第三章(生命年金的精算现值)
年金精算现值
id i i(m) ( m ) ( m ) ax ( m ) ( m ) i d i d
( m)
( m)
(m) ax ( m) a x ( m)
( m) 精确公式：ax (m)ax (m)
m 1 i很小时 (m) 1, (m) ，因此有 2m 近似公式 m 1 (m) ax ax 2m
h|
ax:n
h
v t px dt ax:hn ax:h h Ex ax h:n
t
例3.3 设随机变量T的概率密度函数为 利力为0.05，求 （1） ax （2） a 基金足够用于实际支付年金的概率。
x
f (t ) 0.015e0.015t ,(t 0),
解：
l21 50000 9 E12 50000 v 9 p12 50000(1 0.06) l12
9 9
983226 50000(1 0.06) 988427 29439.20(元)
9
例3.2 使用生命表确定在i=6%下30岁人缴纳的5000元 在65岁的精算积累值。 解：
2 n年定期生存年金
模型假定：(x)购买了期初付n 年定期生存年金，
每个保单年度初给付年金1元
年金给付的现值随机变量：
1 v K 1 aK 1| , K 0,1, 2,..., n 1 d Y n a 1 v , K n, n 1,...... n| d
3. 生存年金精算现值的概念：
A 1 v n n px
x:n
定义精算现值因子：
n E v n x n px
孙祁祥《保险学》(第6版)-考研真题精选-名词解释【圣才出品】
考研真题精选三、名词解释1．风险管理[南开大学2019研]答：风险管理是指人们对各种风险的认识、控制和处理的主动行为。
它要求人们研究风险的发生和变化规律，估算风险对社会经济生活可能造成损害的程度，并选择有效的手段，有计划、有目的地处理风险，以期用最小的成本代价，获得最大的安全保障。
风险管理的对象是风险。
2．重复保险[南开大学2019研]答：重复保险是指投保人以同一保险标的、同一保险利益、同一危险事故分别向数个保险人订立保险合同的一种保险。
重复保险与复合保险的区别在于，其保险金额的总和超过保险价值。
由于重复保险可能诱发道德风险，各国一般通过法律形式对重复保险予以限制，在保险事故造成保险标的的损失时，通常要求按照一定的方式在保险人之间进行赔款分摊的计算。
重复保险一般用于财产保险。
3．生命年金的精算现值[南开大学2019研]答：生命年金的精算现值又称生命年金的趸缴纯保费，是指依赖于剩余寿命确定年金的数学期望值。
生命年金的精算现值有两种计算方法，分别是总额支付法和现时支付法。
总额支付法是先求出在未来寿命期限内所有可能年金给付额的现值，再求现值的数学期望。
现时支付法是将时刻t的年金给付额折线至签单时的精算现值，再将所有的现值相加或积分。
4．保险单[南开大学2018研]答：保险单简称保单，它是投保人与保险人之间保险合同行为的一种最正式的书面形式。
保险单根据投保人的申请，由保险人签署，交由被保险人收执。
保险单是被保险人在保险标的遭受意外事故而发生损失时，向保险人索赔的主要凭证，同时也是保险人收取保险费的依据。
保险单必须明确、完整地记载有关保险双方的权利和义务。
5．风险事故[南开大学2018研]答：风险事故又称风险事件，是指损失的直接原因或外在原因，也指风险由可能变为现实，以致引起损失的结果。
风险因素是损失的间接原因，因为风险因素要通过风险事故的发生才能导致损失。
风险事故是损失的媒介物。
火灾、爆炸、地震、车祸、疾病等，是风险事故常见的表现形式。
保险精算 第3章1 生命函数
X 50) F (50) F (30) 0.25
3.1.3 剩余寿命
剩余寿命 T 的分布函数 ，记作 t qx
关于t求导 函数为 f T (t ) S ( x t ) S ( x)
概率密度 T q Pr T ( x ) t Pr X x t X x t x
下面就是生存模型可回答的例子：
• 一个45岁的人在下一年中死亡的概率是多少?
• 假若有1000个45岁的人，那么他们中有多少人可能 在下一年内死亡? • 如果某一45岁的男性公民，投保了一个10年的定期的 某种人寿保险，那么应该向他收多少保费?
• 一些特定因素(如一天吸50根烟)对于45岁的男性公民 的未来生存时间的影响是怎样的?
0.125
3.1.5 死亡效力
( x ) 的瞬时死亡率，简记 x 定义： 用生存函数的相对变化率来表示. S ( x) d ln[S ( x)] s S ( x) dx 用死力表示生存函数
联想 利息 力
S ( x) exp y dy
0
x
用死力表示其他函数
s( x) 1
t
x
px
qx
s( x t ) x t t px s ( x) x
t t q x 1 t p x x
练习：已知，死亡服从Markeham死亡 律：
20 0.003 30 0.004 40 0.006 20 A BC 20 0.003
t px xt
3.1.6 生存函数的解析表达式
有关寿命分布的参数模型 De Moivre模型(1729) 提出随机变量X服从均匀分布(De Moivre假设) 1 x [0, w) f ( x) 其他 0
第三章 人寿保险的精算现值
（四）两全保险
两全保险是定期寿险与纯生存保险的组合 给付函数
bK 1 1, K 0,1, 2,
给付现值随机变量
趸缴净保费
v K 1 , K 0,1, , n 1 Z bK 1vK 1 n K n, n 1, v ,
1 x: n |
Ax:n| A
趸缴净保费
n 1
给付现值随机变量
k 1 1 1 ( DA)1 ( n k ) v p q A A k x xk x: n | x:1| x:2| k 0
A1 x: n |
一般变额寿险
给付现值随机变量
Z bK 1v
K 1
K 0,1, 2,
10000 vq40 v 2 1| q40 v3 2| q40 10000v 3 3 p40 1 1 1 10000 q40 p40 q41 p40 p41q42 2 3 (1 i ) (1 i) 1 i 1 10000 p40 p41 p42 3 (1 i) 49.28 8591.34 8640.62(元)
K 1
保险金给付在签单时的现值随机变量
v , K 0,1, , n 1 Z bK 1vK 1 0, K n, n 1, 趸缴净保费
A
1 x: n|
E (Z ) v
k 0
n 1
k 1
k | q x v
k 0
n 1
k 1
k p x q xk
n 1
n 1| A1 x :1|
（八）递减型寿险
精算师考试大纲
A1数学考试时间：3小时考试形式：选择题考试要求：本科目是关于风险管理和精算中随机数学的基础课程。
通过本科目的学习，考生应该掌握基本的概率统计知识，具备一定的数据分析能力，初步了解各种随机过程的性质。
考生应掌握概率论、统计模型和应用随机过程的基本概念和主要内容。
考试内容：A、概率论（分数比例约为35%）1. 概率的计算、条件概率、全概公式和贝叶斯公式 (第一章)2. 联合分布律、边缘分布函数及边缘概率密度的计算 (第二章)3. 随机变量的数字特征 (§3.1、§3.2、§3.4)4. 条件期望和条件方差 (§3.3)5. 大数定律及其应用 (第四章)B、数理统计（分数比例约为25%）1. 统计量及其分布 (第五章)2. 参数估计 (第六章)3. 假设检验 (第七章)4. 方差分析 (§8.1)C、应用统计（分数比例约为10%）1. 一维线性回归分析 (§8.2)2. 时间序列分析(平稳时间序列及ARIMA模型) (第九章)D、随机过程（分数比例约为20%）1. 随机过程一般定义和基本数字特征 (第十章)2. 几个常用过程的定义和性质（泊松过程、更新过程、马氏过程、鞅过程和布朗运动） (第十一章)E、随机微积分（分数比例约为10%）1. 关于布朗运动的积分 (§11.5、第十二章)2. 伊藤公式 (§12.2)考试指定教材：中国精算师资格考试用书：《数学》肖宇谷主编，李勇权主审，中国财政经济出版社 2010版，所有章节A2 金融数学考试时间：3小时考试形式: 选择题考试要求:本科目要求考生具有较好的数学知识背景。
通过学习本科目, 考生应该熟练掌握利息理论、利率期限结构与随机利率模型、金融衍生工具定价理论、投资组合理论的主要内容，在了解基本概念、基本理论的基础上，掌握上述几部分内容涉及的方法和技巧。
考试内容：A、利息理论 (分数比例约为30%)1. 利息的基本概念（分数比例约为4%）2. 年金（分数比例约为6%）3. 收益率（分数比例约为6%）4. 债务偿还（分数比例约为4%）5. 债券及其定价理论（分数比例约为10%）B、利率期限结构与随机利率模型(分数比例约为 16%)1. 利率期限结构理论（分数比例约为10%）2. 随机利率模型（分数比例约为6%）C、金融衍生工具定价理论(分数比例约为26%)1. 金融衍生工具介绍（分数比例约为16%）2. 金融衍生工具定价理论（分数比例约为10%）D、投资理论(分数比例约为28%)1. 投资组合理论（分数比例约为12%）2. 资本资产定价（CAPM）与套利定价（APT）理论（分数比例约为16%）考试指定教材:中国精算师资格考试用书：《金融数学》徐景峰主编，杨静平主审，中国财政经济出版社2010年版，所有章节。
中国精算师《寿险精算》章节题库-生存年金的精算现值(圣才出品)
第3章生存年金的精算现值1．设（50）岁的人以50000元的趸缴纯保费购买了每月给付k元的生存年金。
假设年金的给付从购买年金后的第一个月末开始，预定年利率i=0.005，死亡满足UDD假设，而且50=13.5 ，≈1，β12=-0.4665，则k的值为（）。
[2008年真题] A．322B．333C．341D．356E．364【答案】A【解析】每月的年金精算现值为：由×12=50000 ，解得：k=322。
2．设死亡力为μ=0.06，利率力为δ=0.04，在此假设条件下，则超过的概率为（）。
[2008年真题]A．0.4396B．0.4572C．0.4648D．0.4735E．0.4837【答案】C【解析】由已知，得3．根据以下条件计算=（）。
[2008年真题]A．1.6B．1.8C．2.0D．2.2E．2.4【答案】D【解析】由已知，有4．支付额为1的期初生存年金从95岁开始支付，其生存模型为：已知i=0.06，以Y表示该年金的现值变量，则E（Y）和Var （Y）分别为（）。
[2008年真题]A．2.03；0.55B．2.03；0.79C．2.05；0.79D．2.05；0.55E．2.07；0.79【答案】A【解析】由i=0.06，得：v=（1＋i）-1=1.06-1。
5．考虑从退休基金资产中支付的期初年金组合：已知i＝6%，只要年金领取人活着，每个年金的年支付额是1，若正态分布95%的分位数是1.645，则退休基金负担现值为（）。
A．480B．481C．483D．485E．487【答案】C【解析】设支付的随机变量为Z，退休基金为P，则故。
6．考虑（90）的期初年金，每次年金支付额为1，生存模型为：已知利率i＝0.06，则=（）。
A．1.8B．1.9C．2.0D．2.1E．2.2【答案】C【解析】由于7．。
A．0.085B．0.125C．0.600D．0.650E．0.825【答案】D【解析】8．已知α（12）＝1.000281，β（12）＝0.46811951，=9.89693，假设死亡均匀分布。
保险精算李秀芳1-5章习题答案
7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整）
（1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人
(1)l39=l36×3P36=l36(1-3q36)=1500×（1-0.0055）≈1492
（2）4d36=l36×4q36=1500×（0.005+0.00213）≈11
29.
第二章趸缴纯保费
1.设生存函数为 (0≤x≤100)，年利率 =0.10，计算(保险金额为1元)：(1)趸缴纯保费 的值。(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var(Z)。
2.设利力 ， ， ，求 。
5. 设 , , , 试计算：（1） （2）
6.试证在UDD假设条件下：(1) (2)
=397.02
第三章年金精算现值
1.设随机变量T＝T(x)的概率密度函数为 (t≥0)，利息强度为δ＝0.05 。(1)计算精算现值 (2)基金 足够用于实际支付年金的概率
2．设 , , 。试求：（1） ；（2） 。
3.设 ， 。试求 ：1） ；2） 。
5．某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。
13.设 ， ， ，…， ， ，求：1）人在70岁至80岁之间死亡的概率；2）30岁的人在70岁至80岁之间死亡的概率；3）30岁的人的取整平均余命。
18.
19.
20.
24.答：当年龄很小时，性别差异导致的死亡率差异基本不存在，因此此时不能用年龄倒退法。
27. 28.设选择期为10岁，请用生存人数表示概率5|3q[30]+3
解：定义X=1+Y,则X为x期签单的每期起初支付1元的生存年金的给付现值随机变量
生存年金的精算现值
通过对生存年金精算现值的计算和分析，投资者可以 优化资产配置，降低投资风险并提高投资收益。
风险与收益平衡
生存年金精算现值有助于投资者在追求收益的同时， 合理控制风险，实现风险与收益的平衡。
07
总结与展望
研究结论
生存年金精算现值模型的有效性
通过实证研究，验证了所提出的生存年金精算现值模型的有效性和准确性，该模型能够较好地预测和评估生存年金的 未来现金流和现值。
精算现值概念
精算现值是一种用于评估保险产品（如生存 年金）未来支付责任的现值的技术。
它考虑了多种因素，如被保险人的预期寿命 、死亡率、利率和费用等，以确定保险公司 为履行未来支付责任所需的当前资金。
精算现值可以帮助保险公司更准确地定价和 评估风险，从而确保公司的稳健运营和客户 的权益保障。
03
生存年金精算现值计算方法
精算符号的定义
定义一系列精算符号，表示生存年金的各种参数和变量。
精算等式的建立
根据生存年金的定义和性质，建立包含精算符号的精算等式。
精算等式的求解
通过代数运算或数值计算，求解精算等式，得出精算现值。
数值解法
数值模型的建立
根据生存年金的实际情况，建立合适的数值 模型。
参数的确定
利用计算机程序或专业软件，进行数值计算 ，得出精算现值。
进一步研究方向
未来研究可以进一步探讨生存年金精 算现值模型在不同人群和不同地区的 应用效果，以及在不同经济环境和政 策背景下的适用性和有效性。同时， 可以进一步研究如何将生存年金精算 现值模型与其他相关模型进行融合和 优化，以提供更全面、准确的评估和 预测结果。
感谢您的观看
THANKS
研究不足与展望
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70
0.1t
70 t dt 70
Var (Y )
2
(v
n 30
a30 a ) ( 30 a30 )
2 30 30
2
4
n年确定期生命年金
a
x： n
a n n ax a n n Ex a x n .
Var (Yc ) Var (Yd ).
二 变额年金
E (Y ) v t g (t ) t px dt
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
计算：30年定期生命年金精算现值 a30:30 及方差
例3.3答案
a30:30 1 e 0.05t 1 1 e 0.0530 40 at fT (t )dt a30 30 p30 dt 13.01 0.05 70 70 0 0
k 0 n 1
n 1
n 1
相关公式
v K 1 , K 0,1, , n 1 ze n ,K n v 1 Ax:n 1 ze 1 E[Yt ] E d E[ ze ] d d
现时支付技巧
t 0.06t 0.04t
ax v t px dt e
0 0
e
dt e
0
0.1t
dt 10
例3.1答案
（2）Ax e
0 2 0.06 t
0.04e 0.04e
2
0.04 t
0.4 0.25
2
Ax e
0
相关公式及意义
(1) lx n Ex (1 i ) n lx n 1 1 n lx (2) S n (1 i ) v n px lx n n Ex Ex (3) n Ex t Ex n t Ex t n Ex
t
1 n t E x t
70 70
or A30 v fT (t )dt e
t 0 0 70 70 0.05 t
1 1 e 0.0570 dt 0.277 70 0.05 70
a30
1 A30
1 0.277 14.458 0.05
例3.2答案
(2)
2
A30 v 2t fT (t )dt e 0.1t
2 n
v m an an m am
m|
an an m am
1 2 1 m 1 vm i n m v v v ( m ) ( m ) an m i i 1 1 n 1 1 vm d m m 1 v v ( m ) ( m ) an m d d
0
相关公式
（ ）ax E (aT ) aT fT (t )dt 1
0
1 vt
0
t
px x t dt
1 zt 1 vt 1 （2）ax E (aT ) E ( ) E( ) (1 Ax )
（3）
1 ax Ax
例3.1
0.12 t
0.04 t
1 Var[aT ] 2 [ Ax ( Ax ) ] (0.25 0.16) 25 2 0.06 Var[aT ] 5
1
例3.1答案
1 e （3） Pr(aT a x ) Pr( 0.06 ln 0.4 Pr(T ) 0.06 ln 0.4 0.04e
1 x:n
(n [t ])v
0
t t
p x dt
§3.2
离散型生命年金
简介
离散生命年金定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔 一段时期支付一次年金的保险。 期初年金/期末年金 终身年金/定期年金 延期年金/非延期年金
离散生命年金的分类
1 生存保险
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可 以在第n年末获得生存赔付的保险。 也就是我们在第二章讲到的n年期纯生存 保险。单位元数的n年期生存保险的趸缴 纯保费为 Ax:n1 在生存年金研究中习惯用n E x 表示该保险 1 的精算现值 E A vn p
a b
Y ( I a )T 则： a ) x E (Y ) (I
[t 1]v
0
t t
p x dt；
Y ( I a )T 则： a ) x E (Y ) (I
tv
0
t t
p x dt；
g (t ) n [t ], a 0, b n, 则： ) ( Da
养老保险 伤残保险 抚恤保险 失业保险
确定性年金公式推导
v (1 v n ) 1 v n an v v v 1 v i 1 vn n 1 an 1 v v (1 i )an d 1 1 1 n m| a m m 1 (1 i ) (1 i ) (1 i ) m n 1
0.06 0.04 t 0.06T
10)
dt
0.54
例3.2
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
计算：终身连续生命年金精算现值及方 差
a30 , Var(Y )
例3.2答案
1 e 0.05t 1 1 1 e 0.0570 (1) a30 at fT (t )dt dt 14.458 2 0.05 70 0.05 0.05 70 0 0
一 等额支付，每保单年度支付率为1.
1、终身连续生命年金精算现值的估计 现时支付技巧（current payment form)
步骤一：计算时间T所支付的当期年金的 T 现值 v 步骤二：计算该当期年金现值按照可能 支付的时间积分，得到期望年金现值
ax E (v ) vt t px dt
第三章
生命年金精算现值
§3.0
生命年金简介
生命年金
生命年金的定义：
以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、 半年、季、月）支付一次保险金的保险类型 期初付年金/期末付年金 连续年金/离散年金 定期年金/终身年金 非延期年金/延期年金
分类
生命年金与确定性年金的关系
确定性年金
0 0
70
70
1 1 e 7 dt 0.1427269 70 70 0.1
Var ( Z ) 2A30 ( A30 ) 2 0.1427269 0.2772 0.066 1 Z Var ( Z ) 0.066 Var (Y ) Var 26.4 2 2 0.05
30 30
or a30:30 v t p30 dt e
t 0 0 30 30 0.05 t
70 t dt 13.01 70
30
or A30:30 v t fT (t )dt v 30 30 p30 e 0.05t
0 0 30
1 40 dt e 0.0530 0.35 70 70
支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）
生命年金与确定性年金的联系
都是间隔一段时间支付一次的系列付款
生命年金与确定性年金的区别
确定性年金的支付期数确定
生命年金的支付期数不确定（以被保险人生存为
条件）
生命年金的用途
被保险人保费交付常使用生命年金的方 式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用 生命年金的方式，特别在：
在死亡力为常数ຫໍສະໝຸດ .04，利息力为常数 0.06的假定下，求
（1）a
x
（2） 的标准差 a
T
（3）
aT
超过
ax
的概率。
例3.1答案
总额支付技巧 t 1 v 0.04 0.06 t 0.04 t ax t p x x t dt 0 (1 e )e dt 10 0 0.06
T 0
终身连续生命年金精算现值的估计 总额支付技巧 (aggregate payment form)
步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已 支付的年金的现值之和
aT
1 vT
步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得 的年金期望值，即终身连续生命年金精算现值，
ax E(aT ) aT fT (t )dt
70 70
30
a30 v t p30 dt e
t 30 30
0.05 t
70 t dt 1.45 70
or
30
a30
A30:30 A30
0.35 0.277 1.45 0.05
例3.4答案
2 30 30
a v
30
70
2t t
p30 dt e
3 延期连续生命年金
定义: 种类
延付h年终身连续生命年金 延付h年定期连续生命年金 养老金
常用领域
延期连续年金精算现值
险种
延期h年 终身生命年金
h
延期h年 n年定期生命年金
hn
精算现 值估计
a x a x a x:h h E x a x h 1