九年级第24章 圆复习

注意：
1、直径是弦，而弦不一定是直径； 2、半圆是弧，而弧不一定是半圆； 3、两条等弧的度数相等，长度也相等， 反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。
C
即直径CD垂直于弦AB，平分弦AB, ⌒ ⌒ 并且平分AB及ACB
·
O
E A B D
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
I
● ●
I ●
●
B

┓
C
B
┓
C
提示:假设符合条件的圆已作出,则它的圆心到三边的距 离相等.因此,圆心在这个三角形三个角的平分线上,半径 为圆心到三边的距离.
三角形与圆的位置关系
这圆叫做三角形的内切圆.这个 A
三角形叫做圆的外切三角形.
内切圆的圆心是三角形三
●
I
条角平分线的交点,叫做三 角形的内心.
(1) B
(2) D
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。

（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
（7）平分弦的直径垂直于弦
C B O A C B C O A D A O E D (6)
B
(4)
(5)
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的 角,叫做圆周角. A
性质
内 判定 切
R―r
同 心 两圆内切 内 圆 两圆内含 含
两圆相交
位 d置 关 d =R+ r 1 系 R− r <d <R+ r 2 数 外 R− r =d 切 外1 字 相 r >d 离0 R− 交 化
d 和R、 r关系 交 点 R+r d >R+ r 0
小结:
1)两圆的五种位置关系
2)用两圆的圆心距d与两圆的半径R,r的数量 关系来判别两圆的位置关系
A C
●
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
A C
●
A C B
●
O
O
O
B
B
圆周角定理: 同弧 (等弧) 所对的圆周角相等.
都等于这条弧所对的圆心角的一 半.
思考:
在同圆或等圆中
相等的圆周角所对的弧相等 吗?
在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等.
A B
如图, 若 AC = BD 则 ∠ D=∠A
⌒
请将自己所画的圆与同伴所画的 圆进行比较， 它们是否能够完全重
合？并思考什么情况下两个圆能够完
全重合？ 半径相等的两个圆叫做等圆。 r r O2
O1
判断题
圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;
半径相等的两个圆是等圆.
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，易知同圆或等圆的 半径相等。 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同 心圆 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 等弧应同时满足两个条件：1）两弧的长度相等， 2）两弧的度数相等。
d1 r d2 r
d3 r
符号“ ”读作“等价于”。它表示从左端可以推出右端 并且从右端也可以推出左端。
1、直线 与圆的位置关系表： 直线和圆的位置关系 相交
公共点个数
圆心到直线距离 d 与半径 r 关系 公共点名称 直线名称
2
d<r
相切 1 d=r
相离 0 d>r 无 无
交点
割线
切点
B
如图 ∵OA是⊙O的半径,直线CD经过A 点,且CD⊥OA, ∴ CD是⊙O的切线.

:切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切 线的根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.
切线的性质定理
定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
B
如图∵CD是⊙O的切线,A是
切点,OA是⊙O的半径, ∴CD⊥OA.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧．
“知二推三”
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的推论

如图,在下列五个条件中:
⌒ ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC,
②当弓形所含的弧是优弧时，如图(乙)，
③当弓形所含的弧是半圆时，如图(丙)， 弓形 = S S
1 2
3、圆锥的基本特征 如图：
①圆锥的轴通过底面的圆心，并且垂直于底面； ②圆锥的母线长都相等； ③经过圆锥的轴的平面被圆锥截得的图形是等腰三 角形．
一、知识要点概述
1、弧长公式和扇形面积公式
n°的圆心角所对的弧长l和含n°圆心角的扇形
的面积公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推 来（这样就不至于因死记硬背而出错。）
l n S扇形 n ∵ = , = , 2πR 360 πR 2 360 nπR n 2 ∴l = , S扇形 = πR 180 360
知识精华:
１.中心：一个正多边形外 F 接圆的圆心叫做这个正多 边形的中心． 2.半径：正多边形外接圆的 半径叫做这个正多边形的 半径．
A
O
B C
D
E
G
3.中心角：正多边形每以边 所对的外接圆的圆心角叫 做这个正多边形的中心 角． 4.边心距：中心到正多边形 一边的距离叫做这个正多 边形的边心距．
线是圆的切线”只要连接OA,过点A作OA的垂线即可.
经过圆外一点的切线，这点和切点之 间的线段的长，叫做这个点到圆的切线长
A P O P
A B
切线长定理： 从圆一点外可以引圆的两条切线，它 们的切线长相等，这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角。
弦切角定理
弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆 周角 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等， 那么这两个弦切角也相等。 C 即： ∵MN是切线，AB是弦 O ∴∠BAM=∠BCA
C
A
劣弧与优弧 小于半圆的弧叫做劣弧.
大于半圆的弧叫做优弧.
（如图中的AC）
⌒
⌒ (用三个字母表示,如图中的ACB)
B O
·
C
A
想一想
判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦； (7)等弧就是拉直以后长度相等的弧
将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长 和半径表示的扇形面积公式：
1 S扇形 = lR 2
这一公式与三角形面积公式酷似．为了便于记忆， 只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底、R看 成底边上的高即可．
2、弓形面积 弓形面积可以看作是扇形面积和三角形面积的分解
与组合，实际应用时，可根据图形直观选用下列公式： ①当弓形所含的弧是劣弧时,如图(甲)，S弓形=S扇形OAB －S△AOB；
O
r
B
反过来，如果已知点到圆心的距离和圆的半径之 间的关系，可以判断点和圆的位置关系?
点A在⊙O内
点B在⊙O上
点C在⊙O外
点与圆的位置关系
读作“等价 于”，它表示 设⊙O 的半径为r，点P到圆心的距离OP=d， 从符号左端可 以得到右端， 则有： p d 也可以从右端 得到左端。 点P在⊙O内 d＜r r
切线
2、本节课利用（1）类比点与圆的位置关系，从运动变化的观 点来研究直线和圆的位置关系； （2）利用了分类的思想把直线和圆的位置关系分为三类讨论； （3）用了数形结合的思想，通过 d 与 r 这两个数量之间的关系 来研究直线和圆的位置关系。
切线的判定定理
定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线.
N A
B
M
圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角 互补，外角等于它的内对角。 即： 在⊙O中， ∵四边形ABCD是内接四边形 ∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180° D C ∠DAE=∠C
B A E
三角形与圆的位置关系

从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都 相切? A A
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在
另一个圆的内部时,叫两圆内含.
圆 圆 与 和 圆 圆 的 的 位 位 置 置 关 关 系 系
外离 内含 外切 内切 相交
没 有 公 共 点 一 个 公 共 点 两 个 公 共 点
相 离
相 切
相 交
两圆位置关系的性质与判定:
位置关系
0
两圆外离 两圆外切
⌒
C
D
∴AB∥CD
B

1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°, 求∠A的大小. 解: ∠A
1 = ∠BOC = 25°. 2
A
C
●
O
C
如图,AB是直径,则∠ACB=＿＿＿＿ 90 度 B
A
O
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90度的圆周角所对的弦是直径。
A
如图，设⊙O 的半径为r， C A点在圆内 OA＜r B点在圆上 OB=r OC＞r C点在圆外 OA＜r OB=r OC＞r
⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A
M└
●
B O
D
一、判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这 条直线垂直这条弦。
A C O D A C O B A C