均值不等式及其应用

基本不等式及其应用

一、选择题

1.下列不等式一定成立的是( )

A.lg ⎝

⎛⎭⎪⎫

x 2＋14>lg x (x >0)

B.sin x ＋1

sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )

C.x 2

＋1≥2|x |(x ∈R )

D.1x 2＋1

＜1(x ∈R ) 解析 当x ＞0时，x 2

＋14≥2·x ·1

2＝x ，所以lg ⎝

⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x ＞

0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1

x 2＋1＝1，故

选项D 不正确. 答案 C

2.若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A.[0，2] B.[－2，0] C.[－2，＋∞)

D.(－∞，－2]

解析 22x ＋y

≤2x

＋2y

＝1，所以2x ＋y

≤1

4

，即2x ＋y ≤2－2，所以x ＋y

≤－2. 答案 D

3.(优质试题·合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝

⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫

1＋4a b 的最

小值为( ) A.7

B.8

C.9

D.10

解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝

⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a

b ≥5＋

2

b a ·4a

b

＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号.故选C. 答案 C

4.若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1

ab ≤14

B.1a ＋1b

≤1

C.ab ≥2

D.a 2＋b 2≥8

解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4

ab ≥1，选项B 不

成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D 成立. 答案 D

5.(优质试题·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2

b

＝ab ，则ab 的最小

值为( ) A. 2

B.2

C.2 2

D.4

解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2

b ≥2

2ab

＝22ab

，当且仅当1

a

＝

2

b

，即b ＝2a 时，“＝”成立.

因为1a ＋2b

＝ab ，所以ab ≥22ab

，即ab ≥22，

所以ab 的最小值为22，故选C. 答案 C

6.若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( )

A.43

B.53

C.2

D.54

解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 C

7.(优质试题·安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2

b

的最

小值为( ) A.4

B.22

C.8

D.16

解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b

ab

，得ab ＝1，

则1a ＋2b

≥2

1a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝2

2

，b ＝2时等号成立.故选B. 答案 B

8.(优质试题·福州六校联考)已知函数f (x )＝x ＋a

x

＋2的值域为(－

∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( ) A.12

B.32

C.1

D.2

解析 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋a

x ＋2≥2a ＋2，

当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋a

x

＋2≤－2a ＋

2，当且仅当x ＝－a 时取等号.所以⎩⎪⎨⎪⎧2－2a ＝0，

2a ＋2＝4，

解得a ＝1.

答案 C

二、填空题

9.正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________. 解析 ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 解得ab ≥3，即ab ≥9. 答案 [9，＋∞)

10.(优质试题·湖南雅礼中学一模)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1

n

的最大值为________.

解析 ∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0，

∴1

m ＋1

n

＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭

⎪⎫1m ＋1n ＝－⎝

⎛⎭

⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2

n m ·m

n

＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1

n 取得最大值－4.

答案 －4

11.若对于任意x ＞0，x

x 2＋3x ＋1

≤a 恒成立，则a 的取值范围是

________.

解析 x

x 2＋3x ＋1

＝

13＋x ＋

1

x

，

因为x ＞0，所以x ＋1

x

≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，

则1

3＋x ＋

1x

≤13＋2＝1

5，

即

x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥1

5

.