蒙特卡洛方法在高分子材料中的应用
使用Monte Carlo方法观察受限状态下嵌段聚合物自组装结构-高分子物理-实验5-05
实验五使用Monte Carlo方法观察受限状态下嵌段聚合物自组装结构一、实验目的1．了解Monte Carlo方法模拟聚合物自组装的基本原理2．观察在受限状态下，聚合物自组装过程二、实验原理嵌段共聚物是由化学性质不同的、两个或两个以上的链段，通过化学键相连接而组成的高分子体系。
不同链段之间由于性质不同而相互排斥，导致体系在熔融状态下或者溶液中发生相分离。
由于各嵌段之间由共价键相连，体系的相分离只能发生在微观的链段尺度上。
这种微观尺度的相分离形成的自组装结构尺寸在10 ~ 100纳米之间，它们可以应用于各种纳米器件的制备如微反应器、磁性介质存储等领域，有着广泛的应用前景。
通过细致的研究，人们已经得出这样的结论：这些纳米结构的形成主要是依赖于嵌段共聚物的各种分子参数，例如：分子链内各组分的化学物理特性，不同嵌段间的相互作用，以及分子链的结构性质。
此外，人们通过研究还发现，自组装体系的环境通过对自组装过程的限制可以影响聚合物体系最终的自组装结构。
这一现象表明，人们或许可以通过调控外界环境从而制备新型的纳米结构材料。
在受限状态下，嵌段聚合物与环境界面间的相互作用、环境限制的几何形状和尺度都会影响聚合物自组装的过程。
例如，对称的二嵌段共聚物在本体熔融状态下会自组装形成层状结构。
当这种对称的二嵌段共聚物在硬质平行板间进行自组装时，如果板间距与聚合物自身的层状周期不相容，聚合物的周期结构就会发生改变，从而偏离本体时的稳定结构。
研究者们发现在这一过程中，如果平行板对不同的嵌段有不同的作用，体系就会出现板壁诱导形成的独特结构。
Monte Carlo方法在数学上称其为随机模拟（random simulation）方法，随机抽样（random sampling）技术或统计实验（statistical testing）方法。
它的基本思想是：为了求解数学、物理、几何、化学等问题，建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解；当所解的问题本身属随机性问题时，则可采用直接模拟法，即根据实际物理情况的概率法来构造Monte Carlo模型；然后通过对模型，或过程的观察，或抽样实验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值。
蒙特卡洛方法在高分子材料中的应用
其中Ｎ为投计次数，n为针及平行线相交次数。这就是古典概
率论中著名的蒲丰氏问题。
9
一些人进行了实验，其结果列于下表 ：
试验者 Wolf
时间(年) 针长 1850 0.80
投针次 数
5000
Smith 1855 4 0.75 1030
Lazzarini 1925 0.83 3408
n
i 1
并满足： pi 1
i1
产生[0，1]随机数r，如果条件 p(l1) rp(l)
满足，则认为事件Ai发生。
22
例6-3. 掷骰子点数的抽样
掷骰子点数X=n的概率为： P(X
n)
1
6
选取随机数ξ，如
n1 n
6
6
则
XF n
在等概率的情况下，可使用如下更简单的方法：
XF[6]1
其中［ ］表示取整数。
2
6.1 Monte Carlo方法的基本思想
Monte Carlo方法在数学上称其为随机模拟(random simulation)方法、随机抽样(random sampling)技术或统计 试验(statistical testing)方法．它的最基本思想是：为了求 解数学、物理及化学等问题，建立一个概率模型或随机过 程，使它的参数等于问题的解；当所解的问题本身属随机 性问题时，则可采用直接模拟法，即根据实际物理情况的 概率法则来构造Monte Carlo模型；然后通过对模型或过程 的观察抽样试验来计算所求参数的统计特征，最后给出所 求解的近似值。在高分子科学中的Monte Carlo模拟主要采 用直接模拟方法。
相交次 数 2532
1218
489
1808
π的估计值
分子模拟的原理和应用
分子模拟的原理和应用分子模拟是一种揭示分子之间相互作用、理解不同化学现象和开发新型材料的有力工具。
对于化学和生物科学领域的研究者来说，分子模拟已经成为了一种日常工作方式。
一、分子模拟的原理分子模拟的核心思想是通过计算机模拟来解析分子之间的相互作用。
在分子模拟中，通常会采用经典力场来描述分子的相互作用力，分子的轨迹由牛顿运动方程来描述，这样就能够通过计算机模拟来预测分子间的相互作用情况。
经典力场模型通常涉及势函数，这个函数包括一些理论化学参数，比如键长、键角、倾角、偶极矩等。
这些参数可以在经典力场的框架下被建模，以便描述分子之间的相互作用。
其次，随机数发生器可以产生从均匀分布中抽取的随机数，这些随机数的产生和分配是基于蒙特卡罗方法，可以实现对于分子结构和稳定性等性质的模拟。
二、分子模拟的应用分子模拟作为现代科学的重要研究手段，具有广泛的应用。
由于其优越的特性，包括灵活性、高效性、可视化等特点，分子模拟成为化学和生物科学研究领域的重要工具之一。
1.理论化学分子模拟在物理化学和有机化学研究中得到了广泛应用，比如化学反应动力学和分子重构等方面。
分子模拟还被用来计算化学反应死胡同，预测不同的分子之间的相互作用，以及用于计算固体材料热力学性质，例如材料的热膨胀系数和热导率。
此外，在表面化学中，可以使用分子模拟来预测在表面上的分子结构、稳定性和反应性。
分子模拟还可以用于研究分子在聚集中的行为，例如蛋白质聚集。
2.药物发现分子模拟在药物发现中也有重要的应用。
在设计药物分子时，有时需要对药物分子结构进行优化，以提高其活性和选择性。
分子模拟可以在药物设计过程中模拟分子结构的属性，评估化合物的相互作用和亲和力等方面。
此外，分子模拟还可以用于研究药物分子的药理作用机制。
例如，在研究蛋白质与药物分子间的相互作用时，分子模拟可以预测药物分子与特定蛋白质的最适合互相结合的位点，以确定药物分子的作用机制。
3.材料科学近年来，分子模拟在材料科学中的应用也越来越广泛。
蒙洛卡特方法碳材料
蒙洛卡特方法碳材料Monte Carlo methods are a powerful class of computational algorithms that rely on random sampling to obtain numerical results. 蒙特卡洛方法是一种强大的计算算法类，依赖于随机取样来获得数值结果。
These methods have been successfully applied in various fields, including physics, finance, and computer science. 这些方法已成功应用于各个领域，包括物理学，金融学和计算机科学。
One particular application of Monte Carlo methods is in the study of carbon materials, where these techniques can be used to simulate the behavior of carbon atoms and molecules at the atomic level. 蒙特卡洛方法的一种特殊应用是在碳材料研究中，这些技术可以用来模拟碳原子和分子在原子级别上的行为。
By generating random samples of carbon configurations, researchers can gain insights into the structural, mechanical, and electronic properties of carbon materials. 通过生成碳配置的随机样本，研究人员可以深入了解碳材料的结构、机械和电子性质。
Carbon materials are a diverse class of materials that are composed predominantly of carbon atoms. 碳材料是一类主要由碳原子组成的多样化材料。
计算材料学概述之蒙特卡洛方法详解课件
组合优化方法
针对组合优化问题，通过随机搜索和迭代优 化求解。
分子动力学模拟中的蒙特卡洛方法
01
分子动力学模拟是一种基于物理 模型的模拟方法，通过蒙特卡洛 方法可以模拟分子间的相互作用 和运动轨迹。
02
蒙特卡洛方法在分子动力学模拟 中主要用于求解势能面和分子运 动轨迹，通过随机抽样和迭代优 化实现分子运动状态的模拟。
重要性
随着科技的发展，计算材料学已成为 材料科学研究中不可或缺的工具，有 助于加速新材料的发现和优化现有材 料的性能。
计算材料学的主要研究方法
分子动力学模拟
01
基于原子或分子的动力学行为，模拟材料的微观结构和动态性
质。
蒙特卡洛方法
02
通过随机抽样和概率统计方法研究材料的宏观性质和相变行为
。
密度泛函理论
蒙特卡洛方法可以与分子动力学模拟结合，实现更精确的原子尺 度模拟。
元胞自动机
蒙特卡洛方法可以与元胞自动机结合，模拟复杂系统的演化过程。
有限元分析
蒙特卡洛方法可以与有限元分析结合，实现更高效的数值计算。
蒙特卡洛方法在材料设计中的应用前景
新材料发现
蒙特卡洛方法可用于预测新材料性能，加速新材料发现和开发进 程。
总结词
通过蒙特卡洛方法模拟复合材料的界面行为，包括界面润湿性、粘附力和传质过程等。
详细描述
利用蒙特卡洛方法模拟复合材料的界面行为，分析不同组分间的相互作用和界面结构， 预测材料的界面润湿性、粘附力和传质过程等性能，为复合材料的制备和应用提供理论
依据和技术支持。
蒙特卡洛方法的发
05
展趋势与展望
蒙特卡洛方法的未来发展方向
计算统计量
根据模型和抽样结 果，计算所需的统 计量或系统参数。
受限空间中的高分子链穿越纳米管道的Monte Carlo模拟-高分子物理-实验4-04
实验四受限空间中的高分子链穿越纳米管道的Monte Carlo模拟一、实验目的1．了解键涨落算法（BFM）的基本原理；2．观察受限空间中的高分子链穿越纳米管道的动力学过程；二、实验原理结构是材料物理性能的物质基础。
不同的物质其结构不同，性能当然也不同。
但是性能常常必须通过分子运动才能表现出来。
因此，我们必须深切了解分子运动特点，才能建立高分子的结构和性能的内在联系。
另一方面，生物体系的研究表明，为了实现和完成细胞功能，蛋白质分子经常必须要穿越水和膜物质形成的界面，例如一些特殊的RNA 分子在复制和传递遗传信息时穿越细胞核膜的过程，DNA分子从病毒注射进入寄主细胞，基因在细菌之间的转换以及抗菌素感染等等。
因此，大分子穿越纳米孔（管道）的动力学过程对于生命体系来说是极其重要也是非常普遍的。
同时，类似的穿越过程有着很广泛而又重要的科技应用前景，例如DNA组成序列的分析，长链DNA在凝胶电泳中的分离。
因此，研究高分子链的穿越机制具有十分重要的理论及实际意义。
高分子链穿越纳米管道的动力学行为是极其复杂的过程，受到各种因素的影响，例如分子链的柔性，驱动力的大小，链单元之间以及与管壁的相互作用。
由于实验对各种实验条件和参数的控制比较困难，对所取得的结果的分析和理解也有很大的局限性。
此时，计算机模拟在大分子穿越纳米管道的动力学之一研究领域发挥着极其重要的作用。
Monte Carlo方法在数学上称其为随机模拟（random simulation）方法，随机抽样（random sampling）技术或统计实验（statistical testing）方法。
它的基本思想是：为了求解数学、物理、几何、化学等问题，建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解；当所解的问题本身属随机性问题时，则可采用直接模拟法，即根据实际物理情况的概率法来构造Monte Carlo模型；然后通过对模型，或过程的观察，或抽样实验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值。
聚合反应及大单体凝胶化的动态蒙特卡罗模拟的开题报告
聚合反应及大单体凝胶化的动态蒙特卡罗模拟的开题报告1.研究背景与意义当下，聚合反应在化学、材料科学、生物学等领域均有广泛应用。
聚合反应中的大分子如其聚合物材料、生物大分子、聚合物涂料等广泛应用于各个领域。
而大分子的行为与性质对其应用带来重要影响，因此对聚合反应中大分子的动态行为进行研究能够更好地优化其应用性能。
大分子的动态行为受其分子量、构象、流动性以及环境因素影响，其在聚合反应中的行为还受到单体浓度、温度、反应速率等因素影响。
动态蒙特卡罗（DMC）模拟技术能够模拟大分子的动态行为，而其对于聚合反应体系的模拟具有较高的精度和灵活性，因此在聚合反应大分子动态模拟研究中具有重要意义。
本次研究将基于DMC模拟技术，以聚合反应及大单体凝胶化为研究对象，探究其动态行为以及演化规律，进而为聚合反应体系的优化提供指导。
2.研究内容和计划2.1 研究内容（1）构建聚合反应及大单体凝胶化的动态蒙特卡罗模型。
（2）通过DMC模拟技术，研究聚合反应及大单体凝胶化中大分子的动态行为，探究其演化规律。
（3）通过对模拟结果的分析，挖掘聚合反应体系的优化策略。
2.2 研究计划（1）文献查阅与理论研究（两周）对聚合反应及大单体凝胶化的相关文献进行查阅与整理，学习动态蒙特卡罗模拟技术并进行相关理论研究。
（2）模型构建与程序设计（两周）基于DMC模拟技术，构建聚合反应及大单体凝胶化的动态蒙特卡罗模型，并进行相关程序设计。
（3）模拟计算与数据分析（四周）利用DMC模拟技术，对聚合反应及大单体凝胶化体系进行数值模拟，并对结果进行深入的数据分析。
（4）总结撰写（两周）对研究结果进行总结与归纳，撰写开题报告和论文。
3.研究难点和挑战（1）聚合反应及大单体凝胶化过程的模型构建及模拟。
（2）复杂体系模拟计算的时间与计算资源成本。
（3）数据处理及分析的精度与深度。
4.研究成果预期（1）成功建立聚合反应及大单体凝胶化的动态蒙特卡罗模型。
（2）探究聚合反应体系中大分子的动态行为以及演化规律。
蒙特卡洛方法在材料学中的应用
蒙特卡洛方法在材料科 学中的应用举例
利用蒙特卡洛方法计算陶瓷刀具平均磨损寿命 在连续切削的条件下, 陶瓷刀具的失效形式是以磨粒 磨损为主的磨损失效, 其磨损寿命由材料的断裂韧性、 硬度和切削过程的参数决定. 利用蒙特卡洛方法分别随 机生成断裂韧性与硬度的样本值, 利用连续车削试验确 定切削过程参数, 将得到的样本值与切削参数相结合可 计算刀具在相应切削条件下的磨损寿命及其可靠性 具体的MC模拟分析如下, 对于确定的切削过程, 断裂 韧性和硬度都很好地符合Weibull 分布（概率模型）， 其累积失效概率函数为
x n 1 2s 10
缺点：a,周期较短，b,所得序列有向小端偏移的倾向。
2, 乘同余法
对于xi-1，乘积λxi-1除以M后余数为xi
xi MODxi 1 , M
ri xi / M
其中x0, λ, M为选定的常数，例如：x0=1, λ=513, M=242 等。得到的周期 T ≈ 2×1010，基本满足一般需要。
2 .根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生 随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。 通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分 布的随机数，方可进行随机模拟试验。
3. 根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和 选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包 括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。 4.按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的 随机解。 5. 统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的 精度估计。
（二）物理方法产生随机数
用物理方法产生随机数的基本原理是：利用某些 物理现象，在计算机上增加些特殊设备，可以在 计算机上直接产生随机数。这些特殊设备称为随 机数发生器。用来作为随机数发生器的物理源主 要有两种：一种是根据放射性物质的放射性，另 一种是利用计算机的固有噪声。 用物理方法产生的随机数序列无法重复实现（缺 点），不能进行程序复算，给验证结果带来很大 困难。而且，需要增加随机数发生器和电路联系 等附加设备，费用昂贵。因此，该方法也不适合 在计算机上使用。
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F 1 (r )
这里r是[0，1]均匀分布的随机数，F-1为F(x)的反函数。
例6-4. 在［a,b］上均匀分布的抽样
在［a,b］上均匀分布的分布函数为：
xa 0 xa F ( x) a xb b a xb 1
其抽样方法为：
a (b a)r
表：乘同余法的参数及周期
(52k+1或其他 s (2 或其他) ) 230 231~234 235~239 511 513 515
M
λ
M (2s)
230 231~233 234~236
λ (32k+1)
317 319 321
x0
1或任意奇数 1或任意奇数 1或任意奇数
周期
2s-2 2s-2 2s-2
74k+1(k≠1) 16807
1
1 任意整数
108
5×108 231-1
Monte Carlo方法的核心就是随机数 的使用，因此计算机模拟结果的优劣 将强烈地依赖于伪随机数的质量。
对于已经产生的随机数质量的检验主要是： • 伪随机数的均匀性 • 伪随机数的独立性
伪随机数的均匀性检验可用xn的矩来判别，均匀 性好的随机数序列在N→∞时应满足下列要求：
可以证明
2l P a
求出π值
2l 2l N ( ) aP a n
其中Ｎ为投计次数，n为针与平行线相交次数。这就是古典概
率论中著名的蒲丰氏问题。
一些人进行了实验，其结果列于下表 ：
试验者 Wolf Smith Fox 时间(年) 针长 1850 1855 1884 0.80 0.60 0.75 投针次 数 5000 3204 1030 相交次 数 2532 1218 489 π的估计值 3.15956 3.15665 3.15951
对第一个问题不能从本质上改变，但只要递推公式选得好随机数 的相互独立性是可近似满足；第二个问题，则不是本质的，因为 用Monte Carlo方法解任何问题时，所用随机数个数总是有限的， 只要保证不超过伪随机数序列出现循环现象的长度即可。
用数学迭代方法产生随机数均存在周期现象，随
着迭代过程的不同，其效果也各不相同。一般满 足下列要求的产生方法才可被认为是好的： (1)随机性和统计独立性要好； (2)容易在计算机上实现； (3)省时，存贮量小； (4)伪随机数的周期长。
乘同余法
乘同余法由Lehmer首先提出。由于采用乘同余法具有 在计算机上容易实现、快速等优点，因此乘同余法已被 广泛采用。乘同余法的迭代公式为，
xn1 xn (mod M )
当周期很大时，可用
rn xn / M
作为[0，1]区间上均匀分布的伪随机数序列。（给出初始值x0 及参数λ、M）
simulation)方法、随机抽样(random sampling)技术或统计
试验(statistical testing)方法．它的最基本思想是：为了求 解数学、物理及化学等问题，建立一个概率模型或随机过
程，使它的参数等于问题的解；当所解的问题本身属随机
性问题时，则可采用直接模拟法，即根据实际物理情况的 概率法则来构造Monte Carlo模型；然后通过对模型或过程 的观察抽样试验来计算所求参数的统计特征，最后给出所 求解的近似值。在高分子科学中的Monte Carlo模拟主要采 用直接模拟方法。
卡洛方法的概率模型。当试验次数n足够大时，所得的估值
的精度也随之提高。
例6-2. 蒲丰氏问题
Comte de Buffon (17071788) French Needle experiment, 1777
Buffon投针问题：平面上画很多平行线，间距为a。向此平面投
掷长为l（ l＜a）的针, 求此针与任一平行线相交的概率p。
xn1 6xn (mod11), rn xn /11 （ 6, M 11 ）
上面的例子中，第一个随机数生成器的周期长 度是 10，而后两个的周期长度只有它的一半。 我们自然希望随机数的周期越长越好，这样得 到的分布就更接近于真实的均匀分布。
在给定M的情况下，随机数的周期与 和 初值 x0 (种子)选择有关。
这里r是[0,1]区间均匀分布的随机数。
Los Alamos小组的基础工作刺激了一次巨大的学科 文化的迸发，并鼓励了MC在各种问题中的应用。 学术界一般将Metropolis和Ulam在1949年发表的论 文作为Monte Carlo方法诞生的标志。
6.1 Monte Carlo方法的基本思想
Monte Carlo方法在数学上称其为随机模拟(random
k 四分之一圆面积 r 2 / 4 2 n 正方形面积 r 4
因而，圆周率π的估值为：
4k ˆ n
判断随机点(xi，yi)是否位于圆内的判别式为：
xi2 yi2 1
用一对(0，1)随机数Ul，U2分别模拟随机变量的取值xi和yi，
2 2 当 U1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ U2 1 时，则计数器k值增1。这个判别式就是蒙特
一个简单的例子
当 x0 1 时,得到序列: 1,6,3,7,9,10,5,8,4,2,1,6,3......
如果令 3, x0 1 ,得到序列: 1,3,9,5, 4,1,3,9........ 如果令 3, x0 2, 得到序列： 2, 6, 7,10, 8, 2, 6.......
成员之间存在着与其生成机理密切相关的特定分布，即体 系中所生成的高分子链并非具有相同的分子量，而是存在 着所谓的分子量分布问题；在多元聚合中，多元共聚物不 仅具有分子量分布，而且导致了不同种单元在高分子链上 的排列问题，即所谓的序列分布；在多官能团的聚合反应 中的支化和凝胶化问题；高分子链的热降解和辐射降解等 等，无一不是随机性问题。
设所要求的量x是随机变量ξ的数学期望E(ξ)，那么用 Monte Carlo方法来近似确定x的方法是对ξ进行N次重复抽 样，产生相互独立的ξ值的序列ξl， ξ2，…， ξN，并计算 其算术平均值：
N
1 N
i 1
N
i
根据Kolmogorov的大数定理则有：
P( lim N x) 1
则
XF n
在等概率的情况下，可使用如下更简单的方法：
X F [6 ] 1
其中［ ］表示取整数。
二、连续型分布的抽样： 连续型分布的一般形式如下：
F ( x) f (t )dt
x
这里f(t)为分布的概率密度函数。 如果分布函数的反函数存在，则连续型分布的一般抽样方法 是通过其反函数直接抽样：
• 人们对共混和嵌段共聚物的界面、高分子和液晶的界面、 高分子链的吸附、晶态和非晶态的界面性质和相互扩散问 题开展了Monte Carlo模拟研究。 • 高分子Monte Carlo方法的新算法也是值得研究的。
6.3 随机数与伪随机数
产生均匀分布随机数的方法可以采用物理方法和数学方法。 最简单的产生随机数的物理方法是掷骰子游戏；采用电学噪 声的变化也可产生随机数。但物理方法产生随机数的“费用” 很高，且速度慢。因此，实际应用的随机数一般均在计算机 上采用数学方法来产生。 用数学方法产生的随机数一般均采用某种确定性的表达式来 实现，因此其并非真正的随机，故通常称其为“伪随机数”。
第六章 高分子科学中的Monte Carlo 方法
Monte Carlo方法——一个十分独特的名字
Monte Carlo原为地中海沿岸Monaco
的一个城市的地名，气候温和，景色 怡人，人口不到一万，是世界闻名的 大赌场。将Monte Carlo作为一种计 算方法的命名固然已经赋予了新的内 容。然而，顾名思义， Monte Carlo 方法的随机抽样特征在它的命名上得 到了反映。
241~244 245~248
517 519
237~239 240~242
243~245 246~248
323 325
327 329
1或任意奇数 1或任意奇数
1或任意奇数 1或任意奇数 47594118
2s-2 2s-2
2s-2 2s-2 5882352
108+1
23
1011
1011 231-1
75
伪随机数独立性检验一般采用χ2检验。
随机变量的抽样：
前面讨论了[0，1]均匀分布的伪随机数的产生，然
而在实际应用中概率分布的形式是多种多样的。 一、从随机事件中抽样：假设随机事件的出现概率分别为Pi (i＝1，2，…n)。为了对随机事件Ai进行抽样，首先需构造 累积概率：
p ( 0) 0,, p (l )
Monte Carlo方法在现代高分子科学中 的应用主要具有以下特征:
• 由于高分子凝聚态物理的发展，高分子体系的Monte Carlo研究从对单链的研究转向对高浓度多链体系的研究。
• 由静态平衡态问题向动态和非平衡态问题发展也是当前高 分子Monte Carlo模拟的重要特征。高分子链的分子运动 学，尤其是高浓度多链体系的分子运动问题是当前研究的 重要方面。
N
即当N充分大时， N E( ) x 成立的概率等于1，亦 即可以用 N 作为所求量x的估算值。
例6-1 用统计试验方法求圆周率π
考虑边长为1的正方形，以其一角为圆心和边长为半 径，在正方形内画一条1／4圆弧，如图所示。 在正方形内等概率地产生n个随机 点(xi，yi)，i = l，2，3…，n，设n 个随机点中有k个点落在四分之一 圆弧内，显然，当n → ∞时有以下 关系成立：
用数学方法产生伪随机数的优点是因为它借助于迭代公式， 所以特别适合于计算机。而且其产生的速度快、费用低。目 前，多数的计算机均附带有“随机数发生器”。
用数学迭代方法产生的随机数存在两个问题：