数值分析期末试题

一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--=+-112123454321321321x x x x x x x x x二、（10分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=1,y(1)= —2,y '(0)=1, y '(1)=—4三、（12分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式计算下列积分：⎰91dxx n=4 四、（10分）证明对任意参数t ，下列龙格－库塔方法是二阶的。

五、（14分）用牛顿法构造求c 公式，并利用牛顿法求115。

保留有效数字五位。

六、（10分）方程组AX=B 其中A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10101a a a a 试就AX=B 建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并讨论a 取何值时迭代收斂。

七、（10分）试确定常数A,B,C,a,使得数值积分公式⎰-++-≈22)(}0{)()(a Cf Bf a Af dx x f 有尽可能多的代数精确度。

并求该公式的代数精确度。

八、{6分}证明：A ≤ 其中A 为矩阵，V 为向量.第二套一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=+322214332132132x x x x x x x x二、（12分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=y '(0)=0,y(1)=y '(1)= 1,y(2)=1三、（14分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式,并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式及其下表计算下列积分：⎰2/0sin πxdx⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+=++==++=+13121231)1(,)1((),(),()(2hk t y h t x f k thk y th x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n四、（12分）证明下列龙格－库塔方法是三阶的。

五、（10分）试确定常数A,B,C 使得数值积分公式⎰++≈2)2()1()0()(Cf Bf Af dx x f共 2 页 第 2 页有尽可能多的代数精确度。

并求该公式的代数精确度。

六、（14分）用牛顿法构造求c 1公式，验证其收敛性。

并求1/ e(保留4位有效数字)。

七、{10分}证明：设非负函数N(x )=x 为R n 上任意向量范数，则N(x )是x 分量x 1,x 2,…x n 的连续函数.参考答案一、解：（8分）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=+322214332132132x x x x x x x x增广矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-12003/13/4102/312/112/102/3014302/312/11321221111431 (4分) 解得：x 1=2/3, x 2=-1/3 x 3=1./2 （8分） 二、解：（12分）注：直接待定系数简单，或者用牛顿茶商设 P(x)=φ0(x)y(0)+φ1(x) y(1)+φ2(x)y(2)+ψ0(x) y’(0)+ψ1(x) y’(1) (4分) 解得：1(x)=x 2(x-2)2 φ2(x)=(1/12)x 2(x-1)2 ψ1(x)=-x 2(x-1)(x-2) (4分) P(x)= φ1(x) y(1)+φ2(x)y(2)+ψ1(x) y’(1)= φ1(x) +φ2(x)+ψ1(x)= x 2(x-2)2+(1/12)x 2(x-1)2 +x 2(x-1)(x-2) (4分)三、解：（14分） 推证复化的梯形公式 (3分)推证复化的辛普生公式 (3分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++==++=+)3/2,3/2()3/,3/(),()3(423121131hk y h x f k hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n利用复化的梯形公式⎰2/0sin πxdx= 利用复化的辛普生公式⎰2/0sin πxdx=四、（12分）证明：k 3=f(x n ,y n )+2h/3f’(x n ,y n )+(2h/3)2f’’(x n ,y n )/2+0(h 2) (4分) y n+1=y n +h/4(3 k 3+k 1)= y n + h f(x n ,y n )+h 2f’(x n ,y n )/2+h 3/6f’’(x n ,y n )+0(h3) (8分) y n+1*= y n + h y n ’ +h 2y n ’’/2+h 3/6 y n ’’’ +0(h 3)y n+1 -y n+1*=0(h 3)则该公式是三阶的 (12分)五、解：（10分） 将1，x,x 2代入原式得A+B+C=2 B+2C=2 B+4C=8/3解得：A=1/3， B=4/3 C =1/3⎰++≈20)2(31}1{34)0(31)(f f f dx x f (8分)代数精确度为2 (10分)。

六、证明：（14分）1/x-c=0X k+1=x k -)()(k k x f x f '=x k (2-cx k ) X k+1-1/c=-c(x k -1/c)2设r k =1-cx k r k+1=r k 2 反复递推 r k =02r k(8分)若选初值0<x0<2/c 0r <1这时r k 趋近于0，从而叠代收敛 (10分) 用牛顿法构造求1/ eX 5= （14分）七、{10分}证明：设x =∑=ni ii ex 1y =∑=ni ii ey 1(4分))(0)()()(11∑∑=∞==→-≤--≤-=-ni i i ni i ie c yx c e y xyx y x y N x N..(10分)第三套一、 （10分）利用列主元素消去法解方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++==++=+)3/2,3/2()3/,3/(),()3(423121131hk y h x f k hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453311294642321x x x二、 （15分）证明下面龙格-库塔方法是三阶的：)43,43()2,2(),()432(93213211h y h x f k hy h x f k y x f k k k k hy y n n n n n n n n ++=++==+++=+三、 （10分）求3次插值多项式使：P(0)=3, P(1)=5,4)0(='P ,6)1(='P ,四、 （20分）确定下面公式中的a,b ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数:)]()([)()]()([2)(2b f a f a b a b f a f ab dx x f ba'-'-++-≈⎰五、（20分）分别利用梯形公式和Simpson 公式推导复化的梯形公式和Simpson 公式，并分别利用复化的梯形公式和Simpson 公式计算积分⎰91dxx (n=8)六、（15分）用二分法求方程f(x)=x 3+4x 2-10在区间[1,]上的根。

（1）要得到具有3位有效数的近似根，须作几次二分；（2）用二分法求具有3位有效数的近似根。

七、（10分）设•是n n R ⨯中的任意范数，nn R A ⨯∈，则有A A ≤)(ρ参考答案五、（10分）利用列主元素消去法解方程：解：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---41125)45(0215210529445331129)4(642 （5分）x 1=139/20, x 2=5/2, x 3=-3/20 （10分）六、（15分）证明下面龙格-库塔方法是三阶的：证:)(61)(21)()()(321ξy h x y h x y h x y x y n n n n '''+''+'+=+（5分）))(,(21)21(),(21),(22ξξy f h y x f h y x f k n n n n ''+'+=（9分） ))(,(21)43(),(43),(23ξξy f h y x f h y x f k n n n n ''+'+=（13分）∴y(x n+1)- y n+1=o(h 3) （15分）七、（10分）求3次插值多项式使：P(0)=3, P(1)=5,4)0(='P ,6)1(='P ,解：设)()()()()(221121103x p x p x p x p x p ϕϕφφ'+'++= （2分）)1(,0)0,0)1(,1)0(1(111='='==φφφφ0)1(,0)0(,1)1(,0)0(2222='='==φφφφ 0)1(,1)0(,0)1(,0)0(1111='='==ϕϕϕϕ 1)1(,0)0(,0)1(,0)0(2222='='==ϕϕϕϕ （6分） =∴)(3x p 3+4x-2x 2+6x 2(x-1) （10分）八、（20分）确定下面公式中的a,b ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数:)]()([)()]()([2)(2b f a f a b a b f a f ab dx x f ba'-'-++-≈⎰解：将1,x ，x 2,,x 3代入)]()([)()]()([2)(2b f a f a b a b f a f ab dx x f ba'-'-++-≈⎰（4分）得]22[)(][2)(3122233b a a b a b a a b a b --++-=-（10分）]33[)(][2)(412223344b a a b a b a a b a b --++-=-a=b=1/2（15分）将1,x ，x 2,,x 3,x 4,x 5代入公式的两端，可得该公式具有4次代数精确度。

（20分）五、（20分）分别利用梯形公式和Simpson 公式推导复化的梯形公式和Simpson 公式，并分别利用复化的梯形公式和Simpson 公式计算积分⎰91dxx (n=8)证: 利用梯形公式推导复化的梯形公式（5分）Simpson 公式推导复化Simpson 公式（10分）解：利用复化的梯形公式⎰91dxx (n=8) = （15分）Simpson 公式计算积分⎰91dxx (n=8)= （20分）六、（15分）用二分法求方程f(x)=x 3+4x 2-10在区间[1,]上的根。