导数在中学数学解题中的应用
剖析导数在高中数学中的几种应用
＝ｘ ３ 斗 ｘＬ＿９ — ｌ ｘ 。
（） ２ 函数 ｆ ） （ 的单调区间 。 ｘ
吸取意见改进 自己的教育 教学方法 。 ５坚持民主管理， 师互评 。 、 教 任何评优 评先、 教师晋级 、 民主考核 ， 都是教师先 自我 申报， 再由全体教师投票 产生 。 时， 平 校长还 经常和 教师个 别谈话 ， 针 对 教 师 的进 步 、 异 表 现 、 作 中 的 不 优 工 足进行真诚的交流 ， 从而促 进教师不断完 善 自身 。 （ 、 思 中 实 践— — 促进 教 师 素 养 五） 反 的转 化 。 如果说对 教师的培 训是 一个接 受过 程 的话 ，那么教师 自我 的反 思则 是内省、 强化 、 高 的过 程 ， 反 思 后 的 再 实 践 更 提 而 是教 师 专 业 升 华 的 过 程 。 管 我 们 的校 本 不 培训还是 教科研 、 教师评 价 ， 我们 都尤其 注重教师对过程 的反思和在 实践 ， 基本遵 僭 研 ， ‘ 讨— — 实 践— — 反 思 ” 的活 动 流 程 。 总之 ， 师 的 专业 发 展 是 一 个 逐 步 发 教 展 的动 态 过 程 。所 以 ， 们 的 努 力 不 见 得 我
初等方法研究要方便得多。 １ 数 在单 调性 中 的应 用 ． 导 函数 的单 调性是 函数最基本 的性质 之一 ， 是研 究 函数 所 要 掌握 的最 基 本 的知
识 。通 常 用 定 义 来 判 断 ， 当 函数 表 达 式 但 较 复 杂 时 判 断 ｆｘ）一ｆｘ 正 负 较 困难 。 （。 （ ） 运 用 导数 知 识 来 讨 论 函 数 单 调 性 时 ， 需 只 求 出 ｆｘ， ’】 （ 再考 虑 ｆｘ的 正 负 即 可 。此 方 （）
令 ｆ（）Ｏ 解 得 ｘ — １ ２ ３ ／ ＝， ｘ １ ， ＝． ｘ 当 Ｘ∈（ ｏ ， １ 时，／ ）Ｏ故 ｆ ） 一 ｏ 一 ） ｒ ｘ＞ ， （ （ ｘ 在（ 一 ， １上 为 增 函数 ； 一 ）
中学数学教案导数在函数中的应用
中学数学教案导数在函数中的应用一、教学目标1. 理解导数的定义及其几何意义。
2. 学会求解基本函数的导数。
3. 掌握导数在函数中的应用，如单调性、极值、最值等。
4. 能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容1. 导数的定义及几何意义2. 基本函数的导数3. 导数的应用a. 单调性b. 极值c. 最值d. 实际问题三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义、基本函数的导数及导数的应用。
2. 难点：导数的计算及运用。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解导数的定义、几何意义及基本函数的导数。
2. 利用实例演示导数在函数中的应用，如单调性、极值、最值等。
3. 引导学生运用导数解决实际问题。
4. 课堂练习与讨论，巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考函数的增减性、极值等问题。
2. 讲解导数的定义及几何意义，通过实例演示导数的计算过程。
3. 讲解基本函数的导数，如幂函数、指数函数、对数函数等。
4. 引导学生运用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题。
5. 结合实际问题，讲解导数在实际中的应用，如物体的运动、经济的增长等。
6. 课堂练习：让学生独立完成一些有关导数的练习题，巩固所学知识。
7. 总结：回顾本节课所学内容，强调导数在函数中的应用及实际意义。
六、教学活动1. 设计课堂活动：通过小组讨论，让学生探究导数在实际问题中的应用，如找出函数在某一点处的切线斜率，模拟函数的增减过程等。
2. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用导数解决具体问题，如优化生产过程、确定最佳路线等。
七、自主学习1. 让学生自主学习教材中关于导数的应用部分，了解导数在函数中的作用。
2. 布置课后作业：让学生结合所学知识，完成有关导数在函数中应用的练习题。
八、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结导数在函数中的应用。
2. 强调导数在实际问题中的重要性。
九、课后反思1. 教师在课后对课堂教学进行反思，分析教学过程中的优点与不足。
例说导数在高中数学中的应用
＿ ） ［ ， ） 是 增 函数 ． 厂 在 ０＋ （ 上
函 数 八 ） 点 。的 导 数 厂 （ ） 曲 线 Ｙ＝ （ 在 点 在 。 是 ｆ ）
当 ＞ ０时 ，（ ＿ ）＞ （ ） ０ 即 ｅ ＞１ （ ＞ ） 厂 ＿０ ： ， ＋ ０ ． 厂
（ ， （ 。 ） 的切 线 的 斜 率 ． 用 导 数 的 这 一 几 何 性 质 可 。＿ ） 处 厂 利
，
半，
’
பைடு நூலகம்
、
．
在ｆ ， ｌ 、 一口， ０ 上单调递增．
三 、 函数 最 （ ） 求 极 值
－＋ － ．知 ＝ √ 竽，
・ ．
．
０ ＝ ±
例 ３ 把长 ２ ０ｅ 宽 ９ ｍ 的矩形 铁皮 的 四角 切 去 相等 ４ ｍ， ０ ｅ
通过以上各例可以看出 ， 学 习导数这 部分 内容时 ， 在 我
单 解 法．
（ ４ ２ ）ｅ 宽 为 （ ０—２ ）ｅ 高 为 ｅ 则 盒 子 的 容 ２ ０— ｘ ｍ， ９ ｘ ｍ， ｍ，
积： Ｖ＝４ 一６ ０ ＋２ ６ ０ （ ＜４ ． ｘ ６ｘ １ ０ ｘ，０＜ ５） 令 Ｖ ０， 得 ＝２ ． ０
当 ０＜ ＜ ０时 ， ０ 当 ２ ＜ ５时 ， ０ ２ Ｖ ＞ ； ０＜ ４ Ｖ＜ ．
的正方形 ， 然后 折 成 一个 无盖 的长 方 体 盒 子 ， 上切 去 的正 方 角
形 的边长 为 多少 时 ， 子 的容 积 最大 ？最 大容 积是 多少 ？ 盒
解
数 学 学 习与 研 究
们 不 仅 要 掌 握 导 数 的 概 念 、 导 的 公 式 、 则 及 其 简 单 应 求 法
因此 ， 当 ＝２ ０时 ， 有 最 大 值 ２ ０ ０ ｍ ． ０ ０ ０ ｅ
导数在中学数学中的应用
导数在中学数学中的应用作者：金春张婷毅来源：《世纪之星·交流版》2017年第04期[摘要]导数是研究函数基本性质、变化率以及优化问题上强有力的工具，围绕着导数知识的高考命题研究层出不穷。
由于受学生思维水平以及认知结构的限制，导数的教学做了简化处理，教学过程以理解为主，淡化形式。
其次，围绕着导数中学常做大量技巧性的解题训练，突出其应用。
缺乏对该知识拓展和延伸，无法在更高的视野下重视所学内容。
本文将以导数为例，探究导数在中学数学的应用，将中学数学中已下移的导数知识进行深入，对没有进入中学的知识进行下放。
[关键词]高等数学；中学数学；导数一、导数的定义通过瞬时速度、瞬时变化率定义导数概念直观形象，符合中学生的认知水平。
但在教学过程中，存在以下问题。
1.学生对导数定义中的自变量趋于某一值没有充分理解，对“无限逼近”是不是意味着值能取得到存在困惑，有的学生认为一定在定义域范围内。
导数教学借鉴了国外课程设置，课程的编排采取“无极限导数”的策略，从注重形式化到借助直观物理模型引入导数概念，强调以理解为主，淡化形式，突出概念的本质，不再将导数概念过早地“形式化”，也导致学生对极限思想、无穷小量的理解不够。
如果引入导数的形式化定义，那么课程设置需要从讲述数列、数列极限、函数极限、函数连续性、到导数及其应用，微积分知识的完整性得到了充分的体现，但这种课程设置没有考虑学生的认知水平，学生的理解能力有限，抽象思维能力不够。
由此可见，对极限定义进行适当的引入和介绍，体会“无限逼近”的思想价值对导数概念教学设计的探索十分有必要。
同时要注意避免极限概念对导数本质的干扰，为了适应新的概念，个体必须对原有概念进行改造，使其适应新的情景，形成新的数学观。
为了透彻理解导数与导函数概念的极限思想，有必要讲述时函数的极限。
设是定义在点的某个空心领域内的函数，讨论当趋于时，对应的函数值能否趋于某个定数，尤其是在处是可以无定义的。
高中数学教学中导数的应用分析
． ．
在闭区间 ｂ 】 上可导 ， 则， （ ） 在闭区间【 ｄ 上的最值求法分为两步就能够 完成 ： 第一步， 求 出函数 ｆ （ ｘ ） 在 （ ａ Ｊ ） ） 上的驻点 ， 第二步： 计算 厂 （ ｘ ） 在 驻点和端点的函数值， 然后进行 比 较可以得知，最小的为函数的最小值 ， 蜀 Ｉ 大的为函数的最大 值。这种方法还可以运用到函数图像中 ，因为在画函 数图像时也要求出函数的极值 ， 运用导数能够轻
．
中学数学教案导数在函数中的应用
中学数学教案导数在函数中的应用一、教学目标：1. 理解导数的基本概念和性质。
2. 学会使用导数求解函数的极值、单调性、凹凸性等问题。
3. 能够运用导数解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容：1. 导数的基本概念：导数的定义、导数的几何意义。
2. 导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数。
3. 导数在函数中的应用：函数的单调性、极值、凹凸性、实际问题。
三、教学重点与难点：1. 重点：导数的基本概念、导数的计算方法、导数在函数中的应用。
2. 难点：导数的计算、函数的凹凸性判断、实际问题的解决。
四、教学方法：1. 采用启发式教学，引导学生主动探究导数的基本概念和性质。
2. 通过例题讲解，让学生掌握导数的计算方法。
3. 利用多媒体课件，直观展示函数的单调性、极值、凹凸性等概念。
4. 结合实际问题，培养学生的应用能力。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾初中阶段学习的函数知识，引导学生思考函数的单调性、极值等问题。
2. 讲解导数的基本概念：介绍导数的定义，解释导数的几何意义。
3. 导数的计算：讲解基本导数公式，示范导数的四则运算，分析复合函数的导数。
4. 导数在函数中的应用：讲解函数的单调性、极值、凹凸性的判断方法，结合实际问题进行演示。
5. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固导数的基本概念和计算方法。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2. 练习完成情况：检查学生课堂练习和课后作业的完成质量，评估学生对导数知识的掌握程度。
3. 实际问题解决：评估学生在解决实际问题时的应用能力，如能否灵活运用导数分析函数的性质。
七、教学拓展：1. 导数在高等数学中的应用：介绍导数在微积分、线性代数等高等数学领域的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 导数与其他学科的联系：探讨导数在物理学、经济学等学科中的应用，拓宽学生的知识视野。
浅谈导数在高中数学教学中的应用
浅谈导数在高中数学教学中的应用【关键词】高中数学中的导数；应用导数是高中数学新教材中新增内容之一，它的引入给传统的中学数学内容注入了新的生机和活力，也为中学数学解决问题注入了新的途径和方法。
导数是高等数学的内容，是对函数图像和性质的总结和拓展，是研究函数单调性、极值、最值的重要工具。
利用导数可以解决现实生活中的最优化问题。
由此可见，它在高中教学中起着非常重要的作用。
本文从几个方面出发，谈一谈导数的应用。
1. 几何方面的应用在导数概念的基础上，结合函数图像来研究导数的几何意义是导数概念的延伸，是导数知识的重要内容。
导数是微积分中的重要基础概念，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。
在解析几何中，我们求曲线的切线，只需要知道曲线的方程y=f（x）和曲线上的任意一点，利用对函数求导就可以得到这一点的切线方程。
下面给出求曲线的切线方程的方法步骤：（1）求导数，得到曲线在该点的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，利用点斜式求出切线方程：y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）例1. 试求曲线y=xlnx上点（1，2）的切线方程解：对函数f（x）=xlnx求导得f'（x）=lnx+1所以f'（1）=ln1+1=1，所以在点（1，2）的切线方程为y-2=1（x-1）即y=x+1切线方程：y=x+1先求出函数y=f（x）在x=x0处的导数，即曲线在该点处的切线斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程。
例2. 求垂直于直线2x-6y+1=0并且和曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程。
解因为所求的直线与已知直线2x-6y+1=0垂直所以所求直线的斜率k1=-3又因为所求直线与y=x3+3x2-5相切，所以它的斜率k2=y'=3x2+6x因为k1=k2 即3x2+6x=-3所以（x+1）2=0 即x=-1代入曲线方程得y=（-1）3+3（-1）2-5=-3所以切点为（-1，-3）故所求直线方程为y+3=-3（x+1）即3x+y+6=0 。
高中数学导数及应用-不等式恒成立问题课件
利用数形结合来解决。
方法1：分离变量法(优先)
方法2：构造函数
，转化为 零点问题
方法3：构造两个函数的图象判断交点个数
方法4：转化为二次函数零点问题
方法5：转化为一次函数零点问题
类型五：利用导数研究函数与不等式问题
1、利用导数证明不等式的方法：证明
构造函数
。如果
，则F(x) 在
函数，同时若
，则由减函数的定义可知，
的值，要注意验证 左右的导数值的符号是否符 合取极值的条件。
（3）已知含参函数的极值点讨论 ①分类讨论根据 解（判断为极值点）
的存在性和解与区间的位置关系分为：“无、左、 中、右”，对四种分类标准进行取舍（或合并）；
②注意数形结合。
注意：（1）在函数的整个定义域内，函数的极 值不一定唯一，在整个定义域内可能有多个极大
（2）切点的三个作用：①求切线斜率； ②切点在切线上； ③切点在曲线上。
类型二：利用导数研究函数的单调性 (1)求函数的单调区间
方法:判断导函数的符号 步骤：①求函数定义域；
②求函数的导函数； ③解不等式f '(x) 0 (或 f '(x) 0)，求出 递增区间(或递减区间)。
注意：求单调区间前先求定义域（定义域优 先原则）；单调区间是局部概念，故不能用“∪” 连接，只能用“，”或“和”。
'( x) mi n
0；
函数f (x)在区间D单调递减 在f ' (x) 0在x D
恒成立 对x D, f ' (x) 0； max
试题研究：
例1、已知函数f (x) x ln x.
(1)若函数g(x) f (x) ax在区间e2, 上的增函数，
求a的取值范围；
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导数在中学数学解题中的应用摘要导数不仅是中学教材中必不可少的一部分，也是历年高考的考点。
导数在中学数学解题中的应用是十分广泛的，它包含了导数对不等式的证明、求曲线在某一点的切线斜率、分析函数的图像、极值与最优化、函数单调性等方面的应用。
应用导数知识解决中学数学问题不仅可以锻炼学生的思维，同时也简化了解题的难度，因此对导数知识进行整理是十分有必要的。
本文对导数在中学数学解题中的应用进行了归纳整理，同时也对导数应用中需要注意的几点事项做出了标注，分析了导数应用中的易错点。
从而为初学者查询导数相关知识提供了资料。
关键词：导数中学数学应用ABSTRACTDerivative is not only an essential part of the middle school textbooks, but also the college entrance examination over the years. The application of derivative in high school in mathematics is very extensive, it contains a proof, derivative of inequality in the analysis of the demand curve, tangent at a point in the application of function optimization, image, extremum and monotony of function etc.. The application of derivative knowledge to solve mathematical problems in middle school can not only train the students' thinking, but also simplify the difficulty of solving the problem. This paper summarizes the application of derivative in the middle school in mathematics, but also on some matters needing attention in the application of derivative made annotation, analyzes the application of derivative in error prone points. So as to provide useful information for beginners to query derivative knowledge.Keywords:Derivatives；Middle school mathematics；application1.绪论导数是微积分中一个重要的核心内容，导数的推广已经十分广泛，大多数的国家已经将导数列入到了中学教材中。
在我国，导数也是历年高考常常出现的考点。
导数是解决许多数学问题的有力工具，利用导数知识可以解决中学的很多数学问题。
可以解决中学数学中计算曲线在某一点的切线斜率、分析函数的性质与图像、求解方程的根、证明不等式、判断函数的单调性、求解最值的最优化问题等。
2．导数在中学数学解题中的应用2.1导数在计算曲线在某一点的切线斜率中的应用在计算曲线在某一点的切线斜率的问题时，主要就是利用到导数的几何意义：()f x 在某一点()00,p x y 的导数()0'f x 就是曲线()=y f x 在0=x x 处切线的斜率。
例2.1已知曲线L ：221=--y x x ，求经过点()2,1p 的曲线L 的切线方程。
分析：主要是计算出曲线L 在P 点处的斜率K ，又因为点()2,1p ，此时便可根据点斜式能够计算出过点P 的曲线L 的切线方程了。
解：由题意可知： 曲线L ： 221=--y x x22'∴=-y x()2,1p∴过点P 的斜率K 为：22222='==⨯-=xk y曲线L 过P 点的切线方程为：()122-=-y x化简得：230--=x y点评：本题在计算曲线L 的切线方程时，主要考查的对象是导数的几何意义。
例2.2在22=x y 上求一点P ，使P 到直线4=-y x 的距离最短。
分析：本题的解法有多种，它可以利用初等解法，也可以利用导数的几何意义进行计算。
下面我将用不同的解法进行作答，进行对比。
便可以充分的体现出导数解题时的便利性。
解法1：平移直线4=-y x ，使其与曲线22=x y 相切，可知P 点即为所求。
设切线=+y x b ，代入曲线方程22=x y ，得：212--x x b（1） 又因为直线=+y x b 与曲线22=x y 相切，120∴∆=+=b解得：12=-b∴（1）式为211022-+=x x 故切点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭解法2： 设点()00,p x y 则点P 到直线的距离为：()()22200000017171124422222222-+-+----====x x x x x y d 由上式可知，当01=x 时d 取得最小值724故点P 为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭解法3：由题可知，点P 必为平行于直线=+y x b 的直线与抛物线22=x y 的切点。
因此过P 点的切线必定平行于直线4=-y x 由导数的几何意义可知，212=y x 在P 点的数值为1 又'=y x 设()00,p x y 则01'==y x00112=⎧⎪⎨=⎪⎩x y ，故11,2⎛⎫⎪⎝⎭p点评：利用不同的解法，我们可以清楚地认识到利用导数工具进行求解的简洁性与便利性，掌握导数这一工具，可以提高我们解题的效率。
本题在导数方面主要运用的是导数求解曲线的斜率的知识，即利用导数的几何意义进行求解。
2.2导数在分析函数的性质与图像中的运用在利用导数分析图像时应着重注意其切线变化的大小关系。
理清导数与函数图像之间的关系。
倒数图像与函数的图像有者密不可分的联系，下面我将用3个例题来简单讲解他们之间的关系。
2.2.1已知函数图像，画出其导函数的图像 例2.3已知函数()f x 的图像如图2.1、图2.2所示，请画出其导函数()'f x 图像的大致情况分析：根据导数与函数图像之间的关系，在已知函数图像的情况下要求其导函数的图像，我们就只需判断出其函数图像在其各个切点的斜率的变化情况，便可以得出其导函数图像的大致情况。
解：①图2.1的()f x 的曲线上的切点的斜率变化是越来越大，当0>x 时，斜率大于0；当0=x 时，斜率等于0；当0<x 时，斜率小于0.其图2.1的导函数图像如图2.3所示。
②图2.2的()f x 的曲线上的切点的斜率变化是各切点每处都不小于0，当0>x 时斜率越来越y图2.1 函数图像yx图2.2 函数图像大；当0=x 时，斜率等于0；当0<x 时斜率越来越小。
其图2.2的导函数图像如图2.4所示。
点评：此类题目在解题时主要应用的是导数与函数图像之间的关系以及利用到导数的几何意义，在解决此类问题时要紧紧抓住切线的斜率的大小变化的情况。
2.2.2已知导函数图像，画出其原函数的图像 例2.4已知函数()'=y xf x 的图像如图2.5所示，下面4个图像中能大致表示()=y f x 的图像是（）y x图2.3 导函数图像yx图2.4 导函数图像-1 xy1图2.5 导函数图像xy-12 3Axy-11 2分析：根据x 的符号变化，可以得到()'f x 的符号变化。
因此而得到其()f x 的单调性的变化，便能够以此来画出其原函数的大致图像。
解：由图2.5可知，当1<-x 时()0'<xf x ，则()0'>f x ，原函数为增函数，图像上升；当10-<<x 时()0'>xf x ，则()0'<f x ，原函数为减函数，图像下降；当01<<x 时()0'<xf x ，则()0'<f x ，原函数为减函数，图像下降；当1>x 时()0'>xf x ，则()0'>f x ，原函数为增函数，图像上升。
综上所述，只有C 选项满足上述条件，故选C 。
点评：本题解题时所用方法与例2.3相同，但例2.3与例2.4是两个完全相反的问题，在做此类题目时要注意题目要求，分清两个题目类型之间的区别。
2.2.3已知导函数图像，求解原函数 例2.5已知函数()32=++f x ax bx cx 在点0x 处取得极大值5，其导函数()'=y f x 的图像经过点()1,0，()2,0如图2.6所示，求：（1）0x 的值；（2）函数的解析式。
分析：首先根据图像信息，判断出其极大值点即0x 的值。
再利用题干信息，找出三个已知点，1 2xy图2.6 导函数图像再分别代入其相应的函数式中，解出待定系数，从而得到函数的解析式。
解：（1）由图像可知，当1<x 时()0'>f x ，()f x 在(),1-∞上递增；当12<<x 时()0'<f x ，()f x 在()1,2上递减；当2>x 时()0'>f x ，()f x 在()2,+∞上递增。
因此()f x 在1=x 处取得极大值。
01∴=x（2）由题意可知：()32=++f x ax bx cx()232'∴=++f x ax bx c 又()10'=f ()20'=f ()15=f32012405++=⎧⎪∴++=⎨⎪++=⎩a b c a b c a b c 解得2912=⎧⎪=-⎨⎪=⎩a b c 故函数的解析式为()322912=-+f x x x x点评：本题主要利用的是导函数的性质，结合图像信息来进行解题的。
在利用导数解题时，我们不仅要找寻题干中蕴含的信息，同时也不能忽视图像中所包含的信息。
2.3导数在求解方程的根中的应用利用导数求解方程的根可以分为以下几个方面:1.利用导数解决根的唯一性。
2.利用导数求方程根的个数。
3.利用导数求解待定系数的取值范围。
4.利用导数求解有关超越方程的根。
下面本人将结合实例对以上几个方面进行分析。
2.3.1利用导数解决根的唯一性 判断方程()0=f x 在某区间内有唯一实根，即判断函数()=y f x 在该区间上有唯一零点。