的度数为( )A ．65°B ．130°C ．50°D ．100°9．下面运算正确的是（ ）A ．111()22-=-B ．（2a ）2=2a 2C ．x 2+x 2=x 4D ．|a|=|﹣a|10．如图，由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分（阴影）的面积是4m 2，广告牌所占的面积是 30m 2（厚度忽略不计），除重叠部分外，矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m 2，设矩形面积是xm 2，三角形面积是ym 2，则根据题意，可列出二元一次方程组为（ ）A ．430(4)(4)2x y x y +-=⎧⎨---=⎩B ．26(4)(4)2x y x y +=⎧⎨---=⎩C ．430(4)(4)2x y y x +-=⎧⎨---=⎩D ．4302x y x y -+=⎧⎨-=⎩二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．分解因式：x 2y ﹣y ＝_____．12．一个正多边形的每个内角等于150，则它的边数是____．13．一艘货轮以18km/h 的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A 处时，发现它的东南方向有一灯塔B ，货轮继续向东航行30分钟后到达C 处，发现灯塔B 在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B 的距离是________km.14．如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合连接CD，则∠BDC的度数为_____度．15．如图，在边长为6的菱形ABCD中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，在菱形内作四条圆弧，则图中阴影部分的周长是___.(结果保留π)16．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是．17．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用_____秒钟．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富．某班模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全班同学成绩进行统计后分为“A优秀”、“B一般”、“C较差”、“D良好”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，回答下列问题：（1）本班有多少同学优秀？（2）通过计算补全条形统计图．（3）学校预全面推广这个比赛提升学生的文化素养，估计该校3000人有多少人成绩良好？19．（5分）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．20．（8分）如图所示，直线y=12x+2与双曲线y=kx相交于点A(2，n)，与x轴交于点C．求双曲线解析式；点P在x轴上，如果△ACP的面积为5，求点P的坐标.21．（10分）阅读（1）阅读理解：如图①，在△ABC 中，若AB=10，AC=6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE=AD ，再连接BE （或将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD ），把AB ，AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断．中线AD 的取值范围是________；（2）问题解决：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF 于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE+CF ＞EF ；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，CB=CD ，∠BCD=140°，以C 为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB ，AD 于E ，F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并加以证明．22．（10分） “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A 、B 、C 、D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？（2）将两幅不完整的图补充完整；（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D 粽的人数；（4）若有外型完全相同的A 、B 、C 、D 粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C 粽的概率．23．（12分）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．24．（14分）如图，ABC △中AB AC =，AD BC ⊥于D ，点E F 、分别是AB CD 、的中点.(1)求证：四边形AEDF 是菱形(2)如果10AB AC BC ===，求四边形AEDF 的面积S参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解题分析】根据完全平方公式即可求出答案．【题目详解】∵（x+1x ）2=x 2+2+21x∴9=2+x 2+21x， ∴x 2+21x =7， 故选A ．【题目点拨】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式.2、C【解题分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，x 1•x 2=-5，再变形x 12+x 22得到（x 1+x 2）2-2x 1•x 2，然后利用代入计算即可．【题目详解】∵一元二次方程x 2-2x-5=0的两根是x 1、x 2，∴x 1+x 2=2，x 1•x 2=-5，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=22-2×（-5）=1．故选C．【题目点拨】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1•x2=ca．3、D【解题分析】试题分析：在方程两边同乘(x＋1)得：x－a＝a(x＋1)，整理得：x(1－a)＝2a，当1－a＝0时，即a＝1，整式方程无解，当x＋1＝0，即x＝－1时，分式方程无解，把x＝－1代入x(1－a)＝2a得：－(1－a)＝2a，解得：a＝－1，故选D．点睛：本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分式方程无解的条件．4、D【解题分析】解：∵－1＜－1＜0＜2，∴最小的是－1．故选D．5、B【解题分析】试题分析：结合三个视图发现，应该是由一个正方体在一个角上挖去一个小正方体，且小正方体的位置应该在右上角，故选B．考点：由三视图判断几何体．6、C【解题分析】由题意得，180°(n-2)=120°n ,解得n=6.故选C.7、B【解题分析】试题分析：根据∠AOD=20°可得：∠AOC=70°，根据题意可得：∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+70°=160°.考点：角度的计算8、C试题分析：∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故选C ．考点：切线的性质．9、D【解题分析】分别利用整数指数幂的性质以及合并同类项以及积的乘方运算、 绝对值的性质分别化简求出答案.【题目详解】解:A,-11=22（）,故此选项错误; B,222a 4a =（）,故此选项错误; C ，2222x x x +=,故此选项错误;D ，a a =-，故此选项正确.所以D 选项是正确的.【题目点拨】灵活运用整数指数幂的性质以及合并同类项以及积的乘方运算、 绝对值的性质可以求出答案．10、A【解题分析】根据题意找到等量关系：①矩形面积+三角形面积﹣阴影面积＝30；②（矩形面积﹣阴影面积）﹣（三角形面积﹣阴影面积）＝4，据此列出方程组．【题目详解】依题意得：()()430442x y x y +-=⎧⎨---=⎩． 故选A ．【题目点拨】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、y （x +1）（x ﹣1）观察原式x2y﹣y，找到公因式y后，提出公因式后发现x2-1符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得.【题目详解】解：x2y﹣y＝y（x2﹣1）＝y（x+1）（x﹣1）．故答案为：y（x+1）（x﹣1）．【题目点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12、十二【解题分析】首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和360°除以外角度数即可．【题目详解】∵一个正多边形的每个内角为150°，∴它的外角为30°，360°÷30°＝12，故答案为十二．【题目点拨】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角．13、1【解题分析】作CE⊥AB于E，根据题意求出AC的长，根据正弦的定义求出CE，根据三角形的外角的性质求出∠B的度数，根据正弦的定义计算即可．【题目详解】作CE⊥AB于E，1km/h×30分钟=9km ， ∴AC=9km ， ∵∠CAB=45°，∴CE=AC•sin45°=9km ，∵灯塔B 在它的南偏东15°方向，∴∠NCB=75°，∠CAB=45°，∴∠B=30°，∴BC==＝1km ，故答案为：1．【题目点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 14、1【解题分析】根据△EBD 由△ABC 旋转而成，得到△ABC ≌△EBD ，则BC ＝BD ，∠EBD ＝∠ABC ＝30°，则有∠BDC ＝∠BCD ，∠DBC ＝180﹣30°＝10°，化简计算即可得出15BDC ∠=︒.【题目详解】解：∵△EBD 由△ABC 旋转而成，∴△ABC ≌△EBD ，∴BC ＝BD ，∠EBD ＝∠ABC ＝30°，∴∠BDC ＝∠BCD ，∠DBC ＝180﹣30°＝10°， ∴()1180150152BDC BCD ∠=∠=︒-︒=︒； 故答案为：1．【题目点拨】此题考查旋转的性质，即图形旋转后与原图形全等．15、6π【解题分析】直接利用已知得出所有的弧的半径为3，所有圆心角的和为：菱形的内角和，即可得出答案．【题目详解】由题意可得：所有的弧的半径为3，所有圆心角的和为：菱形的内角和，故图中阴影部分的周长是：3603180π⨯=6π．故答案为6π．【题目点拨】本题考查了弧长的计算以及菱形的性质，正确得出圆心角是解题的关键．16、10【解题分析】由正方形性质的得出B 、D 关于AC 对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE ，交AC 于P ，连接BP ，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．【题目详解】如图，连接DE ，交AC 于P ，连接BP ，则此时PB +PE 的值最小.∵四边形ABCD 是正方形，∴B 、D 关于AC 对称，∴PB =PD ，∴PB +PE =PD +PE =DE .∵BE =2，AE =3BE ，∴AE =6，AB =8，∴DE 2268+=10，故PB +PE 的最小值是10.故答案为10.17、2.5秒．【解题分析】把此正方体的点A 所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A 和B 点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于5，另一条直角边长等于2，利用勾股定理可求得．【题目详解】解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB ()2223229++=；（2）展开底面右面由勾股定理得AB ()22322++＝5cm ；所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2＝2.5秒．【题目点拨】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）本班有4名同学优秀；（2）补图见解析；（3）1500人.【解题分析】（1）根据统计图即可得出结论；（2）先计算出优秀的学生，再补齐统计图即可；（3）根据图2的数值计算即可得出结论.【题目详解】（1）本班有学生：20÷50%=40（名），本班优秀的学生有：40﹣40×30%﹣20﹣4=4（名），答：本班有4名同学优秀；（2）成绩一般的学生有：40×30%=12（名），成绩优秀的有4名同学，补全的条形统计图，如图所示；（3）3000×50%=1500（名），答：该校3000人有1500人成绩良好．【题目点拨】本题考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是熟练的掌握条形统计图与扇形统计图的知识点.19、（1）y=﹣x 2+2x+4；M （1,5）；（2）2＜m ＜4；（3）P 1（311,31），P 2（313,31 ），P 3（3，1），P 4（﹣3，7）． 【解题分析】试题分析：（1）将点A 、点C 的坐标代入函数解析式，即可求出b 、c 的值，通过配方法得到点M 的坐标；（2）点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；（3）由题意分析可得∠MCP=90°，则若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．试题解析：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=﹣x2+bx+c得，解得∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4，配方得y=﹣（x﹣1）2+5，∴点M的坐标为（1，5）；（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得，解得：∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1）∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；（3）连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5）∵MG=1，GC=5﹣4=1∴MC==，把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，则点N坐标为（﹣1，5），∵NG=GC，GM=GC，∴∠NCG=∠GCM=45°，∴∠NCM=90°，由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有△PCM∽△BDC，则有∵BD=1，CD=3，∴CP===，∵CD=DA=3，∴∠DCA=45°，若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，∵∠PCH=45°，CP=∴PH==把x=代入y=﹣x+4，解得y=，∴P1（）；同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=﹣代入y=﹣x+4，解得y=∴P2（）；②若有△PCM∽△CDB，则有∴CP==3∴PH=3÷=3，若点P在y轴右侧，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；若点P在y轴左侧，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7∴P3（3，1）；P4（﹣3，7）．∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（），P2（），P3（3，1），P4（﹣3，7）．考点：二次函数综合题20、（1）6yx=；（2）（23-，0）或22,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解题分析】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得n的值，则可求得A点坐标，再把A点坐标代入双曲线解析式可求得k的值，可求得双曲线解析式；（2）设P（x，0），则可表示出PC的长，进一步表示出△ACP的面积，可得到关于x的方程，解方程可求得P点的坐标．【题目详解】解：（1）把A（2，n）代入直线解析式得：n=3，∴A（2，3），把A坐标代入y=kx，得k=6，则双曲线解析式为y=6x．（2）对于直线y=12x+2，令y=0，得到x=-4，即C（-4，0）．设P（x，0），可得PC=|x+4|．∵△ACP面积为5，∴12|x+4|•3=5，即|x+4|=2，解得：x=-23或x=-223，则P坐标为23⎛⎫- ⎪⎝⎭，或223⎛⎫-⎪⎝⎭，．21、（1）2＜AD＜8；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF；理由见解析. 【解题分析】试题分析：（1）延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；（3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∠NBC=∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，证出∠ECN=70°=∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出结论．试题解析：（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图①所示：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△BDE和△CDA中，BD=CD，∠BDE=∠CDA，DE=AD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案为2＜AD＜8；（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示：同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM=CF，∵DE⊥DF，DM=DF，∴EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF=EF；理由如下：延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，∴∠NBC=∠D，在△NBC和△FDC中，BN=DF，∠NBC =∠D，BC=DC，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，∴∠BCE+∠FCD=70°，∴∠ECN=70°=∠ECF，在△NCE和△FCE中，CN=CF，∠ECN=∠ECF，CE=CE，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN=EF，∵BE+BN=EN，∴BE+DF=EF．考点：全等三角形的判定和性质；三角形的三边关系定理.22、（1）600（2）见解析（3）3200（4）【解题分析】（1）60÷10%=600（人）．答：本次参加抽样调查的居民有600人．（2分）（2）如图；…（5分）（3）8000×40%=3200（人）．答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人．…（7分）（4）如图；（列表方法略，参照给分）．…（8分）P（C粽）==．答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是．…（10分）23、两人之中至少有一人直行的概率为59．【解题分析】【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出“至少有一人直行”的结果数，然后根据概率公式求解．【题目详解】画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两人之中至少有一人直行的结果数为5，所以两人之中至少有一人直行的概率为59．【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．概率=所求情况数与总情况数之比．24、(1)证明见解析；(2)3 2.【解题分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE=12AB=AE，DF=12AC=AF，再根据AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE=AF=DE=DF，进而判定四边形AEDF是菱形；（2）根据等边三角形的性质得出EF=5，3，进而得到菱形AEDF的面积S．【题目详解】解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE=12AB=AE，Rt△ACD中，DF=12AC=AF，又∵AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）如图，∵AB=AC=BC=10，∴EF=5，3∴菱形AEDF的面积S=12EF•AD＝12×5×3253【题目点拨】本题考查菱形的判定与性质的运用，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形；菱形的面积等于对角线长乘积的一半．。
2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷及答案解析
（2）已知二次函数y＝x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的闭函数，求k和t的值；
（3）在（2）的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x＝t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为．
11．（15分）如图1，P为第象限内一点，过P、O两点的⊙M交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，∠OPA＝45°．
A．23B．24C．25D．26
【解答】解：由图知“亮”记为数字1，“不亮”记为数字0，
则1＝1×20，2＝1×21+0×20，3＝1×21+1×21，4＝1×22+0×21+0×20，5＝1×22+0×21+1×20，
∵●〇〇●●〇用数字表示为“011001”，
∴●〇〇●●〇表示的数为0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20＝25，
6．（5分）关于x的不等式组 有且只有四个整数解，则a的取值范围是．
7．（5分）如图，矩形ABCD中分割出①②③三个等腰直角三角形，若已知EF的值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是．
8．（5分）如图，△ABC中，MN∥BC交AB、AC于M、N，MN与△ABC内切圆相切，若△ABC周长为12，设BC＝x，MN＝y，则y与x的函数解析式为（不要求写自变量x的取值范围）．
D．不能确定x1、x2、x3的大小
【解答】解：∵a1＞a2＞a3＞0，
∴二次函数y1＝a1（x+1）（x﹣2），y2＝a2（x+1）（x﹣2），y3＝a3（x+1）（x﹣2）开口大小为：y1＜y2＜y3．
2024届浙江省慈溪市新城中学中考冲刺卷数学试题含解析2
2024学年浙江省慈溪市新城中学中考冲刺卷数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果向这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h 与时间t 之间的关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图所示图形中，不是正方体的展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若方程x 2﹣3x ﹣4=0的两根分别为x 1和x 2，则11x +21x 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．﹣34 D ．﹣434．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为（2a ，b+1），则a 与b 的数量关系为（ ）A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=15．全球芯片制造已经进入10纳米到7纳米器件的量产时代．中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）A．0.7×10﹣8B．7×10﹣8C．7×10﹣9D．7×10﹣106．如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB＝CF，∠A＝∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．DF∥AC C．∠E＝∠ABC D．AB∥DE7．在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8．已知a=12（7+1）2，估计a的值在（）A．3 和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间9．一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里10．下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（）A．x﹣1=0 B．x2+3x﹣5=0 C．x3+x=3 D．ax2+bx+c=0二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．在平面直角坐标系xOy中，点A、B为反比例函数4yx=(x＞0)的图象上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将4yx=(x＞0)的图象绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为A′，B点的对应点为B′．此时点B′的坐标是_____．12．如图，AB∥CD，BE交CD于点D，CE⊥BE于点E，若∠B=34°，则∠C的大小为________度．13．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有实数根，则k的取值范围是_____．14．若关于x的不等式组3122x ax x->⎧⎨->-⎩无解，则a的取值范围是________.15．如果a+b=2，那么代数式（a﹣2ba）÷a ba-的值是______．16．已知△ABC中，BC=4，AB=2AC，则△ABC面积的最大值为_______．17．如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD 沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）.则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为_______．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q两点即为同族点．(1)已知点A的坐标为(﹣3，1)，①在点R(0，4)，S(2，2)，T(2，﹣3)中，为点A的同族点的是；②若点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为；(2)直线l：y=x﹣3，与x轴交于点C，与y轴交于点D，①M为线段CD上一点，若在直线x=n上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n的取值范围；②M为直线l上的一个动点，若以(m，0)为圆心，2为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出m的取值范围．19．（5分）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．20．（8分）如图，在Rt中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE．（1）求；（直接写出结果）（2）当AB=3，AC=5时，求的周长．21．（10分）“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次共调查名学生；扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是；（2）补全条形统计图；（3）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有多少名？（4）通过此次调查，数学课外实践小组的学生对交通法规有了更多的认识，学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率．22．（10分）计算：﹣（﹣2）0+|1﹣|+2cos30°．23．（12分）已知：如图，在半径是4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M是OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连接DE，DE=15．（1）求证：△AMC∽△EMB；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值．24．（14分）如图，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D是AB的中点，中柱CD＝1米，∠A＝27°，求跨度AB的长(精确到0.01米).参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【解题分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系变为先快后慢．【题目详解】根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢。
2020年浙江省宁波市普通高中自主招生数学模拟试卷及答案解析
2020年浙江省宁波市普通高中自主招生数学模拟试卷一．选择题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．（5分）希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A ．289B ．1024C ．1225D ．13782．（5分）在一只不透明的口袋中放人只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n 个，搅匀后随机从中摸取1个恰好是白球的概率为13，则放入的黄球总数为（ ） A ．5个 B ．6个 C ．8个 D ．10个3．（5分）下列命题正确是（ ）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．有两条边对应相等的两个直角三角形全等C ．16的平方根是4D ．对角线相等的平行四边形是矩形4．（5分）已知m ＞0，关于x 的一元二次方程（x +1）（x ﹣2）﹣m ＝0的解为x 1，x 2（x 1＜x 2），则下列结论正确的是（ ）A ．x 1＜﹣1＜2＜x 2B ．﹣1＜x 1＜2＜x 2C ．﹣1＜x 1＜x 2＜2D ．x 1＜﹣1＜x 2＜2 5．（5分）如图，点A 是函数y =−2x （x ＜0）在第二象限内图上一点，点B 是函数y =4x （x＞0）在第一象限内图象上一点，直线AB 与y 轴交于点，且AC ＝BC ，连结OA ，OB ，则△AOB 的面积是（ ）A．2B．3C．4D．5二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）6．（5分）关于x的不等式组{4a+3x＞03a−4x≥0恰好只有三个整数解，则a的取值范围是7．（5分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D，E，F分别在边BC，AC，AB 上，四边形DCEF为矩形，P，Q分别为DE，AB的中点，若BD＝1，DC＝2，则PQ＝．8．（5分）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E．F．且AB＝5，AC＝12，BC＝13，则⊙O的半径是．9．（5分）如图，⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP＝2cm，则tan∠P的值是．三．解答题（共2小题，满分30分，每小题15分）10．（15分）若一次函数y＝mx+n与反比例函数y=kx同时经过点P（x，y）则称二次函数y＝mx2+nx﹣k为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点．（1）判断y＝2x﹣1与y=3x是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果。
2006年慈溪中学保送生招生考试数学试题及答案
2006年慈溪中学保送生招生考试试题数 学说明：I. 本卷考试时间90分钟，满分100分。
II. 本卷分为试题（共2页）和答卷（共4页），答案必须做在答题卷上。
试 题一、 填空题（每题5分，共25分） 1．实数x 1，x 2满足x 1- x 2=3，则x 1，x 2的方差等于 ▲ 。
2． CD 为Rt △ABC 斜边上的高线，AC 、BC 为x 2-5x+2=0的两根，则AD ·BD 的值等于 ▲ 。
3．如图，△ABC 中，AB=AC=8，D 、E 、F 为BC 、AB 、AC 上的点，DE=DB ，DF=DC ，BE+CF=4，则BC= ▲ 。
4．如图，Rt △ABC 纸片中，∠C=90°，BC=1，AB=2，沿AD 对折，使点C 落在AB 边上，则tan α= ▲ 。
5．如图，在直角坐标系中，点P （3，3），两坐标轴的正半轴上有M 、N 两点，且∠MPN=45°，则△MON 的周长等于 ▲ 。
二、 选择题（每题5分，共25分）6．若关于x 的不等式组 有解，则函数y=（a-3）x 2-x-41图象与x 轴的交点个数为（▲）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）1或27．设a 、b 、c 、d 、e 的值均为0、1、2中之一，且a+b+c+d+e=6，a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=10，则a 3+b 3+c 3+d 3+e 3的值为 （▲）（A ）14 （B ）16（C ）18 （D ）20 8．正五边形对角线长为2，则边长a 为（▲）（A ）5-1 （B ）5+1 （C ）3-5 （D ）25-39．如图，圆O 的圆心在梯形ABCD 的底边AB 上，并与其它三边均相切，若AB=10，AD=6，则CB 长（▲）（A ）4 （B ）5（C ）6 （D ）无法确定 10．平面直角坐标系中，已知点P 0（1，0），将点P 0绕原点O 按逆时针方向旋转30°得到P 1，延长OP 1到P 2，使OP 2=2OP 1；再将P 2绕点O 按逆时针方向旋转30°得P 3，然后延长OP 3到P 4，使OP 4=2OP 3；……；如此下去，则点P 2004的坐标为（▲）（A ）（-22004，0） （B ）（-21002，0） （C ）（0，21002） （D ）（21002，0）x ≥a+2x ＜3a-2 C （第3题）BDαC Ax（第5题）(第9题)三、 解答题（共50分） 11．（12分）设x 1、x 2是方程x 2-6x+a=0的两个根，以x 1、x 2为两边长的等腰三角形只可以画出一个，试求a 的取值范围。
最新浙江省宁波市慈溪中学2019-2020年最新自主招生数学试卷(含答案)(已纠错)
2019届浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分）1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（）A．B．D．2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A．2πB．4πC．2D．43．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（）A．4 B．5 C．6 D．84．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（）A．15 B．20 C．25 D．305．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（）A．B．2C．3D．6二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分）6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是．7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为．8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且=m，=n，则+=．9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个．10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=．11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是．三、简答题（共4小题，满分50分）12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分．请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由：班级内环中环外环（1）班（2）班（3）班13．（12分）设二次函数y=ax2+bx+c的开口向下，顶点落在第二象限．（1）确定a，b，b2﹣4ac的符号，简述理由．（2）若此二次函数图象经过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为3，求抛物线的解析式．14．（12分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE．求证：（1）AB=AF；（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．15．（14分）在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）．（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆的半径．2019届浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分）1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（）A．B．D．【分析】先把算式的值求出，然后根据函数的性质分别求出四个图中的阴影部分面积，看是否与算式的值相同，如相同，则是要选的选项．【解答】解：原式=++==．A、作TE⊥X轴，TG⊥Y轴，易得，△GTF≌△ETD，故阴影部分面积为1×1=1；B、当x=1时，y=3，阴影部分面积1×3×=；C、当y=0时，x=±1，当x=0时，y=﹣1．阴影部分面积为[1﹣（﹣1）]×1×=1；D、阴影部分面积为xy=×2=1．故选B．【点评】解答A时运用了全等三角形的性质，B、C、D都运用了函数图象和坐标的关系，转化为三角形的面积公式来解答．2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A．2πB．4πC．2D．4【分析】连接O′C，O′B，O′D，OO′，则O′D⊥BC．因为O′D=O′B，O′C平分∠ACB，可得∠O′CB=∠ACB=×60°=30°，由勾股定理得BC=2．【解答】解：当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D，连接O′C，O′B，O′D，OO′，∵O′D⊥AC，∴O′D=O′B．∵O′C平分∠ACB，∴∠O′CB=∠ACB=×60°=30°．∵O′C=2O′B=2×2=4，∴BC===2．故选：C．【点评】此题主要考查切线及角平分线的性质，勾股定理等知识点，属中等难度题．3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】先把12分成2个因数的积的形式，共有6总情况，所以对应的p值也有6种情况．【解答】解：设12可分成m•n，则p=m+n（m，n同号），∵m=±1，±2，±3，n=±12，±6，±4，∴p=±13，±8，±7，共6个值．故选C．【点评】主要考查了分解因式的定义，要熟知二次三项式的一般形式与分解因式之间的关系：x2+（m+n）x+mn=（x+m）（x+n），即常数项与一次项系数之间的等量关系．4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（）A．15 B．20 C．25 D．30【分析】设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，然后根据题目数量和三人解答的题目数量列出方程组，然后根据系数的特点整理即可得解．【解答】解：设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，由题意得，，①×2﹣②得，z﹣x=20，所以，难题比容易题多20道．故选B．【点评】此类题注意运用方程的知识进行求解，观察系数的特点巧妙求解更简便．5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（）A．B．2C．3D．6【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正切值与三角形边的关系，结合勾股定理求解．【解答】解：过点B作BE⊥AC交AC于点E．如下图设BE=x，∵∠BDA=45°，∠C=30°，∴DE=x，BC=2x，∵tan∠C=，∴=tan30°，∴3x=（3+x），解得x=，在Rt△ABE中，AE=DE﹣AD=﹣3=，由勾股定理得：AB2=BE2+AE2，AB==3．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分）6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是﹣2≤x≤3．【分析】分别讨论①x≥3，②﹣2＜x＜3，③x≤﹣2，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围．【解答】解：从三种情况考虑：第一种：当x≥3时，原方程就可化简为：x+2+x﹣3=5，解得：x=3；第二种：当﹣2＜x＜3时，原方程就可化简为：x+2﹣x+3=5，恒成立；第三种：当x≤﹣2时，原方程就可化简为：﹣x﹣2+3﹣x=5，解得：x=﹣2；所以x的取值范围是：﹣2≤x≤3．【点评】解一元一次方程，注意最后的解可以联合起来，难度很大．7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为﹣．【分析】解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围而求得m 的最小值．【解答】解：由题意可得，解得a=﹣3，b=7﹣，c=，由于a，b，c是三个非负实数，∴a≥0，b≥0，c≥0，∴﹣≥m≥﹣．所以m最小值=﹣．故本题答案为：﹣．【点评】本题考查了三元一次方程组和一元一次不等式的解法．8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且=m，=n，则+=1．【分析】根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．可以分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到两个等式，代入所求代数式整理即可得到答案．【解答】解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则BE∥AD∥CF，∵点D是BC的中点，∴MD是梯形的中位线，∴BE+CF=2MD，∴+==+===1．【点评】此题考查了重心的概念和性质，能够熟练运用平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理以及梯形的中位线定理．9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有25个．【分析】找到函数图象与x轴的交点，那么就找到了相应的x的整数值，代入函数求得y的值，那么就求得了y的范围．【解答】解：将该二次函数化简得，y=﹣[（x﹣4）2﹣]，令y=0得，x=或．则在红色区域内部及其边界上的整点为（2，0），（3，0），（4，0），（5，0），（6，0），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（6，1），（6，2）共25个，故答案为：25．【点评】本题涉及二次函数的图象性质，解决本题的关键是得到相对应的x的值．10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=1+．【分析】连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO=∠OCB=60°，已知了OA=，即可求得OB的长；过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC=OD+CD求出OC的长．【解答】解：连接AB，则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO=∠OCB=60°，∴OB=OA=×=．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB=45°，则OD=BD=OB=．Rt△BCD中，∠OCB=60°，则CD=BD=1．∴OC=CD+OD=1+．故答案为：1+．【点评】此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力，能够正确的构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键．11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是16+12．【分析】此题首先能够把问题转化到三角形中进行分析．根据锐角三角函数的概念可以证明三角形的面积等于相邻两边的乘积乘以夹角的正弦值，根据这一公式分析面积的最大值的情况．然后运用勾股定理以及直角三角形的斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求得其周长．【解答】解：连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N．根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍．因为OA，OD的长是定值，则∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即∠AOD=90°，则AD=6，根据三角形的面积公式求得OM=4，即AB=8．则矩形ABCD的周长是16+12．【点评】本题考查的是矩形的定理以及垂径的性质，考生应注意运用勾股定理来求得边长继而才能求出周长．三、简答题（共4小题，满分50分）12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分．请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由：班级内环中环外环（1）班（2）班（3）班【分析】本题可以通过设出内环、中环、外环射中的枪数为x，y，z；设脱靶数为t，根据等量关系“总得分=内环得分+中环得分+外环得分”列出函数方程进行分析，从而确定出各中枪数．【解答】解：填表如下：班级内环中环外环（1）班 1 3 4（2）班 2 3 2（3）班 3 3 0理由如下：可设t枪脱靶，x枪射中内环，y枪射中中环，则有（8﹣x﹣y﹣t）枪射中外环，所以50x+35y+25（8﹣x﹣y﹣t）=255化简得y=5+2（t﹣x）+（1+t﹣x）对于（1）班，t=0，y=5﹣2x+（1﹣x），x为奇数，只能取x=1，得y=3；对于（2）班，t=1，y=7﹣2x+（2﹣x），x为偶数，只能取x=2，得y=3；对于（3）班，t=2，y=9﹣2x+（3﹣x），x为奇数，只能取x=3，得y=3；【点评】此题考查的是学生对函数方程的分析讨论并对某些值确定，同学们要注意细心分析．13．（12分）设二次函数y=ax2+bx+c的开口向下，顶点落在第二象限．（1）确定a，b，b2﹣4ac的符号，简述理由．（2）若此二次函数图象经过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为3，求抛物线的解析式．【分析】（1）根据抛物线的开口向下判断a的符号，再根据第二象限点的坐标特点及二次函数的顶点坐标列出不等式组，确定出解答a，b，b2﹣4ac的符号即可．（2）根据抛物线过原点及顶点在直线x+y=0上求出其顶点坐标及一次项系数，再根据顶点与原点的距离为3求出二次项系数，进而求出其解析式．【解答】解：（1）∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵顶点在第二象限，∴，∴b＜0，b2﹣4ac＞0．（2）由题意可得c=0，此时顶点坐标为（﹣，﹣），因顶点在直线x+y=0上，所以﹣﹣=0，b=﹣2．此时顶点坐标为（，﹣），由+=18，a=﹣，则抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x．【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系及用待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的特点是解题的关键．14．（12分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE．求证：（1）AB=AF；（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和三角形的内角和定理进行证明；（2）根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等的性质只需证明AB=AF=AE，根据等腰三角形的性质和判定进行证明．【解答】证明：（1）∠ABF=∠ADC=120°﹣∠ACD=120°﹣∠DEC=120°﹣（60°+∠ADE）=60°﹣∠ADE，（4分）而∠F=60°﹣∠ACF，（6分）因为∠ACF=∠ADE，（7分）所以∠ABF=∠F，所以AB=AF．（8分）（2）四边形ABCD内接于圆，所以∠ABD=∠ACD，（10分）又DE=DC，所以∠DCE=∠DEC=∠AEB，（12分）所以∠ABD=∠AEB，所以AB=AE．（14分）∵AB=AF，∴AB=AF=AE，即A是三角形BEF的外心．（16分）【点评】综合运用了圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外心的性质．15．（14分）在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）．（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆的半径．【分析】（1）S阴=S△OAB+S扇形OBB′﹣S△OAA′﹣S扇形OAA′，根据公式即可求解．（2）延长BA交y轴于E点，可以证明：△OAE≌△OCN，△OME≌△OMN证得：OE=ON，AE=CN，MN=ME=AM+AE=AM+CN．从而求得：P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．即可求解．（3）Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，所以（1﹣n）2+（1﹣m+n）2=m2⇒m2﹣mn+2﹣m=0．把这个方程看作关于n的方程，根据一元二次方程有解得条件，即可求得．【解答】解：（1）如图，S阴=S△OAB+S扇形OBB'﹣S△OA'B′﹣S扇形OAA'=S扇形OBB′﹣S扇形OAA′=π﹣π×12=（2）p值无变化证明：延长BA交y轴于E点，在△OAE与△OCN中，∴△OAE≌△OCN（AAS）∴OE=ON，AE=CN在△OME与△OMN中，∴△OME≌△OMN（SAS）∴MN=ME=AM+AE=AM+CN∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2；（3）设AM=n，则BM=1﹣n，CN=m﹣n，BN=1﹣m+n，∵△OME≌△OMN，∴S△MON=S△MOE=OA×EM=m在Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2∴（1﹣n）2+（1﹣m+n）2=m2⇒n2﹣mn+1﹣m=0∴△=m2﹣4（1﹣m）≥0⇒m≥2﹣2或m≤﹣2﹣2，∴当m=2﹣2时，△OMN的面积最小，为﹣1．此时n=﹣1，则BM=1﹣n=2﹣，BN=1﹣m+n=2﹣，∴Rt△BMN的内切圆半径为=3﹣2．【点评】本题综合运用了扇形的面积公式，全等三角形的判定，三角形的面积公式以及勾股定理的综合应用，难度较大．。
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F慈溪中学自主招生数学试题答题时注意:1、试卷满分150分;考试时间：120分钟.2、试卷共三大题，计1６道题。
考试结束后，将本卷及演算的草稿纸一并上交。
一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）1、如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ ） A 、22<<-a B 、23≤<a C 、23≤<-a D 、23≤≤-a2、如图，已知：点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC AB 、的中点，DF BD 、分别交CE 于点H G 、，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于……………………（ ）A 、26B 、28C 、24D 、303 、设z y x 、、是两两不等的实数，且满足下列等式：66633633)()(z x x y x z x x y x ---=-+-，则代数式xyz z y x 3333-++的值是………………… （ ）A 、0B 、1C 、3D 、条件不足，无法计算4、如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ︒=∠=∠=30,53cos ,10BCE BCD BC ，则线段DE 的长是………………… （ ）A 、89B 、73C 、4+33D 、3+435、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成 一个n 排的等腰梯形阵，且这n 排学生数按每排都比前一排 多一人的规律排列，则当n 取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是………………… （ ） A 、296 B 、221 C 、225 D 、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分）6、已知：实常数d c b a 、、、同时满足下列两个等式：⑴0cos sin =-+c b a θθ； ⑵0sin cos =+-d b a θθ（其中θ为任意锐角），则d c b a 、、、之间的关系式是：。
7、函数4433221-+-+-+-=x x x x y 的最小值是 。
8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 。
9、已知：253+=x ，则2可用含x 的有理系数三次多项式来表示为：2= 。
10、设p 、q 、r 为素数，则方程 2223r q p p ++= 的所有可能的解p 、q 、r 组成的三元数组( p , q , r )是 。
三、解答题（共6题，共90分）11、（本题满分12分）赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学．后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的26a b c z ，，，，个字母（不论大小写）依次用12326，，，，这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式： ⎪⎩⎪⎨⎧+++=的正偶数）是不超过其中的正奇数）是不超过其中26(13]21[26(1]2[x x x xy ；已知对于任意的实数x ，记号[x ]表示不超过x 的最大整数；将英文字母转化成密码，如1713]218[8=++→，即q h 变成 ，再如61]211[11=+→，即f k 变成。
他们给出下列一组密码：etwcvcjw ej ncjwwcabqcv ，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。
现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程。
D12、（本题满分15分）如果有理数m 可以表示成22562y xy x +-（其中y x 、是任意有理数）的形式，我们就称m 为“世博数”。
⑴ 个“世博数”b a 、之积也是“世博数”吗？为什么？⑵ 证明：两个“世博数”b a 、（0≠b ）之商也是“世博数”。
13、（本题满分15分）如图，在四边形ABCD 中，已知△ABC 、△B C D 、△A C D 的面积之比是3∶1∶4，点E 在边AD 上，CE 交BD 于G ，设k EADEGD BG ==。
⑴求32207+k 的值；⑵若点H 分线段BE 成2=HEBH的两段，且2222p DH BH AH =++，试用含p 的代数式表示△ABD 三边长的平方和。
14、（本题满分16分）观察下列各个等式： ,304321,14321,521,112222222222=+++=++=+=。
⑴你能从中推导出计算222224321n +++++ 的公式吗？请写出你的推导过程； ⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题：已知：如图，抛物线322++-=x x y 与x 、y 轴的正半轴分别交于点B A 、，将线段OAn 等分，分点从左到右依次为1654321-n A A A A A A A 、、、、、、、 ，分别过这1-n 个点作x 轴的垂线依次交抛物线于点1654321-n B B B B B B B 、、、、、、、 ，设△1OBA 、△211A B A 、△322A B A 、△433A B A 、…、△A B A n n 11--的面积依次为n S S S S S 、、、、、 4321 。
①当2010n =时，求123452010S S S S S S ++++++的值；②试探究：当n 取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？NY15、（本题满分16分）有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：①两直角边分别为3、4的直角三角形ABC ； ②腰长为4、顶角为︒36的等腰三角形JKL ； ③腰长为5、顶角为︒120的等腰三角形OMN ；④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形PQRS ；⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ 。
它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、2.7的铁圆环。
我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作”；否则，便称为“不可操作”。
⑴证明：第④种塑料板“可操作”；⑵求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。
16、（本题满分16分）定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。
如图所示，已知：⊙I 是△ABC 的BC 边上的旁切圆，F E 、分别是切点，IC AD ⊥于点D 。
⑴试探究：F E D 、、三点是否同在一条直线上？证明你的结论。
⑵设,6,5===BC AC AB 如果△DIE 和△AEF 的面积之比等于m ，n EF DE =，试作出分别以mnn m 、为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程。
F2015年重点中学自主招生数学模拟试题一参考答案与评分标准一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）1、如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ C ） A 、22<<-a B 、23≤<a C 、23≤<-a D 、23≤≤-a2、如图，已知：点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC AB 、的中点，DF BD 、分别交CE 于点H G 、，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于……………………（ B ）A 、26B 、28C 、24D 、303 、设z y x 、、是两两不等的实数，且满足下列等式：66633633)()(z x x y x z x x y x ---=-+-，则代数式xyz z y x 3333-++的值是………………… （ A ）A 、0B 、1C 、3D 、条件不足，无法计算4、如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ︒=∠=∠=30,53cos ,10BCE BCD BC ，则线段DE 的长是………………… （ D ）A 、89B 、73C 、4+33D 、3+435、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成 一个n 排的等腰梯形阵，且这n 排学生数按每排都比前一排 多一人的规律排列，则当n 取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是………………… （ B ） A 、296 B 、221 C 、225 D 、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分。
不设中间分）6、已知：实常数d c b a 、、、同时满足下列两个等式：⑴0cos sin =-+c b a θθ；⑵0sin cos =+-d b a θθ（其中θ为任意锐角），则d c b a 、、、之间的关系式是： 2222d c b a +=+ 。
7、函数4433221-+-+-+-=x x x x y 的最小值是 8 。
8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 84—π 。
9、已知：253+=x ，则2可用含x 的有理系数三次多项式来表示为：2=x x 611613+-。
10、设p 、q 、r 为素数，则方程 2223r q p p ++= 的所有可能的解p 、q 、r 组成的三元数组( p , q , r )是)3,3,3( 。
三、解答题（共6题，共90分。
学生若有其它解法，也按标准给分）11、（本题满分12分）赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学，后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告。
报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的26a b c z ，，，，个字母（不论大小写）依次用12326，，，，这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式： ⎪⎩⎪⎨⎧+++=的正偶数）是不超过其中的正奇数）是不超过其中26(13]21[26(1]2[x x x xy ；已知对于任意的实数x ，记号[x ]表示不超过x 的最大整数。
将英文字母转化成密码，如1713]218[8=++→，即q h 变成 ，再如61]211[11=+→，即f k 变成。
他们给出下列一组密码：etwcvcjw ej ncjwwcabqcv ，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。