第三章(生命年金的精算现值)

支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）


生命年金与确定性年金的联系
都是间隔一段时间支付一次的系列付款

生命年金与确定性年金的区别

确定性年金的支付期数确定

生命年金的支付期数不确定（以被保险人生存为
条件）
生命年金的用途


被保险人保费交付常使用生命年金的方 式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用 生命年金的方式，特别在：
2 n
v m an an m am
m|
an an m am
1 2 1 m 1 vm i n m v v v ( m ) ( m ) an m i i 1 1 n 1 1 vm d m m 1 v v ( m ) ( m ) an m d d

现时支付技巧
t 0.06t 0.04t
ax v t px dt e
0 0
e
dt e
0

0.1t
dt 10
例3.1答案
（2）Ax e
0 2 0.06 t
0.04e 0.04e
2
0.04 t
0.4 0.25
2
Ax e
0

a b
Y ( I a )T 则： a ) x E (Y ) (I
[t 1]v
0
t t
p x dt；

Y ( I a )T 则： a ) x E (Y ) (I
tv
0
t t
p x dt；

g (t ) n [t ], a 0, b n, 则： ) ( Da
第三章
生命年金精算现值
§3.0
生命年金简介
生命年金

生命年金的定义：

以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、 半年、季、月）支付一次保险金的保险类型 期初付年金/期末付年金 连续年金/离散年金 定期年金/终身年金 非延期年金/延期年金

分类



生命年金与确定性年金的关系

确定性年金

T 0

终身连续生命年金精算现值的估计 总额支付技巧 (aggregate payment form)

步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已 支付的年金的现值之和
aT

1 vT

步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得 的年金期望值，即终身连续生命年金精算现值，
ax E(aT ) aT fT (t )dt
0.06 0.04 t 0.06T
10)
dt
0.54
例3.2

在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30

计算：终身连续生命年金精算现值及方 差
a30 , Var(Y )
例3.2答案
1 e 0.05t 1 1 1 e 0.0570 (1) a30 at fT (t )dt dt 14.458 2 0.05 70 0.05 0.05 70 0 0
0.12 t
0.04 t
1 Var[aT ] 2 [ Ax ( Ax ) ] (0.25 0.16) 25 2 0.06 Var[aT ] 5
1
例3.1答案
1 e （3） Pr(aT a x ) Pr( 0.06 ln 0.4 Pr(T ) 0.06 ln 0.4 0.04e
相关公式及意义
(1) lx n Ex (1 i ) n lx n 1 1 n lx (2) S n (1 i ) v n px lx n n Ex Ex (3) n Ex t Ex n t Ex t n Ex
t
1 n t E x t
k 0 n 1
n 1
n 1
相关公式
v K 1 , K 0,1, , n 1 ze n ,K n v 1 Ax:n 1 ze 1 E[Yt ] E d E[ ze ] d d
70 70
30
a30 v t p30 dt e
t 30 30
0.05 t
70 t dt 1.45 70
or
30
a30
A30:30 A30

0.35 0.277 1.45 0.05
例3.4答案
2 30 30
a v
30
70
2t t
p30 dt e
年龄
n
x
Ex
x+t
n t
x+n
1 S
Ex t
现时值
t
1
Ex
1
2

期初付定期生命年金
现时支付技巧

1 n1 k 1 x:n k Ex v k 1 k px v lx k a lx k 0 k 0 k 0 总额支付技巧
aK 1 , K 0,1, , n 1 Yt an , K n ax E[Yt ] ak 1 k qx an n px
( a nm )
a
(m) n
§3.1
连续型生命年金
简介

连续生命年金的定义

在保障时期那，以被保险人存活为条件，连续支付年金的 保险 终身连续生命年金/定期连续生命年金

连续生命年金的种类


连续生命年金精算现值的估计方法



总额支付技巧：考虑年金在死亡或到期而结束时的总值 现时支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之和 计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和 连续场合不存在期初付期末付问题，离散场合期初付、期末 付要分别考虑
一 等额支付，每保单年度支付率为1.
1、终身连续生命年金精算现值的估计 现时支付技巧（current payment form)
步骤一：计算时间T所支付的当期年金的 T 现值 v 步骤二：计算该当期年金现值按照可能 支付的时间积分，得到期望年金现值


ax E (v ) vt t px dt
30
70
0.1t
70 t dt 70
Var (Y )
2

(v
n 30
a30 a ) ( 30 a30 )
2 30 30
2
4
n年确定期生命年金
a
x： n
a n n ax a n n Ex a x n .
Var (Yc ) Var (Yd ).
二 变额年金
E (Y ) v t g (t ) t px dt

在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30

计算：30年定期生命年金精算现值 a30:30 及方差
例3.3答案
a30:30 1 e 0.05t 1 1 e 0.0530 40 at fT (t )dt a30 30 p30 dt 13.01 0.05 70 70 0 0
n x x: n n x
例3.5

计算25岁的男性购买40年定期生存险 10000元的趸缴纯保费。已知

假定i＝6％ 假定i＝2.5％
40
p25 0.78765825
(1)10000 E25 100001.0640 0.78765825 765.78 40 (1)10000 E25 100001.02540 0.78765825 2933.48 40
1 x:n

(n [t ])v
0
t t
p x dt
§3.2
离散型生命年金
简介

离散生命年金定义：

在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔 一段时期支付一次年金的保险。 期初年金/期末年金 终身年金/定期年金 延期年金/非延期年金

离散生命年金的分类



1 生存保险



现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可 以在第n年末获得生存赔付的保险。 也就是我们在第二章讲到的n年期纯生存 保险。单位元数的n年期生存保险的趸缴 纯保费为 Ax:n1 在生存年金研究中习惯用n E x 表示该保险 1 的精算现值 E A vn p
a30:30
1 A30:30

1 0.35 13.01 0.05
例3.3答案
2
A30:30 v fT (t )dt v
2t 0
30
60 30
p30 e
0
30
0.1t
1 0.130 40 dt e 70 70
Var ( Z ) 2 A30:30 ( A30:30 ) 2 1 Z Var ( Z ) Var (Y ) Var 2
70 70
or A30 v fT (t )dt e
t 0 0 70 70 0.05 t
1 1 e 0.0570 dt 0.277 70 0.05 70
a30
1 A30

1 0.277 14.458 0.05
例3.2答案
(2)
2
A30 v 2t fT (t )dt e 0.1t
0 0
70
70
1 1 e 7 dt 0.1427269 70 70 0.1
Var ( Z ) 2A30 ( A30 ) 2 0.1427269 0.2772 0.066 1 Z Var ( Z ) 0.066 Var (Y ) Var 26.4 2 2 0.05
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养老保险 伤残保险 抚恤保险 失业保险
确定性年金公式推导
v (1 v n ) 1 v n an v v v 1 v i 1 vn n 1 an 1 v v (1 i )an d 1 1 1 n m| a m m 1 (1 i ) (1 i ) (1 i ) m n 1

( Ax:h Ax )

( Ax:h Ax:h n )
例3.4（例3.2,3.3续）

在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30

计算：30年延期终身生命年金 精算现值 30 a30 及方差
例3.4答案
30
a30 a30 a30:30 14.458 13.01 1.45 or
30 30
or a30:30 v t p30 dt e
t 0 0 30 30 0.05 t
70 t dt 13.01 70
30
or A30:30 v t fT (t )dt v 30 30 p30 e 0.05t
0 0 30
1 40 dt e 0.0530 0.35 70 70
0

相关公式
（ ）ax E (aT ) aT fT (t )dt 1
0
1 vt
0

t
px x t dt
1 zt 1 vt 1 （2）ax E (aT ) E ( ) E( ) (1 Ax )



（3）
1 ax Ax
例3.1
2

定期连续生命年金精算现值估计
总额支付技巧
aT Y an
n 0
,0 T n ,T n
ax： E (Y ) at t px x t dt an n px n

现时支付技巧
ax： vt t px dt n
0
n
例3.3（例3.2续）
3 延期连续生命年金


定义: 种类

延付h年终身连续生命年金 延付h年定期连续生命年金 养老金

常用领域

延期连续年金精算现值
险种
延期h年 终身生命年金
h
延期h年 n年定期生命年金
hn
精算现 值估计
a x a x a x:h h E x a x h 1
a x a x:h n a x:h h E x a x h:n 1

在死亡力为常数0.04，利息力为常数 0.06的假定下，求
（1）a
x
（2） 的标准差 a
T
（3）
aT
超过
ax
的概率。
例3.1答案
总额支付技巧 t 1 v 0.04 0.06 t 0.04 t ax t p x x t dt 0 (1 e )e dt 10 0 0.06