初中数学三元一次方程组
人教版《三元一次方程组的解法》初中数学-教学课件1
组是（ A ）
A．47xx＋＋35yy＝＝23， C．37xx＋＋45yy＝＝23，
B．42x3＋x＋3y1＝7y2＝，11 D．32x3＋x＋4y1＝7y2＝，11
二级能力提升练 x－2y＝－9①，
11.解方程组：y－z＝2②， 2z＋x＝47③.
解：③－①，得 y＋z＝28④.
若不具备上述条件，可以通过适当变形，用____________________求解．
②＋④，得 y＝15. 第八章 二元一次方程组
第八章 二元一次方程组
知识点2 解三元一次方程组
将 y＝15 代入①，得 x＝21. 若不具备上述条件，可以通过适当变形，用____________________求解．
若不具备上述条件，可以通过适当变形，用____________________求解． 若不具备上述条件，可以通过适当变形，用____________________求解． 若不具备上述条件，可以通过适当变形，用____________________求解．
将 y＝15 代入②，得 z＝13. 若不具备上述条件，可以通过适当变形，用____________________求解．
当两个方程的某一个未知数的系数的绝对值相等时，用______________为宜； 若不具备上述条件，可以通过适当变形，用____________________求解． 知识点1 三元一次方程组的概念
知当_识两_代点 个_2方_程解入_的三_某元消一_一个次_元未方_知程_数组法_的_系数_的_绝和对值_相_等加时_，_用减_____消_______元______法____为_宜；_．当方程组中某个方程
若不具备上述条件，可以通过适当变形，用____________________求解．
《三元一次方程组的解法Ppt优秀完美课件初中数学1
例2 在等式 y=ax2+bx+c 中，当 x=-1 时，y=0； 能解较复杂的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想。 则当a＝2，b＝3，c＝5时，
y 值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组. 解：根据题意，得三元一次方程组
(2)求当 x=-3 时，y 的值. 14．为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b，c时，则接收方对应收到的密码为A，B，C，双方约定：A＝2a－b，B＝2b，C＝b＋c，例如发出1，2，3 ，则收到0，4，5. 某农场 300 名职工耕种 51 公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表：
a b c 0， 种植水稻投入的总资金+种植棉花投入的总资金+种植蔬菜投入的总资金=67(万元).
列三元一次方程组解决实际问题的方法与列二元一次方程组解决实际问题的方法类似，根据题意寻找等量关系是解题的关键.
4a 2b c 3， 25a 5b c 60．
解：根据题意，得三元一次方程组
某农场 300 名职工耕种 51 公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜， 已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表：
农作物品种 水稻 棉花 蔬菜
每公顷需劳动力
4人 8人 5人
每公顷需投入资金 1 万元 1 万元 2 万元
已知该农场计划投入 67 万元，应该怎样安排三种农作物的种植面 积，才能使所有的职工都有工作，而且投入的资金正好够用？
(2)求当 x=-3 时，y 的值.
①×2+②，得 6a+3c=3，即 2a+c=1.
初中数学_10.3 三元一次方程组教学设计学情分析教材分析课后反思
10.3 三元一次方程组学案学习目标：1.了解三元一次方程组的概念，会识别三元一次方程组，会利用代入法和加减法解简单的三元一次方程组；2.进一步体会“消元”和“转化”思想在解三元一次方程组是的作用，能够选择简单、特殊的方法解特殊的三元一次方程组。
3.理解通过消元可把“三元”转化为“二元”，充分体会“转化”是解二元一次方程组的基本思路，感受把未知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度小的问题的化归思想。
重点：会解简单的三元一次方程组。
难点：会根据方程组中未知数的系数的特点，选择代入消元法或加减消元法解简单的三元一次方程组。
教法：启发引导式、讨论式及讲解结合的教学方法。
学法：在教学中组织学生采用动手实践、自主探究、合作交流的学习方式进行学习。
具体教学过程设计如下：课前预习温故知新：1.解二元一次方程组的方法有哪几种？他们的实质是什么？2.分别用上面的方法解方程组:2x+2, 3210;yx y=⎧⎨-=⎩（设计意图）：通过温故知新，复习二元一次方程组内容，为三元一次方程组作引子）。
课内助学情景导入：小丽家爸爸、妈妈、小丽三口人的年龄之和为80岁，小丽的爸爸比妈妈大6岁，爸爸与妈妈年龄之和是小丽的年龄的7倍。
试问这家人的年龄分别是多少岁？请问：问题1 题目中哪些是已知量？哪些是未知量？问题2 设爸爸的年龄为x岁，小丽的年龄为y岁，则妈妈的年龄为岁. 问题3 请根据题目中的等量关系列出二元一次方程组求解：问题4 如果设爸爸的年龄为x岁，妈妈的年龄为y 岁，小丽的年龄为z 岁.由题意可以得到怎样的方程呢？请试着列出来.（设计意图）：通过创设问题情境，引入新课，使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题）教学新知：1.上述问题4中方程组与二元一次方程组有什么区别与联系？三元一次方程组的概念：。
2.上述问题3中我们用的什么方法解得二元一次方程组？三元一次方程组可不可以也用这种方法？3.联系问题2、3解刚刚得到的方程组：x+806+y7y zx yx z+=⎧⎪-=⎨⎪=⎩总结：解三元一次方程组的基本思路是：，即：。
初中数学：解三元一次方程组的几种常见消元方法
初中数学：解三元一次方程组的几种常见消元方法
解三元一次方程组的基本思路是消元，即化“三元”为“二元”，将其转化为二元一次方程组求解．
１、若三元一次方程组中的某个方程缺一个元，可将另外两个方程合并以消去这个元，将三元一次方程组转化为二元一次方程组求解．
分析：由于方程②中缺少未知数，所以先将方程①和方程③合并成一个方程并消去．
解析：①×２＋③，得．④
②×８＋④，得，即．
把代入④，化简得．
把代入①，得．
２、若三个方程中均有三个元，但三个方程中至少有两个方程同一个未知数的系数的绝对值相等（或成整数倍关系），可先消去这个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组求解．
分析：由于方程①与方程③中的系数都与方程②中的系数成整数倍关系，所以可先消去．
解析：①＋②×２，得．④
②×３－③，得，即．⑤
由④⑤可解得．代入方程组中任一方程可得．
３、若均非上述两种情况，可先消去系数比较简单的那个元，将三元一次方程组转化为二元一次方程组求解．
分析：显然三个元中的系数的绝对值的最小公倍数最小，应先消去未知数．
解析：①×３－②×２，得．④
①×５－③×２，得．⑤
由④⑤可解得．代入方程组中任一方程可得．
４、对于一些特殊的三元一次方程组，可根据其特殊结构，灵活处理．
分析：这里的三个方程分别缺少一个元，若将它们整体相加后再分别减去每个方程，则可直接得出方程组的解．
解析：①＋②＋③，得．
化简得．④
用④分别减去①②③，得．。
人教版七年级数学下册三元一次方程组(基础) 典型例题(考点)讲解+练习(含答案).doc
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】三元一次方程组（基础）知识讲解责编:杜少波【学习目标】1．理解三元一次方程(或组)的含义；2．会解简单的三元一次方程组；3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.【要点梳理】要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 4．解这个方程组，求出未知数的值； 5．写出答案(包括单位名称)． 要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【典型例题】类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.下列方程组中是三元一次方程组的是( )A ．2102x y y z xz ⎧-=⎪+=⎨⎪=⎩ B ．111216y x z yx z⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ C ．123a b c d a c b d +++=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ D ．18120m n n t t m +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩【答案】D【解析】A 选项中21x y -=与2xz =中未知数项的次数为2次，故A 选项不是；B 选项中1x，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中有四个未知数，故C 选项不是；D 项符合三元一次方程组的定义．【总结升华】理解三元一次方程组的定义要注意以下几点：(1)方程组中的每一个方程都是一次方程；(2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组．类型二、三元一次方程组的解法2.（2016春•枣阳市期末）在等式y=ax 2+bx+c 中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a ，b ，c 的值．【思路点拨】由“当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60”即可得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【答案与解析】解：根据题意，得，②﹣①，得a+b=1④； ③﹣①，得4a+b=10 ⑤．④与⑤组成二元一次方程组，解这个方程组，得，把代入①，得c=﹣5．因此，即a ，b ，c 的值分别为3，﹣2，﹣5．【总结升华】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组．本题属于基础题，难度不大. 【：三元一次方程组 409145 例1】举一反三：【变式】解方程组：【答案】解：①+②得：5311x y +=④①×2+③得：53x y -=⑤由此可得方程组：531153x y x y +=⎧⎨-=⎩④⑤④－⑤得：48y =，2y =将2y =代入⑤知：1x =将1x =，2y =代入①得：3z =所以方程组的解为：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【：三元一次方程组409145 例2（2）】3. 解方程组23520x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩①②【答案与解析】解法一：原方程可化为：253520x zy zx y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩①②③2334823x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩①②③由①③得：25x z =，35y z = ④ 将④代入②得：232055z z z ++=，得：10z = ⑤将⑤代入④中两式，得：2210455x z ==⨯=，3310655y z ==⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩解法二：设235x y zt ===，则2,3,5x t y t z t ===③ 将③代入②得：23520t t t ++=，2t =将2t =代入③得：2224x t ==⨯=，3326,55210y t z t ==⨯===⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【总结升华】对于这类特殊的方程组，可根据其方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法(如设比例系数等)来解． 举一反三：【变式】（2015秋•德州校级月考）若三元一次方程组的解使ax+2y+z=0，则a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．﹣2 D ．4【答案】B ．解：，①+②+③得：x+y+z=1④， 把①代入④得：z=﹣4， 把②代入④得：y=2， 把③代入④得：x=3，把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0， 解得：a=0．类型三、三元一次方程组的应用4. （2015春•黄陂区校级月考）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 元．【思路点拨】首先假设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是y 元，圆珠笔的单价是z 元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a的值，即为所求结果．【答案】5．【解析】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．则由题意得：，由②﹣①得3x+y=1，④由②+①得17x+7y+2z=7，⑤由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，解得：a=5.【总结升华】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．举一反三：【变式】现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?【答案】解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张．依题意，得24122926x y zx y zx y++=⎧⎪⎪++=⎨⎪⎪+=⎩①②③把③分别代入①和②，得21813232x zx z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩④⑤⑤×2，得6x+z＝46 ⑥⑥-④，得4x＝28，x＝7．把x＝7代入③，得y＝13．把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．∴方程组的解是7134xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．答：面值为2元、l元和5角的人民币分别为7张、13张和4张．初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。
初中数学 什么是三元一次方程组
初中数学什么是三元一次方程组三元一次方程组是由三个未知数的一次项和常数项组成的方程组。
它的一般形式可以表示为：ax + by + cz = dex + fy + gz = hix + jy + kz = l其中a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l 都是已知的实数，且a、e 和i 不同时为零。
解三元一次方程组的方法有很多种，下面我将介绍几种常用的方法来计算三元一次方程组的解。
1. 消元法：消元法是一种通过变换方程组，使得方程组中的一个未知数的系数相等，然后相减消去该未知数的方法。
具体步骤如下：- 通过变换方程组，使得三个方程中的一个未知数的系数相等或成比例。
- 用一个方程的两倍减去另一个方程，消去这个未知数，得到一个含有两个未知数的方程。
- 重复以上步骤，再次消去另一个未知数，得到一个只含有一个未知数的方程。
- 解这个只含有一个未知数的方程，求得一个解，记作(x, y, z)。
- 将求得的解代入到任意一个原方程中，验证是否满足。
2. 代入法：代入法是一种通过将一个方程中的一个未知数表示为另一个方程中的未知数的函数，然后代入另一个方程中求解的方法。
具体步骤如下：- 从一个方程中解出一个未知数，例如将第一个方程解出x，得到一个关于y 和z 的表达式。
- 把这个表达式代入到另一个方程中，得到只含有两个未知数的方程。
- 解这个只含有两个未知数的方程，求得一个解，记作(x, y, z)。
- 将求得的解代入到任意一个原方程中，验证是否满足。
3. 矩阵法：矩阵法是一种通过矩阵运算来求解三元一次方程组的解的方法。
具体步骤如下：- 构造系数矩阵A 和常数矩阵B。
- 将方程组转化为矩阵形式，即AX = B。
- 如果A 的逆矩阵存在，则解为X = A^(-1) * B。
4. Cramer法则：Cramer法则利用行列式的性质来计算三元一次方程组的解。
具体步骤如下：- 构造系数矩阵A 和常数矩阵B。
- 计算系数矩阵A 的行列式值D。
初中数学《三元一次方程组的解法》实用课件1
（三个量关系）每张面值 × 张数 = 钱数
1元
x
x
2元
y
2y
5元
z
5z
合计
12
22
注 1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍， 即x=4y
已知农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物
的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的
资金正好够用？
解：设安排x公顷种水稻、y公顷种棉花、z公顷种蔬 菜。由题意得
x+y+z=51， 4x+8y+5z=300，
x+y+2z=67.
解得：
x=15， y=20， z=16.
答：安排15公顷种水稻、20公顷种棉花、16公 顷种蔬菜才能使所有职工都有工作，而且投入的资 金刚好够用。
② 直线和圆，圆和圆的位置关系的判定及应用。
1 2 6、角的表示
括号前面是“+”号看成+1，括号前面是“－”号看成-1，根据乘法的分配律用+1或-1去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。
第六章 数据的收集与整理
3x y 7z 2 3 x y 2 （1）A，B两点的“轴距长方形”ACBD的周长为 8 ；
3x y 2z 3
1
2 x y 4 z 11 若要使运算简
7 x y 5 z 1.
便，消元的方法应选取( )
(A)、先消去x； (B)、先消去y； (C)、先消去z； (D)、
不解方程组，指出下列方程组中先 消去哪个未知数，使得求解方程组较为 简便?
初中数学七年级下册三元一次方程组的解法
*8.4 三元一次方程组的解法教学目标1．理解三元一次方程(组)的概念；2．能解简单的三元一次方程组． 教学过程一、情境导入《九章算术》分为9章，并因此而得名．其中第8章为“方程”，里面有这样一道题目(用现代汉语表述)：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．问：上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？二、合作探究探究点一：三元一次方程组的概念下列方程组中，是三元一次方程组的是( )A.⎩⎨⎧x 2－y ＝1，y ＋z ＝0，xz ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1＝1，1y ＋z ＝2，1z ＋x ＝6C.⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＋d ＝1，a －c ＝2，b －d ＝3D.⎩⎨⎧m ＋n ＝18，n ＋t ＝12，t ＋m ＝0解析：A 选项中，方程x 2－y ＝1与xz ＝2中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A 选项不是；B 选项中1x ，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中方程组含有四个未知数，故C 选项不是；D 选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．探究点二：三元一次方程组的解法解下列三元一次方程组：(1)⎩⎨⎧z＝y＋x，①2x－3y＋2z＝5，②x＋2y＋z＝13；③(2)⎩⎨⎧2x＋3y＋z＝11，①x＋y＋z＝0，②3x－y－z＝－2.③解析：(1)观察各个方程的特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消去z可得到关于x、y的二元一次方程组；(2)观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解，用①减去②可消去z，用①加上③也可消去z，进而得到关于x、y的二元一次方程组．解：(1)将①代入②、③，消去z，得⎩⎨⎧4x－y＝5，2x＋3y＝13.解得⎩⎨⎧x＝2，y＝3.把x＝2，y＝3代入①，得z＝5.所以原方程组的解为⎩⎨⎧x＝2，y＝3，z＝5；(2)①－②，得x＋2y＝11.④①＋③，得5x＋2y＝9.⑤④与⑤组成方程组⎩⎨⎧x＋2y＝11，5x＋2y＝9.解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝－12，y＝234.把x＝－12，y＝234代入②，得z＝－214.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x＝－12，y＝234，z＝－214.方法总结：解三元一次方程组的难点在于根据方程组中方程的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一方程的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法，但要注意必须消去同一个未知数，否则所得的两个新方程虽然都含两个未知数，但由它们组成的方程组仍含三个未知数，并未达到消元的目的．探究点三：三元一次方程组的应用【类型一】三元一次方程组在非负数中的应用若|a －b －1|＋(b －2a ＋c )2＋|2c －b |＝0，求a ，b ，c 的值．解析：本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都为0.解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.可得方程组⎩⎨⎧a －b －1＝0，b －2a ＋c ＝0，2c －b ＝0.解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－4，c ＝－2.方法总结：非负数之和为0，隐含着每个非负数都为0，从而可列方程组求解．【类型二】利用三元一次方程组求数字问题一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的34，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大 1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x ，y ，z ，则原三位数可表示为100x ＋10y ＋z .解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x 、y 、z .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34z ，x ＋y ＝z ＋1，100z ＋10y ＋x ＝100x ＋10y ＋z ＋495，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝6，z ＝8.答：原三位数是368.方法总结：解数字问题的关键是正确地用代数式表示数．如果一个两位数的十位上的数字为a ，个位上的数字为b ，那么这个两位数可表示为10a ＋b .如果一个三位数的百位上的数字为a ，十位上的数字为b ，个位上的数字为c ，那么这个三位数可表示为100a ＋10b ＋c ，依此类推．【类型三】列三元一次方程组解决实际问题某汽车在相距70km 的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h ，而从乙地到甲地需要2.3h.假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30km 、20km 、40km ，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？解析：题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km ；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5h ；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3h.解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是x km ，y km 和z km.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝70，x 20＋y 30＋z 40＝2.5，z 20＋y 30＋x 40＝2.3.解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝54，z ＝4.答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km ，平路是54km ，下坡路是4km. 方法总结：解此题的关键是理解汽车在往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段．三、板书设计 三元一次方程组⎩⎨⎧三元一次方程组的概念三元一次方程组的解法三元一次方程组的应用教学反思通过对二元一次方程组的类比学习，让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想．感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯。
初中数学沪科版七年级上册3.5 三元一次方程组及其解法
(3)-(1)得: 4a+b=10. (5)
a b 1(4)
(4)与(5)组成方程组
解这个方程组得:
a b
34a 2
b
10(5)
a 3
把 b 2 代入(1)得:c=-5 a 3
因此:
b 2
c 5
（1）解二元一次方程组的基本方法是代入法和加 减法，其中加减法比较常用．
（2）解三元一次方程组的基本思想是消元，关键也 是消元，我们一定要根据方程组的特点，选准消元对 象，定好消元方案．
（3）解完后要代入原方程组的三个方程中进行检 验．
练 习 若：a b 1 (b 2a c)2 2c b 0,求a,b,c的值。
解:因为三个非负数的和等于零.所以每个非负
把(1)代入(3)得;3y+z=44.(4)
由(4)得:z=44-3 (5).
把(5)代入(2),得:y=12.
把y=12 分别代入(1),(5).得:x=21,z=8.
所以这个方程组的解是：
x 21
y
12
z 8
注意：应重在化难为易的思考过程分析.
作业
习题3.5: 第1、2、3、4题
例.某学校中的篮球数比排球数的2倍少3,足球
数与排球数的比是2:3,三种球共41个.求三种球
各是多少个.
解:设篮球有X个,排球有Y个,足球有Z个.
根据题意,得: x 2 y 3(1)
2 y 3z(2) x y z 41(3)
例.在等式 y ax2 bx c 中,当x=-1时,y=0;当x=2
时,y=3; 当x=5时,y=60.求a,b,c的值.
北师大版初中八年级上册数学：_8 三元一次方程组
你能有多少 种方法求解？
课堂小结
谈一谈你本节课的收获……
消元具体做法： （1）若某个未知数变形后表达式较简单，可用代入消元法。 （2）若方程组中某个未知数的系数绝对值相等或成倍数关系 时，可选用加减消元法。 （3）若方程组中有至少一个方程只有两个未知数，一般情况 下，缺某元、消某元。 （4）若方程组中三个方程均含有三个未知数，通常要进行两 次消元才能转化为二元一次方程组，但要注意两次必须消去 同一个元。 （5）特殊方程组特殊解。
§ 5.8 三元一次方程组
张掖市第三中学 韩建新
温故知新
1.解二元一次方程组的基本思路是什么？消元的方法有哪些？
消元
代入消元法 加减消元法
“二元” “一元”
2.说一说下面两个方程组用什么方法解比较简单？
y 2x ①.
（1） xy3②
3x 4y 15 ① （2）2x 4 y 10 ②
方程（组）的历史演变
3600多年前，古埃 及的《古草书卷》中有 这样一道数学题：啊哈！ 它的全部，它的1/7， 其和等于19.这是最古 老的用方程解决数学问 题的题目。
方程这个名词， 最早见于我国的古代 算书《九章算术》。
《九章算术》书 中收集了246个应 用问题，共分九 章，《方程》是 其中的一章。
1.了解三元一次方程组的概念 2.会用“代入”“加减”消元法把“三元”化为“二 元”,进而化为“一元”的思想来解三元一次方程组 3.能根据三元一次方程组的具体特点选择适当的解法
问 题
甲、乙、丙三数的和是23
情
境
甲数比乙数大1
甲数的2倍与乙数的和比丙数大20
求这 三个 数?
上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z， 由题意可得：
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初中数学三元一次方程组2019年4月9日（考试总分：160 分考试时长： 120 分钟）一、单选题（本题共计 12 小题，共计 48 分）1、（4分）解方程组得x等于( )A．18 B．11 C．10 D．92、（4分）某瓶中装有1分，2分，5分三种硬币，15枚硬币共3角5分，则有多少种装法( )A．1 B．2 C．3 D．43、（4分）枣庄气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有( )A． 9天B． 10天C． 11天D． 13天4、（4分）今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（）种A．6 B．5 C．4 D．35、（4分）解下面的方程组时，要使解法较为简便，应（）A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数6、（4分）解方程组时，要使解法较为简便，应（）A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数7、（4分）已知 xyz≠0，且，则 x：y：z 等于（）A． 3：2：1 B． 1：2：3 C． 4：5：3 D． 3：4：58、（4分）解方程组时，要使解法较为简便，应（）A．先消去 x B．先消去 y C．先消去 z D．先消去常数9、（4分）现有面值为20元、10元和5元的人民币共24张，合计290元，其中面值为20元的比10元的少6张，则三种人民币的数量分别为( )A．7张，13张，4张B．5张，8张，11张C．6张，9张，9张D．7张，12张，5张10、（4分）方程组的解是（）A ．B ．C ．D ．11、（4分）已知xyz≠0，且，则 x：y：z等于（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．4：5：3 D．3：4：512、（4分）今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（）种A． 6 B． 5 C． 4 D． 3二、填空题（本题共计 4 小题，共计 16 分）13、（4分）某文具商店对文具进行组合销售，甲种组合：2支红色圆珠笔，4支黑色圆珠笔；乙种组合：3支红色圆珠笔，8支黑色圆珠笔，1个笔记本；丙种组合：2支红色圆珠笔，6支黑色圆珠笔，1个笔记本．已知红色圆珠笔每支2元，黑色圆珠笔每支1.5元，笔记本每个10元．某个周末销售这三种组合文具共485元，其中红色圆珠笔的销售额为116元，则笔记本的销售额为________元．14、（4分）方程组的解是________．15、（4分）国庆期间某外地旅行团来重庆的网红景点打卡，游览结束后旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查（每名游客都填了调査表，且只选了一个景点），統计后发现洪崖洞、长江索道、李子坝轻轨站、磁器口榜上有名．其中选李子坝轻轨站的人数比选磁器口的少人；选洪崖洞的人数不仅比选磁器口的多，且为整数倍；选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的倍；选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多24人．则该旅行团共有_______人.16、（4分）x，y，z 满足方程组则xyz=____.三、解答题（本题共计 8 小题，共计 96 分）17、（12分）现有一种饮料，它有大、中、小3种包装，其中1个中瓶比2个小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角，三种包装的饮料每瓶各多少元？18、（12分）100元钱买15张邮票，其中有4元、8元、10元的三种，有几种买的方法？19、（12分）解方程组：（1）（2）（3）20、（12分）解下列三元一次方程组.(1)；(2).21、（12分）现有A、B、C三箱橘子，其中A、B两箱共100个橘子，A、C两箱共102个，B、C两箱共1 06个，求每箱各有多少个？22、（12分）解方程组．23、（12分）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元；营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元；假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖动y元．(1)求x和y的值；(2)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服袋1件共需390元：如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元? 24、（12分）有一个三位数，个位数字是百位数字的3倍，十位数字比百位数字大5，若将此数的个位数与百位数互相对调，所得新数比原数的2倍多35，求原数．一、单选题（本题共计 12 小题，共计 48 分）1、（4分）【答案】C【解析】，①+②+③得:3x+3y+3z=90.∴x+y+z=90④②-①得:y+z-2x=0⑤④-⑤得:3x=30∴x=10故答案选：C.2、（4分）【答案】C【解析】设1分，2分，5分硬币各有x枚，y枚，枚，根据题意得，化简得，∵，，都是正整数，∴解得不合题意，舍去，∴，，，即共三种装法．3、（4分）【答案】C【解析】设一共有x天，早晨下雨的有y天，晚上下雨的有z天，根据题意得：9{67y zx zx y+--＝＝＝，解得：11{45xyz＝＝＝，所以一共有11天，故选C．4、（4分）【答案】D【解析】设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得：，把③代入①②得，解得：z=（k为正整数）．又∵z为正整数，∴当k=1时，z=7；当k=2时，z=5；当k=16时，z=1．综上所述：小虎足球队所负场数的情况有3种情况．故选D．5、（4分）【答案】C【解析】由②2+③即可最快速消除z，到一个关于x、y的二元一次方程组.故选C.6、（4分）【答案】C【解析】由方程组知①中没有未知数z，只需利用加减法消去②、③中的z求解较为简便．故选C．7、（4分）【答案】B【解析】∵，∴①×3+②×2，得2x=y，①×4+②×5，得3x=z，∴x：y：z=x：2x：3x=1：2：3，故选B．8、（4分）【答案】C【解析】由方程组知①中没有未知数z，只需利用加减法消去②、③中的z求解较为简便．故选C．9、（4分）【答案】A【解析】解：设面值为20元的人民币有x张，面值为10元的人民币有y张,面值为5元的人民币有z张，根据题意可得,可得.故本题答案选A.10、（4分）【答案】D【解析】解：，①+②得：5x-z=14，④①+③得：4x+3z=15⑤，④×3+⑤得：19x=57，解得：x=3，把x=3代入④得：z=1，把x=3，z=1代入③得：y=8，则原方程组的解是：．故选:D.11、（4分）【答案】B【解析】∵，∴①×3+②×2，得2x=y，①×4+②×5，得3x=z，∴x：y：z=x：2x：3x=1：2：3，故选B．12、（4分）【答案】D【解析】设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得：，把③代入①②得，解得：z=（k为正整数）．又∵z为正整数，∴当k=1时，z=7；当k=2时，z=5；当k=16时，z=1．综上所述：小虎足球队所负场数的情况有3种情况．故选D．二、填空题（本题共计 4 小题，共计 16 分）13、（4分）【答案】150【解析】解:设该天卖出的甲,乙,丙种组合分别为x,y,z套,根据题意列方程组方程组变形为由②-①消去x可得13(y+z)=195③③化简得y+z=15甲种组合没有笔记本,乙种组合笔记本为1本, 丙种组合笔记本为1本,所以笔记本为1本的数量为：y+z=15（本）笔记本的销售额为（元）故答案为：150.14、（4分）【答案】【解析】解方程组：，由方程（1）-（2）得：x-z=-1 （4），由方程（4）+（3）得：2x=2，解得x=1，把x=1代入方程方程（1）解得：y=0，把y=0代入方程（2）解得：z=2，∴原方程组的解为： .故答案为： .15、（4分）【答案】48【解析】解：设选洪崖洞的有a人，选长江索道的有b人，选李子坝轻轨站的有c人，选磁器口的有d人，根据题意可列方程：c=d﹣8，a=xd（x＞1，且为整数），d+a=5（b+c），b+a=c+d+24，整理可得：，当x=2时，解得b=16，d=﹣20，不符合题意，舍去；当x=3时，解得b=6，d=10，c=30，c=2，则旅行团共有6+10+30+2=48人；当x＞3时，求得的b均为负数，不符合题意.故答案为：48.16、（4分）【答案】-6【解析】由①+②得：x+z=4④，由④+③得：2x=2，∴x=1，把x=1代入③得：z=3，把z=3代入②得：y=-2，∴xyz=1×（-2）×3=-6，故答案为-6．三、解答题（本题共计 8 小题，共计 96 分）17、（12分）【答案】大包装饮料每瓶5元，中包装饮料每瓶3元，小包装饮料每瓶1.6元【解析】设大、中、小包装的饮料每瓶分别为x元、y元、z 元，则，解得．答：大包装饮料每瓶5元，中包装饮料每瓶3元，小包装饮料每瓶1.6元．18、（12分）【答案】有四种买法，也就是买8张4元，1张8元，6张10元或买7张4元，4张8元，4张10元或买6张4元，7张8元，2张10元或买5张4元，10张8元．【解析】设4元、8元、10元三种面值邮票的张数分别为x、y、z张，由题意得，整理得4y＋6z＝40，则2y＋3z＝20，z ＝所以y＝1、4、7、10，对应z＝6、4、2、0，代入①求得x＝8、7、6、5．所以方程组的解为，，，也就是买8张4元，1张8元，6张10元或买7张4元，4张8元，4张10元或买6张4元，7张8元，2张10元或买5张4元，10张8元．19、（12分）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】解：（1）+1=去分母，得3（4x﹣1）+12=4（2x+3）去括号，得12x﹣3+12=8x+12移项及合并同类项，得4x=3系数化为1，得x=；（2）①×3+②，得16x=48解得，x=3，将x=3代入①，得y=2故原方程组的解是；（3）①+②，得2x+4y=﹣2④②×3+③，得3x+11y=﹣8⑤④×3﹣⑤×2，得﹣10y=10解得，y=﹣1，将y=﹣1代入④，得x=1，将x=1，y=﹣1代入①，得z=﹣2故原方程组的解是．20、（12分）【答案】(1)；(2)【解析】解：（1），由①-③，得④6b-c-4=0④,由②+④，得8b-4=08b=4,把代入②，得1+c=0c=-1把代入①，得a+1-4=0a=3∴原方程组的解是.（2）由①-②，得3y=3y=1由③-①，得y+2z=-3④把y=1代入④，得1+2z=-32z=-4z=-2把y=1,z=-2代入①，得 x+1+(-2)=2 x=3∴原方程组的解是.21、（12分）【答案】A 、B 、C 三箱各有48、52、54个. 【解析】设A 、B 、C 三箱橘子数分别是x,y,z,由题意得，100{102 106x y x z y z +=+=+=，解得48{52 54x y z ===.答：A 、B 、C 三箱各有48、52、54个.22、（12分）【答案】【解析】①+②，得 4x+8z=12④ ②×2+③，得 8x+9z=17⑤ ④×2﹣⑤，得 7z=7 解得，z=1， 将z=1代入④，得 x=1，将x=1，z=1代入①，得y=2．故原方程组的解是．23、（12分）【答案】(1) x 的值为2800，y 的值为3；(2) 190元．【解析】 (1)由题意，得，解得，即x 的值为2800，y 的值为3；(2)设一件甲服装为a 元，一件乙服装为b 元，一件丙服装为c 元， 则，将两等式相加得，4a+4b+4c=760， 则a+b+c=190，即购买一件甲、一件乙、一件丙服装共需190元． 24、（12分）【答案】163 【解析】设个位数字为x ，十位数字为y ，百位数字为z ，则可根据题意列三元一次方程组，解这个三元一次方程组求得x ，y ，z ，则这个三位数是100z+10y+x. 设个位数字为x ，十位数字为y ，百位数字为z ，根据题意得，()()3{5 1001021001035x zy z x y z z y x =-=++-++=解得，3{6 1x y z ===所以原数为1×100+6×10+3=163． 答：原数为163.。