概率论期末考试题型、知识点和公式复习
概率知识点总结及题型汇总
概率知识点总结及题型汇总一、确定事件：包括必然事件和不可能事件1、在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件。
必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是100%；如：从一包红球中，随便取出一个球，一定是红球。
2、在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件。
不可能事件是指一定不能发生的事件，或者说发生的可能性是0，如：太阳从西边出来。
这是不可能事件。
3、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0二、随机事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．一个随机事件发生的可能性的大小用概率来表示。
三、例题：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是随机事件，哪些是不可能事件，哪些是确定事件？①一个玻璃杯从一座高楼的第10层楼落到水泥地面上会摔破；②明天太阳从西方升起；③掷一枚硬币，正面朝上；④某人买彩票，连续两次中奖；⑤今天天气不好，飞机会晚些到达．解：必然事件是①；随机事件是③④⑤；不可能事件是②．确定事件是①②三、概率1、一般地，对于一个随机事件A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率，记为P(A) ．（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = mn．（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。
（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1（6）可能性与概率的关系事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．3、求概率的步骤：(1)列举出一次试验中的所有结果(n个)；(2)找出其中事件A发生的结果(m个)；(3)运用公式求事件A的概率：P(A) = mn．5、在求概率时，一定要是发生的可能性是相等的，即等可能性事件等可能性事件的两种特征：（1）出现的结果有限多个; （2）各结果发生的可能性相等；例1：图1指针在转动过程中，转到各区域的可能性相等，图3中的第一个图，指针在转动过程中，转到各区域的可能性不相等，由上图可知，在求概率时，一定是出现的可能性相等，反映到图上来说，一定是等分的。
概率论期末复习知识点
概率论期末复习知识点第一章 随机事件与概率概率论期末复习知识点1．**事件的关系及运算(1) A B ⊂(或B A ⊃)．(2) 和事件： A B ⋃； 12n A A A ⋃⋃⋃（简记为1ni i A =）． (3) 积事件： AB , 12n A A A ⋂⋂⋂（简记为12n A A A 或1n i i A =)．(4) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生,即AB φ=(5) 对立事件： A ．(6) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生,记作A B -(或AB ) ．(7) 德摩根（De Morgan ）法则：对任意事件A 和B 有A B A B ⋃=⋂, A B A B ⋂=⋂.2． **古典概率的定义古典概型：()A n A P A n ==Ω中所含样本点的个数中所含样本点的个数．几何概率()A P A =的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）·3．**概率的性质(1) ()0P φ=．(2) (有限可加性) 设n 个事件1,2,,n A A A 两两互不相容,则有121()()n n i i P A A A P A =⋃⋃⋃=∑．(3)()1()P A P A =-．(4) 若事件A,B 满足A B ⊂,则有()()()P B A P B P A -=-,()()P A P B ≤．(5) ()1P A ≤．(6) (加法公式) 对于任意两个事件A,B,有()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-.对于任意n 个事件1,2,,n A A A ,有111111()()()()(1)()n n n i i i j i j k n i i j n i j k n i P A P A P A A P A A A P A A -=≤<≤≤<<≤==-+-+-∑∑∑. 4．**条件概率与乘法公式()(|)()P AB P A B P B =.乘法公式：()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==.5．*随机事件的相互独立性事件A 与B 相互独立的充分必要条件一：()()()P AB P A P B =,事件A 与B 相互独立的充分必要条件二：(|)()P A B P A =．对于任意n 个事件1,2,,n A A A 相互独立性定义如下：对任意一个2,,k n =,任意的11k i i n ≤<<≤,若事件1,2,,n A A A 总满足11()()()k k i i i i P A A P A P A =, 则称事件1,2,,n A A A 相互独立．这里实际上包含了21n n --个等式．6．*贝努里概型与二项概率设在每次试验中,随机事件Ａ发生的概率()(01)P A p p =<<,则在n 次重复独立试验中．,事件Ａ恰发生k 次的概率为()(1),0,1,,k n k n n P k p p k n k -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 7．**全概率公式与贝叶斯公式贝叶斯公式：如果事件1,2,,n A A A 两两互不相容,且1ni i A ==Ω,()0i P A >,1,2,,i n =,则 1()(|)(|),1,2,,()(|)k k k n i ii P A P B A P A B k nP A P B A ===∑．第二章 一维随机变量及其分布本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算．概率论主要研究随机变量的统计规律,也称这个统计规律为随机变量的分布．1．**离散型随机变量及其分布律(),1,2,,,.i i p P X a i n ===分布律也可用下列表格形式表示：2．*概率函数的性质(1) 0i p ≥, 1,2,,,;i n =(2) 11i i p ∞==∑．3．*常用离散型随机变量的分布(1) 0—1分布(1,)B p ,它的概率函数为1()(1)i i P X i p p -==-,其中,0i =或1,01p <<．(2) 二项分布(,)B n p ,它的概率函数为()(1)i n in P X i p p i -⎛⎫==- ⎪⎝⎭,其中,0,1,2,,i n =,01p <<．(４)** 泊松分布()P λ,它的概率函数为()!i P X i e i λλ-==, 其中,0,1,2,,,i n =,0λ>．．4．*二维离散型随机变量及联合概率二维离散型随机变量(,)X Y 的分布可用下列联合概率函数来表示：(,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ==== 其中,0,,1,2,,1ij ij i j p i j p≥==∑∑．5．*二维离散型随机变量的边缘概率设(,)X Y 为二维离散型随机变量,ij p 为其联合概率（,1,2,i j =）,称概率()(1,2,)i P X a i ==为随机变量X 的边缘分布律,记为i p 并有.(),1,2,i i ij j p P X a p i ====∑,称概率()(1,2,)j P Y b j ==为随机变量Y 的边缘分布率,记为.j p ,并有.j p =(),1,2,j ij i P Y b p j ===∑.6．随机变量的相互独立性 ．设(,)X Y 为二维离散型随机变量,X 与Y 相互独立的充分必要条件为,,1,2,.ij i j p p p i j ==对一切多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．7．*随机变量函数的分布设X 是一个随机变量,()g x 是一个已知函数,()Y g X =是随机变量X 的函数,它也是一个随机变量．对离散型随机变量X ,下面来求这个新的随机变量Y 的分布．设离散型随机变量X 的概率函数为12p p p 则随机变量函数()X 的概率函数可由下表求得但要注意,若()i g a 的值中有相等的,则应把那些相等的值分别合并,同时把对应的概率i p 相加．第三章 连续型随机变量及其分布本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性计算．1．*分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示,．2．分布函数()F x 的性质(1) 0()1;F x ≤≤(2) ()0,()1lim lim x x F x F x →-∞→+∞==; 由已知随机变量X 的分布函数()F x ,可算得X 落在任意区间(,]a b 内的概率． 3．联合分布函数二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数． 4．联合分布函数的性质(1) 0(,)1F x y ≤≤；(2) (,)0,(,)0lim lim x y F x y F x y →-∞→-∞==,(,)0,(,)1lim lim x x y y F x y F x y →-∞→+∞→-∞→+∞==；(3) 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+．5．**连续型随机变量及其概率密度设随机变量X 的分布函数为()F x ,如果存在一个非负函数()f x ,使得对于任一实数x ,有()()F x P X x =<()()()P a X b F b F a ≤<=-(,)(,)F x y P X x Y x =<<()()xF x f x dx -∞=⎰成立,则称X 为连续型随机变量,函数()f x 称为连续型随机变量X 的概率密度．6．**概率密度()f x 及连续型随机变量的性质（１）()0;f x ≥（２）()1f x dx +∞-∞=⎰；（３）()()F x f x '=；（4）设X 为连续型随机变量,则对任意一个实数c,()0P X c ==；(5) 设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度,则有()()()()P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤<=≤≤=<≤＝()ba f x dx ⎰．7．**常用的连续型随机变量的分布(1) 均匀分布(,)R a b ,它的概率密度为1,;()0,a xb f x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其余. 其中,)a b -∞<<<+∞．(2) 指数分布()E λ,它的概率密度为,0;()0,x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩其余. 其中,0λ>．(3) 正态分布2(,)N μσ,它的概率密度为22()2(),x f x x μσ--=-∞<<+∞,其中,,0μσ-∞<<+∞>,当0,1μσ==时,称(0,1)N 为标准正态分布,它的概率密度为22(),xf x x -=-∞<<+∞,标准正态分布的分布函数记作()x Φ,即22()t xx dt -Φ=⎰, 当出0x ≥时,()x Φ可查表得到；当0x <时,()x Φ可由下面性质得到()1()x x Φ-=-Φ．设2~(,)X N μσ,则有 ()()x F x μσ-=Φ；()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ．８．**二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量(X,Y)的分布函数(,)F x y ,如果存在一个二元非负函数(,)f x y ,使得对于任意一对实数(,)x y 有(,)(,)xy F x y f s t dtds -∞-∞=⎰⎰成立,则(,)X Y 为二维连续型随机变量,(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度．９．**二维连续型随机变量及联合概率密度的性质(1) (,)0,,f x y x y ≥-∞<<+∞；(2) (,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰；’(3) 在(,)f x y 的连续点处有2(,)(,)F x y f x y x y ∂=∂∂;(4) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量,则对平面上任一区域D 有((,))(,)D P X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰．1０,**二维连续型随机变量(,)X Y 的边缘概率密度设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度,则X 的边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰；Y 的边缘概率密度为()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰．11．常用的二维连续型随机变量(1) 均匀分布如果(,)X Y 在二维平面上某个区域G 上服从均匀分布,则它的联合概率密度为1,(,)x y f x y G ⎧∈⎪=⎨⎪⎩，（)G;的面积0,其余. (2) 二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ 如果(,)X Y 的联合概率密度2211212221121()()()()1(,)22(1)x x y x f x y μμμμρρσσσσ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪=--+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎣⎦⎩⎭则称(,)X Y 服从二维正态分布,并记为 221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ,则211~(,)X N μσ,222~(,)Y N μσ,即二维正态分布的边缘分布还是正态分布．12．**随机变量的相互独立性 ．(,)()(),,X Y F x y F x F y x y =-∞<<+∞对一切,那么,称随机变量X 与Y 相互独立．设(,)X Y 为二维连续型随机变量,则X 与Y 相互独立的充分必要条件为(,)()(),X Y f x y f x f y =在一切连续点上.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ．那么,X 与Y 相互独立的充分必要条件是0ρ=． 第四章 随机变量的数字特征本章重点：随机变量的期望。
概率论与数理统计期末考试复习资料
（1）排 列组合 公式
Pmn
m! (m n)!
C
n m
m! n!(m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
（2）加 法和乘 法原理
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方 法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步
率。分布函数F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, x ；
2° F(x) 是单调不减的函数，即x1 x2 时，有 F(x1) F(x2) ；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
设F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意 实数x ，有
F (x) x f (x)dx ，
则称 X 为连续型随机变量。f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函 数，简称概率密度。 密度函数具有下面 4 个性质： 1° f (x) 0 。
2° f (x)dx 1。
X
| x1, x2,, xk, 。
P( X xk) p1, p2,, pk,
显然分布律应满足下列条件：
（1） pk 0 ，k 1,2,， （2） pk 1。 k 1
（2）连 续型随 机变量 的分布 密度
概率论期末考试题型、知识点和公式复习
概率论期末复习知识点第一章（A 卷 20 分， B 卷 22 分） 2. 二维连续型随机向量的联合概率密度、性质1. 事件的表式及其应用2. 事件的关系与运算3. 二维连续型随机向量的分布函数3. 概率性质及其应用4. 均匀分布4. 古典概型5. 二维正态分布5. 条件概率6. 边缘概率密度6. 全概率公式7. 随机变量的独立性7. 贝叶斯公式8. 二维随机向量的相关概率计算：O联合概率密度8. 事件的独立性重点重点：条件概率，全概率公式，贝叶斯公式O边缘概率密度第二章（A 卷 22 分， B 卷 20 分）O随机变量的独立性1. 离散型随机变量的概率分布第四章（A 卷 21 分， B 卷 26 分）2. 两点分布 1. 离散型随机变量的期望3. 二项分布 2. 连续型随机变量的期望4. 泊松分布 3. 随机变量函数的期望5. 概率密度函数及其性质 4. 方差6. 连续型随机变量的分布函数 5. 方差的性质7. 均匀分布 6. 协方差、协方差的性质8. 指数分布7. 相关系数O数学期望（随机变量及函数的数学期望）9. 标准正态分布、正态分布重点:O方差（离散型随机变量的方差）10. 随机变量相关的概率计算11. 离散型随机变量函数的概率分布O协方差和相关系数重点：O正态分布，二项分布第五章（A 卷 14 分， B 卷 12 分）O离散型随机变量及函数的概率分布1. 雪比切夫不等式的应用第三章（A卷23分，B卷20分）1. 离散型随机向量联合概率分布及分布函数2. 棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理的应用重点：棣莫弗 ----- 拉普拉斯中心极限定理概率论期末公式复习对偶律：厂B AB ， AB A B ； 概率的性质 1. P (? )=0;2. A,A,…,A n 两两互斥时： RAU AU …U A)= P (A)+…+P (A),3. P(A) 1P(A)( A 是 A 不发生)(D)4. 若 AB 则有：P (A ) w P( B ), P (AB = P (A ),RBA )=RB- RA> , RAU E )= R E ).5.P(A B) P(A) P(B) P(AB)(D), P ( B A )=P ( B )- P (AB )。
概率论与数理统计期末考试考点总结
概率论与数理统计期末考点总结
第一章
事件的运算；概率的性质；古典概型（不包括难题）；条件概率；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式；事件独立性。
（第一章的内容是全书的基础，必须熟练掌握）
第二章、第三章
一、二维随机变量的定义；一维分布函数、密度函数、分布列；二维联合分布和边际分布所对应的分布函数、密度函数（以上内容知道即可）
随机变量的独立性（条件分布不考）
常见分布：二项分布、泊松分布、几何分布、正态分布、均匀分布、指数分布；一元、二元函数的分布。
（以上内容要求掌握）
第四章
期望、方差的定义与性质（要求熟练掌握）；
函数的期望（掌握即可）；
斜方差与相关系数（了解即可）；
第五章
本章不考。
第六章
总体、样本的统计量（知道即可）；
三种常用统计量分布的定义与性质；抽样分布定理（掌握）
第七章
矩估计、极大自然数分布两种方法（熟练掌握）
第八章
区间估计（单总体）；假设检验（双侧）
（双总体和单侧不考）。
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理讲解
概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
概率论重点和题型整合
概率论与数理统计考点归纳第一章1.1样本空间（P2），互不相容与互斥的概念(P4)1.2概率的性质：性质4和性质6(P10)1.3古典概型（简单的）1.4全概率公式和贝叶斯公式（P21-22考大题）1.5相互独立的公式(P24)第二章2.1不考2.2—2.4考填空和选择2.5考大题第三章3.1例4（P65-66考大题），二维均匀分布(P66-67) 3.2定义2和定义4(P72,P74)3.3卷积公式(P81)第四章4.1,4.2期望，方差的性质（可能考证明题）常见分布的期望，方差（书上96-97页例1,2,3,4,和99页例7,8的结论,特别是泊松分布和指数分布）4.3协方差的性质：P103第④⑥个相关系数的性质：P105第（3）个4.4中心极限定理（P113考大题）第五章5.1统计量(P127)5.2定义1,2,3，卡方分布的期望和方差，t分布（可能考证明题）5.3定理1,2,3(P139)第六章6.1评价估计量的三条标准(P150)6.2矩估计法，最大似然估计法（考大题）6.3不考6.4记住4个置信区间（P168-170,4.1,4.2，4.3,4.4）第七章7.1，7.2假设检验的两类错误（P181填空，选择），假设检验的一般步骤（考大题）概率论与数理统计重点内容1、古典概型中相关概率的计算；2、条件概率；乘法公式；全概率公式（应用题）；贝叶斯公式（应用题）；3、如何由概率分布或者密度函数求分布函数？或者由分布函数求概率分布或密度函数？4、如何求期望？5、如何求方差？6、如何求协方差和相关系数？7、中心极限定理的应用（应用题）；8、点估计的常用方法：矩估计法和最大似然估计，尤其要注意最大似然估计法；9、假设检验；10、随机变量函数的分布函数的求法。
上述相关概念的定义，相关性质，计算公式及如何运用解决应用题等必须掌握好。
其它没有列为重点内容的也可能出现在填空题或者选择题中，但是正常情况比例不高。
《概率论与数理统计》期末复习重点总结
概率论与数理统计第一章：掌握概率的性质、条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式，会用全概率公式和贝叶斯公式计算问题。
第二章：一维随机变量包括离散型和连续型；离散型随机变量分布律的性质；连续性随机变量密度函数的性质；常见的三种离散型分布及连续型分布；会计算一维随机变量函数的分布（可以出大题）；第三章：多维随机变量掌握离散型和连续型变量的边缘分布；条件分布及两个变量独立的定义；重点掌握两个随机变量函数的分布（掌握两个随机变量和、差的密度函数的求法；了解两个随机变量乘、除的分布；掌握多个随机变量最大、最小的分布的密度函数的求法）；第四章：重点掌握期望、方差、协方差的计算公式、性质；了解协方差矩阵的构成；第六章：掌握统计量的定义、三大分布的定义和性质；教材142页的四个定理及式3.19、3.20务必记住；第七章：未知参数的矩估计法和最大似然估计法是考点，还要掌握估计量的无偏性、有效性的定义；教材的例题及习题：19页例5；26页19、23、24、36；43页例1；51页例2；53页例5；58页25、36；63页例2；66页例2；77页例1、例2；87页22；99页例12；114页6；147页4、6；151页例2、例3；153页例4、例5；173页5、11样题一、填空1. 设A ，B 相互独立，且2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________.2. 已知),2(~2σN X ，且3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P __________.3．已知B A ,两个事件满足条件()()B A P AB P =，且()p A P =，则()=B P _________.4．设随机变量X 的密度函数为()2,01,0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X 出现的次数，则()2P Y == . 5、设连续型随机变量X 的分布函数为 ， ，则A=B= ；X 的密度函数为 。
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概率论期末复习知识点第一章（A卷20分，B卷22分）及其应用1.事件的表式2.事件的关系与运算3.概率性质及其应用4.古典概型5.条件概率6.全概率公式7.贝叶斯公式8.事件的独立性重点：条件概率，全概率公式，贝叶斯公式第二章（A卷22分，B卷20分）1.离散型随机变量的概率分布2.两点分布3.二项分布4.泊松分布5.概率密度函数及其性质6.连续型随机变量的分布函数7.均匀分布8.指数分布9.标准正态分布、正态分布10.随机变量相关的概率计算11.离散型随机变量函数的概率分布重点：o正态分布，二项分布囤离散型随机变量及函数的概率分布第三章（A卷23分，B卷20分）1.离散型随机向量联合概率分布及分布函数2.二维连续型随机向量的联合概率密度、性质3.二维连续型随机向量的分布函数4.均匀分布5.二维正态分布6.边缘概率密度7.随机变量的独立性8.二维随机向量的相关概率计算重点：o联合概率密度②边缘概率密度③随机变量的独立性第四章（A卷21分，B卷26分）1.离散型随机变量的期望2.连续型随机变量的期望3.随机变量函数的期望4.方差5.方差的性质6.协方差、协方差的性质7.相关系数重点：①数学期望（随机变量及函数的数学期望）②方差（离散型随机变量的方差）③协方差和相关系数第五章（A卷14分，B卷12分）1.雪比切夫不等式的应用2.棣莫弗--- 拉普拉斯中心极限定理的应用重点：棣莫弗 -- 拉普拉斯中心极限定理概率论期末公式复习对偶律：A B AB, AB A B;概率的性质1.P(? )=0;2.A, A,…,A n 两两互斥时：RAU AU…U A)= P(A)+…+P(A),3.P(A) 1 P(A)( A 是A不发生)(D)4.若AB 则有：P(A) w P( B), P(AB = P(A), RBA)=RB- RA> , RA U B)= R B).5.P(A B) P(A) P(B) P(AB)(D), P(B-A)=P(E)- P(A^。
古典概率模型中，事件A的概率A中包含基本事件数()基本事件总数从n件商品中取出k商品，共有C k——n!——［即n］种取法［n! n (n 1) 2 1］。
k!( n k)! kD- P ( B>0，称下式为事件 B 发生条件下，事件A 的条件概率XP(A|B)坐岂，P(B)乘法公式：若 RE )>0,贝U P (AB =P (BR A |B ； 设A i , A>,…,A n 是两两互斥的事件，A U AU …U A 之一同时发生，则 若 P (A )>0,则 P (AB =R A )P (B | A )。
A = Q,且 P (A )>0, i = 1,2,…,n ;另有 事件B 它总是与 全概率公式: A i , A,…, nP(B) i 1P(A 」P(B | A i ) 贝叶斯公式: 定义：称A 定理•若事件 P(A i )P(B | A i ) iP(A j )P(B | A j ) j 1B 独立，如果 P (AB = P (A )RB( D)。
A B 独立相互独立，则 A 与B 、A 与B 、A 与B 也相互独立。
P(A i lB) 1,2, ,n .(D) 随机变量 X 的分布函数：F (X )= P (X < X ), - < X S 性质：P (a 1<X < b 1)=F (b 1)-F (a 1). D 2-定义：设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 P(X X k ) P k , k 1,2,。
X -I ,X 2 ,,且有 则称P 1 ,卩2,…为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。
其中 卩 1 , p 2, ⑴ P k 0, k 1,2,; (2) ；P k 1. 离散型随机变量的分布函数(累计频率):…满足 离散型随机变量X X X 1 F(X ) P(X X ) P kX k X P 1 P 1 P 2 X 1 X X 2X n( X 2 X 3 P kE(X) D 3- X 则： F(X k ) F(X k 1), k 1 k (1)X k P k , E(X 2) ~ B (n , p )-参数为(n , 2 X k P k , p )的二项分布：用X 表示n 重贝努里试验中事件 A 发生的次数,n() k 1D(X) E(X 2) [E(X)]2(D)。
数, P(X E(X) k) C'p k(1 np , D(X) 、n k p), np(1 k 0,1, ,n (D). P). X 〜P (入)-参数为入 的泊松分布：P(k; ) P(X k) k !k 0,1, 2,.其中入>0是常E(X) , D(X) X 为连续型随机变量：有密度函数 f (X ) 0使：P(ai X b i )b 1 f(x)dx,a i设 f (X )h(x ) 0a X b其它 ,密度函数的性质:f(X )dXbh (X ) dx 1 (D) a分布函数F (X ) P(X X )h(t)d ta1标准正态分布，记作 X 〜N(0,1)， E(X) 0， D(X) 1 : 密度函数：(x) 1e x 2/2， x ，42x142 /C分布函数：(x)2「e t /2dt (可查表得出).若 X ~ N(，2), -------- N(0,1),X 〜U(a , b )-均匀分布，密度函数:1f(x) rva x b,E(X) (a b)/2, D(X) (b a)2/12.0, 其他.X ~E(入)-参数为入的指数分布，密度函数:X, X 2独立，X i 〜N( i , i 2),i 1,2. aX 1+bX 2+c 〜N a 口 1+b 口 2+c , aS 12+b 2 22) E (aX +b )= aE (X )+b , QaX +b )= a 2D (X ), E (aX +bY +c ) = aE (X )+ bE (X )+c , 独立：P j P i P j ,i 1,2, .j 1,2, oZ g(X,Y), E(Z) 粘)i m1)g(X i ,y j )p j2 2 Z X,Y,XY,X ，丫 时，可计算：E(X), E(Y), Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y)等。
独立T 不相关： Cov(X,Y) 0，或 E(XY) E(X)E(Y)。
二维连续型随机变量(X , Y )密度函数f(x,y)h(x 0y) (其它 D ［均匀分布时，h (x,y)寸，d 为D 的面积］，D 是矩形(含正方形)、全部区域、三角形(含大三角形)、圆盘、直线与抛物线所围区域等。
D 5-1f(x, y)dxdy h(x, y)dxdy ； dx ：(：))h(x, y)dy(或Cdy h(x, y)dx)D(常用到的不定积分公式:k 1kxxx dx, e dxk 1在f (x )的连续点，有:bE(X) xh ae x,sinxdx2(x) dx, E(X )F (x) f(x).b2> xcosx. dx~2 2x1 xarctg , udv uvvdu 等)•D 4- X ~ N(2):参数为常数(x )2h(x)dx, D(X) 2E(X ) 2[E(X)]口和(r>0的正态分布: 密度函数为 f(x)2，E(X)，D(X)P{a, X b}1一a 1.P{X bi}1—.当 x 0时，(x) 1 (x)(D)f (x)xce , x 0,0, x 0.0)，E(X) 1/，D(X) 1/X, Y 独立，Q aX +bY +c ) = a 2D ( X )+ b 2D (X ).二维离散型随机变量(X , Y ):P jP(X x,Y y j ) >0,n(1)m1)Pj1 ,n( )m()pj 1 pij?p j i 1 pij ?分布函数F (x, y)p 「2 2E(XY), E(X ), E(Y ),二维离散型随机变量(X Y )(a 是区域D 左边界的最小值，b 是区域D 右边界的最大值， A(x )是区域D 的下边界函数，2 2(x ) 是区域D 的上边界函数；C 是区域D 下边界的最小值，d 是区域D 上边界的最大值， 01(X )是区域D 的左边界函数，02(x )是区域D 的右边界函数)。
P[(X,Y) S] f (x,y)dxdy h(x,y)dxdy ( D n S 是矩形、三角形等)SD Sf x (x) f (x,y)dy2(即 h(x, y)dy a 0 xx b a 或x b f y (y) f(x, y)dx2((y)h(x, y)dx c o yy dc 或y d(X , Y )独立:f(x,y) f x (x)f y (y) (D 5)D 6Zg(X,Y), E(Z)g(x,y)f(x,y)d x dy ° g (x,y )h(x,y)dxdy；dx g(x,y)h(x, y)dy(或C dy g(x, y)h(x, y)dx)Z X'Y’XY’X I Y 2时，可计算：E(X)，E(Y)，E(XY)，E(X 2)，E(Y 2).Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y)， xy Cov(X,Y)/ D(X)D(Y)( iD(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y). D(X) E(X 2) [E(X)]2, D(Y) E(Y 2) [E(Y)]2. 独立T 不相关：Cov(X,Y) 0，或 E(XY) E(X)E(Y)。
E(X),D(X)存在，&任意，切比雪夫不等式：P( X E(X) ) 里牡(&工0).D 7- X i ,…,X n 独立，X i 服从0-1分布，p =P (X =1) , n 充分大时，则P(an X (b1np 、 (印 nP)(D )P(a1i 1Xib 1)( ---------) (--------- )()⑷ p(1 p) 、：np(1 p)。