同济版线性代数1向量的内积长及正交性
线性代数 同济版 5-1 向量的内积 长度及正交性
向量的长度
定义：令 || x || [ x, x] x12 x22 L xn2
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）．
当 || x || = 1时，称 x 为单位向量．
向量的长度具有下列性质：
非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时， || x || > 0．
,
e2
1 0
,
e3
0 1
,
e4
0
0
0
0
0
1
是 R4 的一个规范正交基．
1 2 1 2 0 0
e1
1
0
2
,
e2
1 0
2
[a2, a3] = a2T a3 = x1 － 2 x2 + x3 = 0
Ax
1 1
1 2
1 1
x1
x2
x3
0
0
1
Ax
1
1 2
1 1
x1 x2 x3
0
0
1 1 1 r 1 1 1 r 1 1 1 r 1 0 1
求规范正交基的方法 基 正交基 规范正交基
第一讲：向量的内积、长度和正交性
主讲人：同济大学殷俊锋向量的内积、长度和正交性是线性代数中基本的概念，不仅包含内积、范数等概念，还包括正交向量组、正交规范基、正交矩阵等基本概念，以及将一组线性无关向量组转化为正交规范基的施密特正交化过程。
这些概念对于今后学习矩阵的特征值，以及线性空间等具有非常重要的作用.一、知识要点1、内积、正交定义:给定n 维列向量，定义x 与y 的内积.•内积的性质有交换性、正定性、保持线性运算•施瓦茨不等式•当，则称向量x 与y 是正交的.2(,)(,)(,)≤x y x x y y (,)0=x y 1212(,,,),(,,,)==T T n n x x x x y y y y 1122(,)=+++n n x y x y x y x y2、向量的长度（或范数)定义令称为n 维向量x 的长度（或范数).22212(,),n x x x x x x ==+++x •向量长度的性质有非负性、齐次性和三角不等式•n 维非零向量x 与y 的夹角•当，则称向量x 为单位向量.1=x (),arccos θ=x y x y3、正交向量组、正交基定义正交向量组是一组两两正交的非零向量.定理设n 维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关。
定义设n 维向量是向量空间V 的一个基，如果是两两正交，且都是单位向量，则称是V 的一个规范正交基.12,,,r a a a 12,,,r a a a 12,,,r e e e 12,,,r e e e 12,,,r e e e4、施密特正交化过程设n 维向量是向量空间V 的一个基，则可按照如下步骤将其化为V 的一个规范正交基.步骤：1，正交化令11βα=()()2122111,,αββαβββ=-12,,,r a a a()()()()313233121122,,,,αβαββαββββββ=--()()()()()()121121112211,,,,,,αβαβαββαβββββββββ----=----r r r r r r r r r 121212, , , ,r r r e e e ββββββ===则是V 的一个规范正交基.2：单位化，令12,,,r e e e5、正交矩阵定义设A是一个n阶方阵，如果A T A=E，则称A是正交矩阵，简称正交阵.n 阶方阵A 是正交矩阵A-1=A T;A 的列向量是两两正交的单位向量，即A 的列向量组是R n的标准正交基；A 的行向量是两两正交的单位向量.定义设P是一个正交阵，则线性变换y=Px称为正交变换.6、正交矩阵的性质（1）若A为正交矩阵，则A-1=A T 也为正交阵，且|A|=1或-1；（2）若A和B是正交阵，则AB也是正交阵；（3）正交变换x=Py（P是正交矩阵）保持向量的长度不变.二、教学要求1、理解向量正交、正交基的概念，正交矩阵的概念和性质2、掌握施密特正交化过程的步骤三、例题精讲例1、设140,2,.23λλ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪===+⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭与正交，且，求和a b c a b a c c解：由正交性因此()()()()() ,,,,,λλλ=+=+=a b a a c a a a c a a所以()(),102,5λ-===-a ba a4122(2)02321λ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=--=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭c b a例2、试用施密特正交化过程把向量组正交化.()123111,,124139⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭a a a 解：先作正交化()()()()()()111222111132333121122,111,6210,,331113111,,1482410,,,32391113=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭b a b a b a b b b b a b a b a b b b b b b再把它们单位化，111222333111,31110,21112.61⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭b e b b e b b e b例3、判断矩阵是否为正交阵，并说明理由111231112211132⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭A 解：由于正交矩阵列向量为单位向量且相互正交，而111111,1124913⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭a a 因此，该矩阵不是正交矩阵.例4、设为维向量，，令，证明是对称的正交阵.x 证明：首先证明对称性，()()222,=-=-=-=T T T T T TH E xx E xx E xx H n 1=T x x 2=-T H E xx H ()()()()()2222444444.=--=--=-+=-+=-+=T T T T T T TT T T T TT T H H E xx E xx E xx E xx E xx xx xx E xx x x x x E xx xx E 再证明正交性例5、设都是正交阵，证明也是正交阵.,A B 证明：由题意()===T T T T AB AB B A AB B B E AB ,,==T TA A EB B E AB 所以因此，也是正交矩阵.谢谢！。
线性代数 向量组的正交性
= (0,−2,−1,3)
β3
=
α3
−
(β1,α3 ) (β1, β1)
β1
−
(β2 ,α3 ) (β2, β2)
β2
= (3,5,1, −1) − 8 (1,1,1,1) − −14 (0, −2, −1,3) = (1,1, −2, 0)
4
14
再单位化，得规范正交向量组如下
e1 =
⎜⎛ 1 ⎟⎞
α2 = ⎜− 2⎟
⎜⎝ 1 ⎟⎠
正交，试求 α 3使 α 1 ,α 2 ,α 3 构成三维空间的一个正交基.
解: 设α3 = ( x1, x2 , x3 )T ≠ 0,且分别与α1,α2正交.
则有 (α1,α 3 ) = (α 2 ,α 3 ) = 0
即
{ (α1,α3) = x1 + x2 + x3 = 0
向量组的正交性
一、向量的内积：
1.定义1：设有向量α = ( a1,a 2 , , a n ) β = ( b1,b2 , , bn )
a1b1 + a2b2 + + anbn 称为向量 α 与β 的内积，记为（ α，β ）。
（α，β ）= a1b1 + a2b2 + + anbn
(i) （α，β ）= αβ T (ii) （α，β ）=（β，α )
(iii) （kα, β ）= k(α，β ) =（α, kβ ）
(iv) （α + β ,γ ）= (α，γ ) +（β ,γ ） (v) （α，α ）= a12 + a22 + + an2 = α 2
2.向量的单位化
同济版线性代数课件--1向量的内积、长度及正交性
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
[ei ,e j ] 0, [ei ,e j ] 1,
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念 当 [ x, y] 0 时 , 称向量 x 与 y 正交 .(orthogonal)
由定义知,若 x ,则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
a2 1,
a3
2
[ 1, 2] [ 1, 1]
1.
其中[1, 2] 1,[1,1
a2 0 , 1
a3
1 1
2
0 1
2
2 . 1
四、正交矩阵与正交变换
定义4 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则
称A为 正交矩阵.
3 14
e3
b3 b3
1 6
1,1,2,0
1, 6
1 6
,
2 6
,0
1 1 4
例３
设
a1
2
,a2
3
,
a
3
1
,
试用施密
1 1 0
1向量的内积及正交性
|| || ( ) ai2 i 1
则|| || 称为向量 的范数 (或长度). 特别地, 当|| || 1时, 称 为单位向量.
向量范数具有下列性质（其中 与 是向量， k 是数）
1) 非负性: 当 0 时, || || 0 ; 当 0 时, || || 0 ;
15 , 2 15 , 15 15
15 , 5
15 15
.
由施瓦兹(Schwarz)不等式, 即[ ]2 [ ] , 当 0 , 0 时, 可得
[ ] 1. || || || ||
定义 1.3 设 是两个 n 维非零向量,称 arccos [ ] 为向量 的夹角. || || || ||
2 2 2 2 .
又 0，所以|| |||| || || || .
证毕
注 1°当 || || 0 时, 用非零向量 的长度去乘以向量 ,得到一个单位向量,这一过
程通常称为把向量 单位化. 即
0 1 , || ||
所含有的向量个数不会超过.
定义 1.6 若向量空间V 的一组基是正交向量组, 则该组基称为向量空间的正交基. 若 向量空间V 的一组基是正交的单位向量组, 则该组基称为向量空间的规范正交基(或标准正
交基).
注
1°如向量组
e1
1 , 2
1 2
T
,
0,
0
, e2
Hale Waihona Puke 1, 21 2例 1.5 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化
本_第17讲_向量的内积、长度及正交性 二次型基本知识
一、向量的内积
2. 内积的性质 ⑴ [α , β ] = [ β , α ]; ⑵ [ kα , β ] = k[α , β ], k ∈ R; ⑶ [α + β , γ ] = [α , γ ] + [ β , γ ];
[ ⑷ 当 α = 0 时， α ,α ] = 0,
当 α ≠ 0 时，[α ,α ] > 0;
第10页 页
三、向量的正交性
一定线性无关． 定理 正交向量组 α1 ,α2 ,⋯,αr 一定线性无关． 证 设存在 k1 , k2 ,⋯, kr 使
(＊) ＊
k1α1 + k2α2 + ⋯+ krαr = 0, 两两正交， 由α1 ,α2 ,⋯,αr 两两正交，知
T 以α 1 左乘(＊)式两端，得 ＊ 式两端，
二次型基本知识
二次型的概念； 二次型的概念； 二次型的矩阵表示. 二次型的矩阵表示.
一、二次型的概念
含有n个变量 含有 个变量x1, x2, ⋅ ⋅ ⋅, xn的二次齐次函数 个变量 f(x1, x2, ⋅ ⋅ ⋅, xn) = a11x12+a22x22+ ⋅ ⋅ ⋅ +annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+ ⋅ ⋅ ⋅ +2an−1,, nxn−1xn − − 称为二次型.
两个向量之间的一种运算，其结果是一个数 两个向量之间的一种运算，其结果是一个数， 用矩阵记号表示有 [α , β ] = α T β = β Tα . n≥3维向量的内积是 维向量数量积的推广， 维向量的内积是3维向量数量积的推广 维向量的内积是 维向量数量积的推广， 但是没有3维向量直观的几何意义 维向量直观的几何意义． 但是没有 5. 施密特 施密特(Schimidt)正交化 正交化
1向量的内积长度及正交性
且当且仅当 ai 0(i 1,即2 , n)时， 0 成立,。 0
2. 向量的长度
a1
定义 2
设
n 维向量
a2 ,
an
规定 的长度(或范数)为
[ , ] a12 a22 an2
返回 上页 下页
1
2
例1
已知
21,
13,
0
0
计算两个向量单位化后的内积.
三、正交矩阵、正交变换
1. 正交矩阵
定义 5 若 n 阶方阵 A 满足 ATA=E，则 A 为正交矩阵. 根据定义，容易证明如下正交矩阵的性质： 设 A, B 皆为 n 阶正交矩阵，则
① A1 AT ; ② A1(即 AT) 也是正交矩阵； ③ AB 也是正交矩阵； ④ A 1或1;
返回 上页 下页
(2) 由于 Ax x 亦可写成齐次线性方程组 ( A E)x O
因此，使得 ( A E)x O 有非零解的 值都是矩
阵 A 的特征值.
即，使得 A E 0的 值都是矩阵 A 的特征值.
返回 上页 下页
定义 2 设 n 阶矩阵 A (aij ) ，记
f () A E
a11 a12
相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
上堂课主要内容：
1、内积：对向量
a1
aan2 ,
b1
b2
bn
, a1b1 a2b2 anbn
2、向量的长度：设
a1
a2
an
, a12 a22 an2
3、单位向量：当 1 时，称为单位向量
解 12 22 (1)2 02 6 14
,
,
1 2 2 (3) (1)1 0 0 6 14
向量的内积与正交
使β3 与β1，β2 彼此正交，满足
β3β1 β3, β2 0
即有
β3β1 α3, β1 k1 β1, β1 0
以及
β3β2 α3, β2 k2 β2, β2 0
得
k1
α3 , β1,
β1 β1
,k2
α3 , β2,
β2 β2
于是得
β3
α3
α3 , β1,
1 3
1 21
5 3
1
1 1
1
2 10
那么 β1β2, , βr与 就是与 α1,α2, ,αr 等价的单位正交向量组。
1
例3，a1 1 1
求一组非零向量 α2, α3, 使 α1, α2, α3
两两正交。
解 α2, α3 应满足方程 α1T x 0, 即
x1 x2 x3 0
线性代数
向量的内积与正交
1 向量的内积
2 线性无关向量 组的正交化方法
3 正交阵
内容
向量的内积与正交
定义1 设n 维向量
a1 b1
a2
,
b1
an
b1
令
α, β a1b1 a2b2 anbn
称为向量的内积。
向量的内积是一种运算。如果把向量看成列矩阵，那么向量的内积 可以表示成矩阵的乘积形式
定义2 设有n 维向量
a1
α
=
a1
a1
令
α α, α a12 a22 an2
α 称为n 维向量α 的长度(也称为模或范数)。 向量的长度具有下列性质: （1） α 0,且 α 0当且仅当α 0 （2） kα k α （3） α β α β
性质(1)，(2)是显然的，性质(3)称为三角不等式，这里不予证明。
同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型
p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3
§1 向量的长度、内积及其正交性
© §1 2009, Henan Polytechnic University 向量的长度、内积及正交性
第五章 相似矩阵及二次型
T 1 T 2 , , , E n 1 2 T n
T1 T 2 T n 1 1 1 T T T 21 2 2 2 n E T T T n 1 n 2 n n
2
有 (4) [ x, x] 0, 且当 x 0 时， [ x, x] 0.
(5) [ x, y] [ x, x][ y, y].
© §1 2009, Henan Polytechnic University 向量的长度、内积及正交性
4 4
第五章 相似矩阵及二次型
二、向量的长度及性质 定义2 令
令 x , y x1 y1 x2 y2 xn yn 称[x，y]为向量x与y的内积.
© §1 2009, Henan Polytechnic University 向量的长度、内积及正交性
2 2
第五章 相似矩阵及二次型
说明
1. nn 4 维向量的内积是3维向量数量积 的推广.
A A E
T
a11 a21 a12 a22 a1n a2 n
an1 a11 a12 an 2 a21 a22 ann an1 an 2
a1n a2 n E ann
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.
解 取 b1 a1 ;
1 1 [b1,a ] 4 2 b 2 a 2 [b , ] b1 3 2 1 b1 1 6 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ar b2
] ]
b2
[br1 ,ar ] [br1 ,br1 ]
br
1
那么b1 , ,br两两正交,且b1 , ,br与a1 , ar等价.
(2)
单位化 ,
取 e1
b1 b1
,
e2
b2 b2
,
, er
br br
,
那么 e1 ,e2 , ,er为V的一个规范正交基 .
上述由线性无关向量组a1 , ,ar构造出正交 向量组b1 , ,br的过程,称为施密特正交化过程 .
的一个规范正交基,就是要找一组两两正交的单
位向量e1 ,e2 , ,er ,使e1 ,e2 , ,er与1 , 2 , , r等 价,这样一个问题,称为 把1,2 , ,r 这个基规
范正交化.
下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalization’s method ）
若a1 ,a2 , ,ar为向量空间V的一个基,
(1) 正交化 , 取 b1 ，a1
b2
a2
b1 , a2 b1 , b1
b1
,
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
br
ar
[b1 [b1
,ar , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
第五章 相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换
一、内积的定义及性质
x1
1.定义1 设有 n维向量
x
x2 ,
令 x, y x1 y1 x2 y2 xn yn xn
y1
y
y2 ,
基.
解 设3 x1, x2 , x3 T 0,且分别与1,2正交.
则有 [1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 0
即
[[21,,33
] ]
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
解之得 x1 x3 , x2 0.
若令 x3 1,则有
x1 1
3 x2 0
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
4
14
再单位化，得规范正交向量组如下
e1
b1 b1
1 2
1,1,1,1
1 2
,
1 2
,
1 2
x3 1
由上可知1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交基.
５ 规范正交基
定义3 设n维向量 e1,e2 , ,er是向量空间 V (V
Rn )的一个基,如果e1,e2 , ,er两两正交且都是单位 向量,则称e1,e2 , ,er是V的一个规范正交基.
例如
1 2 1 2 0 0
1. 非负性 当 x 时, x 0;当 x 时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
2. 单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时,称 x为单位向量 .
2当 x 0, y 0时, arccos x, y
xy 称为n维向量x与y的夹角 .
(4) [ x, x] 0,且当 x 时有[ x, x] 0.
(5)[x, y]2 [x, x][ y, y] 施瓦茨不等式
二、向量的长度及性质
1.定义2 令
x x, x x12 x22 xn2 , 称 x 为n维向量 x的长度或范数 . (norm)
向量的长度具有下述性质：
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念 当 [ x, y] 0 时 , 称向量 x 与 y 正交 .(orthogonal)
由定义知,若 x ,则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
i j且i, j 1,2,3,4. i j且i, j 1,2,3,4.
所以 e1 ,e2 ,e3 ,e4为R4的一个规范正交基.
同理可知
1 0 0 0
1
00,
2
10,310,来自40 0.
0
0
0
1
也为R4的一个规范正交基.
６ 求规范正交基的方法
设1 , 2 , , r是向量空间V的一个基,要求V
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
b1,a2 b1 , b1
b1
1,1,0,4
1
1
4
1,1,1,1 0,2,1,3
1111
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
yn
称x, y为向量 x与 y的内积 . (Inner product)
2.内积的运算性质
其中 x , y , z 为 n 维向量 , 为实数 :
(1) x, y y, x; (2) x, y x, y; 或 x,y x, y;
(3) x y, z x, z y, z; 或 x, y z x, y x, z;
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
[ei ,e j ] 0, [ei ,e j ] 1,
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
４ 向量空间的正交基
若1,2 , ,r是向量空间V的一个基,且1,2 ,
,
是
r
两两
正交的
非零
向量组,
则
称1
,
2
,
,r是
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
1
2 2
1
正交，试求 3 使1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交
量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理1 若 n 维向量 α1,α2 , ,αr 是一组两两正交的 非零向量 , 则 α1,α2 , ,αr 线性无关.
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .