圆中的最值问题
(完整版)圆最值问题题型归纳
x圆中最值问题类型一 圆上一点到直线距离的最值问题例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 .变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB S 的最小值为 .变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大．变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .例2已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义）例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围，该怎么求解？类型三：转化成函数或不等式求最值例4已知圆O ：221x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值为例5已知圆C ：22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点，（1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值．6、已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设Q 为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.7、如图，在矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，以A 为圆心1为半径的圆与AB 交于E （圆弧DE 为圆在矩形内的部分）（Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分矩形ABCD 的面积；（Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DC 都相切，试确定M 的位置，使圆M 为矩形内部面积最大的圆．l P E C M。
圆中最值问题10种求法
圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策,主要原因就是对求最值的方法了解不多,思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图:⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB，∠AOC=60°,P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]:延长AO交⊙O于D,连接CD交⊙O于P,即此时PA+PC最小,且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D,连接CD交OB于P连接PA,过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中 cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图:在直角坐标系中，点A的坐标为（－3，－2）,⊙A的半径为1,P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q,则PQ长度的最小值为 .[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=,求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2。
解:连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2） ,根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6,D为PB的中点,一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2 C．3 D．3［分析］：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值,要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2,连接AB根据题意得:弧AC的长为2πr=2π·2=4π,PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C。
与圆有关的最值问题
O B
2
P
r 2 po r (1 2sin ) po 1 1 2( ) po 2 2 2 设po t (t 1) 则PAPB (t 1)(1 t ) t t 3 2 2 3
C O x
3 5. 易得 PM 的最小值为 10
二、利用所求式的几何意义转化为线 性规划问题求最值
例2：若实数x、y满足 x y 2x 4 y 0 求（1）x-2y的最大值．
2 2
y 1 （ 2） x 2
的取值范围。 2 2 ( x 2) ( y 1) 的取值范围。 （ 3） （4） x y 1 的取值范围。
2 2 ( x 2) ( y 1) (3)
表示为圆上任意一点P到点A(2,1)距离的平方
P
因为 所以
PA [CA 5, CA 5]
. C
A(2,1)
PA2 ( x 2)2 ( y 1)2 [50 10 2,50 10 2]
(4) 因为圆上任一点P(x,y)到直线 x y 1 0 的距离
E M A N G C F H O x
解（1）令圆心C到弦EF的距离为 EF+GH 2( 4 d12 4 d 2 2 )
d1，到弦GH的距离为 d2，则
又 d12 d22 CA2 1
4 d12 4 d22 4 d12 4 d22 2 2
（当且仅当 d1 d 2
2 取等号） 2 故EF+GH 2 8 1 14 2
与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题圆是自然界中优美的图形之一，也是数学中的重要研究对象．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形特点，利用数形结合来求解．当然，我们也会用到函数思想和基本不等式来处理与圆有关的最值问题．在处理与圆有关的最值问题时，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．【与圆有关的最值类型】①一定点与定圆上动点间距离的最大与最小值.处理方法：利用定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①定直线与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①分别在两定圆上的两动点间距离的最大与最小值. 处理方法：圆心距加(减)两圆的半径.例1.(1)圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是( ).A.6；3.B.6；4.C.5；3.D.5；4.(2)已知点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，则a 2＋b 2的最小值是_____． 解:(1)法1.圆心O 到直线的距离为d=25√32+42=5，而圆的半径为1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是5+1=6和5-1=4.故应选B.法2.设圆x 2＋y 2＝1上的点P(cos θ,sinθ)，点P 到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离d ′， 则 d ′=|3cosθ+4sinθ−25|5=|sin (θ+φ)−5|，① −1≤sin (θ+φ)≤1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是6和4.故应选B.(2)法1. ① 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0的圆心和半径分别为(1，-2)，r=5.而圆心到原点的距离d=√5，① 5−√5≤√a 2+b 2≤5+√5,⇒30−10√5≤a 2+b 2≤30+10√5. 因此，a 2＋b 2的最小值是30－10 5.法2. ① 点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，可设P(1+5cos θ，-2+5sin θ)， ① a 2＋b 2=(1+5cos θ)2+(-2+5sin θ)2=30+10√5sin (θ+φ)，① −1≤sin (θ+φ)≤1， ① a 2＋b 2的最小值是30－10 5.例2.在圆x 2+y 2=4上且与直线4x+3y -12=0距离最小的点的坐标是( ). A.(85，65). B.( 85，−65). C.( −85，65) D.( −85，−65). 解:法1.过原点且与直线4x+3y -12=0垂直的直线为3x -4y=0， 联立{x 2+y 2=4,3x −4y =0,⇒{x =85y =65或{x =−85y =−65.结合图4.7—1知选A. xyO 4x+3y -12=0CAE FGHxOM N y 图3.7—2法2.由圆的几何性质可知，所求点为与直线4x+3y -12=0平行且与圆x 2+y 2=4相切的切点.设切线方程为4x+3y+c=0，由|c|5=2,⇒c =∓10.结合图3.7—1 知，c=10.联立{4x +3y −10=0,x 2+y 2=4,⇒{x =85y =65, 故应选A. 法3.对于选择题，可结合图形知所求点应在第一象限内，再看选择支，极易确定选A.想一想①：1.圆x 2+y 2=1上与直线4x -3y -12=0距离最短的点坐标是 .2.已知A (0，1)，B (2，3).Q 为圆C:(x -3)2+y 2=1上任一点，则S ΔOAB 的最小值为 .3.若实数x 、y 满足x 2+y 2+2x -4y=0，求x -2y 的最大值．例2.(1)已知a 、b 是单位向量且a ①b.若向量c 满足|c -a -b |=1，则|c |的取值范围是 .(2)已知点A(-1，1)和圆C ：(x -5)2+(y -7)2=4.一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是( ).A.10.B.2√6.C.4√6.D.8. 解:(1) ① a 、b 是单位向量且a ①b ，可设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x ，y)，又① |c -a -b |=1，① (x -1)2+(y -1)2=1. ① 原点O 到圆心(1，1)的距离为√2.① |c | =√x 2+y 2∈[√2−1，√2+1].(2)由光学原理知，点A 关于x 轴的对称点A ′(-1，-1)在反射线上，① 光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是过A ′且与圆相切的切线段长|A ′T|=√(−1−5)2+(−1−7)2−4= 4√6.应选C.例3.已知圆C ：(x+2)2+y 2=4，过点A(-1，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交圆C 与E 、F两点，l 2交圆C 与G 、H 两点.(1)EF+GH解:(1)令圆心C 到弦EF 的距离为d 1，到弦GH 则EF +GH =2(√4−d 12+√4−d 22)，又d 12+d 22=CA 2=1由：√4−d 12+√4−d 222≤√8−(d 12+d 22)2=√8−12= √142，(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).故EF +GH ≤√14. (2)① EF ⊥GH ，① S 四边形EFGH =12EF ×GH =2(√4−d 12√4−d 22 ≤2×8−(d 12+d 22)2=7.(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).例4(1)如图3.7—3(1).点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan①BOC=m ，则m 的取值范围是_________．(2)如图3.7—3(2).在边长为1的等边①OAB 中，以边AB 为直径作①D ， C 为半圆弧AB 上的一个动点(不与A 、B 两点重合).BC=a ，AC=b ，求a+b 的最大值.(3)如图3.7—3(3).线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边①ACD 和等边①BCE ，①O 外接于①CDE ，则①O 半径的最小值为( ). A.4. B. 2√33. C. √33. D.2._ B_y_ COED解:(1)由已知，点C 是第一象限内在圆(x -3)2+y 2=4点，结合图2.8—4(1)知，tan①AOC ∈(0，2√55]，∵①AOC 与①BOC 互余，① m ≥√52. (2)① AC 2+BC 2=AB 2，即a 2+b 2=1 由柯西不等式得，(12+12)(a 2+b 2)≥(a+b)2， ① (a+b)≤√2，故 a +b 的最大值为√2.(3)设外接圆的半径为R ，由已知可得∠DOE =600.再由正弦定理知DE=2Rsin600,① R=√33DE .在∆DCE 内由余弦定理可得DE 2=DC 2+CE 2-DC ∙CE =(DC+CE)2-3DC ∙CE =16-3DC ∙CE ≥16-3(DC+CE 2)2=4，即DE ≥2. ① R=√33DE ≥2√33.应选B.想一想①：1.如图3.7—4.①M ，①N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为①M 上的任意一点，Q 为①N 上的任意一点，直线PQ 与连心线所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α的最大值为( ).A.√612B.43.C.√33.D.34.2.如图3.7—5.①BAC=600，半径长为1的圆O 与①BAC 的两边相切， P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A.3. B.6. C. .3√32.D. 3√3.例5.(1)过点M(−2，,0)的直线l 与曲线y=√4−x 2相交于A ，B 两点，当∆ABO (O 为坐标原点)的面积最大时，直线l 的斜率为 . (2)两个圆C 1：x 2+y 2+2ax+a 2-4=0(a ∈R )与圆C 2：x 2+y 2-2by+b 2-1=0(b ∈R )恰有三条公切线，则a+2b 的取值范围为 . 解:(1) ① 曲线y=√4−x 2的方程可变形为x 2+y 2=4(y ≥0)，① 此曲线表示以原点为圆心，2为半径，在x 轴及其上方的半圆，如图3.7—6.① S ∆ABO =12OA ×OB ×sin∠AOB =2sin∠AOB ， 当∆ABO 的面积最大时，∠AOB =900，此时∆ABO为等腰直角三角形，① 点O 到直线AB 的距离为√2. 设直线AB 的方程为 y=k(x+2√2)，即kx -y+2√2k =0， ①2√2k √1+k 2=√2，解得k=±√33，又由已知k>0，① k= √33.(2) ① 圆C 1的圆心为C 1(-a ，0)，半径为2；圆C 2的圆心为C 2(0，b)，半径为1.l xy MABO 图3.7—6图3.7—4P QMNA D E BCP. . O图3.7—5由已知两圆外切，① | C 1 C 2|=2+1=3，即a 2+b 2=9.令a+2b=m ，则 √1+4≤3，解得 −3√5≤m ≤3√5，① a+2b 的取值范围为[−3√5，3√5].习题3.71.已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，①C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是①C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则①ABE 面积的最大值是( ).A.3.B. 103. C.103. D.4. 2.圆x 2+y 2-2x -2y+1=0上的点到直线2x y -=距离的最大值是( ).A.2.B.1+√2.C.2+√22. D.1+2√2.3.由直线y=x +1上一点向圆C :(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为 .4.已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：(x -3)2+y 2=1的切线PA ，PB(A 、B 为切点)，则四边形PACB 面积的最小值为 .5.求过直线2x+y+4=0和圆x 2+y 2+2x -4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.①过原点；①有最小面积.6.求圆(x -2)2+(y+3)2=4上的点到直线x -y +2=0最远和最近的距离.7.已知圆M 过两点C(1，-1)，D(-1，1)，且圆心M 在x+y -2=0上. (1)求圆M 的方程. (2)设P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点.求四边形PAMB 面积的最小值.8.在平面直角坐标系中，M(3，4)，P 是以M 为圆心，2为半径的①M 上一动点，A(-1，0)、B(1，0)，连接PA 、PB ，求PA 2+PB 2最大值.9.过定点M 的直线l 1：ax+y -1=0与过定点N 的直线l 2：x - ay +2a -1=0交于点P.求|PM|∙|PN|的最大值.【参考答案】想一想①：1. (45，−35). 2.4+√2. 3.10.想一想①：1.D.考虑PQ 为两圆的内公切线时的情形.2.在△ADE 中，由正弦定理得|DE|=2Rsin600，其中R 为△ADE 的外接圆半径.如图2.8—4(3)知，AP 的最大值为|OP|+1=3，① |DE|max =3√3. 故应选D.习题3.71. A.2. B.3. √7.4. √7.5.(1)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① 所求圆过原点，得λ=−14. ①x 2+y 2+32x+74y =0为所求.(2)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① R 2=D 2+E 2−4F 4=5λ2−16λ+164，① 当 λ=85时R 2最小. ① x 2+y 2+265x −125y +375=0为所求6.7√2−42;7√2+42. 7.(1)设圆M 的方程为:(x -a)2+(y -b)2=r 2(r >0).根据题意得， {(1−a)2+(1+b)2=r 2,(−1−a)2+(1−b)2=r 2,a +b −2=0. 解得a=b=1，r=2.故所求圆M 的方程为(x -1)2+(y -1)2=4.(2)① 四边形PAMB 的面积S=S ①PAM +S ①PBM =|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，① S=2|PA|,而|PA|=√|PM|2−|AM|2=√|PM|2−4， 即S=2√|PM|2−4.因此要求S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小, ① |PM|min =√32+42=3.因此，四边形PAMB 面积的最小值为S=2√|PM|2−4=2√5.8.设P(3+2cos θ，4+2sin θ)，则PA 2+PB 2=60+24cos θ+32sin θ=60+40sin(θ+φ)≤100. ① PA 2+PB 2最大值为100.9. 1. 由已知有，直线l 1过定点M(0，1)，直线l 2过定点N(1，2)，且|MN|=√2，l 1⊥l 2.由平面几何的知识知，点P 在以MN 为直径的圆上运动.设点P 到MN 的距离为PD ，则有|PM|∙|PN|=|MN||∙|PD| =√2∙|PD|，∴ 当|PD|取最大值√22 时，(|PM|∙|PN|)max =√2∙√22=1.。
圆中最值的十种求法
所以 所以CQ=CP
因为CP是⊙O的动弦 最大值为⊙O的直径
所以CP的最大值为5
此时当点P运动到CP为⊙O的直径时
CQ的最大值为×5=
五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值
5．如图：已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求△ABC面积的最大值.
[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.
解 所以PQ⊥AQ
在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2
即PQ=
又因为A(－3,－2) ，根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2
所以PQ的最小值=
三、利用两点之间线段最短求最值
3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )
A． B．2 C．3 D．3
1
连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E
在△OCD中，因为∠AOC=60° 所以∠D=∠C=30°
在Rt△ODE中 cos30°=
即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2
即PA+PC的最小值为2.
二、利用垂线段最短求最值
2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为 .
[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.
圆中的最值问题运动轨迹
圆中的最值问题运动轨迹圆中的最值问题运动轨迹引言：圆是一种几何学中常见的形状，它具有许多独特的性质和特点。
在数学中，研究圆的最值问题既有理论意义，又有实际应用。
本文将讨论圆中的最值问题，并探索与之相关的运动轨迹。
通过对这些问题的分析和求解，可以帮助我们更深入地理解圆的性质和运动规律。
一、圆的最值问题1. 最大面积问题圆的面积公式为S=πr²，其中r为圆的半径。
那么，在给定周长的情况下，如何确定圆的半径以使其面积最大化？解法：根据周长公式C=2πr，可得r=C/(2π)，将该值代入面积公式得到S=π(C/(2π))²=(C²/(4π))π=(C²π/4π)=C²π/4。
所以，当给定周长时，圆的面积最大值为C²π/4。
2. 最小周长问题如果圆的面积是固定的，如何确定圆的半径以使其周长最小化？解法：根据面积公式S=πr²，可得r=√(S/π)，将该值代入周长公式得到C=2π(√(S/π))=2√(πS)。
所以，当给定面积时，圆的周长最小值为2√(πS)。
3. 最大周长问题在给定面积的情况下，如何确定圆的半径以使其周长最大化？解法：根据面积公式S=πr²，可得r=√(S/π)，将该值代入周长公式得到C=2π(√(S/π))=2√(πS)。
所以，当给定面积时，圆的周长最大值为2√(πS)。
二、圆的运动轨迹1. 圆的滚动轨迹当一个圆沿着另一个圆或者直线滚动时，滚动圆上一点的轨迹称为圆的滚动轨迹。
滚动轨迹通常是一条曲线，而滚动圆上的所有点都具有相似的运动特性。
2. 圆上的运动轨迹假设一个小球在一个固定大小的圆上运动，小球在圆上的位置随时间变化而改变。
小球在圆上的运动轨迹通常是一条曲线，其形状取决于小球在圆上的起始位置、运动速度和加速度等因素。
结论：圆中的最值问题涉及到圆的面积和周长，通过合理选择圆的半径，可以确定面积最大、周长最小或周长最大的圆。
圆中最值问题
中考培优课程5圆中最值知识导航1、圆中最值基本模型（1）点与圆的最值已知点Q为⊙O上一动点，P为平面内任意一点，现在来探究PQ的最值.①当P为圆外一点时，连接PO交⊙O于Q2，PO延长线交⊙O于Q1.则PQ min＝PQ2，PQ max＝PQ1.②当P为圆内一点时，连接OP并延长交⊙O于Q2，连接PO并延长交⊙O于Q1.则PQ min＝PQ2，PQ max＝PQ1.③当P为圆上一点时，连接PO并延长交⊙O于Q1.则PQ min＝PQ2＝0，PQ max＝PQ1＝直径.（2）直线与圆的最值已知点Q为⊙O上一动点，l为平面内任意一条直线，现在探究Q到直线l的距离d的最值.①若l与⊙O相离，过点O作OP1⊥l于P1，交⊙O于Q2，延长P1O交⊙O于Q1.则d min＝P1Q2，d max＝P1Q1.②若l与⊙O相交，过点O作OP⊥l于P，分别交⊙O于Q1、Q2两点.则d min＝0，优弧中的最大值为d max＝PQ1，劣弧中的最大值为d max＝PQ2.③若l与⊙O相切，则d min＝0，d max＝直径.2、题目一般会把“已知点Q为⊙O上一动点”这一条件进行隐藏，也就是说动点的运动轨迹需要我们去证明是一个圆，这就是接下来要给大家介绍的隐圆问题.模块一线段条件产生的隐圆例1在坐标系中，点A坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上一点，点C是坐标系中一点，且AC＝2，则∠BOC度数取值范围为.练习在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△MNC，P、Q分别是AC、MN的中点，AC＝2t，连接PQ，则旋转时PQ长度的最大值是．例2（2016年江汉区九上期中第10题）如图，已知等边△ABC的边长为4，以AB为直径的圆交BC于点F，以C为圆心，CF的长为半径作圆，D是⊙C上一动点，E为BD的中点．当AE最大时，BD的长为（）A．23B．25C．23＋1 D．6练习（2016年洪山区九上期中第10题）如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB＝8，点P在以AC为直径的半圆上，M为PB的中点，当点P沿半圆从点A运动至点C时，点M运动的路径长是（）A．22πB．2πC．2πD．22模块二线段与角度条件产生隐圆题型一定边对定角（90度）例31、（2013年武汉中考第16题）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG 于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是.2、（2015年洪山区九上期中）如图，线段AB上有一动点M，分别以AM、BM为边作正方形AMFE、MBCD．正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O' 交于M、N两点，则直线MN的情况是（）A．定直线B．经过定点C．一定不过定点D．以上都有可能练习在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋6分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P在y轴左边，且∠APB＝90°，则点P的横坐标α的取值范围是．题型二定边对定角（非90度）例41、（2016年新洲区九上期中）正方形ABCD的边长为4，E为正方形外一动点，∠AED＝45°，AP＝1，线段PE的最大值是.2、如图，已知在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝8，点D、E分别是边AC、AB上两点，且AE＝CD，BD 交CE于F，连接AF，则AF的最小值为.3、如图，等边△ABC中，BC＝2，射线AM∥BC，P是射线AM上一动点（P不与A点重合），△APC的外接圆交BP于Q，则AQ长的最小值为.4、（2015年武昌区九上期中）如图，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，以42为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为.例51、如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为23，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是.2、如图，在弓形BAC中，∠BAC＝60°，BC＝23，若点A在优弧BAC上由点B向点C移动，记△ABC 的内心为I，则△ABC内切圆半径的最大值为.3、如图，在扇形AOB中，OA⊥OB，D是AB上一动点，DE⊥OA于E，若OA＝42，记△DEO的内心为I，则△DEO内切圆半径的最大值为.题型三定边对动角例6如图，在展览大厅中，墙壁上的展品最高处点P距离地面2.5米，最低处点Q距地面2米，观赏者的眼睛（在E点）距离地面1.6米．当视角∠PEQ最大时，站在这个位置的观赏效果最理想，求此时E到墙壁的距离为米.练习1、已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则点C的坐标为．2、如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝3，则弦BC的最大值为．第5讲本讲课后作业A 基础巩固1、如图，已知矩形ABCG（AB＜BC）和矩形CDEF全等，点B、C、D在同一直线上，∠APE的顶点P2、如图，正方形ABCD的边长为4，∠AED＝45°，P为AB的中点．当点E运动时，求PE的最大值和最小值．3、如图，P为正方形ABCD的边CD上任意一点，E为AP上一点，BE＝AB，∠CBE的平分线交AP延长线于点Q．若正方形的边长为a，当点P在CD边上由C移动到D时，则点Q到CD的最大距离为．B 综合训练4、如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，AC＝22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF的最小值为．数学故事贝多芬的成就贝多芬的心中充满了自由、平等、博爱的理想，他是1789年法国资产阶级革命的热烈拥护者。
圆的几何意义求最值的题型
圆的几何意义求最值的题型
在圆的几何意义中，有一种常见的求最值的题型，即求解圆内和圆外某点到圆心的距离之和的最大值或最小值。
这种题型常常需要利用几何性质和数学方法来解决。
以下是两个典型的例题：
1.求在圆外给定一个点P，如何选择点P，使得点P到圆心
的距离之和最小。
解答：根据几何性质，圆上任意一点到圆心的距离是常量，所以点P到圆心的距离之和最小的位置是直径的中点。
因此，点P应该选择直径的中点。
2.求在圆内给定一个点P，如何选择点P，使得点P到圆心
的距离之和最大。
解答：根据几何性质，圆上任意一点到圆心的距离是常量，而圆内的点到圆心的距离之和最大的位置是圆的边界上的点P。
因此，点P应该选择圆的边界上与圆心相连的点。
这些题目常常需要根据已知条件和几何性质进行分析，并利用数学方法解决。
计算距离、应用三角关系、利用几何等价性和最值性质等技巧都可以在解决这类问题时发挥作用。
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拔高专题圆中的最值问题一、基本模型构建
常见模型
图(1) 图
（2）
思考图（1）两点之间线段最短；
图（2）垂线段最短。
.在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
二、拔高精讲精练
探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题
例1：如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是MN上一动点，⊙O的半径为3，求AP+BP的最小值。
解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=3，
∴A′B=32．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=32．
【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。
探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题
例2：如图，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值
解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3 2，
∴AB=2OA=6，∴OP=
•
OA OB
AB
=3，∴PQ=22
OP OQ
=22．
【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．求线段AB的最小值．
解：（1）线段AB长度的最小值为4，
理由如下：
连接OP，
∵AB切⊙O于P，
∴OP⊥AB，
取AB的中点C，
∴AB=2OC；
当OC=OP时，OC最短，
即AB最短，
此时AB=4．
【教师总结】结合切线的性质以及辅助线的作法，利用“垂线段最短”是解决此类问题的关键。