概率论期末考试试题A卷及答案
07级《概率论》期末考试试题 A 卷及答案
一、 填空题（满分15分）：
1. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概 1
o
10 —
解答:
单项选择题（满分15分）：
，B 、C 为三个事件,用A 、B C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为
B C . ② ABC ABC ABC ABC .
④ ABC ABC ABC ABC
率为
解答：P 1 2 3! 5! 1 10
2.设 P(A)
P,P(B)
q, P(A B) r,则 P(AB) 解答：P （AB ） P(A B) P[(A B) B)]
P(A
B) P(B) r q
3.设随机变量
的分布列为
P(X
k)
3^,k 0,1,2,...
解答:
3 -a
2
4.设随机变量为
已知D =25,D =36,
0.4,则 D( -
)=_37
D(
)D cov(,
2cov(
D(
25 36
5 6 0.4 37
5.设随机变量服从几何分布
P(
k)
p,k 12... o 贝u 的特征函数
(t)
解:f t E(e it
)
itk k 1
e q p
k 1
it
pe
it
qe
k 1
P e" 1 qe .
1.设.A 、
2.下列函数中, ( ）
可以作为连续型随机变量的分布函数
x
3.下面是几个随机变量的概率分布，其中期望不存在的为
土,
k S.
0,k 0,1,2...
（③）。
①二项分布 ③均匀分布.
三、（满分20分）
（1）把长度为a 的线段，任意折成三折，求此三线段能构成三角形的概
率。
解：设X 、y 分别表示其中二条线段的长度，第三条线段的长度为
(x, y)0 x a,0 y a,0 x y a ，
又设
A = “三条线段能构成一个三角形”
a
x, y x y 2,x
①P(
n k)
k
p k (1 P)n k
,0 p 1,k 0,1,...,n .
④.P( k) (1
p)k 1 p, 0 p 1, k
1,2,
…
4.设
（，
2
）服从二维正态分布 N （a 1,a 2； 1
2 、 2
;r)，r
0是，独立的（③）。
①充分但不必要条件 ③充分且必要条件 ②必要但不充分条件. ④.既不充分也不必要条件
5.设随机变量 1
、
2为相互独立的随机变量，下面给出的分布中不具有再生性的为
（②
②P(
③P(
②.泊松分布 ④正态分布
a (x y)，则
=(x, y) x y a (x
y),x a (x y) y, y a (x y) x
解：（1）
(3)当 0 y
A
a
A 的面积为一
（一）
2 2 2 A 的面积 P （A ） 的面积 1 2 —a .
8 1
〒 7。 a 4
T （2）炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为、、，而在各处射击时命中
目标的概率分别为、、，现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标 概率。 250米处射出的 解：设A 表示“目标被击中” ，B 1表示“炮弹距目标 250米射出” ,B 2表示“炮弹距 目标200米射出”，B 3表示“炮弹距目标150米射出”，
P(B i A
P (BJ P(AB )
3
P(B i )P(AB i ) O.1
O.。5
0.7 O.1
O.2
O.2
i 1
0.1 0.05
1 23
四、（满分16分）设
,的密度函数为 P x,y
8xy 0
0 x y 1 其他
求:（ 1）求, 的边际密度函数;
,是否相互独立？为什么？
（ 3）
p x y ；（ 4）E 。
P
（X ） P(x, y)dy
1
8x ydy
0 x 1 其他
4x1
0 X 2
0 x 其他
同理p (y)
A 3
4y 0
y 其他 (2)
因为 p(x, y)
(x)p (y),故
不独立.
p xy
8xy
.3
4y
x 其它
2x 2
y
0 x y 其它
yp (y)dy 4 0y 4d y 4y 5
p(x)
解:
P(
A|B ) 1 PA
证明：由A 与B 互斥，从而P(AB) 0
V k 丄,k 1,2, (2)
证明k 服从大数定律. 证明:
五、(满分8分)
若服从指数分布，其密度为
求
J —的分布函数 (y)。
F (y)
y)
P(
y 2
p(x)dx
x
dx
y 2
八、 (满分 18 分)
(1)若随机事件A 与B 互斥，且
P(B) 0,证明:
P(A B)
P(AB) 1 P(A) P(B) P(B)
P(B)
P(AB)
1 PB P(B)
(2) ?设
k 是独立随机变量序列，且
1 1 2
2
1
1
E k k3
2
k
独立时,- 1
1 (k 3)1
I n
r
D( n k
1
求: 解: k 满足马尔可夫条件 七、（满分8 分）
i
,D
(1) E n ；（ 2
）
0,D
设随机变量
(2)
COV(
cov( i ,) 1
cov(
n
cov( r
i ,)
k)2
2
1
n 3
P k 3
n
k 1
服从大数定律.
Q)2
1 ~
2 n
1 n 3
0(n
).
1
, 2,..., n 相互独立、同分布，
且
,i 1,2,..., n ，
的相关系数r 。（ 3）用特征函数法证明1
n k 1
cov( i
, n k 1
1 1
2 2