蒙特卡罗方法及应用实验讲义2016资料
蒙特卡罗方法及其应用
计算机处理之蒙特卡罗方法及其应用【标题】蒙特卡罗方法及其应用【摘要】蒙特卡罗方法是一种随即抽样方法，建立一个与求解有关的概率模型或随即现象来求得所要研究的问题的解。
这种利用计算机进行模拟的抽样方法以其精度高，受限少等优点广泛应用于数理计算，工程技术，医药卫生等领域。
本文介绍蒙特卡罗方法的简要内容，起源，基本思路及应用优点，并简要介绍了一些蒙塔卡罗方法在相关医学方面的应用，并提出了一些今后发展与应用上的展望。
【关键词】蒙特卡罗方法基本内容应用【正文】一蒙特卡罗方法简介1 概述蒙特卡罗(Monte Carlo) 方法, 又称随机抽样法，统计试验法或随机模拟法。
是一种用计算机模拟随机现象,通过仿真试验,得到实验数据,再进行分析推断,得到某些现象的规律或某些问题的求解的方法。
蒙特卡罗方法的基本思想是,为了求解数学、物理、工程技术或生产管理等方面的问题,首先建立一个与求解有关的概率模型或随机过程,使它的参数等于所求问题的解,然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征,最后给出所求解的近似值。
概率统计是蒙特卡罗方法的理论基础,其手段是随机抽样或随机变量抽样。
对于那些难以进行的或条件不满足的试验而言,是一种极好的替代方法。
蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，很少受几何条件限制，收敛速度与问题的维数无关。
例如在许多工程、通讯、金融等技术问题中,所研究的控制过程往往不可避免地伴有随机因素,若要从理论上很好地揭示实际规律,必须把这些因素考虑进去。
理想化的方法是在相同条件下进行大量重复试验,采集试验数据,再对数据进行统计分析,得出其规律。
但是这样需要耗费大量的人力、物力、财力,尤其当一个试验周期很长,或是一个破坏性的试验时,通过试验采集数据几乎无法进行,此时蒙特卡罗方法就是最简单、经济、实用的方法。
因此它广泛应用在粒子输运问题，统计物理，典型数学问题，真空技术，激光技术以及医学，生物，探矿等方面。
蒙特卡罗方法及应用
蒙特卡罗方法及应用一、本文概述《蒙特卡罗方法及应用》是一篇深入研究和探讨蒙特卡罗方法及其在多个领域中应用的重要性的文章。
蒙特卡罗方法，又称随机抽样或统计试验方法，是一种基于概率统计理论的数值计算方法。
它通过模拟随机过程，以大量的样本数据来估计求解问题的解，特别适用于处理复杂系统中的不确定性问题。
本文首先介绍了蒙特卡罗方法的基本原理和核心概念，包括随机变量的生成、概率分布的模拟以及随机过程的模拟等。
然后，文章详细阐述了蒙特卡罗方法在各种领域中的应用，如物理学、工程学、金融学、生物学等。
在这些领域中，蒙特卡罗方法被广泛应用于求解复杂系统的数学模型，预测和评估系统的性能，以及优化决策方案等。
本文还讨论了蒙特卡罗方法的优缺点，包括其计算效率高、适用范围广等优点，以及计算精度受样本数量影响、对随机性要求高等缺点。
文章还探讨了蒙特卡罗方法的未来发展趋势，包括与、大数据等前沿技术的结合，以及在新兴领域如量子计算中的应用等。
《蒙特卡罗方法及应用》这篇文章旨在全面介绍蒙特卡罗方法的基本原理、应用领域以及发展前景，为读者提供一个深入理解和学习蒙特卡罗方法的平台。
通过本文的阅读，读者可以更好地理解蒙特卡罗方法的本质和应用价值，为相关领域的研究和实践提供有益的参考和启示。
二、蒙特卡罗方法的基本原理蒙特卡罗方法，又称统计模拟方法或随机抽样技术，是一种以概率统计理论为指导的数值计算方法。
该方法通过模拟随机过程，求解数学、物理、工程以及金融等领域的问题。
蒙特卡罗方法的基本原理可以概括为以下几点：随机抽样：蒙特卡罗方法的核心思想是通过随机抽样来获取问题的数值解。
它根据问题的概率模型，在概率空间中进行随机抽样，以获得问题的近似解。
这种随机抽样可以是简单的均匀抽样，也可以是复杂的概率分布抽样。
大数定律：蒙特卡罗方法基于大数定律，即当试验次数足够多时，相对频率趋于概率。
通过大量的随机抽样，蒙特卡罗方法可以得到问题的近似解，并且随着抽样次数的增加，这个近似解会逐渐接近真实解。
蒙特卡罗方法教学课件第七章蒙特卡罗方法在积分计算中的应用两份文件
2. 重要抽样
1) 偏倚抽样和权重因子 取Vs上任一联合概率密度函数 f1(P)，令
则有 现从 f1(P) 中抽样 N 个点：Pi，i＝1，2，…，N， 则
就是θ的又一个无偏估计。
2) 重要抽样和零方差技巧
要使 最小，就是使泛函I[f1] 极小。 利用变分原理，可以得到最优的 f1(P) 为
舍弃圆外的点，余下的就是所要求的点。 抽样方法为：
>
抽样效率 E=π/4≈0.785
为实现散射方位角余弦分布抽样，最重要的是在 上半个单位圆内产生均匀分布点。下面这种方法，首 先在单位圆的半个外切正六边形内产生均匀分布点， 如图所示。
于是便有了抽样效率更高的抽样方法：
≤
>
抽样效率
例12. 正态分布的抽样
标准正态分布密度函数为：
引入一个与标准正态随机变量X独立同分布的随机变 量Y，则（X,Y）的联合分布密度为：
作变换
则（ρ,φ）的联合分布密度函数为： 由此可知，ρ与φ相互独立，其分布密度函数分别为 分别抽取ρ，φ ：
从而得到一对服从标准正态分布的随机变量X和Y：
对于一般的正态分布密度函数 N(μ,σ2) 的抽样，其 抽样结果为：
特别地，当 g(P)≥0 时，有
这时 即 g1的方差为零。实际上，这时有 不管那种情况，我们称从最优分布 fl(P)的抽样为重要 抽样，称函数 | g(P) | 为重要函数。
3. 俄国轮盘赌和分裂
1) 分裂 设整数 n≥1，令
则 于是计算θ的问题，可化为计算 n 个θi 的和来得到，而 每个 gi(P) 为原来θ的估计 g(P) 的 1/ n ，这就是分裂技 巧。
其中，ξ1，ξ2，…，ξN为随机数序列。为方便起见， 将上式简化为：
蒙特卡罗算法及简单应用
蒙特卡罗算法及简单应用蒙特卡罗算法是一种基于统计的计算方法，主要用于估计数学、物理和工程领域中难以直接求解的问题。
它通过随机采样和统计分析的方法，可以近似地得到问题的解或概率分布。
蒙特卡罗算法的核心思想是利用随机性来代替确定性，通过重复进行大量的随机实验，从而得到问题的近似解。
蒙特卡罗算法的主要步骤如下：1. 定义问题：将问题转化为数学模型，并明确待求解的量。
2. 随机采样：根据问题的特点，选择合适的随机采样方法，生成一系列的随机样本。
3. 计算估计值：根据随机样本计算待求解量的统计量，如均值、方差等。
4. 得到结果：根据统计量得出问题的近似解或概率分布，并根据需求进行分析和应用。
蒙特卡罗算法的简单应用非常广泛，下面以两个例子来说明。
1. 计算圆周率π的近似值：假设有一个边长为2的正方形，并在其中画一个半径为1的圆，那么这个圆的面积就是π/4。
现在我们需要通过蒙特卡罗算法估计圆周率的近似值。
步骤如下：1. 在正方形内随机生成大量的点。
2. 统计落在圆内的点的个数。
3. 通过统计量计算圆的面积，进而估计π的值。
这里的关键在于随机点的生成和统计量的计算，通过重复进行大量的实验，我们可以得到π的近似值。
2. 金融风险评估：蒙特卡罗算法可以用于金融领域中的风险评估。
以股票投资为例，我们希望知道在不同的投资策略下，投资组合的收益和风险的分布情况。
假设我们有若干个股票的历史数据，包括每日的收益率和波动率。
利用蒙特卡罗算法可以模拟出若干个未来的可能情景，然后根据投资策略计算每个情景下的投资组合收益和波动率，最终得到收益和风险的概率分布。
通过分析这些分布，投资者可以评估不同策略的风险和回报情况，制定合理的投资决策。
蒙特卡罗算法不仅可以应用于上述两个简单问题，还可以应用于复杂的问题，如模拟核反应堆的裂变过程、计算复杂的多维积分和求解偏微分方程等。
蒙特卡罗算法的优点是适用于求解各种类型的问题，无论是确定性问题还是概率性问题，只要问题可以建模为数学模型，并且可以通过随机采样进行估计，就可以使用蒙特卡罗算法进行求解。
清华数学实验实验五蒙特卡罗方法
03 蒙特卡罗方法在清华数学 实验实验五中的应用
模拟随机过程
随机过程模拟
蒙特卡罗方法可以模拟各种随机 过程，如股票价格波动、气象变 化等，通过模拟这些过程，可以 更好地理解和预测实际现象。
概率分布模拟
蒙特卡罗方法可以生成符合特定 概率分布的随机数，用于模拟和 研究各种概率分布的性质和行为 。
求解数学问题
蒙特卡罗方法的优缺点
误差和不确定性
蒙特卡罗方法的精度取决于抽样次数，抽样次数越多，精 度越高，但计算成本也越高。同时，由于是随机模拟，结 果存在一定的不确定性。
对离散问题处理不佳
对于一些离散或非连续的问题，蒙特卡罗方法的精度可能 会受到影响。
对参数敏感
蒙特卡罗方法的参数选择对结果影响较大，需要谨慎选择。
02 清华数学实验实验五内容
实验目的
掌握蒙特卡罗方法的原理和应用。 学会使用蒙特卡罗方法解决实际问题。 培养数学建模和计算能力。
实验原理
蒙特卡罗方法是一种基于概率统 计的数值计算方法，通过随机抽
样和统计模拟来求解问题。
该方法适用于具有随机性和不确 定性的问题，通过大量模拟实验
来获得近似解。
蒙特卡罗方法的精度取决于模拟 实验的次数和随机抽样的质量。
金融工程
蒙特卡罗方法在金融工程中广泛应用于 风险评估、资产定价和衍生品定价等问
题。
工程设计
蒙特卡罗方法在工程设计中用于优化 设计参数、模拟系统性能和可靠性分
析等。
物理科学
在物理科学中，蒙特卡罗方法被用于 模拟分子运动、材料性质和量子力学 等领域。
社会科学
在社会科学中，蒙特卡罗方法被用于 模拟社会现象、预测人口变化和评估 政策效果等。
蒙特卡罗方法的优缺点
蒙特卡洛方法及其应用-第1章
例1. 蒲丰问题（随机投针试验）
1777年，法国Buffon研究一个古典概率问
题：为了求得圆周率π值，将长为2l的一
根针任意投到地面上，用针与一组相间距
离为2a（ l＜a）的平行线相交的频率代替
概率P，再利用准确的关系式：
P 2l
a
2l
aP
Buffon提出用 n/N 代替 P
2l
2l N ()
基本思想 计算机模拟试验过程
1777年，古稀之年的Buffon (蒲丰) 在 家中请来好些客人玩投针游戏（针长
是线距之半），他事先没有给客人讲 与π有关的事。客人们虽然不知道主 人的用意，但是都参加了游戏。他们 共投针2212次，其中704次相交。蒲 丰说，2212/704=3.142，这就是π值。 这着实让人们惊喜不已。
X N
1 N
N
Xi
i 1
作为所求解的近似值。由大数定律可知，
如X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限期望值
（E(X)<∞），则
lim P
N
XN
E( X ) 1
即随机变量X的简单子样的算术平均值 X N ，
当子样数Ｎ充分大时，以概率1收敛于它的期望值E(X)。
3. 蒙特卡罗方法的特点
优点
3) 收敛速度与问题的维数无关
使用蒙特卡罗方法时，抽取的子样总数N与维数s无关。
维数的增加，除了增加相应的计算量外，不影响问题
的误差。这一特点，决定了蒙特卡罗方法对多维问题
的适应性。
O(N 1/ 2 )
而一般数值方法，比如计算定积分时，计算时间随维 数的幂次方而增加，这些都是一般数值方法计算高维 积分时难以克服的问题。
因此，在使用蒙特卡罗方法时，可以考虑把蒙特 卡罗方法与解析（或数值）方法相结合，取长补短， 既能解决解析（或数值）方法难以解决的问题，也可 以解决单纯使用蒙特卡罗方法难以解决的问题。这样， 可以发挥蒙特卡罗方法的特长，使其应用范围更加广 泛。
蒙特卡罗方法讲解
蒙特卡罗方法讲解
蒙特卡洛方法（Monte Carlo Method）又称几何表面积法，是用来解决统计及数值分析问题的一种算法。
蒙特卡洛方法利用了随机数，其特点是算法简单，可以解决复杂的统计问题，并得到较好的结果。
蒙特卡洛方法可以被认为是统计学中一种具体的模拟技术，可以通过模拟仿真的方式来估算一个问题的可能解。
它首先利用穷举或随机的方法获得随机变量的统计数据，然后针对该统计数据利用数理统计学的方法获得解决问题的推断性结果，例如积分、概率等。
蒙特卡洛方法在计算机科学中的应用非常广泛，可以用来模拟统计物理、金融工程、统计数据反演、运行时参数优化以及系统可靠性计算等问题，因此广泛被用于许多不同的领域。
蒙特卡洛方法的基本思想是：将一个难以解决的复杂问题，通过把它分解成多个简单的子问题，再用数学方法求解这些子问题，最后综合这些简单问题的结果得到整个问题的解。
蒙特卡洛方法的这种思路，也称作“积分”，即将一个复杂的问题，分解成若干小问题，求解它们的结果，再综合起来，得到整体的结果。
蒙特卡洛方法以蒙特卡罗游戏为基础，用统计学的方法对游戏进行建模。
蒙特卡罗方法介绍及其建模应用---视频课程课件 2016-03-31
1 dxd a
2l a
南京信息工程大学
2016/4/21 21:48
计算机模拟 程序实现： function piguji=buffon(llength1,llength2,mm) %llength1,llength2分别表示1/2线的宽度和针的长度 %mm 是随机实验次数 frq=0; xrandnum = unifrnd(0,llength1,1,mm); theta= unifrnd(0,pi,1,mm); for ii=1:mm if (xrandnum(1,ii)<=(llength2*sin(theta(1,ii)))) frq=frq+1; end end piguji=(2*llength2/llength1)/(frq/mm) end
南京信息工程大学
2016/4/21 21:48
蒙特卡洛模拟的理论基础
大数定律---贝努里（Bernoulli）大数定律
nA lim P p 1 n n
中心极限定理
nA P p (n ) n
X
k 1
n
k
n ~N (0,1)
n
Xn (n ) ~ N (0,1) / n
b a
假设我们向中进行随机投点，则点落在y=f(x)下方的概率p,
南京信息工程大学
2016/4/21 21:48
相间距离为2a（ l＜a）的平行线相交的频率代替概率P，再利用准确 的关系式：
Monte Carlo方法的基本思想 2l P
a
求出π值
2l 2l N ( ) aP a n
其中Ｎ为投计次数，n为针与平行线相交次数。这就是古典概率 论中著名的蒲丰氏问题。 一些人进行了实验，其结果列于下表 ： 实验者 沃尔弗(Wolf) 法国数 斯密思(Smith) 学家 Comte de 福克斯(Fox) Buffon 拉查里尼(Lazzarini) 年份 投计次数 π的实验值 1850 5000 3.1596 1855 3204 3.1553 1894 1120 3.1419 1901 3408 3.1415929
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蒙特卡罗方法及应用实验讲义东华理工大学核工系2016.8实验一 蒙特卡罗方法基本思想一、实验目的1、了解蒙特卡罗方法方法的基本思想；2、掌握蒙特卡罗方法计算面积、体积的方法；3、掌握由已知分布的随机抽样方法。
二、实验原理Monte Carlo 方法，又称统计模拟方法或计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”进行数值模拟的方法，一种采用统计抽样理论近似求解物理或数学问题的方法。
如待求量可以表述成某些特征量的期望值、某些事件出现的概率或两者的函数形式，那么可采用蒙特卡罗方法求解。
在求解某些特征量的期望值或某些事件出现的概率时，必须构建合符实际的数学模型。
例如采用蒙特卡罗方法计算某函数所围面积时，构建的数学模型是构造一已知面积的可均匀抽样区域，在该区域投点，由伯努利定理大数定理可知，进入待求区域投点的频率依概率1收敛于该事件出现的概率（面积之比）。
由已知分布的随机抽样方法指的是由已知分布的总体中抽取简单子样。
具体方法很多，详见教材第三章。
三、实验内容1、安装所需计算工具（MATLAB 、fortran 、C++等）；2、学习使用rand(m,n)、unifrnd(a,b,m,n)函数3、求解下列问题：3.0、蒲丰氏投针求圆周率。
3.1、给定曲线y =2 – x 2 和曲线y 3 = x 2，曲线的交点为：P 1( – 1，1 )、P 2( 1，1 )。
曲线围成平面有限区域，用蒙特卡罗方法计算区域面积；3.2、计算1z z ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩所围体积其中{(,,)|11,11,02}x y z x y z Ω=-≤≤-≤≤≤≤。
4、对以下已知分布进行随机抽样：4.1、()()[]23321,0,12f x x x x =+-∈； 4.2、()()()[]11,1,21E f x f x x E k E =⋅∈+ 其中()()()()()2123221111211411ln 212221E x f x E x x x x E k E E E E E ⎧+-⎛⎫=+-+⎪ ⎪⋅⎝⎭⎪⎨+⎡⎤⎪=-⋅+++-⎢⎥⎪+⎣⎦⎩。
四、实验报告编写1、给出各题的抽样程序并解释语句的含义；2、给出3.1和3.2抽样结果误差随抽样次数的关系图，并解释原因；表1 实验记录表3、给出4.1和4.2的抽样框图、试验累积频率与理论累积频率关系图，并给出抽样次数（>106）与抽样时间。
实验二 由已知分布的随机抽样方法一、实验目的1、掌握由已知分布的随机抽样方法。
2、用编程语言实现某具体随机抽样方法。
二、实验原理由已知分布的随机抽样方法指的是由已知分布的总体中抽取简单子样。
具体方法很多，本实验综合直接抽样方法、挑选抽样方法和替换抽样方法，以散射方位角余弦分布的抽样为例。
实验原理详见教材对应章节。
1.连续型分布的直接抽样方法对于连续型分布，如果分布函数F(x) 的反函数F －1(x)存在，则直接抽样方法是：1()F X F ξ-=2.挑选抽样方法为了实现从己知分布密度函数f(x)抽样，选取与f(x)取值范围相同的分布密度函数h(x)，如果()sup()x f x M h x -∞<<∞=<∞ 则挑选抽样方法为：3.替换法抽样方法为了实现某个复杂的随机变量 y 的抽样，将其表示成若干个简单的随机变量x 1，x 2，…，x n 的函数12(,,,)n y g x x x =得到 x 1，x 2，…，x n 的抽样后，即可确定 y 的抽样，这种方法叫作替换法抽样。
蒲丰氏问题的算法 如何产生任意的（x,θ）？x 在［0，a ］上任意取值，表示x 在［0，a ］上是均匀分布的，其分布密度函数为：11/,0()0,a x af x ≤≤⎧=⎨⎩其他 类似地，θ的分布密度函数为：21/,0()0,f πθπθ≤≤⎧=⎨⎩其他 因此，产生任意的（x,θ）的过程就变成了由f 1(x)抽样x 及由f 2(θ)抽样θ的过程了。
由此得到：12x a ξθπξ==其中ξ1，ξ2均为（0,1）上均匀分布的随机变量。
每次投针试验，实际上变成在计算机上从两个均匀分布的随机变量中抽样得到（x,θ），然后定义描述针与平行线相交状况的随机变量s(x,θ)，为1,sin (,)0x l s x θθ≤⋅⎧=⎨⎩,其他 如果投针Ｎ次，则11(,)NN i i i s s x N θ==∑是针与平行线相交概率Ｐ的估计值。
事实上，12sin 00(,)()()d d d d 2ππl P s x f x f x x la aπθθθθθ===⎰⎰⎰⎰于是有22πNl laP as =≈1、给出源程序程序并解释语句的含义；2、作出抽样框图、试验累积频率与理论累积频率关系图，并给出抽样次数（>106）与抽样时间。
实验三MCNP方法在实验核物理中的应用一、实验目的1、了解MCNP程序运行流程；2、掌握MCNP输入文件编写规范；3、理解模拟内容、并能编写输入文件、运行，并获得计算结果；二、实验原理MCNP是一种常见的粒子输运模拟软件，软件的安装、运行和输入文件编写方法详见相关参考资料。
MCNP输入文件编写完成后，先确认输入模型是否正确，在DOS环境下进行，打开运行DOS环境，进行以下操作：DOS命令操作命令含义Mcnp i=name.inp o=name.o 打开画图框PX vx 输出模型在x=vx面上的切面PY vy 输出模型在y=vy面上的切面PZ vz 输出模型在z=vz面上的切面FACTOR m 将输出图放大1/m倍Extent a b 切面沿两坐标轴方向分别放大ORIGIN X Y Z 定义画图中心位置（X,Y,Z）三、实验内容1、学习MCNP程序常见各种运行方法；2、编写以下问题的输入文件；2.1对课堂讲解的实例，模拟溴化镧探测器对点源的能谱，实验做一遍。
2.2有一HPGe探测器，结构如图1所示。
分别给出位于探测器轴心、距离探测器晶体中心25cm处的137Cs源、60Co、131I源对应特征γ射线的探测效率（计算时相应特征射线的源粒子至少为107个），并给出三者混合源（活度比为1:1:3）的能谱图（源发射总粒子数大于3×108个）。
Cu 的尺寸1.75cm0.09cmAl 壳0.05cm图1 HPGe 探测器结构图四、实验报告1、给出2.1和2.2的MCNP 输入文件并解释每一行的含义；2、分别运行实例，给出实验结果，并对结果进行分析。
实验四 MCNP 模拟计算γ射线造成的剂量一、实验目的1、掌握应用软件MCNP 、应用范围以及在辐射剂量计算和防护中的作用；2、进一步掌握MCNP 程序基本用法；3、利用MCNP 解决一个简单的求解γ射线在空气、组织等效材料(肌肉)中造成的剂量沉积的计算问题，并进行结果分析，得出结论；4、利用MCNP 程序解决实际工作中碰到的实际问题； 二、实验内容1、学习MCNP 程序的基本组成、操作方法以及问题描述文件的写法；2、利用MCNP 程序计算简单的γ射线源在空气、肌肉模型中的剂量沉积分布，并对计算结果进行分析并绘图，得出结论，调整数据重新计算，并与理论计算结果进行比较； 三、内容简介1、MCNP 程序的计算流程如下图1所示：2、MCNP 输入文件通过这个文件描述并建立一个蒙特卡罗计算问题，对问题的几何结构、材料、记数要求等给以描述，如果需要，便可直接运行。
该文件的格式如下： 栅元卡1 栅元卡2 。
栅元卡n空行分隔符曲面卡1曲面卡2。
曲面卡n空行分隔符数据卡1数据卡2。
数据卡n空行分隔符(optional)其它选择项(optional)其中栅元卡用来描述由不同的封闭曲面分割的立体空间区域，并用独有的数字ID号加以标示，同时在各个栅元卡中说明包围该区域的曲面类型(曲面卡)、填充该区域的材料类型(材料卡)以及对应的材料密度等；曲面卡是用来描述不同类型曲面的，并用独有的数字ID号加以标示，最终曲面卡被应用在栅元卡中，并利用交(与)、联(或)、补(非)这些逻辑运算符号联合不同曲面组成所需要的复杂的栅元。
在mcnp中支持的常见曲面类型见参考文献[3,4]。
数据卡类型很多，主要有粒子类型标识卡mode、重要性卡imp、通用源卡sdef、粒子计数器卡Fn、材料描述卡Mn以及粒子截断卡(nps或ctme)等，数据卡的类型涉及到了方方面面，类型很多，具体请见参考文献[3,4]。
下面利用一个简单的例子来配合说明mcnp中的输入卡(inp)的编写格式。
3、一个简单的说明例子为说明如何填写INP文件，这里例举一个简单问题。
如图3所示，在一个边长10cm的石墨立方体3中有两个半径0.5cm的球形空间，球1中充满氧气，球2是铁球。
在球1中置一14MeV各向同性中子点源，计算球2外表面与能量相关的中子通量。
建立的INP文件如下：SAMPLE PROBLEM INPUT DECK1 1 –0.0014 -72 2 –7.86 -83 3 –1.60 1 –2 –34 –567 84 0 -1:2:3:-4:5:-6空行1 PZ -54321874321y 图3 例子的几何示意图2 PZ 53 PY 54 PY -55 PX 56 PX -57 S 0 –4 –2.5 .58 S 0 4 4 .5←空行MODE pIMP:p 1 1 1 0SDEF POS=0 –4 –2.5 ERG=14F2:n 8E0 1E-5 1E-4 1E-3 .01 .1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13M1 8016 1M2 26000 1M3 6000 1NPS 100000←空行本例中没有信息块，第一行是标题卡，之后至空格前为栅元块。
栅元卡上依次填写栅元号、材料号、密度和构成栅元界面的曲面号(带正负号)，这里定义了4个栅元：栅元1由球面7围成，里面填充材料1(16O2气体)，密度是0.0014g/cm3；栅元2由球面8围成，填充材料2(铁)，密度7.86g/cm3；栅元3由平面1、2、3、4、5、6围成，不包括球面7、8以内的空间，填充材料3(石墨)，密度1.6g/cm3；栅元4是栅元3以外的空间，为真空。
曲面卡上需要填写曲面号、曲面类型和曲面参数，本例中定义了8个曲面，前6个为与原点距离5cm垂直于各坐标轴的平面，后两个是半径0.5cm的球面，球心分别在(0,-4,-2.5)和(0,4,4)。
数据块中指定了问题类型、源、记数方式、材料和运行粒子数，各卡数据项的意义如下：MODE卡问题类型是中子输运IMP卡4个栅元的中子重要性分别是1 1 1 0SDEF卡位于(0,-4,-2.5)、能量14MeV的各向同性点源F2卡在曲面8上做中子通量记数E0卡对记数能量分区，1~14MeV之间间隔为1MeV，1MeV~10-5MeV之间间隔为一个数量级M1卡材料1是16O核素M2卡材料2是Fe元素M3卡材料3是C元素NPS卡运行源粒子数100000以上例子仅用于说明INP文件格式，有关各输入卡的详细内容，具体使用方法见参考文献[3,4]。