数列极限中的典型例题
证明数列极限的题目及答案
证明数列极限的题目及答案题目：证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1证明：首先，我们需要明确数列极限的定义。
对于数列＄＼｛a_n\｝＄，如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，总存在正整数＄N$，使得当＄n ＞ N$ 时，都有＄｜a_n L| ＜＼epsilon$ 成立，那么就称数列＄＼｛a_n\｝＄的极限为＄L$。
接下来，我们来证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。
对于任意给定的正数＄＼epsilon$，要使＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} 1\right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} ＼frac{n ＋ 1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{－1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n ＋ 1}＆＜＼epsilon\＼n ＋ 1 ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon} 1＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon} 1\right$（这里＄＼cdot$ 表示取整），当＄n ＞ N$ 时，就有＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$。
因此，根据数列极限的定义，数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。
题目：证明数列＄b_n ＝＼frac{1}｛n}＄收敛于 0证明：给定任意正数＄＼epsilon$，要使＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{1}｛n} 0\right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n}＆＜＼epsilon\＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon}＼right$，当＄n ＞N$ 时，就有＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$。
数列极限定义证明例题
数列极限定义证明例题用极限定义证明数列极限的关键是对Πε>0，都能找到一个正整数N，当n>N时，有|an-a|<ε成立，这里的Πε>0，由证题者自己给出。
因此，关键是找出N。
1极限定义证明数列极限的关键1、对Πε>0，都能找到一个正整数N，当n>N时，有|an-a|<ε成立，这里的Πε>0，由证题者自己给出。
因此。
关键是找出N。
那么，如何寻找N呢?2、显然，要寻找的N，一定要满足当n>N时，有|an-a|<ε成立。
而|an-a|可以看成是关于正整数n的函数，我们可以通过求解不等式|an-a|<ε，找到使|an-a|<ε成立，n所要满足的条件，亦即不等式|an-a|<ε的解集。
该解集是自然数集N的无限子集，对同一个ε，N并不惟一。
3、因此，只需在该解集找出一个作为N即可。
这样寻找N的工作就转化成求解不等式|an-a|<ε的问题了。
2六种方法1、利用数列极限2、利用极限性质3、利用迫敛性4、利用级数收敛的必要条件5、利用单调有界原理6、利用柯西准则3数列极限设{Xn}为实数列，a为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有∣Xn-a∣<ε则称数列{Xn}收敛于a，定数a称为数列{Xn}的极限，并记作Xn→a(n→∞)读作“当n趋于无穷大时，{Xn}的极限等于或趋于a”。
若数列{Xn}没有极限，则称{Xn}不收敛，或称{Xn}为发散数列。
该定义常称为数列极限的ε-N定义。
对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性。
定理1：如果数列{Xn}收敛，则其极限是唯一的。
定理2：如果数列{Xn}收敛，则其一定是有界的。
即对于一切n(n=1,2……)，总可以找到一个正数M，使|Xn|≤M。
高等数学数列极限收敛60道典型例题分步骤详解
高等数学数列极限收敛60道典型例题分步骤详解数列收敛，换言之就是数列极限存在，此类问题历来都是高数考试的重点和难点，也是倍受命题老师青睐的“宠儿”。
数列收敛题型大致可分为两大类：第一类，数列的一般项（也称“通项”）已知；第二类，数列的一般项（通项）未知，尤其是由递推公式60道数列收敛典型例题，每道题都给出了详细的解题步骤。
网友们请注意，本文60个例题中如果用方括号标明年份的，均为当年考研真题。
第一类数列的一般项（通项）已知1.【2008真题】设解：原式. 具体求解过程如下（运用“两边夹”定理）：2.✧解法（一）原式✧解法（二）原式=3.✧解法（一）分子有理化（分母视为“1”）原式✧解法（二）利用等价无穷小替换原式【注：】4.✧解法（一）✧解法（二）原式【注：, 】5.解：本题求极限，推荐“两边夹定理”。
解题过程如下：令显然可知，当因此，根据“两边夹定理”得到6.解：本题求极限推荐“两边夹定理”.令7.解原式=8.解原式=】9.解法（一）利用公式原式】==１✧．原式=】==１10.解：原式。
正确的解法如下：原式==【注：】==11.✧解法（一）利用等价无穷小替换原式=】==✧解法（二）利用中值定理，注意求导公式原式【注：】=12.【2002真题】，✧解法（一）利用等无穷小替换✧原式===✧解法（二）利用“两边夹定理”，【注意：】原式=13.✧原式=【注：】=✧解法（二）利用等价无穷小替换原式=】14.解：此数列求极限推荐等价无穷小替换。
解法如下：原式==】=】15.✧解法（一）利用等价无穷小替换原式【注：】=【注：归结原则】✧【注：】16.解：本题求极限，“两边夹”定理、单调有界准则、定积分定义等方法似乎均不太“给力”，需将变量连续化，也就是将离散变量n替换为连续变量x，再运用包括洛必达法则在内的求解函数极限的方法.详细过程如下：17.✧解法（一）利用导数定义原式===【注：的指数部分，正是按定义所求的函数在处的导数.】【】=✧解法（二）拉格郎日中值定理，注意求导公式原式=====【注：=【注：本题推荐中值定理。
极限经典例题集
例题1．在数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，a n，S n，成等比数列。
（1）求a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式并用数学归纳法证明；（3）求；（4）（思考题）不使用猜想a n的表达式并用数学归纳法证明的方法直接求a n。
1..解析：∵a n，S n，成等比数列，∴（n≥2）（*）（1）把a1=1，S2=a1+a2=1+a2代入（*）式得：把a1=1，，代入（*）得：。
同理可得：由此可以推出：（2）（i）当n=1，2，3，4时，由（*）知猜想成立。
（ii）假设n=k（k≥2）时，成立。
故∴或（舍去）由得即n=k+1时，命题也成立。
由（i）（ii）可知，对一切n∈N成立。
（3）由（2）得数列前n项的和，所有项和（4）对于{a n}的通项还可以这样来求：∵，∴，故是以为首项，为公差的等差数列故，注：对于含有a n，S n的关系式中，常将a n用S n－S n－1（n≥2）代（或S n+1－S n用a n+1代），化成S n，S n+1（或a n，a n+1）的递归关系式。
例1.数列{a n}满足下列条件，求其通项公式a n。
(1)a1=1，(2)a1=2，(3)a1=2，{a n}的前n项和S n满足解：(1)……将以上各式叠加，得∴又n=1时，(2)……将以上各式叠乘，得∴a n=n(n+1)(n≥2)当n=1时，1×(1+1)=2 = a1∴a n=n(n+1)(n∈N*)(3)∴2S n-1S n=S n-1-S n(n≥2)在上式两边同除以S n S n-1，得∴数列为首项，公差为2的等差数列。
例2、在等差数列{a n}中(1)若a p=q，a q=p(p、q∈N*且q≠p)，求a p+q；(2){a n}共有n项，其前四项之和为124，其最后四项之和为156，其所有项之和为210，求项数n；(3)若{a n}前n项和记为S n，且有，求S m+n的范围解：(1)∵a q=a p+(q-p)d∴a p+q=a p+(q+p-p)d=q+q×(-1)=0(2)∵a1+a2+a3+a4=124a n+a n-1+a n-2+a n-3=156∴(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+(a4+a n-3)=280∴4(a1+a n)=280∴a1+a n=70∴n=6(3)设前n项和将以上两式相减得：两边同除以m-n，得例3、在数列{a n}中，S n是其前n项和，a1=1，S n+1=4a n+2(n∈N*) (1)设b n=a n+1-2a n，求证数列{b n}为等比数列并求其通项公式；(2)设，求证数列{C n}是等差数列并求其通项解：(1)∵S n+1=4a n+2∴S n+2=4a n+1+2将以上两式相减，得a n+2=4a n+1-4a n∴a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n)又s2=4a1+2=a1 +a2∴a2 =5∴数列{b n}是以b1=a2-2a1=5-2=3为首项，q=2为公比的等比数列。
数列的极限(附答案)
课时3 数列的极限一、复习目标理解数列极限的概念，会判断一些简单数列的极限，了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求某些数列的极限.二、例题讲解：例1．求下列极限：（1）322312lim 22=++∞→n n n n ； （2）21)43(lim 22-=+-+∞→n n n n n ； （3）23)23741(lim 2222=-++++∞→n n n n n n ； （4）]2,0[,cos sin cos 3sin 2lim πααααα∈++∞→n n n n n 解：（4）当4πα=时，原式=25；当40πα<≤时，则有,1tan 0<≤α所以 原式3tan 13tan 2lim =++=∞→ααn n n ，当42παπ>≥时，则有,1cot 0<≤α所以 原式2cot 1cot 32lim =++=∞→ααn n n 例2．已知无穷等比数列}{n a 的各项和为3，前3项的和为926，求这个数列中所有奇数项的和. 解：设等比数列}{n a 的公比为q ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-,9261)1(,31311qq a q a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==2311a q ， 等比数列的各奇数项仍成等比数列，其公比为91，故所有奇数项的和为491291=-. 例3．已知数列}{n a 满足条件：)0(,121>==r r a a ，且}{1+n n a a 是公比为q )0(>q的等比数列，设).,2,1(212 =+=-n a a b n n n 求n b 和nn S 1lim ∞→其中n n b b b S ++=21. 解：∵,2121q a a a a a a n n n n n n ==++++∴,01.0121222121≠+=≠=++=-+++r b q a a a a b b nn n n n n 所以}{n b 是首项为r +1公比为q 的等比数列，从而1)1(-+=n n q r b .当1=q 时，01lim ),1(=+=∞→nn n S r n S ； 当10<<q 时，r q S q q r S nn n n +-=--+=∞→111lim ,1)1)(1(； 当1>q 时，01lim ,1)1)(1(=--+=∞→nn n n S q q r S . 所以⎪⎩⎪⎨⎧<<+-≥=∞→.10,11,1,01lim q rq q S n n 三、同步练习：《高考三人行—学生用书》P337课时4 函数的极限一、复习目标1．熟悉函数极限的概念能正确表述并会推断简单函数的极限.2．熟悉函数极限的运算、能对函数式变型后推算函数的极限.二、例题讲解例1．判断下列函数的极限是否存在：（1）)(lim ),0(11),0(1)(2x f x xx x x f x ∞→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤=； （2）)(lim ),0(1),0(2)(0x g x x x g x →⎩⎨⎧<->=；（3）)(lim ),1(1),1(1)(1x p x x x x x p x →⎩⎨⎧<+->-=； （4）)(lim ),1()(x f a a x f x x∞→>=.解：（1）显然，当-∞→x 时，0)(→x f ；当+∞→x 时，1)(→x f .即≠+∞→)(lim x f x )(lim x f x -∞→，故)(lim x f x ∞→不存在. （2）显然，1)(lim ,2)(lim 00-==-+→→x g x g x x ，故)(lim 0x f x →不存在. （3）∵0)(lim ,0)(lim 11==-+→→x p x p x x ，∴0)(lim 1=→x p x . （4）当+∞→x 时，+∞→x a ，当-∞→x 时，0→x a ，所以)(lim x f x ∞→不存在. 例2．求下列各式的极限：（1）53512lim 222-=+--→x x x x ； 点评：当)(x f 在0x 处连续时，则可用直接代入法，即)(lim 0x f x x →=)(0x f . （2）6131lim 93lim 323=+=--→→x x x x x ； （3）21111lim 211lim 22=+-=---→→x x x x x ； （4）1)1311(lim 31-=---→x x x ； （5）21)(lim 2=-++∞→x x x x ； （6）)]1()1(1[lim 1lim 21121++++++++=--+++--→→x x x x x n x x x n n x n x 2)1(+=n n . 例3．已知n x mx x x =+++-→22lim 22，求m 、n 的值. 解：∵,22lim 22n x mx x x =+++-→∴2-=x 为方程022=++mx x 的根，3=m ， 又1)1(lim 223lim 222-=+=+++-→-→x x x x x x ，∴3,1=-=m n .。
数列极限概念与性质例题和知识点总结
数列极限概念与性质例题和知识点总结一、数列极限的概念数列是按照一定顺序排列的一列数，例如1，2，3，4，…，n，… 。
数列极限则是描述当数列中的项数无限增大时，数列的取值趋近于某个确定的常数。
用数学语言来表示，如果对于任意给定的正数ε ，总存在正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，｜an A| ＜ε 恒成立，那么就称常数 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A 。
通俗地说，就是当数列的项数变得非常大时，数列的项与某个常数A 的距离可以任意小。
二、数列极限的性质1、唯一性：如果数列｛an} 有极限，那么极限值是唯一的。
2、有界性：如果数列｛an} 有极限，那么数列｛an} 一定是有界的。
3、保号性：如果lim(n→∞） an ＝ A ，且 A ＞ 0 （或 A ＜ 0 ），那么存在正整数 N ，当 n ＞ N 时，an ＞ 0 （或 an ＜ 0 ）。
三、数列极限的例题例 1：求数列｛1 ／ n} 的极限。
解：对于任意给定的正数ε ，要使｜ 1 ／ n 0 ｜＜ε ，即 1 ／ n＜ε ，解得 n ＞ 1 ／ε 。
取 N ＝ 1 ／ε ＋ 1 （其中 x 表示不超过 x 的最大整数），当 n ＞ N 时，｜ 1 ／ n 0 ｜＜ε 恒成立。
所以lim(n→∞） 1 ／ n ＝ 0 。
例 2：证明数列｛（－1)＾n ／ n} 的极限为 0 。
解：对于任意给定的正数ε ，因为｜（－1)＾n ／ n 0 ｜＝ 1 ／ n ，要使 1 ／ n ＜ε ，解得 n ＞ 1 ／ε 。
取 N ＝ 1 ／ε ＋ 1 ，当 n ＞ N 时，｜（－1)＾n ／ n 0 ｜＜ε 恒成立。
所以lim(n→∞）（－1)＾n ／ n ＝ 0 。
例 3：判断数列｛n ／（n ＋ 1)｝的极限。
解：lim(n→∞） n ／（n ＋ 1) ＝lim(n→∞） 1 ／（1 ＋ 1 ／ n)当n → ∞ 时，1 ／n → 0 ，所以 1 ／（1 ＋ 1 ／n) → 1 。
数列的极限经典习题
1Chapi数列的极限1.设X n 0 n 1,2,L 及lim X nn a ,用N语言, 证明：证Q X n 0 , a 0.(1)当a 0时, 那么lim x nn 0,下证lim T X nn P0.0, 则存在N 0,当n N 时，0 Xn X n 0Hm 7X70.⑵当a 0时，0,存在N坂V a X n a X n0|，此即j xn0,XiX n a 需.综上两方面，2.已知limnX n a,用N语言, 证明: Hm(1 ) 0时，那么lim X nn0, 0, 存在0,X nX n a,此即lim y xnn '0时，因为需. V Xn^aX n a Q lim x nn|Xna,则对lim ^X7 需. n0.0,存在N 0,5.3. （算术平均收敛公式）设lim X n a .令n由施笃兹公式X 1 X 2 L X n 证法X 1 X 2nL X---- n,求证：limnn a .4. li mn证法li mnli mnli mnX 1 X 2 L X n X n X 1 n 1X 2 L X n 1 由limnXn0,存在N j 0,使当nN i 时,X 1 X 2 LX nn令cX 1 a 1 L X 1 X 2 LX nn存在 N 2 0, 使当 再令 NmaX N 1 X 1 X 2 LX n2aX N IannX n a,N 2 lim n limnnnX iX N 1a X N IX n那么N 2时，有一n，故当n N 时，由①,②有LX n（几何平均收敛公式）设X n 0lim y X 1X 2L X n a .nlim y X 1X 2 L 证明：lim V anX nn 1,2, L .且 lim X n n证 Q lim X na , limln x nnn再由算术平均收敛公式可知1In^ l nX 2 L Inx nalim e ne a .n其中a 1.a .证明：Ina .则 0,依伯努利不等式，有n11 n 1 n a n1 ,6 .7 .8 .要na 1证明：若limn证由题设a na*limn,只要a,an从而当n N时总有所以则limna,a na n当且仅当a 0时,逆命题也成立.设a R,证当nna n要使只需即若取所以limn且a 1,用0.数列a 1 a 1.所以，有n ——.取N ——,则当a.当且仅当a为何值时逆命题也成立.0,a na nN语言,证明：N 0,当n N时，皆有a nlimn0.2（由二项展开式得）n 1 a 1利用单调有界性证明：设x 1，则当n N时, 就有1,a R是无穷小序列.,y 1 b 0,且Xi 1 4^nX ny nX n Y n .n 1,2, L .则 lim X nnlim Y n .n0，Y nY n 1X n 1Y n 1X n 单调增加, Y n 单调减少X n所以X n ， y n 有界.即lim X nn对Y n9.证明：数列 记X nX n Y nX n Y n2(X n Y nX n1，X nX Y n2Y n Y 1,A , lim nXn Yn两边取极限，得单调增加， 数列a n，Y na1 a2X n 单调增加，Y n所以X n , Y n 单调有界Y n X n X 1，Y nB 存在.B .1单调减少，两者收敛于同一极n 1，由平均值不等式a nX n1 ，n 1nz n 1单调减少，且1 X 1 X n Y n，必定收敛.由Y n Y n 1y 1X n11，知它们有相同的极限.即 nn1e .10.证明：若aI n证由上例知即有不等式a n即a n 单调减少有下界 11.设数列x n 满足：x 0 求 Iimx n .n证 X 01, X 1 72用数学归纳法可证2n12 丁X nn Inn .则数列01收敛. an 1 an1 12 2 In — +In 1,所以1,Xn122, X 20,1,2LI nan ,两边取对数得，I n I n1Inn nL In — n收敛.1 InIn nIn nJ 2X n ，n 1,2,3L .证明：数列x n 收敛，并72x 12n12n由①式知x n1X n0,1L L即X n 单调递增. 再由①式知1 x nX n收敛.设Iim x na ,则a 1.n两边取极限有：a 72a .a 2 2a ,又 Qa 0.a 2,即lim X n 2 .n12.设a 0, 0 X1 a, X n 1 X n 2 生,n 1,2,3L a .证明：数列Xn 收敛，并求其极限.证先用数学归纳法证明0 X n a, n N1时,结论成立,归纳假设结论对n成立,再证n 1时,因为X n 1 X nX n2 —a1一X naX n 即①式成立X n 1X nX n 单调递增, 且有上界. lim X n存在. 设为lim 焉n nX n 1 X n 2X n两边取极限得由①式及X n单调递增, 显然b 0,由②式解得b a.lim X n a .n。
单调有界数列必有极限例题
单调有界数列必有极限例题
例题：考虑数列 an = (-1)^n / n，证明该数列是单调有界的，
并求其极限。
证明该数列是单调有界的：
首先，我们观察到该数列的前几项：a1 = -1, a2 = 1/2, a3 = -1/3, a4 = 1/4, … 可以发现，奇数项是递减的，偶数项是递增的。
因此，该数列是交替的递减递增的，即单调的。
其次，我们来证明该数列有上下界。
数列的所有项的绝对值都小于等于1，因此数列有上界。
此外，当 n 趋向无穷时，数列的绝对值趋向于0，表明数列有下界。
因此，根据单调有界数列的定理，该数列必有极限。
求极限：
我们来计算该数列的极限。
当 n 是偶数时，an = 1/n，当 n 是奇数时，an = -1/n。
不失一般性，我们只考虑 n 是偶数的情况，因为奇数的情况可以类似地进行讨论。
当 n 是偶数时，
an = 1/n = 1/(2k)，其中 n = 2k。
当 k 趋向无穷时，lim (k→∞) 1/(2k) = 0。
因此，该数列的极限是0。