数值分析期末试题
一、(8分)用列主元素消去法解下列方程组:
???
??=++-=+--=+-11
2123454
321321321x x x x x x x x x
二、(10分)依据下列数据构造插值多项式:y(0)=1,y(1)= —2,y '(0)=1, y '(1)=—4
三、(12分)分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式计算下列积分:
?
9
1dx
x n=4 四、(10分)证明对任意参数t ,下列龙格-库塔方法是二阶的。
五、(14分)用牛顿法构造求c 公式,并利用牛顿法求115。保留有效数字五位。 六、(10分)方程组AX=B 其中A=?????????
?10101a a a a 试就AX=B 建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法,并讨论a 取何值时
迭代收斂。
七、(10分)试确定常数A,B,C,a,使得数值积分公式?-++-≈2
2
)
(}0{)()(a Cf Bf a Af dx x f 有尽可能多的
代数精确度。并求该公式的代数精确度。 八、{6分}
证明:
A ≤ 其中A 为矩阵,V 为向量.
第二套
一、(8分)用列主元素消去法解下列方程组:
???
??=++=+-=+3
2221
43321
32132x x x x x x x x
二、(12分)依据下列数据构造插值多项式:y(0)=y '(0)=0,
y(1)=y '(1)= 1,y(2)=1
三、(14分)分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式,并利用复化的梯形公式、
复化的辛普生公式及其下表计算下列积分:
?2
/0
sin πxdx
?????
?
?
-+-+=++==++=+1
3121231)1(,)1(()
,(),()(2
hk t y h t x f k thk y th x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n
四、(12分)证明下列龙格-库塔方法是三阶的。
五、(10分)试确定常数A,B,C 使得数值积分公式
?++≈2
)
2()1()0()(Cf Bf Af dx x f
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有尽可能多的代数精确度。并求该公式的代数精确度。
六、(14分)用牛顿法构造求c 1
公式,验证其收敛性。并求1/ e(保留4位有效数字)。 七、{10分}证明:设非负函数N(x )=x 为R n 上任意向量范数,则N(x )是x 分量x 1,x 2,…x n 的连续
函数.
参考答案
一、解:(8分)
???
??=++=+-=+3
2221
43321
32132x x x x x x x x
增广矩阵:
??????????→??????????-→??????????-12003/13/4102/312/112/102/3014302/312/11321221111431 (4分) 解得:x 1=2/3, x 2=-1/3 x 3=1./2 (8分) 二、解:(12分)
注:直接待定系数简单,或者用牛顿茶商
设 P(x)=φ0(x)y(0)+φ1(x) y(1)+φ2(x)y(2)+ψ0(x) y’(0)+ψ1(x) y’(1) (4分) 解得:
1(x)=x 2(x-2)2 φ2(x)=(1/12)x 2(x-1)2 ψ1(x)=-x 2(x-1)(x-2) (4分) P(x)= φ1(x) y(1)+φ2(x)y(2)+ψ1(x) y’(1)= φ1(x) +φ2(x)+ψ1(x)
= x 2(x-2)2+(1/12)x 2(x-1)2 +x 2(x-1)(x-2) (4分)
三、解:(14分) 推证复化的梯形公式 (3分)
推证复化的辛普生公式 (3分)
??????
?++=++==++=+)
3/2,3/2()3/,3/(),()3(423121131hk y h x f k hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n
利用复化的梯形公式
?2
/0
sin πxdx
= 利用复化的辛普生公式
?2
/0
sin πxdx
=
四、(12分)证明:
k 3=f(x n ,y n )+2h/3f’(x n ,y n )+(2h/3)2f’’(x n ,y n )/2+0(h 2) (4分) y n+1=y n +h/4(3 k 3+k 1)= y n + h f(x n ,y n )+h 2f’(x n ,y n )/2+h 3
/6f’’(x n ,y n )
+0(h
3) (8分) y n+1*= y n + h y n ’ +h 2y n ’’/2+h 3/6 y n ’’’ +0(h 3)
y n+1 -y n+1*=0(h 3)
则该公式是三阶的 (12分)
五、解:(10分) 将1,x,x 2代入原式得A+B+C=2 B+2C=2 B+4C=8/3
解得:A=1/3, B=4/3 C =1/3
?++≈
2
0)2(31}1{34)0(31)(f f f dx x f (8分)
代数精确度为2 (10分)。
六、证明:(14分)1/x-c=0
X k+1=x k -)()
(k k x f x f '=x k (2-cx k ) X k+1-1/c=-c(x k -1/c)2
设r k =1-cx k r k+1=r k 2 反复递推 r k =02
r k
(8分)
若选初值0 七、{10分}证明:设x = ∑=n i i i e x 1 y = ∑=n i i i e y 1 (4分) ) (0)()()(1 1 ∑∑=∞ ==→-≤--≤-=-n i i i n i i i e c y x c e y x y x y x y N x N ..(10分) 第三套 一、 (10分)利用列主元素消去法解方程: ??????? ++=++==++=+) 3/2,3/2()3/,3/(),()3(423121131hk y h x f k hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n ??????????=?????????????????????---453311294642321x x x 二、 (15分)证明下面龙格-库塔方法是三阶的: ) 43 ,43() 2,2() ,() 432(9 3213211h y h x f k h y h x f k y x f k k k k h y y n n n n n n n n ++=++==+++=+ 三、 (10分)求3次插值多项式使:P(0)=3, P(1)=5,4)0(='P ,6)1(='P , 四、 (20分)确定下面公式中的a,b ,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次 数: )]()([)()]()([2)(2b f a f a b a b f a f a b dx x f b a '-'-++-≈ ? 五、(20分)分别利用梯形公式和Simpson 公式推导复化的梯形公式和Simpson 公式,并分别 利用复化的梯形公式和Simpson 公式计算积分? 9 1 dx x (n=8) 六、(15分)用二分法求方程f(x)=x 3+4x 2-10在区间[1,]上的根。(1)要得到具有3位有效数的 近似根,须作几次二分;(2)用二分法求具有3位有效数的近似根。 七、(10分)设?是n n R ?中的任意范数,n n R A ?∈,则有A A ≤)(ρ 参考答案 五、(10分)利用列主元素消去法解方程: 解: ???? ?? ?? ??????? ? -→????? ?????---41125)45(021521 0529445331129)4(642 (5分) x 1=139/20, x 2=5/2, x 3=-3/20 (10分) 六、(15分)证明下面龙格-库塔方法是三阶的: 证:)(61 )(21)()()(321ξy h x y h x y h x y x y n n n n '''+''+ '+=+(5分) )) (,(21 )21(),(21),(22ξξy f h y x f h y x f k n n n n ''+'+=(9分) )) (,(21 )43(),(43),(23ξξy f h y x f h y x f k n n n n ''+'+=(13分) ∴y(x n+1)- y n+1=o(h 3) (15分) 七、(10分)求3次插值多项式使:P(0)=3, P(1)=5,4)0(='P ,6)1(='P , 解:设)()()()()(221121103x p x p x p x p x p ??φφ'+'++= (2分) )1(,0)0,0)1(,1)0(1(111='='==φφφφ 0)1(,0)0(,1)1(,0)0(22 22='='==φφφφ 0)1(,1)0(,0)1(,0)0(11 11='='==???? 1)1(,0)0(,0)1(,0)0(22 22='='==???? (6分) =∴)(3x p 3+4x-2x 2+6x 2(x-1) (10分) 八、(20分)确定下面公式中的a,b ,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数: )]()([)()]()([2)(2b f a f a b a b f a f a b dx x f b a '-'-++-≈ ? 解:将 1,x ,x 2,,x 3代入)]()([)()]()([2)(2b f a f a b a b f a f a b dx x f b a '-'-++-≈ ? (4分) 得] 22[)(][2)(31222 33b a a b a b a a b a b --++-=-(10分) ]33[)(][2)(412223344b a a b a b a a b a b --++-=- a=b=1/2(15分) 将1,x ,x 2,,x 3,x 4,x 5代入公式的两端,可得该公式具有4次代数精确度。(20分) 五、(20分)分别利用梯形公式和Simpson 公式推导复化的梯形公式和Simpson 公式,并分别利用复化的梯 形公式和Simpson 公式计算积分? 9 1 dx x (n=8) 证: 利用梯形公式推导复化的梯形公式(5分) Simpson 公式推导复化Simpson 公式(10分) 解:利用复化的梯形公式? 9 1 dx x (n=8) = (15分) Simpson 公式计算积分 ? 9 1 dx x (n=8)= (20分) 六、(15分)用二分法求方程f(x)=x 3+4x 2-10在区间[1,]上的根。(1)要得到具有3位有效数的近似根,须作 几次;(2)用二分法求具有3位有效数的近似根。 解:须作3次(5分) 将[1,] [1,], [,] f(1)<0, f <0, (8分) 将[,] 二分为[,],[,] f >0, (10分) 将[,]二分为[,],[,] f <0(12分) ∴[,]的 中点为方程f(x)=x 3+4x 2-10的近似根(15分) 七、设 ?是n n R ?中的任意范数,n n R A ?∈,则有A A ≤)(ρ 证: 设λ是的任意特征值,x 为相应的向量, (2分) 则x Ax λ=, x A Ax x x ≤==λλ (8分)∴A A ≤)(ρ(10分) $