湖北省宜昌市2020-2021学年夷陵中学高二年级第一学期12月4日周五检测数学试卷

2020年夷陵中学高二年级周五检测数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40分）1.已知θ为直线y=3x−5的倾斜角，若A(cosθ,sinθ)，B(2cosθ+sinθ,5cosθ−sinθ)，则直线AB的斜率为()A. 3B. −4C. 13D. −142.“k=1”是“直线x−y+k=0与圆x2+y2=1相交”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.设椭圆C:x24+y2=1的左焦点为F，直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|+|BF|的值是()A. 2B. 2√3C. 4D. 4√34．已知直线l1:(3+m)x+4y=5−3m,l2:2x+(5+m)y=8平行，则实数m的值为()A. −7B. −1C. −7或−1D. 1335．唐代诗人李欣的是《古从军行》开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从A(2,0)出发，河岸线所在直线方程x+y−4=0，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为()A. √10B. 2√5−1C. 2√5D. √10−16. 如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，斜率为−1的直线与椭圆C相交于A，B两点，平行四边形OAMB(O为坐标原点)的对角线OM的斜率为13，则椭圆的离心率为()A. √33B. √63C. √32D. 237．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q、P的距离之比|MQ||MP|=λ(λ>0,λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=1，定点Q为x轴上一点，P(−12,0)且λ=2，若点B(1,1)，则2|MP|+|MB|的最小值为()A. √6B. √7C. √10D. √118．已知F1为椭圆C:x2a +y2b=1(a>b>0)的左焦点，直线l过椭圆的中心且与椭圆交于A，B两点．若以AB为直径的圆过F1，且π12≤∠F1AB≤π4，则椭圆C的离心率的取值范围是()A. [√22,√63] B. [√22,1) C. (0,23] D. [12,23]二、多选题（本大题共4小题，共20分）9．已知双曲线C：x23−y2m=1过点（3，√2），则下列结论正确的是（）A、C的焦距为4B、C的离心率为√3C、C的渐近线方程为y=±√33x D、直线2x−√3y−1=0与C有两个交点10. 已知圆O：x2+y2=4,直线l:x+y=m，若圆O上恰有n个的点到直线l的距离为1，则下列结论正确的有（）A、n=1时，m=3√2 ；B、n=2时，√2<m<3√2或−3√2<m<−√2；C、n=3时，m=√2或m=−√2；D、n=4时,−√2<m<√2；11．已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，四点P1(1,1),P2(0,1),P3(−1,√32),P4(1,√32)中恰有三点在椭圆C上，F1 、F2为左右焦点．则（）A、点P1在椭圆C上，B、椭圆C的离心率e=√32，C、以F1P4为直径的圆与以椭圆C长轴为直径的圆内切，D、M、N为椭圆上关于原点对称的两点，则直线P2M、P2N斜率之积为定值14；12、瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线。

已知ΔABC的顶点A(-4,0),B(0,4),其欧拉线方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标可以是（）A、（2，0）B、（0，2）C、（0，-2）D、（-2，0）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知直线l ：ax +y +2−a =0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值为________．14.如果圆(x −a)2+(y −1)2=1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是______．15.已知方程mx 2+(m −4)y 2=2m +2表示焦点在x 轴上的双曲线，该双曲线与椭圆x 28+y 22=1有共同的焦点，求该双曲线的渐近线方程为________________;16. F 1，F 2是椭圆C 1和双曲线C 2的公共焦点，e 1，e 2分别为曲线C 1，C 2的离心率，P 为曲线C 1，C 2的一个公共点，若∠F 1PF 2=π3，且e 2∈[√3,2]，则e 1的取值范围______．三、 解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知圆E 经过点A(0,0)，B(1,1)，从下列3个条件选取一个_______① 过点C(2,0)．②圆E 恒被直线mx −y −m =0(mϵR )平分，③与y 轴相切， （1）求圆E 的方程；（2）过点P(3,0)的直线L 与圆E 相交于A 、B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程。

18.已知双曲线的渐近线方程为y =±43x ，并且焦点都在圆x 2+y 2=100上，求双曲线方程．19．设中心在坐标原点的椭圆E 与双曲线2x 2−2y 2=1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点A(2,0)的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线l 的方程．20．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√32，且经过点E (√3,12)，直线l 过点M (1,0)，交椭圆C 于A ，B 两点，设S △AOB =λS △AOD (λ∈R)． (1)求椭圆C 的方程； (2)求λ的取值范围．21．已知双曲线C的中心的坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=√52，虚轴长为2．(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线l：y=kx+m与曲线C相交于A、B两点(A,B均异于左、右顶点)，且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点．22．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为√6．(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．2020年夷陵中学高二年级周五检测数学试卷一、 选择题（本大题共8小题，共40分）DACA BBCA二、 多选题（本大题共4小题，共20分）9.AC 10.BCD 11.BC 12.AC 三、 填空题（本大题共4小题，共20分）13．1或2 14. (−2√2,0)∪(0,2√2) 15. y =±x ，或y =±√55x 16. [√33,2√1313] 四、 解答题（本大题共6小题，共70分）17．解：(1)选①设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，(D 2+E 2−4F >0)， 由题意可得{F =02+D +E +F =04+2D +F =0，解得{D =2E =0F =0，则圆E 的方程为x 2+y 2−2x =0即(x −1)2+y 2=1； 选②，选③均得：圆E 的方程为(x −1)2+y 2=1；（2）由EM ⊥AB 知：点M 的轨迹为以EP 为直径的圆落在圆E 内的一段圆弧，其方程为(x −2)2+y 2=1(x <32) 18.解：当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)． 由渐近线方程y =±43x 得ba =43.①又焦点在圆x 2+y 2=100上，知c =10，即a 2+b 2=100.② 由①②解得a =6，b =8.∴所求双曲线方程为x 236−y 264=1． 当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)，则{a 2+b 2=100a b =43，即{a =8b =6， ∴所求双曲线方程为y 264−x 236=1．综上，所求双曲线方程为x 236−y 264=1，或y 264−x 236=1．19． 解：(1)由题意得，椭圆E 的焦点为(±1,0)，离心率为√22，椭圆E 的标准方程为x 22+y 2=1．(2) 设点P ，Q 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)，因为AP →=12PQ →，则{x 2=3x 1−4y 2=3y 1，(x 1,y 1),(x 2,y 2)满足椭圆方程，即{x 122+y 12=1(3x 1−4)22+(3y 1)2=1，解得{x 1=43|y 1|=13、{x 2=0|y 2|=1且y 1y 2>0， 直线l 的方程为x ±2y =0． 20．解：(1)椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√32，且经过点E(√3,12)，可得：{ ca =√32a 2=b 2+c 23a2+14b2=1，解得a =2，b =1，c =√3，可得椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∵S △AOB =λS △AOD, ∴12|y 1−y 2|=λ|y 1|，∴λ=12|y 1−y 2||y 1|=12|1−y 2y 1|，设直线AB 的方程为x =my +1与椭圆方程联立可得(m 2+4)x 2+2my −3=0， 则y 1+y 2=−2m m 2+4，y 1y 2=−3m 2+4，令y 2y 1=t(t <0)，∴t +1t +2=y 2y 1+y 1y 2+2=(y 1+y 2)2y 1y 2=−4m 23(m +4)>−43， ∴t +1t>−103(t <0)，∴3t 2+10t +3<0，∴−3<t <−13，∴λ=12|1−t|∈(23,2)．21．解：(1)由题设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)， 由已知得：ca=√52，2b =2，又a 2+b 2=c 2，解得a =2，b =1，∴双曲线的标准方程为x 24−y 2=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =kx +mx 24−y 2=1，得(1−4k 2)x 2−8mkx −4(m 2+1)=0， 有{1−4k 2>0△=64m 2k 2+16(1−4k 2)(1+m 2)>0x 1+x 2=8mk 1−4k 2>0x 1x 2=−4(1+m 2)1−4k 2<0，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2=m 2−4k 21−4k 2，以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D(−2,0)， ∴k AD k BD =−1，即y 1x1+2⋅y 2x2+2=−1，∴y 1y 2+x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=0，∴m 2−4k 21−4k 2+−4(m 2+1)1−4k 2+16mk 1−4k 2+4=0，∴3m 2−16mk +20k 2=0解得m =2k 或m =10k 3．当m =2k 时，l 的方程为y =k(x +2)，直线过定点(−2,0)，过双曲线的左顶点，与已知矛盾； 当m =10k 3时，l 的方程为y =k(x +103)，直线过定点(−103,0)，经检验符合已知条件．故直线l 过定点，定点坐标为(−103,0)．22．解：(1)由题设知ca =3，即a 2+b 2a 2=9，故b 2=8a 2，所以C 的方程为8x 2−y 2=8a 2，将y =2代入上式，并求得x =±√a 2+12，由题设知，2 √a 2+12=√6，解得a 2=1，所以a =1，b =2√2；(2)由(1)知，F 1(−3,0)，F 2(3,0)， C 的方程为8x 2−y 2=8，①由题意可设l 的方程为y =k(x −3)，|k|<2√2，代入①并化简得 (k 2−8)x 2−6k 2x +9k 2+8=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1≤−1，x 2≥1，x 1+x 2=6k 2k 2−8，x 1·x 2=9k 2+8k 2−8，于是|AF 1|=√(x 1+3)2+y 12=√(x 1+3)2+8x 12−8=−(3x 1+1)， |BF 1|=√(x 2+3)2+y 22=√(x 2+3)2+8x 22−8=3x 2+1，由|AF 1|=|BF 1|，得−(3x 1+1)=3x 2+1，即x 1+x 2=−23， 故6k 2k −8=−23，解得k 2=45，从而x 1·x 2=−199， 由于|AF 2|=√(x 1−3)2+y 12=√(x 1−3)2+8x 12−8=1−3x 1，|BF 2|=√(x 2−3)2+y 22=√(x 2−3)2+8x 22−8=3x 2−1，故|AB|=|AF 2|−|BF 2|=2−3(x 1+x 2)=4，|AF 2|·|BF 2|=3(x 1+x 2)−9x 1x 2−1=16，因而|AF 2|·|BF 2|=|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．。