人教A版高中数学 必修四 第二章 §2.4平面向量的数量积 教材课时同步培优练习

人教A 版高中数学 必修四 第二章 §2.4平面向量的数量积 教材课时同步培优练习一、本节主要知识点回顾1、两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向； （2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3、“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒C时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4、向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5、两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |6、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a ⋅ b = b ⋅ a（2）数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )（3）分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c7、 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=8、平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、典型例题精选例1、 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a -3b).例2、 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直.例3 、判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.例4、 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角.例5、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.证明：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB =，BC AD =，AC =+∴||2=AD AB AD AB AD AB ⋅++=+2||222 而=- ，∴||2=⋅-+=-2||222 ∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB += 2222||||||||+++例6、 四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等.∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.例7、已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?例8、如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则= (x ， y )，AB = (x -5， y -2) ∵⊥ ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2-5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)27,23(；=)27,23(--或)23,27(-例9、对于任意非零向量a 与b ，求证：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜证明：(1)两个非零向量a 与b 不共线时，a +b 的方向与a ，b 的方向都不同，并且｜a ｜-｜b ｜＜｜a ±b ｜＜｜｜+｜｜(2)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。

例10、下面5个命题：①|·|=||·||②(·)2=2·2③⊥(－)，则·=· ④·=0，则|+|=|－|⑤·=0，则=或=，其中真命题是（ ）A 、①②⑤B 、 ③④C 、①③D 、②④⑤课后自测小练习1.若a →+b →=c →,a →—b →=d →,且向量c →与d →垂直，则一定有 ( )A. a →=b →B. |a →|=|b →|C. a →⊥b →D. |a →|=|b →|且a →⊥b →2.|a →|=1,|b →|=2,且a →与b →的夹角为120º，则(a →+2b →)·(2a →+b →)的值为 ( )A. —5B. 5C. — 5D. 53.在ΔABC 中，AB →=a →, BC →=b →,且a →·b →>0，则ΔABC 为 ( )A.锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形4.已知a →,b →,c →为非零向量，且a →·c →=b →·c →，则有 ( )A. a →=b →B. a →⊥b →C. (a →—b →)⊥c →D. a →=b →或(a →—b →)⊥c →5.下列各式正确的是 ( )A. |a →·b →|=|a →||b →|B. (a →·b →)2=a →2·b →2C.若a →⊥(b →—c →)则a →·b →=a →·c →D. 若a →·b →=a →·c →则b →=c →6.已知a →·b →＝12，且|a →|=3, |b →|=5则b →在a →方向上的投影为 .7. 已知ΔABC 中，|AB →|=|AC →|=4,且AB →·AC →=8，则这三角形的形状为 。

8.向量a →与b →夹角为π3，|a →|=2, |b →|=1, 求|a →+b →|·|a →—b →|的值.9.已知向量a →, b →满足|a →|=13, |b →|=19,|a →+b →|=24, 求|a →—b →|.10. 设向量a →=(1,0), b →=(12, 12), 则下列结论中正确的是 ( ) A. |a →|=|b →| B. a →·b →=22C. a →—b →与b →垂直D. a →//b → 11. 给出下列命题：① 若a →=0→,则对于任意向量b →,有a →·b →=0; ② 若a →·b →=0,则a →=0→或b →=0→；③ 若a →≠0→,则有a →·b →a →2= b →a →； ④ b →≠0→, a →·b →=b →·c →，则a →=c →. 其中真命题的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 412. 以方程组的两组解(x 1, y 1), (x 2, y 2)分别为A 、B 两点的坐标，O 为坐标原点，且OA →·OB →=2, 则a = .13. 若a →=(2, λ), b →=(3,—4)，且a →与b →的夹角为钝角，则λ的取值范围为 .14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(—1,—2), B(2,3), C(—2,—1).(1) 求以线段AB, AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2) 设实数t 满足(AB →—t OC →)·OC →=0，求t 的值.15. 已知向量OA →=a →, OB →=b →, ∠AOB=60°, 且|a →|=|b →|=4.(1) 求|a →+b →|和|a →—b →| (2) 求a →+b →与a →的夹角及a →—b →与a →的夹角.16. 与a →=(3,4)垂直的单位向量是 ( )A. (45, 35)B. (—45, —35)C. (45, —35)或(—45, 35)D. (45, 35)或(—45, —35) 17. A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以ΔABC 为 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形18.已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD 为 ( )A.正方形B.菱形C.梯形D. 矩形19.已知|m →|=6,n →=(cos θ,sin θ), m →·n →=9, 则m →, n →的夹角为( )A.150ºB.120 ºC.60 ºD.30 º20. 已知a →+b →=2i →—8j →, a →—b →=—8i →+16j →,那么a →·b →= —63 （其中i →,j →为两个相互垂直的单位向量）21. 设a →=(x 1, y 1), b →=(x 2, y 2), 有以下命题：①|a →|=x 21+y 21；②|b →|=x 22+y 22；③ a →·b →=x 1x 2+y 1y 2; ④a →⊥b →x 1x 2+y 1y 2=0。