带电体系的静电能
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带电体系的静电能
亦即能量 定域 于 电场之 中。 关键 词 ：带 电体 系；静 电 能；做 功
中图分 类号 ：０ ４ ． ４１ １
一
文献 标识码 ：Ａ
文章编 号 ：１ Ｏ — ６ ２ ２ ０ ）Ｏ —ｏ ５ — ｏ ８ １ ９（ ０ ７ ３ ０ ３ ３ Ｏ
个 带 电体 系 的能量可 分为势 能和 动 能 。在 静 电学 中 ，由于 电荷 之 间处于相 对静 止状 态 ，无 需讨 论
或 Байду номын сангаас
ｑ ｕｚ ＝ １ ： －
＿ｑ ｑ ２ ｌ
由于这类 做功 改变 了体系 的静 电能 ，属于两 个 电荷 之 间相互 作用 能 的变 化 ，因而又 可 以用体 系的相 互作 用能来表示 ，即
Ｗｍ ：
业
ｒ
： （２ｕｌ＋ｑ ｕ２ ｑ ２ ２ １ （） ） ４
ｑ刀 ０
这一相互 作用 能 的积 累显 然 是 由外 力做功或 第一 个 电荷 的 电场 力做负 功转变 而来 的 ，故 这也 是体系 静 电能的另一 个称呼 。 ３多个点 电荷 系统 的相互作 用 能 ．
收 稿 日期 ： ２ ０ － ｌ＿ ｌ ０６－ ２ ３
作者简介：张进明 （ ９１ ） １６－ ，河北涿鹿人 ，张家口职业技术学院教育教学研 究室，副主任，副教授。
５ ３
维普资讯
邢台职业技术学院学报
ｑｚ ｔ １ ｑｌ ｕ ｚ＝ ｑ２
２０ ０ ７年 第 ３期
由上所 述不 难理解 ，电场 力做 功 与体系 的 电势 能完全 遵 守“ 能原 理” 功 而互 相转 化 ，若用 Ｗ 琳表示 外
力做功，其转换关系就是 ｈ ｗ ＝一 （ ＝一 ｑ ＵＡ—ＵＢ ＝一 ｕＡ ） ｑ Ｂ＝ｑ ＵＢ
中图分 类号 ：０ ４ ． ４１ １
一
文献 标识码 ：Ａ
文章编 号 ：１ Ｏ — ６ ２ ２ ０ ）Ｏ —ｏ ５ — ｏ ８ １ ９（ ０ ７ ３ ０ ３ ３ Ｏ
个 带 电体 系 的能量可 分为势 能和 动 能 。在 静 电学 中 ，由于 电荷 之 间处于相 对静 止状 态 ，无 需讨 论
或 Байду номын сангаас
ｑ ｕｚ ＝ １ ： －
＿ｑ ｑ ２ ｌ
由于这类 做功 改变 了体系 的静 电能 ，属于两 个 电荷 之 间相互 作用 能 的变 化 ，因而又 可 以用体 系的相 互作 用能来表示 ，即
Ｗｍ ：
业
ｒ
： （２ｕｌ＋ｑ ｕ２ ｑ ２ ２ １ （） ） ４
ｑ刀 ０
这一相互 作用 能 的积 累显 然 是 由外 力做功或 第一 个 电荷 的 电场 力做负 功转变 而来 的 ，故 这也 是体系 静 电能的另一 个称呼 。 ３多个点 电荷 系统 的相互作 用 能 ．
收 稿 日期 ： ２ ０ － ｌ＿ ｌ ０６－ ２ ３
作者简介：张进明 （ ９１ ） １６－ ，河北涿鹿人 ，张家口职业技术学院教育教学研 究室，副主任，副教授。
５ ３
维普资讯
邢台职业技术学院学报
ｑｚ ｔ １ ｑｌ ｕ ｚ＝ ｑ２
２０ ０ ７年 第 ３期
由上所 述不 难理解 ，电场 力做 功 与体系 的 电势 能完全 遵 守“ 能原 理” 功 而互 相转 化 ，若用 Ｗ 琳表示 外
力做功，其转换关系就是 ｈ ｗ ＝一 （ ＝一 ｑ ＵＡ—ＵＢ ＝一 ｕＡ ） ｑ Ｂ＝ｑ ＵＢ
1.7静电能
取偶极子所在的直线为X轴 取偶极子所在的直线为 轴 当偶极子在此方向上发生微 小位移时， 小位移时，根据虚功原理
F− − q +q
P
F+
x
∂W ∂ F =− = (P ⋅ E) ∂x ∂x
肖 利
吉林师范大学物理学院 电磁学多媒体课件
∂W ∂ F =− = ( P ⋅ E ) = ∇（P ⋅ E） ∂x ∂x 力的大小与场强的变化率成正 ∂E ∂E < 0 F = −P 比 ∂x ∂x 力的方向指向场强大的一侧
一维点阵的总相互作用能： 一维点阵的总相互作用能：
W = NW0 = −2 N (ln 2)
e2 4πε 0 r
计算两个电偶极子的相互作用能， 例1.7-3计算两个电偶极子的相互作用能，设两电偶子的电矩分别为P 和 P ，相 计算两个电偶极子的相互作用能 1 2 决定。 对位置由 r21决定。
ˆ ˆ 1 3( p ⋅ er )er − P E= 3 4πε 0 r
（1）静电能 ）
−q
0
W = − qϕ (r ) + qϕ r + l +q θ ϕ(r + l ) E ∂ϕ ϕ(r ) ϕ ( r + l ) = ϕ( r ) + l = ϕ ( r ) + (∇ ϕ ) l l r ∂l r +l
l
∂ϕ ϕ (r + l ) = ϕ (r ) + = ϕ ( r ) + (∇ ϕ ) l l ∂l
P2 E21 P 1
r21
E 21 =
ˆ ˆ 3( P1 ⋅ er 21 )er 21 − P1 4πε 0 r21
3
W21 = − P2 ⋅ E21 ˆ ˆ 3( P ⋅ er 21 )( P2 ⋅ er 21 ) − P ⋅ P2 1 1 =− 3 4πε 0 r21 W21 = W12
F− − q +q
P
F+
x
∂W ∂ F =− = (P ⋅ E) ∂x ∂x
肖 利
吉林师范大学物理学院 电磁学多媒体课件
∂W ∂ F =− = ( P ⋅ E ) = ∇（P ⋅ E） ∂x ∂x 力的大小与场强的变化率成正 ∂E ∂E < 0 F = −P 比 ∂x ∂x 力的方向指向场强大的一侧
一维点阵的总相互作用能： 一维点阵的总相互作用能：
W = NW0 = −2 N (ln 2)
e2 4πε 0 r
计算两个电偶极子的相互作用能， 例1.7-3计算两个电偶极子的相互作用能，设两电偶子的电矩分别为P 和 P ，相 计算两个电偶极子的相互作用能 1 2 决定。 对位置由 r21决定。
ˆ ˆ 1 3( p ⋅ er )er − P E= 3 4πε 0 r
（1）静电能 ）
−q
0
W = − qϕ (r ) + qϕ r + l +q θ ϕ(r + l ) E ∂ϕ ϕ(r ) ϕ ( r + l ) = ϕ( r ) + l = ϕ ( r ) + (∇ ϕ ) l l r ∂l r +l
l
∂ϕ ϕ (r + l ) = ϕ (r ) + = ϕ ( r ) + (∇ ϕ ) l l ∂l
P2 E21 P 1
r21
E 21 =
ˆ ˆ 3( P1 ⋅ er 21 )er 21 − P1 4πε 0 r21
3
W21 = − P2 ⋅ E21 ˆ ˆ 3( P ⋅ er 21 )( P2 ⋅ er 21 ) − P ⋅ P2 1 1 =− 3 4πε 0 r21 W21 = W12
带电体系的静电能、带电体在外电场中的能量
解：相邻顶点之间的距离为b
面对角线长度为 2b
12对 12对
12e2k / b 12e2k /
1
4 0
2b
体对角线长度为 3b 4对 4e2k / 3b
中心到顶点距离 3b / 2 8对 8(2e2 )k / 3b / 2
总相 互作
用能
we
1
4 0
12e2 (
b
12e2 2b
4e2 3b
32e2 )
静
dq(U U ) u(t)dq
电
能
We
Q
u(t)dq
0
Q q(t) dq 1 Q2
0C
2C
电量 0——>Q
2013/3/13
电容器储能公式的推广
孤立导体
Q=CU
We
1 2
Q2 C
1 CU 2 2
1 QU 2
一组导体1、2、…、n
1
We 2
n i
1 QiUi 2
i
Ui edS
U (r l) U (r) U l l
U(r) l U
U (r l )
U (r )
W ql U P U p E(r) pE cos
2013/3/13
带电体系在外场中受的力或力矩与静电
势能的关系——虚功原理 p271/p61
设处在一定位形的带电体系的电势能为W，当它 的位形发生微小变化
3b
0.344e2
0b
2013/3/13
自能和相互作用能
相互作用能：把每一个带电体看作一个不 可分割的整体，将各带电体从无限远移到 现在位置所做的功等于它们的相互作用能。
自能：把全部电荷从无限分散的情况下聚 集到带电体上的过程中外力克服电场力所 做的功。
静电场的能量
= W互 + W自
5
W互是带电系统内N个带电体之间的相互作用能， 简称为系统的互能。
W自是每个带电体的静电能之和，简称为自能。
静电能 = 自能 + 相互作用能
⑵ 点电荷的自能
设想点电荷q是由半径为R（ R → 0 ）的均匀带电
球收缩半径而成，则球内一点产生的电势为
∫ ∫ ∫ U =
∞r r E ⋅ dl =
12
例1 如图所示，在一边长为d的立方体的每个顶 点上放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个 点电荷+2e，求此带电系统的相互作用能量 。
解：法一
8个顶点上的负电荷的相 互作用能为12对，即
e2 12
4πε 0 d
6个面上对角顶点负电荷的相 互作用能为12对，即
12 e2 4πε0 2d
−e −e
R 0
Qr 4πε 0 R 3
2
4π
r 2dr
+
ε0 2
∞ R
Q 4πε 0 r 2
2
4π
r 2dr
= 3Q2
20πε 0 R
20
例4 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，所带电荷为Q。 若在两球壳间充以电容率为ε的电介质，求此电容器贮存 的电场能量。
解：由高斯定理， r
w1 = 0 (r < R1)
w4 = 0 (r > R2 )
w2
=
1 ε E2 2
=
32π
q2 2ε0ε r1r 4
(R1 < r < R)
w3
=
32π
q2 2ε 0ε r 2r 4
(R < r < R2 )
第五讲 静电场中的能量
1 n 相互作用能： W 2 qiVi i 1
Vi
除 qi 以外所有电荷在 qi 出激发的电势。
2、自能： 一个孤立带电体系其静电能一般称为自能或固有能。 从功的角度定义：
将带电体系的各部分电荷，从无限远分离的状态，聚集成 带电体状态时，外力反抗电场力所做的功。
设 带电体电量为Q，元电荷dq从无穷远整个电荷过程中 外界反抗电场力做元功：
dA udq
－
A dA
0
Q
Q
0
q 1 2 dq Q C 2C
C
dq
dq
U
Q CU
W 1 1 Q CU 2 QU 2 2 2C
2
设电容器正负极板的电荷 +Q，-Q，两极板的电势 代入静电体系的总静电能公式：
1 2 1 1 W Q jU j [(QU ) (QU )] QU 2 j 1 2 2
U2
4 0 R2
Q2
4 0 r
Q1
1、2两球的总静电能：
1 Q1 Q2 1 Q2 Q1 W Q1 ( ) Q2 ( ) 2 4 0 R1 4 0 r 2 4 0 R2 4 0 r Q12 Q2 QQ 1 2 8 0 R1 8 0 R2 4 0 r
2
此式也是1、2两球球面激发的静电场能量。
解2： 带电体系的总静电能等于两球的自能与两球的相互作用 能之和。
W W 12 自 1 W 自2 W
1 Q12 W自1 Q1U1 2 4 0 R1
2 1 Q2 W自2 Q2U 2 2 4 0 R2
可以将两球看成点电荷，求互能：
，
1 W QU 2
结论：该式是电容器的总静电能
Vi
除 qi 以外所有电荷在 qi 出激发的电势。
2、自能： 一个孤立带电体系其静电能一般称为自能或固有能。 从功的角度定义：
将带电体系的各部分电荷，从无限远分离的状态，聚集成 带电体状态时，外力反抗电场力所做的功。
设 带电体电量为Q，元电荷dq从无穷远整个电荷过程中 外界反抗电场力做元功：
dA udq
－
A dA
0
Q
Q
0
q 1 2 dq Q C 2C
C
dq
dq
U
Q CU
W 1 1 Q CU 2 QU 2 2 2C
2
设电容器正负极板的电荷 +Q，-Q，两极板的电势 代入静电体系的总静电能公式：
1 2 1 1 W Q jU j [(QU ) (QU )] QU 2 j 1 2 2
U2
4 0 R2
Q2
4 0 r
Q1
1、2两球的总静电能：
1 Q1 Q2 1 Q2 Q1 W Q1 ( ) Q2 ( ) 2 4 0 R1 4 0 r 2 4 0 R2 4 0 r Q12 Q2 QQ 1 2 8 0 R1 8 0 R2 4 0 r
2
此式也是1、2两球球面激发的静电场能量。
解2： 带电体系的总静电能等于两球的自能与两球的相互作用 能之和。
W W 12 自 1 W 自2 W
1 Q12 W自1 Q1U1 2 4 0 R1
2 1 Q2 W自2 Q2U 2 2 4 0 R2
可以将两球看成点电荷，求互能：
，
1 W QU 2
结论：该式是电容器的总静电能
带电体系的静电能
Q2 1 Q1 1 9q 2 Wc p 4 0 r 4 0 r
两个带电体的总自能
2 2 1 Q1 1 Q2 9 q2 Ws Ws1 Ws2 8 0 R 8 0 R 4 0 R
系统的总静电能
1 9q 2 1 9q 2 We Ws Wc 4 0 r 4 0 R
两个带电体的总自能
2 1 Q12 1 Q2 13 q 2 Ws Ws1 Ws 2 8 0 R 8 0 R 4 0 R
系统的总静电能
1 5q 2 1 13q 2 We Ws Wc 4 0 r 4 0 R
（1）
带电体系的静电能
接触并回到原处后 系统的互作用能
带电体系的静电能
两种解法：
解法一：取无限远处电势为零 移动前系统的电势能 接触后，电荷重新分布
1 Q1Q2 1 5Q 2 p 4 0 r 4 0 r
Q1 Q2 3q
1
2 Q Q 1 9 Q 1 2 移至原位后，系统的电势能 p 4 0 r 4 0 r
外力对系统作负功 根据能量守恒定律，系统的电势能减少了
讨论
由上述两种方法得出了两种截然相反的结果。 该问题中
外力究竟是作正功还是作负功？ 电势能究竟是增加还是减少了？ 能量守恒定律在这里究竟是否适用？
带电体系的静电能
分析 带电体的静电能包含了每个带电体的自能 和带电体间的互作用能
W静 W自 W互
自能： 将一个带电体视为无穷多个带电体元。将 这无穷多个带电体元从无限分散状态聚集成该带电 体，外力所作的功即为该带电体的自能 互能：n 个带电体组成的系统。将各带电体从现 有位置彼此分开到无限远时，他们之间的静电力所 做的功定义为带电体间的互能
两个带电体的总自能
2 2 1 Q1 1 Q2 9 q2 Ws Ws1 Ws2 8 0 R 8 0 R 4 0 R
系统的总静电能
1 9q 2 1 9q 2 We Ws Wc 4 0 r 4 0 R
两个带电体的总自能
2 1 Q12 1 Q2 13 q 2 Ws Ws1 Ws 2 8 0 R 8 0 R 4 0 R
系统的总静电能
1 5q 2 1 13q 2 We Ws Wc 4 0 r 4 0 R
（1）
带电体系的静电能
接触并回到原处后 系统的互作用能
带电体系的静电能
两种解法：
解法一：取无限远处电势为零 移动前系统的电势能 接触后，电荷重新分布
1 Q1Q2 1 5Q 2 p 4 0 r 4 0 r
Q1 Q2 3q
1
2 Q Q 1 9 Q 1 2 移至原位后，系统的电势能 p 4 0 r 4 0 r
外力对系统作负功 根据能量守恒定律，系统的电势能减少了
讨论
由上述两种方法得出了两种截然相反的结果。 该问题中
外力究竟是作正功还是作负功？ 电势能究竟是增加还是减少了？ 能量守恒定律在这里究竟是否适用？
带电体系的静电能
分析 带电体的静电能包含了每个带电体的自能 和带电体间的互作用能
W静 W自 W互
自能： 将一个带电体视为无穷多个带电体元。将 这无穷多个带电体元从无限分散状态聚集成该带电 体，外力所作的功即为该带电体的自能 互能：n 个带电体组成的系统。将各带电体从现 有位置彼此分开到无限远时，他们之间的静电力所 做的功定义为带电体间的互能
65-带电体系的静电能
dW
wedV
Q2 8 π εr 2
dr
W
dW
Q2
8πε
R2 dr r R1 2
Q2 ( 1 1 ) 8 π ε R1 R2
dr Q
r R1
R2
2024/10/13
6.5 带电体系的静电能
-Q
15
讨 论 W Q2 ( 1 1 )
8 π ε R1 R2
（1）
W
Q2 2 C
C 4 π ε R2R1
6.5.1 点电荷系的相互作用能 电荷系的静电相互作用能(互能)：
n个静止电荷所组成的电荷系,将
各电荷从彼此相距无限远搬运到 现有位置时,外力克服它们之间 的静电力所做的功。
W
1 2
n
qi i
i 1
其中： i 为qi 所在处由 qi 以外的其他电荷
产生的电势
6.5 带电体系的静电能
推导
1 最简单的情形：两个点电荷q和Q 点电荷q 在Q 的电场中的电势能为：
)
1 2
q3
(
q1
4 0
r31
q2
4 0r32
)
W
1 2
q1 ( 21
31
)
1 2
q2
(12
32 )
1 2
q3
(13
23 )
1 2
q11
1 2
q22
1 2
q33
2024/10/13
6.5 带电体系的静电能
5
引入第四个电荷
W q1q2 ( q1q3 q2q3 )
4 0r12 4 0r13 4 0r23
6.5 带电体系的静电能
11
2-7带电体系的静电能与电场的势能
2-7带电体系的静电能与电场的势能2-7带电体系的静电能与电场的势能§2-7 带电体系的静电能与电场的势能前面我们分析了有电介质存在时的电场和电势的一些行为，进一步的分析自然少不了有关能量的讨论。
在本节中，我们从较简单的点电荷系统开始分析，然后过渡到连续电荷分布的情形中去。
一、点电荷系统的静电能我们从最简单的情形开始分析。
我们知道，在一定的电场中，若一个点电荷q 所在位置处的电势为U ，那么就可以说这个点电荷具有电势能W=qU，这一点和我们熟知的重力势能很相象。
现在我们可以把电场说得更具体一些，最简单的，设这个电场是由另一个点电荷Q 产生的，于是点电荷q 具有的电势能可以写作这里我们讨论的是在真空中的情形，所以介电常数是ε0, r 是q 和Q 的距离。
同样地，上式也表示了Q 在q 的电场中的电势能，于是我们可以说，由Q 和q 组成静电体系具有的静电能由（1）式给出。
1⎛1 2 ⎛4πε对此式的解释是：我们不但考虑了在Q 形成的电场中q 所具有的电势能，而且还考虑了在q 形成的电场中Q 所具有的电势能，但是对于整个静电系统而言，其静电能只能由其中一项给出，所以要对上式右端的和乘以1/2。
我们之所以写出上面的表达式是因为希望进一步考虑由多个点电荷组成的静电系统。
设想空间中有多个点电荷，其带电量用q i 表示，相应的位置用r i 表示，任意两个点电荷间的距离可以由r ij =r i j =r i -r j 给出，我们来计算整个静电体系的静电能。
我们用一种类似于数学归纳法的办法来计算由N 个点电荷组成的静电体系的静电能。
当只有两个点电荷q 1和q 2时，静电能为q 1q 2r 12现在引入第三个点电荷q 3，那么整个体系的静电能就应该在原有的基础上加上q 3与q 1及q 2之间的静电能，即q 1q 2r 12⎛1+ 4πε⎛q 2q 3⎛⎛ r 23⎛⎛括号里的项正是由于引入第三个点电荷所引起的静电能的改变。
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解:(1)根据空腔导体的静电性质和球对称性,两空腔内表面的 电荷面密度分别是
1
Q1
4R12
和 2
Q2
4R22
又根据电荷守恒定律,导体外表面的的电量Q=Q1+Q2,由于 球对称性,导体外表面的电荷面密度是
Q1 Q2
的电容分别为
C1
0
S d
,
C2
0
S 2d
板极上带电± Q时所储的电能为
W1
1 2
Q2
0C1
1 2
Q2d
0S
，W2
1 2
Q2 2d
0S
故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的增量 为
W＝W2－W1
1 2
Q2d
0S
（2）设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板时 所加外力应等于F ，外力所作的功A=Fd ，所以
（c）圆柱电容器
C
2 0L
ln( R2 )
R1
（F）电容器的联接 （G）电容器的能量
（1）串联
1 1
C i Ci
（2）并联
C Ci
W
Q2
1 CU 2
i
1 QU
2C 2
2
(H) 点电荷系的静电能
1n W 2 i1 qiVi
4.例题
例1.如图所示,一个半径为R的中性导体球,内部有两个球 形空腔,半径分别为R1和R2,在空腔中心分别放置点电 荷Q1和Q2,试求:
F A W Q2
d d 20S
第二章小结
本章知识要点：
1.基本概念
（1）静电平衡 （2）静电屏蔽 （3）电容 （4）静电能
2.基本理论
(1)库仑定律
(2)叠加原理
(3)高斯定理
(4)环路定理
3.基本知识
(5)电场线和等势面的性质
(1)金属导体电结构的特点 (A)导体内部场强处处为零
1.2 三个点电荷
依次把q1 、q2、 q3从相距无限远移至所在的位置。
把q1 移至A点，外力做功 A1 0
再把q2 移至B点，外力做功
最后把q3 移至C点，外力做功
C
A2 A3
q2 q3 (
q1
4
q1
0
r12
4 0 r13
q2
4 0 r23
)
q3 r13
r23 A r12
所以
A
q2V1
1
4 0
q1q2 r
Ar B
q1
q1
q2
q2
同理，先把q2从无限远移B点，再把q1移到A点，外力做功为
A q1V2
1 q1q2
40 r
(V2是q2在A点产生的电势)
可见：两种不同的迁移过程，外力做功相等。
根据功能原理，外力做功等于系统相互作用能增量，因此
q1、q2处于相距为r的状态时静电能为W
S
3.电容器的静电能
设电容器的电容为C，某一瞬时极板带电量绝对值 为q(t)，则该瞬时两极板间电压为 u(t) q(t)
C 此时再继续将电量为dq的正电荷从负极板—>正极板， 外力作多少功？外力所作的功将转化为电容器的能量。
dA dWe u(t)dq
静 电 能
We
Q
u(t)dq
(1)两空腔内表面的电荷面密度 1和 2
导体球外表面的电荷面密度
R Q2
O
R2
Q1
(2)导体外任意点的场强和电势,
R1
(3)两空腔内部的场强和电势,
(4)如果导体接地,上述答案如何变化?如果Q1、Q2位置 变化（仍在空腔内），上述答案是否变化?如果有另 一个点电荷Q3置于导体外，上述答案是否变化?
0
Q q dq 1 Q2
0C
2C
电量 0——>Q
例题、一空气平行板电容器的板极面积为S，间距为d， 用电源充电后两极板上带电分别为± Q。断开电源后 再把两极板的距离拉开到2d。求（1）外力克服两极 板相互吸引力所作的功；（2）两极板之间的相互吸 引力。（空气的电容率取为ε0）。
解 （1 ）两极板的间距为d和2d时，平行板电容器
先把q1从无限远移至A点，因q2与A点相距仍然为无限远， 这一过程外力做功等于零。
A
q1
q1
q2
再把q2从无限远移至B点，外力要克服q1的电场力做功，其 大小等于系统电势能的增量。
A q2 (V1 V )
(V1是q1在B点产生的电势，V∞是q1在无限远处的电势)
V1
1
4 0
q1 r
V 0
（2）静电平衡条件： (B)外表面场强垂直于导体表面
（3）导体的静电性质：
（A）电势分布特点
（B）电荷分布特点
（C）场强分布特点 （D）空腔导体的静电性质
（a）空腔内无带电体 （b）空腔内有带电体
（a）平板电容器 （E）电容器的电容 （b）球形电容器
C 0S
d C 4 0R1R2
R2 R1
§2-5 带电体系的静电能
电荷之间具有相互作用能（静电势能），当电荷间相对位 置发生变化或系统电荷量发生变化时，静电能与其它形式的能量 之间发生转化。
1.带电体系的静电能 1.1 两个点电荷
约定q1、q2处于相距无穷远的静电状态时静电能为零,则它们 处于任意状态时(相距为r)的静电能便有确定的数值。
W A 1 q1q2
40 r
Ar B
q1
q1
q2
q2
为了写成对称的形式，可改写为
W
1 2 q1
1
4 0
q2 r
1 2 q2
1
4 0
q1 r
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
2
qiVi
i 1
结论:两个点电荷组成的系统的相互作用能（电 势能）等于每个电荷在另外的电荷所产生的电场中
的电势能的代数和的一半。
（电势能)为
W
1 2
n
i 1
qiVi
(Vi是除qi外的其它所有电荷在qi 所在处产生的电势)
2.电荷连续分布时的静电能
以体电荷分布为例，设想不断把体电荷元dV从
无穷远处迁移到物体上，系统的静电能为
W
1 2
V
dV
(是体电荷元处的电势)
同理，面分布电荷系统的静电能为
W
1 2
dS
q2
( q1
4 0
r12
q3 )
4 0 r23
q3
(
q1
4 0
r13
q2 )]
4 0r23
1 2
(q1V1
q2V2
q3V3 )
1 2
3
qiVi
i 1
(V1是q2和q3在q1 所在处产生的电势，以此类推)
1.3 多个点电荷
推广至由n个点电荷组成的系统，其相互作用能
q1
B q2
三个点电荷组成的系统的相互作用能量（电势能）
W A1 A2 A3
q2
q1
4 0r12
q3
(
q1
4 0
r13
q2 )
4 0r23
C q3
r13
q1
r23 A r12
B q2
可改写对称的形式为
W
1 2
[q1
(
q2
4 0 r12
q3 )
4 0 r13