偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义及其计算法
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27)
连续.
12
4、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z = f ( x , y ) 上一点,
如图
2010年4月19日10时44 分
偏导数(27)
13
几何意义:
( y ≠ 0)
x 1 =− 2 sgn 2 x +y y
∂z 不存在． ≠0 ∂y x = 0 y
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27)
9
例 4
已知理想气体的状态方程 pV = RT
∂ p ∂V ∂ T ⋅ ⋅ = −1. （ R 为常数） ，求证： ∂V ∂T ∂ p
RT ∂p RT ⇒ =− 2; 证 p= V ∂V V RT ∂V R ∂T V pV V= ⇒ = ; = ; T= ⇒ p ∂T p ∂p R R ∂p ∂V ∂T RT R V RT = − 1. ⋅ ⋅ =− 2 ⋅ ⋅ =− ∂V ∂T ∂p V p R pV
f ( x + ∆x , y , z ) − f ( x , y , z ) , f x ( x , y , z ) = lim ∆x → 0 ∆x f ( x , y + ∆y , z ) − f ( x , y , z ) , f y ( x , y , z ) = lim ∆y → 0 ∆y
f ( x , y , z + ∆z ) − f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) = lim . ∆z → 0 ∆z
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27) 5
9-2偏导数
(与求导顺序无关时 应选择方便的求导顺序 与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序) 与求导顺序无关时
练习
y ∂ 2z ∂ 2z （1）设z = arctan ,求 2 , x ∂x ∂x ∂y
（2）设z = xf ( x 2 − y 2 ),
(3) 已知 u = f ( r )，r =
∂u ∂r x = f ′( r ) ⋅ = f ′( r )， ∂x ∂x r
∂z ∂ f , , zy , ∂y ∂y
′ f y ( x, y) , f y ( x, y)
y= y0
显然有
fx (x0, y0 ) = fx( x, y) x=x0 ，
fy ( x0, y0 ) = f y ( x, y) x=x0 .
y= y0
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数
如 三 元函 数 u = f ( x , y , z ) 的 偏导 数为
这两个二阶混合偏导数相等． 这两个二阶混合偏导数相等． 相等
即
∂2z ∂2z ( x, y)∈D. = ∂x∂y ∂y∂x
即二阶混合偏导数在连续的条件下, 即二阶混合偏导数在连续的条件下,求导与次序无关
此定理可以推广． 此定理可以推广． 推广
例8
1 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 证明函数u = 满足方程 2 + 2 + 2 = 0, r ∂x ∂y ∂z 其中r = x 2 + y 2 + z 2 ，
注意 思考
∂ 2z ∂ 2z 此时 有 = ∂ x ∂ y ∂ y∂ x
混合偏导数都相等吗？ 混合偏导数都相等吗？
(不一定 不一定) 不一定
问题： 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 问题： 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上的变化率的一种度量，它描述了函数在其中一方向上的变化速率。
偏导数的定义非常简单，它是将函数的其他自变量视为常数，而对其中一自变量求导得到的导数。
对于一个多元函数 f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以用∂f/∂xi 或者 fxi 来表示，其中∂表示偏导数的符号，xi 表示自变量 xi 的偏导数。
偏导数的计算方法基本与一元函数的导数计算类似，但在计算过程中需要将其他的自变量视为常数。
举个例子来说明偏导数的计算：假设有一个二元函数f(x1,x2)=x1^2+x2^2，我们要计算该函数关于自变量x1的偏导数∂f/∂x1在计算过程中，我们将x2视为常数，即f(x1,x2)=x1^2+C^2，其中C 表示x2的常数值。
然后我们对f(x1,x2)关于x1求导数，得到f'(x1,x2)=2x1、最后得到∂f/∂x1=f'x1=2x1，即关于x1的偏导数。
在实际应用中，偏导数常常用于优化算法、极值问题的求解等方面。
在多元函数中，偏导数的大小和符号可以用于判断函数的变化趋势和极值点的位置。
除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数。
高阶偏导数描述的是函数对自变量一次、二次、三次...的变化率。
例如，二元函数的二阶偏导数就是对一阶偏导数再次求导，即∂^2f/∂x1^2，表示f(x1,x2)对x1的变化率的变化率。
对于多元函数而言，偏导数的计算可以推广到n阶偏导数，并且可以使用偏导数的混合形式。
例如，对于三元函数f(x1,x2,x3)，我们可以计算∂^2f/∂x1∂x2，表示对x1求偏导后再对x2求偏导。
总结来说，偏导数是多元函数关于其中一自变量的变化率的度量。
计算偏导数的方法与一元函数的导数计算类似，但需要将其他自变量视为常数。
偏导数在实际应用中具有广泛的用途，如优化算法、极值问题的求解等。
除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数和混合偏导数。
偏导数知识点公式总结
偏导数知识点公式总结一、偏导数的概念1.1 偏导数的定义偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数。
对于一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 表示在$x_i$方向上的变化率。
偏导数的定义可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}$$1.2 偏导数的图示解释偏导数可以通过函数曲面的切线来解释。
对于函数 $z = f(x, y)$，在点$(x_0, y_0, z_0)$处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$可以理解为曲面在$x$方向的斜率，即曲面在$x$方向上的变化率。
同样地，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示曲面在$y$方向上的变化率。
这样的解释有助于我们更直观地理解偏导数的含义。
二、偏导数的性质2.1 对称性对于二元函数 $f(x, y)$，它的偏导数满足对称性，即$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。
这一性质表明，在计算混合偏导数时，可以不必考虑自变量的顺序。
2.2 连续性在函数的定义域内，若偏导数存在且连续，则函数规定可微。
这一性质是偏导数与函数连续性的关系，对于函数的导数性质有着重要的影响。
2.3 性质总结：和与积对于函数 $u = u(x, y)$ 和 $v = v(x, y)$，它们的偏导数具有和与积的运算法则。
偏导数的概念
1 t
x2 e 4t
2
2 5 x t 2
4
2 x e 4 t .
u 1 x t
x2 e 4t
x 2 2t
x2 3 1 2 4t t xe .
2u x
类似地，可定义函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数
为
z f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim . y ( x0 , y0 ) y0 y
又可记为
f , f y ( x0 , y0 )或z y ( x0 , y0 ). y ( x0 , y0 )
z=f(x,y)中，得z=f(x,y0)，然后对x求导数fx(x,y0)，再以
x=x0代入.两种做法是一致的.因为在这个过程中，y为
常数y0.
例1 求函数 f ( x, y ) x 2 2 xy y 2 在点(1,3)处对x和y的 偏导数.
解
f x ( x, y ) 2 x 2 y
z z 3 2 2 2 3 解 x 9 x y , 3x y 6 xy , y x
2 z 2z 2 2 3 3 x 18 xy , 6 xy 6 y , 2 xy x
2z 2 18 x y, 2 y
2z 3x 2 18 xy 2 . yx
V R , T P T V . P R
P V T RT R V RT 2 1. V T P VP V P R
偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分
母之商，否则这三个偏导数的积将是1.这一点与一元 dy 函数导数记号 是不同的，dy 可看成函数的微分dy dx dx 与自变量微分dx之商.
偏导数的定义与计算方法
偏导数的定义与计算方法偏导数是数学中的一个重要概念。
它可以在多变量函数中反映出每个变量对函数的影响程度。
偏导数的计算方法和一元函数的导数有所不同，下面将详细介绍偏导数的定义、性质以及计算方法。
一、偏导数的定义在多元函数中，每个自变量的取值都会影响函数值的大小。
因此，在计算偏导数时，需要将其他自变量看作常数，只考虑某一个自变量对函数的影响。
对于一个函数f(x1,x2,...xn)，对于自变量xi的偏导数定义为：∂f/∂xi=lim (Δxi→0) (f(x1,x2,...,xi+Δxi,...xn)-f(x1,x2,...,xi,...xn))/Δxi其中，Δxi表示自变量xi的增量，是一个很小的数。
当Δxi趋近于0时，称之为f对xi的偏导数。
二、偏导数的性质1. 偏导数存在性对于连续的多元函数，偏导数一定存在。
但对于非连续的函数，偏导数可能不存在。
2. 二阶偏导数如果一个函数的一阶偏导数存在，则可以进行二次偏导数的计算。
二次偏导数的计算方法和一次偏导数类似，只需要在一次偏导数的式子中再次取偏导数即可。
3. 高阶偏导数类似于二次偏导数，多元函数的任意阶偏导数也可以进行计算。
高阶偏导数的符号和计算方法与一阶偏导数相同。
4. 取偏导数的顺序不同的偏导数的计算顺序有可能会影响计算结果。
例如，f(x,y)=x^2y^2，如果先对x求偏导数，再对y求偏导数，得到的结果为：∂f/∂x=2xy^2，∂f/∂y=2x^2y如果先对y求偏导数，再对x求偏导数，得到的结果为：∂f/∂y=2xy^2，∂f/∂x=2x^2y由于偏导数的计算顺序不同，导致结果也不同。
因此，在取偏导数时，需要注意顺序。
三、偏导数的计算方法1. 公式法偏导数的计算可以使用公式法。
首先需要将待求的函数f(x1,x2,...xn)展开为多项式形式，然后按照偏导数的定义进行计算。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，需要求∂f/∂x和∂f/∂y。
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结一、偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上关于其中一个自变量的导数，偏导数描述了函数在其中一点上沿着不同自变量方向的变化率。
对于二元函数（两个自变量的函数），偏导数可以分为两种类型：偏导数∂f/∂x表示函数关于x的偏导数；偏导数∂f/∂y表示函数关于y的偏导数。
在计算中，偏导数可以使用极限的定义进行求取，也可以通过求取对应变量的偏导数公式进行计算。
1.偏导数的计算法（1）使用极限的定义对于函数f(x,y)，若要求取关于x的偏导数，可以将y固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂x = lim(h→0) (f(x + h, y) - f(x, y)) / h对于函数f(x,y)，若要求关于y的偏导数，可以将x固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂y = lim(h→0) (f(x, y + h) - f(x, y)) / h（2）使用偏导数公式对于特定类型的函数，可以通过使用相应的偏导数公式来计算偏导数。
以下列举了几种常见的偏导数公式：a.对于幂函数f(x,y)=x^n，其中n为常数，偏导数公式为：∂f/∂x=n*x^(n-1)b.对于指数函数f(x,y)=e^x，其偏导数公式为：∂f/∂x=e^xc. 对于对数函数f(x, y) = log(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x=1/xd. 对于三角函数f(x, y) = sin(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x = cos(x)e.对于常数乘积规则，偏导数的计算法为：∂(c*f)/∂x=c*(∂f/∂x)二、高阶偏导数高阶偏导数是指对于多元函数的不同自变量求取多次偏导数的过程。
高阶偏导数描述了函数在其中一点上的更高阶导数信息，它可以对函数的多个变量进行多次的偏导运算。
1.二阶偏导数二阶偏导数是指对于二元函数，对其中一个变量求取一次偏导数后，再对另一个变量求取一次偏导数。
二阶偏导数可以通过求取一次偏导数的偏导数来计算，也可以通过直接求取函数的二阶导数来计算。
§8.2偏导数
f ( x x , y ) f ( x , y ) f x ( x , y ) lim 例如 x 0 x 同理可以定义 函数z=f(x, y)对自变量y的偏导数, 记作 z f , , z y , 或 f y ( x , y ). y y 例如 f y ( x , y ) lim f ( x , y y ) f ( x , y ) y 0 y 偏导数的求法 由偏导数的定义可知, 求二元函数的偏导数并不 需要新的方法, 仍然是一元函数求导问题. 如 f 求 时把 y 视为常数而对 x 求导. x f 求 时把 x 视为常数而对 y 求导. y
有关偏导数的几点说明:
5. 若 f(x, y) = f(y, x)则称 f(x, y)关于x, y具有轮换
u 2 u u 2 u 对称性. 在求 , 2 时, 只需将所求的 , 2 中的 y y x x x, y互换即可. 6. 偏导数存在与连续的关系: 在一元函数中有, 函数在某点可导, 则函数必在该 点处连续. 但在多元函数中, 函数在某点偏导数存在, 但函数未必在该点处连续. 例如, 函数 xy x2 y2 0 2 f ( x, y) x y 2 0 x2 y2 0 在上一节中, 讨论过此函数, 其在(0, 0)在处不连续, 依偏导数定义:
( y 0) z | x 0 不存在． 注: y y 0 例4: 已知理想气体的状态方程 pV=RT (R为常数), p V T 1 求证: V T p V R p RT RT RT ; 2 ;V 证: p T p V V p V pV T V T ; R p R RT RT R V p V T 2 所以 1. p R V V T p pV
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f (x+∆x, y)− f (x, y) . fx(x, y) = lim ∆x ∆x→0 偏导函数的符号
∂z , ∂f , z , 或 f (x, y) . >>> x x ∂x ∂x
偏导函数
f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) . f x(x0, y0) = lim ∆x ∆x→0 f (x+∆x, y)− f (x, y) . fx(x, y) = lim ∆x ∆x→0
∂p ∂V ∂T ⋅ ⋅ =− RT ⋅ R ⋅V =− RT =−1 . 所以 pV ∂V ∂T ∂p V 2 p R 本例说明一个问题: 偏导数的记号是一个整体记号,不能 看作分子分母之商.
偏导数的几何意义 fx(x0, y0)=[ f(x, y0)]x′ 是截线z=f(x, y0)在点(x0, y0)处的切线Tx 对x轴的斜率. fy(x0, y0)=[ f(x0, y)]y′ 是截线z=f(x0, y)在点(x0, y0)处的切线Ty 对y轴的斜率.
例3 设 z = xy(x > 0, x ≠1) , 求证: x ∂z + 1 ∂z =2z . 3 y ∂x ln x ∂y 证 ∂z = yx y−1 , ∂z = x y ln x . ∂y ∂x x ∂z + 1 ∂z = x yx y−1 + 1 x y ln x = x y + x y =2z . y ∂x ln x ∂y y ln x 例4 求r = x2 + y2 + z2 的偏导数. 4
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如, 三元函数u=f(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义 为
f (x+∆x, y, z)− f (x, y, z) , fx(x, y, z) = lim ∆x ∆x→0 其中(x, y, z)是函数u=f(x, y, z)的定义域的内点.
z=f(x, y0) z=f(x0, y)
偏导数的几何意义
偏导数与连续性 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能 保证函数在该点连续. 例如
xy 2 2 x2 + y2 ≠ 0, f (x, y) = x + y 0 x2 + y2 = 0. 在点(0, 0), 有fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续.
一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义
f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) . f x(x0, y0) = lim ∆x ∆x→0 偏导数的符号
∂f ∂z x=x0 , x=x0 , zx ∂x y= y0 ∂x y= y0
偏导函数
x=x0 y= y0
, fx(x0, y0) .
二、高阶偏导数
二阶偏导数 如果函数z=f(x, y)的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z=f(x, y)的二阶偏导数. 函数z=f(x, y)的二阶偏导数有四个:
∂ (∂z ) = ∂2z = f (x, y) , ∂ (∂z ) = ∂2z = f (x, y) , ∂y ∂x ∂x∂y xy ∂x ∂x ∂x2 xx ∂ (∂z ) = ∂2z = f (x, y) ∂ ∂z ∂2z , ( ) = 2 = f yy(x, y) . yx ∂x ∂y ∂y∂x ∂y ∂y ∂y 其中fxy(x, y)、fyx(x, y)称为混合偏导数.
∂2u = − 1 + 3z2 . ∂z2 r3 r5
因此
∂2u + ∂2u + ∂2u = (− 1 + 3x2 ) +(− 1 + 3y2 )+(− 1 + 3z2 ) ∂x2 ∂y2 ∂z2 r3 r5 r3 r5 r3 r5
3 + 3(x2 + y2 + z2) = − 3 + 3r2 = 0 . =− 3 r r5 r3 r5
同理
∂2u = − 1 + 3y2 , ∂y2 r3 r5
∂2u = − 1 + 3z2 . ∂z2 r3 r5
提示:
r3 − x⋅ ∂ (r3) r3 − x⋅3r2 ∂r ∂2u = ∂ (− x ) = − ∂x ∂x . =− ∂x2 ∂x r3 r6 r6
1 满足方程 ∂2u + ∂2u + ∂2u = 0 , 例8 证明函数u = r ∂x2 ∂y2 ∂z2
例1 求z=x2+3xy+y2在点(1, 2)处的偏导数. 解 ∂z =2x +3y , ∂z = 3x+ , ∂z x=1 ∂y y=2
x=1 = 3⋅1+2⋅2 = 7 . y=2
例2 求z=x2sin2y的偏导数.
∂z =2xsin 2y , ∂z =2x2 cos 2y . 解 ∂y ∂x
3 2 3
∂2z = 6x2 y −9y2 −1 ∂2z = 6x2 y −9y2 −1 , . ∂x∂y ∂y∂x
此例中两个混合偏导数是相等的.
∂ ( ∂z ) = ∂2z ∂ ∂z ∂2z ∂ ( ∂z ) = ∂2z , ∂ ( ∂z ) = ∂2z . , , ( )= 2 ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂x ∂y ∂y∂x ∂y ∂y ∂y2
§8.2 偏 导 数
一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内有定义, 若极限
f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) lim ∆x ∆x→0 存在, 则称此极限为函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作
提示：当点P(x, y)沿直线y=kx趋于点(0, 0)时, 有 xyf (0, y) = 0 ; kx2 k . f (lim ) = 0 , x, 0 = lim = 2 2 x→0 2 2 2 (x, y)→(0,0) x + y x +k x 1+k 2 d y=kx fx(0, 0) = d [ f (x, 0)] = 0 , f y(0, 0) = [ f (0, y)] = 0 . dy 因此, 函数f(x, y)在(0, 0)的极限不存在, 当然也不连续. dx
y y x x ; ∂r = 解 ∂r = = . = 2 2 2 2 2 2 r ∂y ∂x x + y +z r x + y +z
例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数), 求证:
∂p ∂V ∂T ⋅ ⋅ =−1. ∂V ∂T ∂p 证 因为 p= RT , ∂p =− RT ; ∂V V V2 RT ∂V = R V= , ; p ∂T p pV ∂T V = ; , T= ∂p R R
∂2z 、 ∂3z 、 ∂2z 和 ∂2z . 例 6 设 z=x y −3xy −xy+1, 求 2 ∂x ∂x3 ∂y∂x ∂x∂y 解 ∂z = 3x2 y2 −3y3 − y , ∂z = 2x3 y −9xy2 − x ; ∂y ∂x ∂2z = 6xy2 , ∂3z = 6y2 ; ∂x3 ∂x2
∂f ∂z x=x0 , x=x0 , zx ∂x y= y0 ∂x y= y0
偏导函数
x=x0 y= y0
, fx(x0, y0) .
如果函数z=f(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数 都存在, 那么f(x, y)对x的偏导数是x、y的函数, 这个函数称为 函数z=f(x, y)对x的偏导函数(简称偏导数), 记作 ∂z , ∂f , z , 或 f (x, y) . x x ∂x ∂x
1 满足方程 ∂2u + ∂2u + ∂2u = 0 , 例8 证明函数u = r ∂x2 ∂y2 ∂z2
其中r = x2 + y2 + z2 .
证
∂u = − 1 ⋅ ∂r = − 1 ⋅ x = − x , ∂x r3 r2 ∂x r2 r ∂2u = − 1 + 3x ⋅ ∂r = − 1 + 3x2 . ∂x2 r3 r4 ∂x r3 r5
∂f ∂z x=x0 , x=x0 , zx ∂x y= y0 ∂x y= y0
x=x0 y= y0
, 或 fx(x0, y0).
类似地, 可定义函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对y的偏导数.>>>
一、偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义
f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) . f x(x0, y0) = lim ∆x ∆x→0 偏导数的符号
类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数.
∂ ( ∂z ) = ∂2z ∂ ∂z ∂2z ∂ ( ∂z ) = ∂2z , ∂ ( ∂z ) = ∂2z . , , ( )= 2 ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂x ∂y ∂y∂x ∂y ∂y ∂y2
∂2z 、 ∂3z 、 ∂2z 和 ∂2z . 例 6 设 z=x y −3xy −xy+1, 求 2 ∂x ∂x3 ∂y∂x ∂x∂y 解 ∂z = 3x2 y2 −3y3 − y , ∂z = 2x3 y −9xy2 − x ; ∂y ∂x ∂2z = 6xy2 , ∂3z = 6y2 ; ∂x3 ∂x2
3 2 3
∂2z = 6x2 y −9y2 −1 ∂2z = 6x2 y −9y2 −1 , . ∂x∂y ∂y∂x ∂2z 及 ∂2z 在区域 D 内连续, 定理 如果二阶混合偏导数 ∂y∂x ∂x∂y 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.
∂2z + ∂2z = 0 . 例7 验证函数 z = ln x + y 满足方程 ∂x2 ∂y2 证 因为 z = ln x2 + y2 = 1 ln( x2 + y2) , 所以 2 ∂z = x , ∂z = y , ∂y x2 + y2 ∂x x2 + y2