振动力学参考答案
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习题与综合训练第一章
2-1一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子
高h，视为无质量的弹性杆，
其抗弯刚度为EJ。求该房屋
作水平方向振动时的固有
频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k
则
其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知
=
则=
设静平衡位置水平向右为正方向，则有
所以固有频率
2-2一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ
θ＝hα
2F＝mg
由动量矩定理：
其中
2-3求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是和，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分
别为k1和k3的弹簧，因此，k1
与k2串联，设总刚度为k1ˊ。
k
1
ˊ与k3并联，设总刚度为k2
ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度
为k。即为
，，
mg kδ
=δ
δ
3
24
mgh
EJ
=
k3
24EJ
h
"
m x kx
=-
3
n
24
mh
EJ
p=
2
a
a
h
a
mg
a
mg
Fa
M
ml
I
M
I
8
2
2
cos
sin
12
1
2
2
-
=
-
≈
⋅
-
=
==
=
α
θ
α
θ
1
2
cos
sin≈
≈
θ
α
α
h
l
ga
p
h
a
mg
ml
n2
2
2
2
2
3
4
12
1
=
=
⋅
+θ
θ
g
h
a
l
ga
h
l
p
T
n
3
π2
3
π2
π2
2
2
=
=
=
1
k3k
2
1
2
1
1k
k
k
k
k
+
=
'
2
1
2
1
3
2k
k
k
k
k
k
+
+
=
'
4
2
4
1
2
1
3
2
3
1
4
2
1
4
3
2
4
2
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
+
+
+
+
+
+
=
θ
F sinα
2
θ
α F h
mg
θ
F
2-4 求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中、和
是三个轴
段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个
轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。 解：
（1）
（2） （3）
（4）
2-5 如题2-5图所示，质量为的均质圆
盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I ，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。
解：此系统是一个保守系统，能量守恒 系统的动能为：
系统的势能为：
总能量
由于能量守恒
消去得系统的运动方程为： 系统的固有频率为：
2-6 如题2-6图所示，刚性曲臂绕支点的
转动惯量为
，求
系统的固有频率。
解：设曲臂顺时针
方向转动的角为
广义坐标，系统作简谐运动，其运动方程为
。很小，系统的动能为
所以，
)
(42412132314
214324212
k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=
1J 2J 3
J 111/l GJ k =222/l GJ k =3
33/l GJ k =)
/(23323223l J l J J GJ k +=)(/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知
）由（2m 2
2
2
2222212121212121⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++=R x I r x
r m x m x m T 2
22
2112121x k R x R k U =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2
2211222212121214321x k R R k x
R I m m U T E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++=+= 0230d d 22112221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++=x x k R R k x x R I m m t
E
x
023********=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++x k R R k x R I m m ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++=
2
2212
2
1123R I m m k R R
k p 0
I ϕ)
sin(αϕ+Φ=t p n ϕ22212)(21
)(2121ϕϕϕ l m a m I T O ++=
)cos(αϕ
+Φ=t p p n n