卷积及其性质(优选课资)
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第2章-2.4卷积2.5卷积性质
用下式计算响应 (1) t <-1 区间
t 1 x(t ) 1 0
y(t ) x(t ) * h(t )
x( )h(t )d
O
1
t
y (t ) 0
t<-1 h(t-) t -1 1
x()
O (a)
1
τt
第2章 2.4 卷积
解 输入信号为
卷积的图解说明
(3) 1<t <2，y (t )
(2) 0<t <1，y(t ) (4) 2<t <3， (t ) y
t
0 1
1 2d 2t
h(t-) x() O 1 t
2<t<3
0
1 2d 2
1
t 2
1 2d 2t 6
y(t)
(5) t > 3， y(t ) 0
第2章
2.4 卷积
2.4 卷积
卷积运算的定义 求解LTI系统零状态响应的卷积方法 连续时间信号的冲激表示 卷积的图解说明
第2章 2.4 卷积
卷积运算的定义
对于任意两个信号f1(t)和f2(t),两者的卷积 运算定义为
f1 (t ) f 2 (t )
f1 ( ) f 2 (t )d
x( )h(t )d
O
1
t
y (t ) 0
(2) -1<t <0 区间
(t-)
y (t ) 1 ( 1)e
1
t<-1
t
x()
( t )
§3.8 卷积特性(卷积定理)
返回
二．卷积定理的应用
用时域卷积定理求频谱密度函数。 例3-8-1 用时域卷积定理求频谱密度函数。
的傅里叶变换。 求∫ f (τ ) dτ的傅里叶变换。
t −∞
∫ f (τ )dτ = ∫ f (τ )u(t −τ )dτ
t
∞
1 F(ω) ∫−∞ f (τ )dτ ↔F(ω) ⋅ πδ(ω) + jω =π F(0)δ (ω) + jω 求系统的响应。 求系统的响应。 f (t) g(t )
f1(t )
E
Eτ
F (ω) 1
−
τ
2
O
τ2t−Fra bibliotek2π 0
E2τ
f1(t ) ∗ f1(t )
τ
E2τ 2
τ F(ω)
2π
4π
τ
ω
−τ
O
τ
t
−
2π o
τ
2π
ω
τ
返回
•频域卷积定理 若 f1 (t ) ↔ F (ω), f2 (t ) ↔ F2 (ω) 1 1 则 f1(t ) ⋅ f2 (t ) ↔ F (ω) ∗ F2 (ω) 1 2 π 1 π 时间函数的乘积 ↔各频谱函数卷积的 2 倍。 卷积定理揭示了时间域 频率域的运算关系 时间域与 的运算关系， 卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。
∞
因此
−∞
卷积 定义
∞ f (τ ) f (t −τ ) dτ e−jω t dt F[ f1 (t ) ∗ f2 (t )] = ∫−∞ ∫−∞ 1 2
∞
∞ f (t −τ )e−jωt dt dτ = ∫ f1(τ ) ∫ 2 −∞ −∞
二．卷积定理的应用
用时域卷积定理求频谱密度函数。 例3-8-1 用时域卷积定理求频谱密度函数。
的傅里叶变换。 求∫ f (τ ) dτ的傅里叶变换。
t −∞
∫ f (τ )dτ = ∫ f (τ )u(t −τ )dτ
t
∞
1 F(ω) ∫−∞ f (τ )dτ ↔F(ω) ⋅ πδ(ω) + jω =π F(0)δ (ω) + jω 求系统的响应。 求系统的响应。 f (t) g(t )
f1(t )
E
Eτ
F (ω) 1
−
τ
2
O
τ2t−Fra bibliotek2π 0
E2τ
f1(t ) ∗ f1(t )
τ
E2τ 2
τ F(ω)
2π
4π
τ
ω
−τ
O
τ
t
−
2π o
τ
2π
ω
τ
返回
•频域卷积定理 若 f1 (t ) ↔ F (ω), f2 (t ) ↔ F2 (ω) 1 1 则 f1(t ) ⋅ f2 (t ) ↔ F (ω) ∗ F2 (ω) 1 2 π 1 π 时间函数的乘积 ↔各频谱函数卷积的 2 倍。 卷积定理揭示了时间域 频率域的运算关系 时间域与 的运算关系， 卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。 系统和信号处理研究领域中得到大量应用。
∞
因此
−∞
卷积 定义
∞ f (τ ) f (t −τ ) dτ e−jω t dt F[ f1 (t ) ∗ f2 (t )] = ∫−∞ ∫−∞ 1 2
∞
∞ f (t −τ )e−jωt dt dτ = ∫ f1(τ ) ∫ 2 −∞ −∞
§3.08 卷积特性(卷积定理)
f C (t ) f (t ) cos C t 1 FC ( ) F ( C ) F ( C ) 2 f t cos t
C
O
t
C
O
C
FC ( )
A 2
A 2
O
t
C
O C m C C m
退出
分析
用频移性质
收信端：带通滤波器，分开各路信号，解调。
带通
g t
cos a t
cos b t
cos c t
g a t
低通
f a t
带通
低通
f b t f c t
带通
低通
G ( )
c b a
0
a
b
c
退出
频分复用解调分析
, 先利用一个带通滤波器（ 带宽 m 2 a m） 滤出2 a 附近的分量 g a t f a t cos 2 a t
退出
3.频分复用
复用：在一个信道上传输多路信号。
频分复用
时分复用 波分复用 实现多路通信的传输体制。 (frequency division multiply)
（FDM）
（TDM） （WDM）
码分复用（码分多址） （CDMA）
频分复用：就是以频段分割的方法在一个信道内
退出
复用发信端
调制，将各信号搬移到不 同的频率范围。
由频移性质
1 e
j 0 t
1 e j 0 t 2 0
2 0
1 cos 0 t 2 0 2 0 0 0 2
§2.4 卷积积分的性质
▲ ■ 第 4页
二、与冲激或阶跃信号的卷积
1. f (t ) (t ) (t ) f (t ) f (t )
证： f (t ) (t )
南航电子信息
f (t ) (t t0 )dt f (t0 ) f (t ) (t ) f (t )
注意：当 f1(t)=1 ， f2(t) = e – tε(t)时
套用 f1 (t ) f 2 (t ) f1(t ) f ( 1) (t ) 0 f ( 1) (t ) 0 显然是错误的 f1 () 0
▲ ■ 第 7页
四、卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)
f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) f 2
(i ) 1 ( i )
(t )
f
(i )
(t ) f
▲
( j) 1
(t ) f 2
(i j )
(t )
第 6页
■
例1: f1(t) 如图, f2(t) = e – tε(t)，求f1(t)* f2(t) 南航电子信息
( 1) 解： f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 2 (t )
f1 (t ) (t ) (t 2)
f1(t ) (t ) (t 2)
t 0
f
( 1) 2
(t ) e ( )d [ e d ] (t )
二、与冲激或阶跃信号的卷积
1. f (t ) (t ) (t ) f (t ) f (t )
证： f (t ) (t )
南航电子信息
f (t ) (t t0 )dt f (t0 ) f (t ) (t ) f (t )
注意：当 f1(t)=1 ， f2(t) = e – tε(t)时
套用 f1 (t ) f 2 (t ) f1(t ) f ( 1) (t ) 0 f ( 1) (t ) 0 显然是错误的 f1 () 0
▲ ■ 第 7页
四、卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)
f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) f 2
(i ) 1 ( i )
(t )
f
(i )
(t ) f
▲
( j) 1
(t ) f 2
(i j )
(t )
第 6页
■
例1: f1(t) 如图, f2(t) = e – tε(t)，求f1(t)* f2(t) 南航电子信息
( 1) 解： f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 2 (t )
f1 (t ) (t ) (t 2)
f1(t ) (t ) (t 2)
t 0
f
( 1) 2
(t ) e ( )d [ e d ] (t )
7.6 卷积(卷积和)
§7.6 卷积（卷积和）
•卷积和定义 •离散卷积的性质 •卷积计算
一．卷积和定义
任意序列xn表示为 n的加权移位之线性组合 :
x n x 1 n 1 x 0 n x 1 n 1 x m n m
1．交换律
x( n) h( n) h( n) x( n)
第 4 页
2．结合律 x(n) h1 (n) h2 (n) x(n) [h1 (n) h2 (n)] 3．分配律
x(n) h1 (n) h2 (n) x(n) h1 (n) x(n) h2 (n)
可加性
输出
xm n m
xn hn
xm hn m
处由 x m 加权。 卷积和的公式表明：
系统对 x n 的响应 每一样值产生的响应之和，在各
hn将输入输出联系起来， 即零状态响应 xn hn。
X
二．离散卷积的性质
第 2 页
Байду номын сангаас
m
xm n m
x ( n) ( n) h( n) y( n) h( n)
X
第 3 页
时不变 均匀性
n m hn m
xm n m xm hn m
x ( n) y n
m m
X
第
y(n)的元素个数?
x(n) h(n)
y ( n)
6 页
nA nB
nC n A nB 1
若：
x(n)序列
h(n)序列
n1 n n2，
则y(n)序列
n1 n3 n n2 n4
•卷积和定义 •离散卷积的性质 •卷积计算
一．卷积和定义
任意序列xn表示为 n的加权移位之线性组合 :
x n x 1 n 1 x 0 n x 1 n 1 x m n m
1．交换律
x( n) h( n) h( n) x( n)
第 4 页
2．结合律 x(n) h1 (n) h2 (n) x(n) [h1 (n) h2 (n)] 3．分配律
x(n) h1 (n) h2 (n) x(n) h1 (n) x(n) h2 (n)
可加性
输出
xm n m
xn hn
xm hn m
处由 x m 加权。 卷积和的公式表明：
系统对 x n 的响应 每一样值产生的响应之和，在各
hn将输入输出联系起来， 即零状态响应 xn hn。
X
二．离散卷积的性质
第 2 页
Байду номын сангаас
m
xm n m
x ( n) ( n) h( n) y( n) h( n)
X
第 3 页
时不变 均匀性
n m hn m
xm n m xm hn m
x ( n) y n
m m
X
第
y(n)的元素个数?
x(n) h(n)
y ( n)
6 页
nA nB
nC n A nB 1
若：
x(n)序列
h(n)序列
n1 n n2，
则y(n)序列
n1 n3 n n2 n4
卷积运算的性质
卷积运算的性质
卷积运算是数学和工程领域中一个非常重要的概念，它是一种图像处理技术，也是一种概念上的运算，用于处理和分析信号（信号可以是图像、音频或文本信息等）的属性。
卷积运算是一种基于共卷积定理的数学方法，它的本质是基于一组所谓的卷积核，它是由一组数字组成的矩阵，通过应用这个卷积核来卷积数学表达式和输入信号。
卷积运算有很多有用的性质，可以用来处理图像数据，也可以用来处理文本和声音信号。
目标是通过它来提取信号的特征，从而使我们能够做出更好的决策。
其中最重要的性质有：
1.享性：卷积运算的最大优点就是共享性。
总的来说，卷积运算的某些元素（比如卷积核）可以被用来提取局部信息，这使得不用重复计算，大大减少了计算量。
2.视化：卷积运算得到的结果是可视化的，从而使得我们可以更好地理解和分析信号的特征。
3.效性：卷积运算在计算资源非常有限的环境中也可以取得优秀的表现，这使得它在实时系统中大量使用，比如计算机视觉、自动驾驶汽车等。
4.义卷积运算：在许多情况下，在原来的卷积运算中加入广义卷积可以提升性能，其中一些常见的广义卷积包括“带权重”、“特征融合”和“去噪”等。
卷积运算不仅在计算机视觉和机器学习等领域应用广泛，而且在更多的领域，如图像增强、语音识别和自动驾驶等也有着重要的应用。
卷积运算可以在各个维度上把信号进行特征提取，提取出信号有效的特征，从而使我们的系统更加高效、更加强大。
卷积运算的优点使它在计算机视觉、机器学习和智能设备等技术领域越来越受到重视，它的应用前景非常广阔。
信号与系统 卷积积分的性质
P47 2-8(1)(3)(5) ， 2-10(2)(4) P48 2-11(1)(3)(4)
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
卷积
• 这样对组成定义级数的每一个函数进行变换，就得到一个
相应的变换式级数。广义变换可以按照和通常变换相同的 规则进行运算。这些规则举例如下：
线性 F[C1g1+C2g2]=C1F[g1]+C2F[g2] 式中C1和C2为任意常数 相移 F[g(x-x0)]=exp{-iux0}F[g(x)] 即物在空域的平移只使衍射谱产生相位的移动。 微分
应用
• 卷积在工程和数学上都有很多应用：
• 统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。
• 概率论中，两个统计独立变量X与Y和的概率密度函数是X 与Y的概率密度函数的卷积。 • 声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的 卷积表示。 • 电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过 将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。
• 傅氏变换用算符F表示、含自变量x的复变函数g(x)的傅氏变 换由下式定义
F[ g ( x)] g ( x) exp 2iuxdx
• 由此定义的变换G(u)本身也是自变量u的复变函数。如x有 空间坐标含义，u一般称为空间频率。相仿地，函数G(u)的 逆傅氏变换可用F-1[G(u)]表示
F
1
Gu Gu exp2ixudu
• 傅氏变换存在的充分条件可归纳为下述三点：
• （1）g必须对整个无限的x直线绝对可积。 • （2）在任意一个有限域内，g必须只有有限个间断点和有限 个极大值和极小值。 • （3）g必须没有无穷大的间断点。
• 一般来说，这三个条件中的任何一个都可以减弱，但要加强 另外一个或两个条件。例如，经常用函数表示一个理想的物 点。它有一个无穷大的间断点，不满足条件（3）。又如， g(x)=1和g(x)＝cos(2ux)都不满足条件（1）。但对于那些不 严格满足存在条件的函数，往往也能够发现它们有一个有意 义的变换式，只有这些函数可以定义为由可变卷积公式和它
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d dt
f1(t)
f2(t)
f1(t)
df2 (t) dt
f2(t)
df1(t) dt
（5）卷积的积分
t
t
t
f1( ) f2( )d f1(t) f2( )d f2(t) f1( )d
资料部分
8
§2.7 卷积及其性质
推论
f1(t) f2 (t) (i) f1(t)( j) f2 (t)(i j)
0, t 0
t
S(t) 0
f1( )
f2 (t
)d ,
t
0
资料部分
2
§2.7 卷积及其性质
2，卷积及分的求取方法
（1） 函数计算法
例，已知
f1 (t )
1 [u(t 2
2)
u(t
5)]
f2 (t) 2u(t 1) u(t 7)
求 S (t) f1(t) f2 (t)
解：
S (t) f1(t) f2 (t)
第四步，相承与积分
f1( ) f2 (t )d
举例说明。
资料部分
6
§2.7 卷积及其性质
（1）分配律：f1(t) [ f2(t) f3(t)] f1(t） f2(t) f1(t) f3(t) 物理意义：几个系统并联，可等效为一个冲激响应
h(t) h1(t) h2(t) （2）结合律： [ f1(t) f2(t)] f3(t) f1(t) [ f2(t) f3(t)]
t
f (t) u(t) f ( )d
资料部分
10
§2.7 卷积及其性质
例：求卷积s(t) f1(t)* f2 (t)，其中f1(t) 2[u(t 1) u(t 3)]
f2 (t) u(t) 2u(t 1) u(t 2)
解：s(t)
f1 (t ) *
f1(t)
df1(t dt
f1( ) f2 (t )d
1 [u( 2) u( 5) 2
2u(t 1) u(t 7) d
资料部分
3
§2.7 卷积及其性质
对于 同理
u(t 1)u( 2)d u(t 1)u( 5)d
u(t 7)u( 2)d u(t 7)u( 5)d
§2.7 卷积及其性质
一，卷积积分
1，定义
设f1(t)和f2 (t)是定义在(, )区间上的两个函数，
则积分
S (t) f1( ) f2 (t )d
称为f1(t)和f2 (t)的卷积， 记为 f1(t) f2 (t)
对于S(t)
f1( ) f2 (t )d
i) 若t 0, f1(t) 0，即
物理意义：若冲击响应为h1 (t )，h2 (t )的两个系统相串联， 此两系统的组合可等效唯一个冲击响应
h(t) h1(t) h2(t)的系统。
资料部分
7
§2.7 卷积及其性质
(3) 交换律： f1(t) f2(t) f2(t) f1(t) 物理意义：串联的子系统可以任意交换位置。
（4）卷积的微分：
留意就会出错。
资料部分
5
§2.7 卷积及其性质
（2） 卷积积分的图解法
观察
S(t)
f1( ) f2 (t )d
实现卷积积分有四个步骤：
第一步，改变积分变量, f1(t) f1( )， f2 (t) f2 ( )
第二步, f2 ( )反转 f2 ( )
第三步，f2 ( )平移 f2 (t )
如果两个序列都是因果的，即 x1(n) x1(n)u(n)，x2(n) x2(n)u(n) 则有
n
x1(n) * x2(n) x1(m)x2(n m) m0
资料部分
13
§2.7 卷积及其性质
2，卷积和的性质
卷积和的性质与卷积积分完全对应。特别地，有
（1）卷积和的差分
x1(n) * x2 (n) x1(n) * x2 (n) [x1(n) * x2 (n)] x1(n) * x2 (n) x1(n) *x2 (n) [x1(n) * x2 (n)] （2）卷积和的累加
S1
u(t
1)u(
2) d，通过积分限判断得
t 1
S1 2 11d (t 3) u(t 3)
t 1
S2
u(t 1)u( 5)d
5
11d (t 6) u(t 6)
t7
S3
u(t 7)u( 2)d
2
11d (t 9) u(t 9)
t7
S4
u(t 7)u( 5)d
S(t) 0
f1( ) f2 (t )d
资料部分
1
§2.7 卷积及其性质
ii) 若t 0, f2 (t)＝0，那么对于f2 (t ),t 0, f2(t ) 0
t
S(t) f1( ) f2 (t )d
iii) 若t 0, f1(t) 0, f2(t) 0, 则
S (t )
5
11d (t 12) u(t 12)
资料部分
4
§2.7 卷积及其性质
于是
S(t) (t 3)u(t 3) (t 6)u(t 6) (t 9)u(t 9) (t 12)u(t 12)
0,
3t , 3,
12 t, 0,
t3 3t 6 6t9 9 t 12
t 12
由此可见，函数式积分应特别注意积分结果存在的区间，稍不
i
和（i
j ）为
0整数 0整数
表示微分 表示积6）与奇异函数的卷积
f (t) (t) f (t) f (t) (t t0 ) f (t t0 ) (t t1) (t t2 ) (t t1 t2 ) f (t) '(t) f '(t) f (t) (k) (t) f (k) (t) f (t) (k) (t t0 ) f (k) (t t0 )
)
*
t
f
2
(
)d
f1(t)
f2(t)
2
1
0 123
t
1
2
01
t
资料部分
11
§2.7 卷积及其性质
f1'(t) 2
1
0 12 3
t
f2'(t)
1
2
01
t
s(t) 2
45
1 23
t
-2
资料部分
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§2.7 卷积及其性质
二，离散卷积和
1，定义
两个序列x1(n)，x2 (n) 得卷积和定义为
x1(n) * x2(n) x1(m)x2(n m) m
n
n
n
x1(n) * x2 (i) x1(n) * x2 (i) [x1(n) * x2 (n)]
i
i
i
（3）与单位样值序列的卷积和