2017年高考数学幂函数考点总结_考前复习
幂函数知识点笔记总结
幂函数知识点笔记总结一、基本概念1. 幂函数的定义幂函数是指以底数为自变量，指数为常数的函数，一般形式为 f(x) = a*x^n，其中a为常数，n为整数。
特殊情况下，指数可以是分数或负数。
2. 幂函数的图像特征当底数为正数且指数为正整数时，幂函数为增函数，图像从左下到右上逐渐上升；当底数为正数且指数为负整数时，幂函数为减函数，图像从左上到右下逐渐下降；当底数为负数且指数为奇数时，幂函数为增减函数，图像在原点对称；当底数为负数且指数为偶数时，幂函数为非定义域。
3. 幂函数的定义域和值域幂函数的定义域为实数集合R，值域取决于底数a的正负和指数n的奇偶性，可以是整个实数集合、正实数集合或负实数集合。
4. 幂函数的奇偶性当指数n为奇数时，幂函数为奇函数，具有原点对称性；当指数n为偶数时，幂函数为偶函数，具有y轴对称性。
二、函数性质1. 增减性当指数n为正数时，幂函数为增函数，图像从左下到右上逐渐上升；当指数n为负数时，幂函数为减函数，图像从左上到右下逐渐下降。
2. 奇偶性当指数n为奇数时，幂函数为奇函数，具有原点对称性；当指数n为偶数时，幂函数为偶函数，具有y轴对称性。
3. 定义域和值域幂函数的定义域为实数集合R，值域取决于底数a的正负和指数n的奇偶性。
4. 图像特征底数为正数且指数为正整数时，幂函数为增函数；底数为正数且指数为负整数时，幂函数为减函数；底数为负数且指数为奇数时，幂函数为增减函数；底数为负数且指数为偶数时，幂函数为非定义域。
5. 渐近线当底数a为正数且指数n为正数时，幂函数的渐近线为y=0（x轴）；当底数a为正数且指数n为负数时，幂函数的渐近线为x=0（y轴）；其他情况下，幂函数没有渐近线。
三、常见变形1. 幂函数的平移对于幂函数f(x) = a*x^n，当a>0时，平移y轴时，可以通过加减常数来实现；当a<0时，平移x轴时，也可以通过加减常数来实现。
2. 幂函数的伸缩对于幂函数 f(x) = a*x^n，当a>0时，伸缩x轴时，可以通过系数a来实现；当a<0时，伸缩y轴时，也可以通过系数a来实现。
高考数学复习点拨：幂函数要点精析
幂函数要点精析一、二、重点与难点学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，要熟记α= 1，2，3，12，－1时幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点(1，1)和利用直线y = x来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．三、重点知识精析1．幂函数的一般形式为y = xα，其中x 是自变量，α是常数，其定义域是使xα有意义的x值的集合．幂函数的定义域随幂指数的变化而变化，所以应根据各种幂指数的意义来确定幂函数的定义域．2．由幂函数定义可知，函数y = 2x2、y = x2－1等都不是幂函数．反比例函数y =kx(k≠0)，一次函数y = kx＋b (k≠0)，二次函数y = ax2＋bx＋c (a≠0)中，分别当k = 1，k = 1且b = 0，a = 1且b = c = 0时，即y = x1-，y = x，y = x2是幂函数，当这些条件不具备时，它们均不符合幂函数的定义，但它们是由幂函数经过算术运算而得到的初等函数．3．幂函数与指数函数的主要区别是：幂函数是底数为变量，指数函数是指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．4．幂函数的图象和性质：幂函数的图象的位置和形状变化复杂，只要幂指数稍有不同，图象的位置和形状就可能发生和大的变化．⑴幂函数的图象都过点(1，1)，除原点外，任何幂函数的图象与坐标轴都不相交．当α= 1，3和－1时，幂函数y = x α的图象在第一或第三象限；当α= 2时，幂函数y = x α的图象在第一或第二象限；α=12时，幂函数y = x α的图象在第一象限．就是说，任何幂函数的图象一定经过第一象限且一定不经过第四象限．⑵当α= 1，2，3，12时，幂函数图象过原点，且在[0，＋∞)上是增函数，此性质还可以推广到当α＞0时也成立．⑶当α=－1时，幂函数图象不过原点，且在(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，函数y = x 1-的图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近．(若再用描点法做出α=－2或α=－3等函数的图象，还可以得到α=－1时的幂函数图象的性质就是α＜0时的幂函数图象的基本性质)．⑷按照函数奇偶性定义，函数y = x 、y = x 3和y = x 1-都是奇函数，函数y = x 2是偶函数，由于函数y = x 12的定义域关于原点不对称，函数在其它象限无图象，只在第一象限有图象，所以函数y = x 12是非奇非偶函数．⑸任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．5．应用幂函数的单调性比较大小时，应将幂指数变为相同，且幂的底数为正数，分别比较，并且注意分别与0与1，与－1比较，从而确定大小关系．6．利用幂函数知识解题时，要注意数形结合，并且注意幂函数的图象在第一象限内凸凹情况需和直线y = x 比较．作幂函数的图象关键是利用幂函数的有关特性先作出在第一象限内的图象，然后再根据定义域、值域以及奇偶性作出在其它象限内的图象(如果存在的话)．四、典型例题解析例1 确定m 的值，使幂函数()f x = (m 2－m ＋1)x 221m m --的图象在第一象限内呈下降趋势．分析：对于带字母参数的函数是幂函数时，一定要使系数为1，而幂指数按题设情况而定．解：依题意有：2211210m m m m ⎧-+=⎪⎨--<⎪⎩⇒0111m m m ==⎧⎪⎨<<⎪⎩或⇒m= 0或m = 1． 例2 如果幂函数()f x = x α(α∈Q)为奇函数，且图象过原点，求证()f x = x α(α∈Q)在(－∞，＋∞)上为增函数．证明：由幂函数()f x = x α的图象过坐标原点，从而有α＞0，(0)f = 0． 由幂函数的特性知()f x 在(0，＋∞)上是递增函数，又据()f x 是奇函数可知，()f x 在(－∞，0)上也是递增函数，设x 1＜0＜x 2，则1()f x ＜(0)f ＜2()f x ．故()f x = x α(α∈Q)在(－∞，＋∞)上为增函数．例3 已知幂函数()f x = x 21m-(m ∈Z)的图象与x 、y 轴都无交点，且关于原点对称．⑴求函数()f x = x 21m -的解析式；⑵讨论函数()F x=－()b f x 的奇偶性． 解：⑴因为函数图象与x 轴、y 轴都无交点，所以m 2－1≤0，解得－1≤m ≤1，又图象关于原点对称，且m ∈Z ，所以m = 0．∴()f x = x 1-．⑵()F x=()b f x =||a x －bx ． 因此，()F x 的奇偶性，由参数a 、b 是否为零决定．①当a≠0且b≠0时，()F x是非奇非偶函数；②a = 0且b≠0时，()F x是奇函数；③当a≠0且b = 0时，()F x是偶函数；④当a = 0且b = 0时，()F x既是奇函数又是偶函数．。
2017高考数学知识点：幂函数的性质
2017年高考数学知识点：幂函数的性质形如y=x^a（a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a 为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^（p/q）=q 次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+∞）。
当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/（x^k），显然x≠0，函数的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）。
因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>；0，则a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x；0的所有实数，q不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
高中幂函数知识点总结
高中幂函数知识点总结幂函数知识点包括幂函数的定义、幂函数的图象和性质、利用幂函数解不等式的步骤、幂函数图象性质的拓展等部分，有关幂函数的详情如下：幂函数的定义(1)一般地，函数y＝xα叫做幂函数(power function)，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数解析式的结构特征①指数为常数；②底数是自变量，自变量的系数为1；③幂xα的系数为1；④只有1项．幂函数的图象和性质常见幂函数(1)y＝x、y＝x2、y＝x3、、y＝x－1的图象(2)性质利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式求参数范围，注意分类讨论思想的应用．幂函数图象性质的拓展对于幂函数y＝xα(α∈R)时，可视为y＝型(p，q互异)根据最简分数的值，来类比常见幂函数的图象．(1)当α＞0时，①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而增大；③在第一象限内，α＞1时，图象是向下凸的；0＜α＜1时，图象是向上凸的；④在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展．(2)当α＜0时，①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的；③在第一象限内，图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；④在第一象限内，过点(1,1)后，|α|越大，图象下降的速度越快．(3)幂函数的奇偶性．y＝xα，当α＝p，q∈Z)是最简分数时，当p，q均为奇数时，y＝xα是奇函数；当p为偶数，q为奇数时，y＝xα是偶函数；当q为偶数时，y＝xα为非奇非偶函数．。
高考数学知识点：幂函数知识点_知识点总结
高考数学知识点：幂函数知识点_知识点总结定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。
当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
高考数学知识点 幂函数知识点_知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点_知识点总结幂函数是高中数学中重要的知识点之一，它在高考数学考试中经常出现。
掌握幂函数的知识点对于顺利解决各类与幂函数相关的数学题目至关重要。
本文将对幂函数的相关知识点进行总结和归纳，帮助同学们理清思路，加强对该知识点的掌握。
一、幂函数的定义幂函数是指函数y = x^n，其中x为自变量，n为常数。
在幂函数中，x的指数是常数，y与x之间存在特定的关系。
二、幂函数的图像特点1. 当n为正整数时，幂函数的图像是以原点为中心的相似变换。
当n为正奇数时，函数具有奇对称性，图像关于坐标原点对称；当n为正偶数时，函数具有偶对称性，图像关于y轴对称，并且右侧都是正数部分；当n为正数时，函数图像都通过第一象限。
2. 当n为负整数时，幂函数的图像将关于x轴对称，并且经过第一象限和第三象限的两点。
3. 当n为0时，幂函数的图像为直线y = 1，是一个常数函数。
三、幂函数的性质1. 定义域：所有实数。
2. 值域：当n为正奇数时，函数的值域为(-∞, +∞)；当n为正偶数时，函数的值域为[0, +∞)；当n为负奇数时，函数的值域为(-∞, 0)；当n为负偶数时，函数的值域为[0, +∞)。
3. 单调性：当n为正数时，幂函数在定义域上是递增函数；当n为负数时，幂函数在定义域上是递减函数。
4. 对称性：当n为正奇数时，幂函数的图像关于原点对称；当n为正偶数时，幂函数的图像关于y轴对称；当n为负整数时，幂函数的图像关于x轴对称。
5. 渐近线：当n为正数时，幂函数的图像与x轴无交点；当n为负整数时，幂函数的图像与y轴无交点。
四、幂函数的应用幂函数广泛应用于数学中的各种实际问题中，比如面积、体积、变量关系等。
在解决这些问题时，我们可以通过列方程、求导等方法将其转化为幂函数的求解过程。
例如，求解一个正方形的面积与边长之间的关系。
我们可以将正方形的面积设为y，边长设为x，那么根据正方形的性质可得 y = x^2，这就是一个幂函数的表达式，通过对该函数进行数学分析，我们可以得出边长与面积之间的关系，并解决相关的数学问题。
幂函数——知识点、考点总结
精品PPT
求f x的解析式.
2.若幂函数y m2 3m 17 x4mm2的图象不过原点，求实数m的取值范围. 3.幂函数y m2 m 1 xm22m3,当x 0, 时为减函数，则实数m的值为
. A m 2; B m 1;C m 1或2;D m 1 5 .
2
精品PPT
题型三——幂函数的图象与性质的应用
-
2 3
-2
3
和
-
6
-2
3
的大小
练习：
7
例2.比较下列各组数的大小
5
5
1.32 和3.12；
7
2
.
8
7 8
和-
1 9
8
；
3.
2 3
2 3
和
-
6
-2 3
.
1.比较下列各组数的大小：1
-
.3
5 2
和3.1
5 2
;
2
.
8
7 8
和
1 9
பைடு நூலகம்
8
;
已知幂函数f
x
3 k 1 k2 x2 2
k
Z
Y=x
R
值域 R
奇偶性 奇
Y=x2 Y=x3 Y=x1/2 Y=x-1
R
〔0,+∞） 偶
R
R
〔0,+∞）
（-∞,0）∪（0,+∞）
奇
精非品P奇PT非偶 奇
单调性
过定点
（-∞，0〕 〔0，+∞）
〔0，+∞）
（1，1）
（-∞，0） （0，+∞）
6.高考中的题型： 题型一——幂函数值的大小比较
高考数学知识点幂函数知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点总结幂函数是高考数学中的重要知识点之一。
它在求解各类问题中具有广泛的应用。
本文将对幂函数的定义、性质以及解题技巧进行总结，以帮助考生全面掌握相关知识。
一、幂函数的定义与性质1. 定义：幂函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a为实数且a>0且a≠1。
2. 幂函数的基本性质：(1) 当a>1时，幂函数是递增函数；(2) 当0<a<1时，幂函数是递减函数；(3) 幂函数的图象是关于y轴对称的；(4) 当x取整数时，幂函数的函数值为恒定值。
3. 幂函数的特殊情况：(1) 当a>1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近y轴；(2) 当0<a<1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近x轴；(3) 当a=1时，幂函数为常数函数。
二、幂函数的常见解题技巧1. 求解幂函数的零点：对于幂函数f(x) = a^x = 0，可以通过求解a^x = 0的条件来得到幂函数的零点。
由于指数函数a^x的定义域为实数集，而等式0^x没有意义，因此幂函数的零点不存在。
2. 求解幂函数的最值：当幂函数f(x) = a^x存在最值时，可以通过导数法求解。
具体步骤为：(1) 求得f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)表示以e为底的对数；(2) 令f'(x) = 0，解得x = ln(a)；(3) 将x = ln(a)带入幂函数，得到最值点或者端点的函数值；(4) 比较得到最值。
3. 幂函数与其他函数的复合：幂函数和其他常见函数的复合，如幂函数与线性函数、指数函数、对数函数的复合等，可以通过替换变量或者利用函数关系进行求解。
具体步骤需要根据题目的要求和已知条件进行灵活运用。
4. 幂函数在实际问题中的应用：幂函数在生活和工作中有广泛的应用，比如指数增长与衰减问题，利润与销售量关系的建模，物理中的涉及到指数增长和衰减的问题等，需要考生能够将幂函数与实际问题相结合，进行建模和求解。
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2017年高考数学幂函数考点总结_考前复习
定义：
形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：
当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域
性质：
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。
当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数；
排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数；
排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；
如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.可以看到：
(1)所有的图形都通过(1，1)这点。
(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
(3)当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
(5)a大于0，函数过(0，0)；a小于0，函数不过(0，0)点。
(6)显然幂函数无界。