完整版导数的概念与计算练习题带答案
导数专题(含答案
说明:导数的几何意义
可以简记为"k= ",
强化这一句话"斜率导数,导数斜率"
导数的物理意义：s=s<t>是物体运动的位移函数,物体在t= 时刻的瞬时速度是 .可以简记为 =
例1、已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ,则 .
2、若函数 的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 在区间[a,b]上的图像可能是〔〕
〔2〕设函数 则 〔〕
A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数
3〕设 分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当 时,
的解集为▲.
3>已知函数的单调性求参数范围
方法:常利用导数与函数单调性关系：即
"若函数单调递增,则 ；若函数单调递减,则 "来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解．从而转化为不等式恒成立问题或利用数形结合来求参数〔 是二次型〕
[例]1函数y = f < x > = x3＋ax2＋bx＋a2,在x = 1时,有极值10,则a = ,b =.
15.已知函数f<x>=－x3＋3x2＋9x＋a.
〔I〕求f<x>的单调递减区间；
〔II〕若f<x>在区间[－2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．
解：〔I〕f’<x>＝－3x2＋6x＋9．令f‘<x><0,解得x<－1或x>3,
综上,
4某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x〔x 10〕层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x〔单位：元〕.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层？
导数的计算练习题及答案
导数的计算练习题及答案1. 计算函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)。
解答：根据函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2，使用导数的定义来计算导数f'(x)。
f'(x) = lim(delta x -> 0) (f(x + delta x) - f(x)) / delta x代入函数f(x)的表达式：f'(x) = lim(delta x -> 0) [(3(x + delta x)^2 - 4(x + delta x) + 2) -(3x^2 - 4x + 2)] / delta x化简并展开：f'(x) = lim(delta x -> 0) [3(x^2 + 2x * delta x + (delta x)^2) - 4x - 4 * delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [3x^2 + 6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4x - 4* delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4 * delta x] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x + 3 * delta x - 4]由于求导数时delta x趋近于0，所以delta x也可以看作一个无穷小量，其平方项可以忽略不计，即delta x^2 = 0。
化简结果：f'(x) = 6x - 4所以函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)为6x - 4。
2. 计算函数g(x) = 2sin(x) + 3cos(x)的导数g'(x)。
高二数学导数练习题及答案
高二数学导数练习题及答案导数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际问题中具有广泛的应用。
为了帮助高二学生巩固导数的知识和提高解题能力，本文为大家准备了一些高二数学导数练习题及答案。
希望通过这些练习题的训练，同学们能够更好地理解导数的概念和运用。
练习题一：1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 在点 x = 2 处的导数。
2. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x，求函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数。
3. 求函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数。
答案一：1. 函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 的导数为：f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
2. 函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数为：f'(x) = 2x + 3。
3. 函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数为：f'(-1) = 0。
练习题二：1. 求函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点及极值。
2. 已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x+ 2 的拐点。
3. 求函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点。
答案二：1. 函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点为 x = 1/2，极值为 f(1/2) = 47/16。
2. 函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 的拐点为 x = 2。
3. 函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点为 x = 1。
练习题三：1. 求函数 f(x) = e^x 的导数。
2. 已知函数 f(x) = ln(x)，求函数 f(x) = ln(x) 的导函数。
导数的概念及运算--附答案
3.1导数的概念及运算(学案） 姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为：【二.导数的运算公式】①()c '= ；②()nx '= ；③(sin )x '= ；④(cos )x '= ；⑤()xa '= ；⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ；⑧(ln )x '= ；⑨1()x'=；⑩'= ； 【三.导数的运算法则】①.和差的导数：[()()]f x g x '±= ；②.[()]C f x '⋅= ；其中C 为常数。
③.积的导数：[()()]f x g x '= ；④.商的导数：()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。
【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u '，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y '，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x y '＝__ ______， 【五.求导】1.求导：①)5'⋅xa x （=5x 4·a x ＋x 5·a x ln a；② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2．已知 f (x )＝x 2＋3x (2)f '，则(2)f '＝__-2___.3.求函数y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －100) (x >100)的导数.解析：两边取对数得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －100)．两边对x 求导：y ′y ＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －100.∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －100·(x －1)(x －2)·…·(x －100)．【六.导数的几何意义】4.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解 (1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4 由y －4＝4(x －2)，得4x －y －4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x －y －4＝0(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝05.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____． 解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。
高等数学第二章导数试题及答案
第二章 导数一．导数与微分概念 1．导数的定义如果极限()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim 存在， 称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆， 则()()()000limx x x f x f x f x x --='→h x f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→或hx f h x f x f h ---='→)()(lim )(0000我们也引进单侧导数概念。
右导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='++→∆→+000000lim lim 0左导数：()()()()()xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='--→∆→-000000lim lim 0则有()x f 在点0x 处可导()x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。
切线方程：()()()000x x x f x f y -'=-法线方程：()()()0001x x x f x f y -'-=-()()00≠'x f 3．函数的可导性与连续性之间的关系如果函数()x f y =在点0x 处可导，则()x f 在点0x 处一定连续，反之不然，即函数()x f y =在点0x 处连续，却不一定在点0x 处可导。
例如，()x x f y ==，在00=x 处连续，却不可导。
4．微分的定义设函数()x f y =在点0x 处有增量x ∆时，如果函数的增量()()00x f x x f y -∆+=∆有下面的表达式()()x x x A y ∆+∆=∆00()0→∆x其中()0x A 为与x ∆无关，()x ∆0是0→∆x 时比x ∆高阶的无穷小。
导数的概念及运算专题练习(含参考答案)
数学 导数的概念及运算1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝03．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．84．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．45．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．22D ．36．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．7．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．8．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)2．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－23．(2019·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．4．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【参考答案】1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( )A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C ．因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C ．由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7.所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14.又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.4．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B ．由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1B ．2C ．22D ．3解析：选B ．因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. 6．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1，0)处的切线方程为________．解析：由题意知，y ′＝2x ，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝2，故所求切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2. 答案：y ＝2x －27．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e8．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.答案：19．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， 所以x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， 所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D.因为f ′(x )＝1x ，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2. 3．(2019·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.答案：44．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1 k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．答案：(1，1)5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② －2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)． 所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线， 其方程为y ＝－2x ＋5.④ 将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4. 6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0， 所以3a －6－6a ＝0， 所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线， 则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)． 因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
完整版)导数测试题(含答案)
完整版)导数测试题(含答案)1.已知函数y=f(x)=x^2+1，则在x=2，Δx=0.1时，Δy的值为0.41.2.函数f(x)=2x^2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率为4+4Δx。
3.设f′(x)存在，则曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线与x 轴相交但不垂直。
4.曲线y=-1/x在点(1，-1)处的切线方程为y=x-2.5.在曲线y=x^2上，且在该点处的切线倾斜角为π/4的点为(2,4)。
6.已知函数f(x)=1/x，则f′(-3)=-1/9.7.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(2,∞)。
8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的充要条件。
9.函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有2个。
10.函数f(x)=-x^2+4x+7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是f(3)和f(5)。
11.函数f(x)=x^3-3x^2-9x+k在区间[-4,4]上的最小值为-71.12.速度为零的时刻是0,1,4秒末。
13.已知函数 $y=f(x)=ax^2+2x$，且 $f'(1)=4$，则 $a=3$。
14.已知函数 $y=ax^2+b$ 在点 $(1,3)$ 处的切线斜率为 $2$，则 $b=a+1$。
15.函数 $y=x e^x$ 的最小值为 $-1/e$。
16.有一长为 $16$ m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 $64$ $m^2$。
17.(1) $y'=6x+\cos x$；(2) $y'=\dfrac{1}{(1+x)^2}$；(3)$y'=\dfrac{1}{x}-e^x$。
18.(1) 解方程 $x^2+4=x+10$ 得 $x=3$ 或 $x=-2$，故交点为 $(3,13)$ 或 $(-2,0)$；(2) 在交点 $(3,13)$ 处，抛物线的斜率为 $6$，故该点处的切线方程为 $y=6x-5$。
2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）（解析版）
2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆例1：1．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（ ） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C 【分析】根据导数的概念可得()21f '=-，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】 因为()()()022lim222x f x f x f x∆→+∆--∆'==-∆，所以()21f '=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为1-，故所求切线的倾斜角为34π. 故选：C2．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解. 【详解】解：因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1， 则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选：B . 【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．举一反三：1．设()f x 是可导函数，且()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=-∆，则0()f x '=（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【分析】由导数的定义可得()()0000lim ()x f x f x f x x x∆→+-'=∆∆，即可得答案．【详解】 根据题意，()()0000lim()2x f x f x f x x x∆→∆+-'==-∆，故0()2f x '=-. 故选：D ． 【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题． 2．若()02f x '=，则()()000lim2h f x h f x h→+-=______．【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何定义即可计算.()()()()()000000011limlim 1222h h f x h f x f x h f x f x h h →→+-+-'===．故答案为：1.二．导数的几何意义：函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。
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导数概念与计算42若函数f(x) ax bx c ，满足f '⑴ 2，贝y f'( 1)(已知点P 在曲线f(x) x 4 x 上，曲线在点P 处的切线平行于直线 3x y 0,则点P 的 坐标为( )A . (0,0)B . (1,1)C . (0,1)D . (1,0)已知f(x)xln x ，若 f '(X 。
) 2，则 X 。
()2In 2 D . In2A . eB . eC .2曲线y e r 在点 A(0,1)处的切线斜率为()A . 1B . 2C . e1 D .-e设 f °(x) sin x , f'x)f o '(x) , f 2(x) f 1 '(x),…,f n 1(x) f n '(x) , n N ，则 f 2013(X )等于( )A . si n xB . si nxC . cosxD . cosx 已知函数f (x)的勺导函数为f '(x)，且满足 f(x :)2xf '(1) Inx ，则 f'(1)()A . eB . 1C . 1D . e曲线y Inx 在与x 轴交点的切线方程为 _____________________过原点作曲线y e x 的切线，则切点的坐标为 _____________ ，切线的斜率为 求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式:(3) f (x) x ^ax 2 ln(1 x)2(5)yxe 1 cosx1. 2. 3. 4. 5.6. 7. &9.B . 2C . 2D . 0(1) f (x) ax 1 2ln xx(2) f(x)xe 21 ax(4) y xcosx sin x(6) y10. 已知函数 f(x) In(x 1) x .(I)求f (x)的单调区间；11.设函数f(x) ax —,曲线y f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为 7x 4y 120 .x(I)求f (x)的解析式；(n)证明：曲线 y f (x)上任一点处的切线与直线x 0和直线y x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.12. 设函数 f(x) x 2 e x xe x .(I)求f (x)的单调区间；(n)若当x [ 2,2]时，不等式f (x) m 恒成立，求实数 m 的取值范围.(n)求证：当 x1时，1In(x 1) x .x 1B . 2 解：T y '= e x ，故所求切线斜率 k = e x |x = 0= e 0= 1. 选A .等于( )1. 2. 导数作业1答案一一导数概念与计算42若函数 f (x) ax bx c ，满足 f '(1) 2，贝y f'( 1)() B . 2D . 0已知点P 在曲线f(x) X 4 x 上，曲线在点P 处的切线平行于直线 3x y 0,则点P 的坐标为( )A . (0,0)B . (1,1)C . (0,1)D . (1,0)解：由题意知，函数 f (x )= x 4— x 在点P 处的切线的斜率等于 3，即 f (X 0)= 4x 3 — 1 = 3,• •• X0= 1，将其代入f (x )中可得 P (1,0).3.已知 f (x) xlnx , 若 f '(x 。
) 2，则 X 。
A . e 2B . ln 2 2D . ln2解：f (x )的定义域为(0,+ m ),f ( x ) = ln x + 1,由 f ' ( X 0) 即 =2, 4. ln X 0+ 1= 2,解得 X 0 = e.曲线y e x 在点A(0,1)处的切线斜率为(D .5.设 f °(x) sinx , fdx)f °'(x) , f 2(x) b'(x)…，f n 1(x)f n '(x), n N ，则 f 2013(x)A. sin xB. si nx cosx D. cosx解：T f0 (x)= sin x, f1 (x)= cos x,f2 (x)=—sin x, f3 (x)=—cos x, f4 (x) =sin x,-二f n ( x)= f n+4 ( X),故f2 012 ( x)= f0 ( X) =sin x,• f2 013 ( X)= f 2 012 ( X)= cos X.6.已知函数f (x)的导函数为f'(x)，且满足f(x) 2xf '(1) lnx，贝U f'(1)( )B. 1D. e1解：由f(x)= 2xf' (1)+ ln x,得f' (x)= 2f' (1)+••• f' (1 )= 2f' (1)+ 1，则 f' (1 )=- 1. 选B .7.曲线y Inx 在与x 轴交点的切线方程为 _______________________ .1解：由y = In x 得，y '=y 'xt = 1，•曲线y = In x 在与x 轴交点(1,0)处的切线方程为xy = x - 1，即卩 x -y - 1 = 0.&过原点作曲线 y e x 的切线，则切点的坐标为 ______________ ，切线的斜率为 _____________ . 解: y = e x ,设切点的坐标为(x o , y o )则y0= ex 。
，即ex0= ex o , • x o = 1.因此切点的坐标为(1,x o x o e ),切线的斜率为e.9•求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式：•' y = xcos x — sin x ,• y = cos x — xsin x — cos x =— xsin x. 1 cosx(5) y xe • y = xe 1—cos x,y = e 1 cos x + xe 1 cos x (sin x ) = ( 1 + xsin x )xe 1(6) y T —e 1 e x + 1 =2.=—y= e x — 1= 1 + e x — 1 …y = — 2(e x — 1)2_ (e x — 1)2. 10•已知函数 f(x) ln(x 1) x .(I)求f (x)的单调区间;1(n)求证：当 x 1 时，1ln (x 1)x 1解：(1 )函数f (X )的定义域为(一1,+ 7 .f ( x )与f ( x )随x 变化情况如下:(1)f(x)ax 1 2ln xx (2)f(x)xe 2 1 ax(3)f(x)x2ax2 ln(1 x)(4) y xcosx sinxe 1—cos x—2e x 1x + 1—x x + 1因此f (x )的递增区间为(一1,0),递减区间为(0,+〜.(2)证明由(1)知f (x )詣(0). 即 In (x + 1)氧设 h (x )= In (x + 1)——1 ------------ 1x + 1(2)证明 设P (X 0 , y 0)为曲线上任一点,即 y - X 0- — = 1 + 马(x -X 0).X 0 X 0令x = 0得，y =- 6，从而得切线与直线 x = 0交点坐标为0,- 6 .令y = X ,得y = x = 2X 0，从而得切线与直线 y = x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).1所以点P (X 0, y 。
)处的切线与直线 x = 0, y = x 所围成的三角形面积为 o 故曲线y = f (x )上任一点处的切线与直线x = 0和直线y = x 所围成的三角形面积为定值,h' (x )1 x + 1可判断出h (x )在(—1,0)上递减，在(0,+ X)上递增. 因此 h (x )纬(0)即 In (x + 1) >1- 1 x + 1.1所以当 x >- 1 时 1-X +1 < ln ( X + 1)效11.设函数f(x) ax -，曲线y f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为 7x 4y 120 .x(I)求f (x)的解析式；(n)证明：曲线 y f (x)上任一点处的切线与直线x 0和直线y x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.(1 )解 方程 7x -4y - 12 = 0 可化为 y = [x — 3,41 b当 x = 2 时，y = 2.又 f ' (x )= a + ，于是2a -2=*,b 7 a+4=4，解得a = 1,b = 3.故 f (x )x -x.由f (x )= 1 + $知，曲线在点 P (X 0, y 0)处的切线方程为y -y 0= 1 +1(X —X 0),|2X 0|= 6.此定值为6.12.设函数f(x) x2 e x xe x.(I)求f (x)的单调区间；(H)若当x [ 2,2]时，不等式f (x) m恒成立，求实数m的取值范围. 解(1)函数f (x)的定义域为(一g,+ x),x x x xf (x)= 2x(2 )所以，f(x)min f(2) 4 e2故m 4 e2.。