2020年百校联盟TOP20高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(全国II卷)
2020年3月普通高考新课标II卷全真模拟文科数学卷2(5页)
2020年3月普通高考新课标II 卷全真模拟文科数学卷2数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：高中全部内容.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合()(){}|230A x x x =+-…，{}B a =，若A B A ⋃=，则a 的最大值为（ ） A ．－2B ．2C ．3D ．42．复数(),z a bi a b R =+∈是()()212i i ++的共轭复数，则a b +=（ ） A ．5B ．5-C ．5iD ．5i -3．在ABC ∆，“cos cos A B <”是“A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．若0,0,a b c d >><<则一定有（ ） A ．a b c d> B ．a b c d< C ．a b d c> D ．a b d c< 5．若实数x ，y 满足不等式组0,0,2,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则2x y +的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)[)[)20404060608080100，，，，，，，.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）A．45B．50C．55D．607．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”，该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n是8的整数倍时，均可采用此方法求解，如图n ，则输出的结果为（）是解决这类问题的程序框图，若输入32A．80B．47C．79D．488．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体的体积为（）A．2B．6C D．9．已知为直角坐标系的坐标原点，双曲线上有一点（m >0），点P在轴上的射影恰好是双曲线C 的右焦点，过点P 作双曲线C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A,B ，若平行四边形PAOB 的面积为1，则双曲线的标准方程是（ ） A ． B ．C ．D ． 10．设函数()xf x x e =⋅，则（ ） A ．()f x 有极大值1e B ．()f x 有极小值1e- C ．()f x 有极大值e D ．()f x 有极小值e -11. 已知函数()2sin()3f x x πω=+的图像的一个对称中心为(,0)3π，其中ω为常数，且()1,3ω∈，若对任意的实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤，则12||x x -的最小值是（ ）A ．1B ．2π C ．2D ．π12．正方体（棱长为1）中，点P 在线段上（点P 异于A ､D 两点），线段的中点为点Q ，若平面截该正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．已知平面向量a r ，b r 的夹角为3π，且1a =r，12b ⎛= ⎝⎭r ，则(2)a b b +⋅=r r r ________． 14．甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标测试.根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标 的概率分别为34、23、35 ，则三人中有人达标但没有全部达标的概率为_______.15．已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若，则的值等于__________．16．已知实数0,1a a >≠，函数()2,14,1x a x f x x alnx x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是_________.四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.O 2222:1(0)x y C b a a b-=>>)Pm 2214yx -=22123x y -=2216yx -=2213722x y -=1111ABCD A B C D -AD 1DD BPQ AP 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎛⎤⎥⎝⎦2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦()0,2A ()2:20C y px p =>F FA C M N FM MN=p17．（12分）在公差为2的等差数列{}n a 中，11a +，22a +，34a +成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2nn a -的前n 项和nS.18．（12分）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，为的中点，点在上，平面，在的延长线上，且.(1)证明:平面.(2)过点作的平行线，与直线相交于点，点为的中点，求到平面的距离. 19．（12分）某农户考察三种不同的果树苗A 、B 、C ，经引种试验后发现，引种树苗A 的自然成活率为0.8，引种树苗B 、C 的自然成活率均为0.9. （1）若引种树苗A 、B 、C 各10棵. ①估计自然成活的总棵数；②利用①的估计结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取两棵，求抽到的两棵都是树苗A 的概率； （2）该农户决定引种B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B 种树苗多少棵?20．（12分）已知椭圆的离心率为，焦距为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线与椭圆C 交于点E ，F ，过点E 作轴于点M ，直线FM 交椭圆C 于另一点N ，证明：．21．（12分）已知函数()32f x x ax =-++.（1）讨论()f x 的单调性；P ABCD -ABCD PA PD ==E PA F PD EF ⊥PCD M DC 215MC CD=//EF PBM C BD AB G Q CG E PDQ 2222:1(0)x y C a b a b+=>>2y kx =EM x ⊥EF EN ⊥（2）若()f x 在[1,)-+∞上只有一个零点，求a 的取值范围.(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22．（10分）在极坐标系中，已知曲线1C 的方程为6sin ρθ=，曲线2C 的方程为sin()13πρθ+=．以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ． （1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；（2）若曲线2C 与y 轴相交于点P ，与曲线1C 相交于A ，B 两点，求11PA PB+的值． 23. （10分）设不等式||1||1||2x x +--<的解集为A ． （1）求集合A ；（2）若a ，b ，c A Î，求证：11abcab c->-．。
全国数学2卷2020届高三第二次模拟试题文科以及答案.docx
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷（全国2卷）( 第二次模拟考试 )注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}{}1|B 3,2,1,0,1-A >==x x ，，则A B I 的元素个数为 A ．0B ．2C ．3D ．52．复数ii z 2)2(-=(i 为虚数单位)，则A ．5B ．5C ． 25D ．41 3．函数1cos 22sin )(2+-=x x x f 的最小正周期为 A. πB. 2πC. 3πD. 4π4. 已知向量＝(－1,2)，＝(3,1)，）（4,x c =，若⊥-)(，则x ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 2=,则其离心率为A ．2B ．3C ．2D ．3 6．已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示， 则该几何体的体积是A ．1B ．32 C ．2 D ．3 7．若x 、y 满足约束条件，⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤-+00203y y x y x 则y x z 34-=的最小值为A ．0B ．-1C ．-2D ．-38．已知x ＝ln π，y ＝log 52，12=ez -，则A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x9．在数学解题中，常会碰到形如“xyyx -+1”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设b a ,是非零实数，且满足158tan 5sin5cos 5cos5sin π=π-ππ+πb a b a ，则a b ＝A ．4B ．15C ．2D ．3 10．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,iS S ,i 2120=-=< B ． i i ,iS S ,i 2120=-=≤ C ．1220+==<i i ,S S ,i D ．1220+==≤i i ,S S ,i 11．从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是 A ．101 B ．103C ．53 D ．52 12. 已知点A (0,2)，抛物线C 1：)0(2>=a ax y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为 A ．14 B ．12 C ．1 D ．4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数x x x f sin 2)(-=，当[]1,0∈x 时，函数)(x f y =的最大值为_________. 14．已知函数)x (f 是奇函数，当))(f (f ,x lg )x (f x 10010则时，=>的值为_________. 15．已知直三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=6，AC=10，AC AB ⊥,,521=AA 则球O 的表面积为 .16．在△ABC 中，已知 (a ＋b )∶(c ＋a )∶(b ＋c )＝6∶5∶4，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532. 其中正确结论的序号是 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分) 17．(12分)已知等差数列{}n a 中，1673-=a a ，064=+a a （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求{}n a 的前n 项和n S . 18．(12分)如图所示，四棱锥S-ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，CD AB //,,3===AB AC AD ,4==CD SA P 为线段AB 上一点，,2PB AP = SQ=QC . （1）证明：PQ//平面SAD ; （2）求四面体C-DPQ 的体积. 19．(12分)某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x (万人)与餐厅所用原材料数量y (袋)，得到如下统计表：第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 参会人数x (万人) 13 9 8 10 12 原材料y (袋)3223182428（1）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x by ˆˆ+=； （2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t (袋)的关系为⎩⎨⎧∈≥∈<<-=)(36,380)(360,20400N t t t N t t t C ，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L ＝销售收入－原材料费用）.参考公式： x b y axn x yx n yx x x y y x xbni i ni ii ni i ni i iˆˆ,)())((ˆ1221121-=--=---=∑∑∑∑====. 参考数据：511343i i i x y ==∑，521558ii x ==∑，5213237i i y ==∑.20．(12分)已知椭圆14522=+y x 的右焦点为F ，设直线l :5=x 与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线1l 与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线1l 的倾斜角为π4，求|AB |的值； (2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 21．(12分)已知函数).1ln()(+-=x a x x f （1）的单调区间；求时当)(,2x f a =;（2）当a =1时，关于x 的不等式)(2x f kx ≥在），∞+0[上恒成立，求k 的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分. 22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为1)1(22=+-y x ，的方程为3=+y x ，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求与的极坐标方程；（2）若与的一个公共点为（异于点），与的一个公共点为， 求OBOA 3-的取值范围.O A O B23．[选修4－5：不等式选讲](10分) （1）,1,,,=++∈+c b a R c b a 且已知证明；9111≥++cb a （2）,abc ,R c ,b ,a 1=∈+且已知证明cb ac b a 111++≤++.全国2卷2020届高三第二次模拟数学(文科)试题答案一.选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BAAABBCDDDCD13．2－sin1 14．2lg - 15． 16 ②③17解：设{a n }的公差为d ，则1111(2)(6)16,350,a d a d a d a d ++=-⎧⎨+++=⎩1212181216,4.a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩即118,8,2 2.a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩解得或 （1）a n = 2n-10， a n= －2n +10.（2）S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9). 18 解析：(1)证明: 由已知得AP ＝23AB ＝2.如图，取DS 的中点T ，连接AT ，TQ ，由N 为PC 中点知TQ ∥DC ，TQ ＝12DC ＝2.又AB ∥DC ，故TQ ||=AP ，,,//SAD AT AT MN 平面又⊂∴Θ从而证得PQ//平面SAD ;(2)因为SA ⊥平面ABCD ，Q 为SC 的中点，所以Q 到平面ABCD 的距离为12SA .如图，取DC 的中点E ，连接AE .由AD ＝AC ＝3得AE ⊥DC ，则AE ＝ 5.故S △BCP ＝12×4×5＝2 5.所以四面体C-DPQ 的体积V C-DPQ ＝13×S △D CP ×PA 2＝453.S 球＝4πR 2＝36π.19【答案】（1）15.2-=x y ；（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元.【解析】 (1)由所给数据可得：1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，························2分515222151343510.425 2.5558510.45i ii ii x yx y bxx==--⨯⨯===-⨯-∑∑$，$25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-$， 则y 关于x 的线性回归方程为$$2.51y x =- (2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15x =时，36.5y =，即预计需要原材料36.5袋， 因为40020,036,380,36,NNt t t C t t t -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，所以当36t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+， 当35t =时, 利润L=300×35+20=10520 当36t ≥时，利润L ＝700t －380t ，当36t =时，利润.L=700×36-380×36=11520 当t=37时，利润L=700×36.5-380×37=11490综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元. 20．由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)．(1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1. ∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53. ∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×354)910(2⨯+＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2. 设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3.而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1) ＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5k x 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0. ∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .21.解：（1）当a=2时，),x ln(x )x (f 12+-=11121+-=+-=x x x )x (f '，()()是减函数，（时，当x f )x f ,x '011<-∈， 是增函数函数；，，，)x (f )x (f ),(x '01>+∞∈()),1[1,1)(+∞-，增区间为的减区间为所以，x f（1）.0)1ln()()1ln()(122≥++-≥+-==x x kx x f kx x x x f a ，即，时，当.)0[0)(0)1ln()(2恒成立即可，在，则只需，设∞+≥≥++-=x g x x x kx x g易知.x xx x ]x k [x x kx )x (g )(g '0101112111200≥+≥+-+=++-==，所以，因为）（， ）上单调递减，，在，此时时，当∞+<≤0[)(0)(0'x g x g k 与题设矛盾；所以,0)0()(=<g x g)(2110(02110)(210''<+-∈>+-==<<x g kx k x x g k ）时，，，当得时，由当，与题设矛盾；时，，（上单调递减，所以，当，在，此时时，，当0)0()()2110)2110()(0)()211('=<+-∈+->∞++-∈g x g kx k x g x g k x 0)0()(0[)(0)(21'=≥∞+≥≥g x g x g x g k ）上单调递增，所以，在，故时，当恒成立.综上，.21≥k22.解：（1）曲线的方程为1)1(22=+-y x ，1C 的极坐标方程为θρcos 2=的方程为3=+y x ，其极坐标方程为θθρsin cos 3+=（2）是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为⎪⎭⎫⎝⎛∈=20πααθ，，联立1C 与3C 的极坐标方程⎩⎨⎧==αθθρcos 2，得αρcos 2=，即αcos 2=OA联立1C 与2C 的极坐标方程⎪⎩⎪⎨⎧α=θθ+θ=ρsin cos 3，得α+α=ρsin cos 3，即α+α=sin cos OB 3 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛π+α=α-α-α=-4223cos sin cos cos OB OA又⎪⎭⎫ ⎝⎛π∈α20，，所以),(OB OA 113-∈-23. 证明： （1）因为=++++++++=++cc b a b c b a a c b a c b a 111 111++++++++c bc a b c b a a c a b 时等号成立，当3193===≥++++++=c b a a c c a b c c b b a a b （2）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=++bc ac ab c b c a b a c b a 1212122111111121111 又因为,abc 1=所以c ab =1，b ac =1，a bc =1()a b c cb a ++≥++∴111当1===c b a 时等号成立，即原不等式成立。
2020年高考模拟全国卷Ⅱ劵百校联盟Top20高考(文科)数学模拟试卷(3月份) 含解析
2020年高考模拟（全国II卷）数学（3月份）模拟试卷（文科）一、选择题1．设U＝R，集合A＝{x|x﹣1≥0}，则∁U A＝（）A．{x|x≤1}B．{x|x＜1}C．{x|x≥1}D．{x|x＞1}2．（1﹣2i）（2+i）＝（）A．4﹣3i B．4+3i C．﹣4﹣3i D．﹣4+3i3．下列函数中为偶函数的是（）A．y＝|lnx|B．y＝x2﹣2x C．D．f（x）＝2|x|4．已知双曲线，F为双曲线C的右焦点，过点F作与渐近线垂直的直线与另一条渐近线交点M．则|FM|＝（）A．B．C．D．45．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1．则该几何体的体积为（）A．B．C．πD．6．在边长为4的正方形的边上随机取一点，则该点到正方形中心的距离小于的概率是（）A．B．C．D．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，扇形AOB的圆心角为，半径为1，P是上一点，其横坐标为，则sin∠BOP＝（）A．B．C．D．8．执行如图所示的程序框图，若输入a的值为2019，则输出S的值为（）A．3B．C．D．﹣29．设α，β，sinαcosβ＝3sinβcosα，则α﹣β的最大值为（）A．B．C．D．10．设x，y满足不等式组且的最大值为，则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．411．已知椭圆C：的右焦点为F，点A、B是椭圆C上关于原点O 对称的两个点，且|AO|＝|AF|，＝0．则椭圆C的离心率为（）A．B．2﹣C．D．12．若函数f（x）＝alnx﹣e x有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣e，+∞）B．（1，e）C．（1，+∞）D．（0，+∞）二、填空题13．已知非零向量＝（2x，y），＝（1，﹣2），且∥，则＝．14．甲、乙，丙、丁4人站在一栋房子前•甲说：“我没进过房子“：乙说：“丙进去过“：丙说：“丁进去过“：丁说：“我没进过房子“．这四人中只有一人进过房子，且只有一人说了真话．则进过这栋房子的人是．15．已知高为的直三棱柱ABC一A1B1C1，的各个顶点都在同一球面上，若AB＝2BC ＝4，∠ABC＝60°．则球的体积为．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b+c＝a（cos B+cos C）．若△ABC 的周长的最大值为4，则a＝．三、解答题（共5小题）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝且n≥2）．（Ⅰ）证明：为等差数列：（Ⅱ）求数列的前n项和T n．18．如图．直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AA1＝，底面是边长为1的等边三角形，D为BB1的中点，AC1与CA1交于点E．（Ⅰ）证明：DE∥平面A1B1C1；（Ⅱ）求点B到平面DCA1的距离．19．2019年第一期中国青年阅读指数数据显示，从阅读需求的角度，排名前三的阅读领域分别为文学、哲学及社会科学和历史．某学校从文科生和理科生中选取了经常阅读的学生进行了假期阅读内容和阅读时间方面的调查，得到以下数据．学生所学文理与阅读内容列联表文学阅读人数非文学阅读人数调查人数理科生70130200文科生4555100合计115185300（Ⅰ）判断能否有90%的把握认为学生所学文理与阅读内容有关？（Ⅱ）从阅读时间大于30分钟的被调查同学中随机选取30名学生，其阅读时间（分钟）整理成如图所示的茎叶图，并绘制日均阅读时间分布表；其中30名同学的日均阅读时间分布表（单位：分钟）阅读时间[30，60）[60，90）[90，120）男生人数4y2女生人数x102求出x，y的值，并根据日均时间分布表，估计这30名同学日阅读时间的平均值；（Ⅲ）从（Ⅱ）中日均阅读时间高于90分钟的同学中随机选取2人介绍阅读体会，求这2人性别相同的概率．参考公式，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001≥k0）k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820．已知抛物线C：x2＝4y，直线l：y＝kx+1与抛物线交于A、B两点．（Ⅰ）若k ＝，求以AB为直径的圆被x轴所截得的弦长；（Ⅱ）分别过点A，B作抛物线C的切线，两条切线交于点E，求△EAB面积的最小值．21．已知函数f（x）＝x2lnx．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性：（Ⅱ）证明：．请考生从第22，23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ＝2与x轴的正、负半轴分别交于A，B两点．（Ⅰ）P为C1上的动点．求线段AP中点的轨迹C2的直角坐标方程：（Ⅱ）直线l与C2分别交于点M，N，且M在N的左侧，△BMO的面积是△NMO面积的2倍．求tanα的值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣x2．（Ⅰ）若a＝1．求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2（1﹣x2）至少有一个负数解，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题1．设U＝R，集合A＝{x|x﹣1≥0}，则∁U A＝（）A．{x|x≤1}B．{x|x＜1}C．{x|x≥1}D．{x|x＞1}【分析】可以求出集合A，然后进行补集的运算即可．解：A＝{x|x≥1}，U＝R，∴∁U A＝{x|x＜1}．故选：B．2．（1﹣2i）（2+i）＝（）A．4﹣3i B．4+3i C．﹣4﹣3i D．﹣4+3i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：（1﹣2i）（2+i）＝2+i﹣4i+2＝4﹣3i．故选：A．3．下列函数中为偶函数的是（）A．y＝|lnx|B．y＝x2﹣2x C．D．f（x）＝2|x|【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解：A．函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数B．函数的对称轴为x＝1，为非奇非偶函数C．函数为奇函数，不满足条件．D．f（﹣x）＝2|﹣x|＝2|x|＝f（x），函数为偶函数，满足条件，故选：D．4．已知双曲线，F为双曲线C的右焦点，过点F作与渐近线垂直的直线与另一条渐近线交点M．则|FM|＝（）A．B．C．D．4【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出过点F作与渐近线垂直的直线，联立求出交点M，然后求解距离即可．解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程：y＝x，则过点F作与渐近线垂直的直线为：y＝﹣（x﹣2），所以它们的交点M（﹣1，），F（2，0），所以|FM|＝2．故选：A．5．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1．则该几何体的体积为（）A．B．C．πD．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆柱内部去掉一个圆锥，再由圆柱体积减去圆锥体积得答案．解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆柱内部去掉一个圆锥，圆柱的体积为2π，圆锥的体积为，则该几何体的体积为V＝2．故选：D．6．在边长为4的正方形的边上随机取一点，则该点到正方形中心的距离小于的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件，求出满足条件的长度，及符合要求的长度，代入几何概型计算公式，即可求出答案．解：如图：作OC⊥AB与C；CD＝＝＝1；故该点到正方形中心的距离小于的概率是：＝；故选：D．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，扇形AOB的圆心角为，半径为1，P是上一点，其横坐标为，则sin∠BOP＝（）A．B．C．D．【分析】由题意求得点P坐标，根据三角函数的定义写出sin∠POA、cos∠POA，再计算sin∠BOP的值．解：由题意知，点P（，），根据三角函数的定义知，sin∠POA＝，cos∠POA＝，所以sin∠BOP＝sin（﹣∠POA）＝sin cos∠POA﹣cos sin∠POA＝×﹣（﹣）×＝．故选：C．8．执行如图所示的程序框图，若输入a的值为2019，则输出S的值为（）A．3B．C．D．﹣2【分析】按照程序框图进行计算，发现S值4个一循环，当k＝2020时跳出循环，2020＝4×505，即可输出S，进而得解．解：程序运行如下：S＝3，k＝1；S＝，k＝2；S＝，k＝3；S＝﹣2，k＝4；S＝3，k＝5；……此程序的S值4个一循环，输入a的值为2019，则当k＝2020时跳出循环，2020＝4×505，故输出S的值为﹣2．故选：D．9．设α，β，sinαcosβ＝3sinβcosα，则α﹣β的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由已知可得tanα＝3tanβ，结合两角差的正切公式＝＝3tan，利用基本不等式即可求解．解：由sinαcosβ＝3sinβcosα可得tanα＝3tanβ，∵α，β，所以＝＝3tan＝，当且仅当3tan即tan，tan时取等号，此时α﹣β取得最大值．故选：B．10．设x，y满足不等式组且的最大值为，则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】作出不等式组对于的平面区域，设z＝x+3y，利用数形结合即可得到结论解：作出不等式组对于的平面区域如图：可知a≥﹣2，的几何意义是可行域内的点与Q（﹣4，0）连线的斜率，直线x+y﹣2＝0与直线y＝x+a的交点为A（1﹣，1+），当x＝1﹣，y＝1+时，的最大值为，解得a＝2，所以实数a的值为2．故选：B．11．已知椭圆C：的右焦点为F，点A、B是椭圆C上关于原点O 对称的两个点，且|AO|＝|AF|，＝0．则椭圆C的离心率为（）A．B．2﹣C．D．【分析】由＝0，所以∠AFB＝90°，将左焦点与A，B连接起来，由椭圆的对称性可得四边形AF1BF为矩形，|AO|＝|AF|，可得a，c的关系，进而求出离心率．解：因为＝0，所以∠AFB＝90°，因为|AO|＝|AF|，所以|AB|＝2|AF|，故∠ABF ＝30°，设椭圆的左焦点为F1，由椭圆的性质可得，四边形AF1BF为矩形，且∠AF1F＝∠ABF＝30°，|AF1|＝c，|AF|＝c，由题意的定义|AF1|+|AF2|＝2a，即+c＝2a，所以离心率e＝＝＝，故选：A．12．若函数f（x）＝alnx﹣e x有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣e，+∞）B．（1，e）C．（1，+∞）D．（0，+∞）【分析】先求出导函数f'（x），再对a的值分情况讨论，利用数形结合的方法即可求出a的取值范围．解：∵函数f（x）＝alnx﹣e x，x∈（0，+∞），∴f'（x）＝，①当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，无极值点，②当a＞0时，根据y＝与y＝e x的图象，如图所示：，设两个函数在第一象限的交点的横坐标为x0，当x∈（0，x0）时，，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（0，x0）上单调递增；当x∈（x0，+∞）时，，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（x0，+∞）上单调递减，所以当a＞0时，函数f（x）有一个极大值点，故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分.13．已知非零向量＝（2x，y），＝（1，﹣2），且∥，则＝﹣．【分析】根据平面向量共线的坐标表示，列方程求得的值．解：由＝（2x，y），＝（1，﹣2），且∥，所以2x•（﹣2）﹣y•1＝0，所以＝﹣．故答案为：﹣．14．甲、乙，丙、丁4人站在一栋房子前•甲说：“我没进过房子“：乙说：“丙进去过“：丙说：“丁进去过“：丁说：“我没进过房子“．这四人中只有一人进过房子，且只有一人说了真话．则进过这栋房子的人是甲．【分析】此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论．解：由丙、丁的说法知道丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的假话，故甲是进过房子的那个人．故答案为：甲．15．已知高为的直三棱柱ABC一A1B1C1，的各个顶点都在同一球面上，若AB＝2BC ＝4，∠ABC＝60°．则球的体积为36π．【分析】结合直三棱柱的性质及球的性质求出球的半径，然后根据体积公式即可求解．解：因为AB＝2BC＝4，∠ABC＝60°．所以∠ACB＝90°，△ABC外接圆半径为2，球心到底面的距离为，则球的半径R＝＝3，球的体积V＝＝36π．故答案为：36π16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b+c＝a（cos B+cos C）．若△ABC 的周长的最大值为4，则a＝4．【分析】由已知结合正弦定理化简可求A，然后结合锐角三角函数的定义即可求解周长的最小值，结合已知即可求解a的值．解：因为b+c＝a（cos B+cos C），由正弦定理可得，sin B+sin C＝sin A cos B+sin A cos C，所以sin A cos C+sin C cos A+sin A cos B+sin B cos A＝sin A cos B+sin A cos C，即cos A（sin B+sin C）＝0，所以cos A＝0，即A＝，故a+b+c＝a+a cos B+a sin B＝a[1+sin（B+）]，当B＝时，a+b+c取得最大值（1+）a＝4（1+），所以a＝4．故答案为：4．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝且n≥2）．（Ⅰ）证明：为等差数列：（Ⅱ）求数列的前n项和T n．【分析】本题第（Ⅰ）题对题干中的递推公式进行变形转化，可得﹣＝2．进一步计算可证得为等差数列；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列的通项公式，然后运用错位相减法可计算出前n项和T n．【解答】（Ⅰ）证明：依题意，由＝2a n+1，可得a n＝2a n a n+1+a n+1，即a n﹣a n+1＝2a n a n+1．两边同时除以a n a n+1，可得﹣＝2（n≥2）．∵﹣＝3﹣1＝2，也满足上式．∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，则＝（2n﹣1）•3n．∴T n＝1×3+3×32+…+（2n﹣1）•3n，3T n＝1×32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，两式相减，可得﹣2T n＝3+2×32+2×33+…+2•3n﹣（2n﹣1）•3n+1，＝3+18×（1+3+32+…+3n﹣2）﹣（2n﹣1）•3n+1＝3+18×﹣（2n﹣1）•3n+1＝2（1﹣n）•3n+1﹣6．∴T n＝（n﹣1）•3n+1+3．18．如图．直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AA1＝，底面是边长为1的等边三角形，D为BB1的中点，AC1与CA1交于点E．（Ⅰ）证明：DE∥平面A1B1C1；（Ⅱ）求点B到平面DCA1的距离．【分析】（Ⅰ）证明：取A1C1的中点F，连接EF，B1F，结合已知可得四边形DEFB1为平行四边形，则DE∥B1F，再由线面平行的判定可得DE∥平面A1B1C1；（Ⅱ）取AB的中点H，连接CH，由直三棱柱的性质可得CH⊥平面AA1B1B，求得CH 的值与三角形BDA1、三角形CDA1的面积，设点B到平面DCA1的距离为h，由列式求解点B到平面DCA1的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取A1C1的中点F，连接EF，B1F，∵EF∥AA1，BB1∥AA1，∴DB1∥EF，又∵EF＝，∴四边形DEFB1为平行四边形，则DE∥B1F．又∵B1F⊂平面A1B1C1，DE⊄平面A1B1C1．∴DE∥平面A1B1C1；（Ⅱ）解：取AB的中点H，连接CH，由直三棱柱的性质可得CH⊥平面AA1B1B，CH＝，．设点B到平面DCA1的距离为h，又，由，得，即，解得h＝．19．2019年第一期中国青年阅读指数数据显示，从阅读需求的角度，排名前三的阅读领域分别为文学、哲学及社会科学和历史．某学校从文科生和理科生中选取了经常阅读的学生进行了假期阅读内容和阅读时间方面的调查，得到以下数据．学生所学文理与阅读内容列联表文学阅读人数非文学阅读人数调查人数理科生70130200文科生4555100合计115185300（Ⅰ）判断能否有90%的把握认为学生所学文理与阅读内容有关？（Ⅱ）从阅读时间大于30分钟的被调查同学中随机选取30名学生，其阅读时间（分钟）整理成如图所示的茎叶图，并绘制日均阅读时间分布表；其中30名同学的日均阅读时间分布表（单位：分钟）阅读时间[30，60）[60，90）[90，120）男生人数4y2女生人数x102求出x，y的值，并根据日均时间分布表，估计这30名同学日阅读时间的平均值；（Ⅲ）从（Ⅱ）中日均阅读时间高于90分钟的同学中随机选取2人介绍阅读体会，求这2人性别相同的概率．参考公式，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001≥k0）k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（Ⅰ）由的公式计算出结果，再与参考数据进行对比即可得解；（Ⅱ）由茎叶图可知，x＝6，y＝6，从而得到[30，60），[60，90）和[90，120）这三组数据的频数，然后利用频率分布直方图中求平均值的方式求解即可；（Ⅲ）记“这两人性别相同”为事件A，日均阅读时间高于90分钟的4人中，男生2人记为A，B，女生2人记为a，b，然后分别写出基本事件总数以及事件A的组合情况，再利用古典概型求概率即可．解：（Ⅰ），所以有90%的把握认为学生所学文理与阅读内容有关．（Ⅱ）由茎叶图可知，x＝6，y＝6，各组数据的频数分别为10，16，4，则30名同学日阅读时间的平均值为，故这30名同学日阅读时间的平均值为69分钟．（Ⅲ）记“这两人性别相同”为事件A，日均阅读时间高于90分钟的4人中，男生2人记为A，B，女生2人记为a，b，从4人中任选2人的基本事件有：{A，B}，{A，a}，{A，b}，{B，a}，{B，b}，{a，b}，共6个基本事件，事件A有{A，B}，{a，b}，共2个基本事件，所以．故这2人性别相同的概率为．20．已知抛物线C：x2＝4y，直线l：y＝kx+1与抛物线交于A、B两点．（Ⅰ）若k＝，求以AB为直径的圆被x轴所截得的弦长；（Ⅱ）分别过点A，B作抛物线C的切线，两条切线交于点E，求△EAB面积的最小值．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线y＝kx+1和抛物线的方程x2＝4y，运用韦达定理，（Ⅰ）运用弦长公式可得|AB|，以及直线和圆相交的弦长公式，计算可得所求值；（Ⅱ）对y＝求导，求得切线的斜率和方程，联立方程求得交点E的坐标，以及E 到直线AB的距离，弦长|AB|，再由三角形的面积公式，计算可得所求最小值．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线y＝kx+1和抛物线的方程x2＝4y，可得x2﹣4kx﹣4＝0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，（Ⅰ）若k＝，x1+x2＝2，可得y1+y2＝1+2＝3，|AB|＝•＝•＝5，设AB的中点为M，M（1，），所以以AB为直径的圆被x轴所截得的弦长为m＝2＝4；（Ⅱ）对y＝求导，可得y′＝，可得k AE＝，直线AE的方程为y﹣y1＝（x ﹣1），即y＝x﹣，同理可得直线BE的方程为y＝x﹣，设E（x0，y0），联立直线AE，BE的方程，可得x0＝＝2k，y0＝＝﹣1，即E（2k，﹣1），E到直线AB的距离d＝＝2，|AB|＝•＝•＝4（1+k2），所以S△ABE＝|AB|d＝×4（1+k2）×2＝4（1+k2）≥4，当且仅当k＝0时取得等号，综上可得，△ABE的面积的最小值为4．21．已知函数f（x）＝x2lnx．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性：（Ⅱ）证明：．【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解；（II）结合已知不等式进行构造，转化为求解相应函数的最值问题，结合导数可求．解：（I）f′（x）＝2xlnx+x，x＞0，令f′（x）＝0可得x＝，∵y＝2lnx+1在（0，+∞）上单调递增，则当0＜x＜e时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞e时，f′（x）＞0，函数单调递增，故f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，（II）由（I）可知，f（x）min＝f（e）＝﹣，令g（x）＝，则，当x∈（0，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（2，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，则g（x）max＝g（2）＝，而﹣（﹣）＝＜0，因此，即：．请考生从第22，23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ＝2与x轴的正、负半轴分别交于A，B两点．（Ⅰ）P为C1上的动点．求线段AP中点的轨迹C2的直角坐标方程：（Ⅱ）直线l与C2分别交于点M，N，且M在N的左侧，△BMO的面积是△NMO面积的2倍．求tanα的值．【分析】（Ⅰ）直接利用中点坐标关系式，利用参数方程之间的转换的应用求出结果．（Ⅱ）利用面积的关系，利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．解：（Ⅰ）设AP的中点为C，OA的中点的坐标为D，所以|DC|＝|OP|＝1，所以点C的轨迹为以D（1，0）为圆心，1为半径的圆．所以轨迹方程为x2+y2﹣2x＝0．（Ⅱ）把直线l的参数方程是（t为参数），代入x2+y2﹣2x＝0，得到t2﹣6cosαt+8＝0，其中B（﹣2，0），所以t1+t2＝6cosα，t1t2＝8，由于S△BMO＝2S△MNO，所以，，所以，解得，，所以，解得．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣x2．（Ⅰ）若a＝1．求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2（1﹣x2）至少有一个负数解，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）将a＝1代入f（x）中，然后去绝对值解出不等式即可；（Ⅱ）由f（x）＜2（1﹣x2），可知|x﹣a|＜2﹣x2，然后设g（x）＝|x﹣a|，h（x）＝2﹣x2，利用数形结合法求出a的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|﹣x2．∵f（x）≥1，∴或，∴﹣1≤x≤0，∴不等式的解集为{x|﹣1≤x≤0}．（Ⅱ）f（x）＜2（1﹣x2），即|x﹣a|﹣x2＜2（1﹣x2），∴|x﹣a|＜2﹣x2．设g（x）＝|x﹣a|，h（x）＝2﹣x2，当a＜0时，g（x）的图象如折线①所示，由，得x2+x﹣a﹣2＝0，若y＝x﹣a与y＝2﹣x2相切，则△＝1+4（a+2）＝0，∴，∴当时，不等式无负数解，∴；当a＝0时，显然满足不等式f（x）＜2（1﹣x2）至少有一个负数解；当a＞0时，g（x）的图象如折线②所示，当a＝2时，恰好无负数解，当a⩾2时，不等式无负数解，∴0＜a＜2，综上，实数a的取值范围为．。
2020高考数学(文科)全国二卷高考模拟试卷(3)
2020高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（3）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．（5分）已知集合A ={x|y =ln(x 2−3x −4)}，B ={x|x−2x−1≥0}全集U ＝R ，则（∁R A ）∩B （ ） A ．[1，2] B ．[﹣1，2）∪（3，4] C ．[﹣1，3）D ．[﹣1，1）∪[2，4]2．（5分）已知复数z =2i (1−i)3，则z 在复平面内对应点所在象限为（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）若x ，y 满足约束条件{x ≥0x +2y ≥32x +y ≤3，则z ＝x ﹣y 的最大值为M ，最小值为m ，则M ﹣m ＝（ ） A ．0B ．32C ．﹣3D ．34．（5分）已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若a ∥α，α∩β＝b ，则a ∥bB ．若a ，b 在平面α内，且c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥αC ．若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a ，b ，c 都相交D ．若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且α∩β＝c ，则c 必与a 或b 相交5．（5分）中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数﹣样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万…用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，例如6613用算筹表示就是，则8335可用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n ﹣2，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝64，则1m+9n 的最小值为（ ）A ．145B ．114C ．83D ．1037．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．115πB ．140πC ．165πD ．215π8．（5分）已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足OP →=OA →+λ（|AB|⋅AB →sinC+|AC|⋅AC →sinB），λ∈R ．则P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的（ ）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心9．（5分）已知cos （α+π3）=−√33（α为锐角），则sin α＝（ ）A ．2√2+√36B ．2√2−√36C ．√6+36D ．3−√6610．（5分）已知函数f （x ）＝cos x •|sin x |，给出下列四个说法： ①f(2015π6)=−√34， ②函数f （x ）的一个周期为2π； ③f （x ）在区间[π4，3π4]上单调递减； ④f （x ）的图象关于点（π，0）中心对称． 其中正确说法的序号是（ ） A ．①②B ．③④C ．②④D ．②③11．（5分）如图，F I ，F 2是双曲线C ：x 2a2−y 23=1(a ＞0)的左、右焦点，点P 是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线F 2P 与y 轴的正半轴交于点A ，△APF 1的内切圆与边PF 1切于点Q ，且|PQ |＝4，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．√72C ．2√33D ．√19412．（5分）已知函数f （x ）＝lnx +（1﹣a ）x +a （a ＞0），若有且只有两个整数x 1，x 2使得f （x 1）＞0，且f （x 2）＞0，则a 的取值范围是（ ） A ．(0，3+ln32) B ．（0，2+ln 2） C ．[3+ln32，2+ln2) D ．[2ln2+43，3+ln32) 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率．已知该年级男生500人、女生400名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为 ．14．（5分）若函数f （x ）={2，x ≥02x ，x ＜0，则使得不等式f （f （a ））＞0成立的a 的取值范围为 ．15．（5分）设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A ，B ，D 为C 上互相不重合的三点，且|AF →|、|BF →|、|DF →|成等差数列，若线段AD 的垂直平分线与x 轴交于E （3，0），则B 的坐标为 ． 16．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（3﹣cos A ）sin B ＝sin A（1+cos B），a+c＝6，则△ABC的面积的最大值为三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知{a n}是公差为1的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2=12，a n b n+1+b n+1＝nb n．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设c n＝b n b n+1，求数列{c n}的前n项和S n．18．（12分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形且侧棱垂直与底面的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM﹣DCP与刍童ABCD﹣A1B1C1D1的组合体中，∠MAB＝90°，AB＝AD，A1B1＝A1D1．（1）证明：直线BD⊥平面MAC；（2）已知AB＝1，A1D1＝2，MA=√3，且三棱锥A﹣A1B1D1的体积V=2√33，求该组合体的体积．（台体体积公式：V=13（S'+√S′S+S）h，其中S'，S分别为台体上、下底面面积，h为台体高）19．（12分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：处罚金额x（单位：元）5101520会闯红灯的人数y50402010若用表中数据所得频率代替概率．（Ⅰ）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？（Ⅱ）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B类是其他市民．现对A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B 类市民的概率是多少？ 20．（12分）已知函数f （x ）＝a （x ﹣1）﹣lnx ，g （x ）＝e x ． （1）讨论y ＝f （x ）的单调性；（2）若函数F （x ）＝f （x ）•g （x ）在[e ，+∞）上单调递增，求a 的取值范围． 21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）M 是椭圆C 内一点，直线AB 过点M 与椭圆C 相交于点A 、B ，且满足AM ＝λMB ． （1）如图1，若M 为椭圆C 的右焦点，椭圆C 的离心率为√22，λ＝2，求直线AB 的斜率k （k ＞0）；（2）如图2，若M 的坐标为（1，1），直线PQ 过点M 与椭圆相交于点P 、Q ，且满足PM ＝λMQ ，直线BQ 的斜率为−34，求椭圆C 的离心率．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值． 五．解答题（共1小题）23．已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1． （1）求1a+2b 的最小值；（2）证明：ab+2ba 2+b 2+1＜√52．2020高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．（5分）已知集合A ={x|y =ln(x 2−3x −4)}，B ={x|x−2x−1≥0}全集U ＝R ，则（∁R A ）∩B （ ） A ．[1，2] B ．[﹣1，2）∪（3，4] C ．[﹣1，3）D ．[﹣1，1）∪[2，4]【解答】解：∵A ＝{x |x ＞4，或x ＜﹣1}， ∴∁R A ＝{x |﹣1≤x ≤4}， ∵B ＝{x |x ≥2，或x ＜1}，∴（∁R A ）∩B ＝[﹣1，1）∪[2，4]． 故选：D ． 2．（5分）已知复数z =2i (1−i)3，则z 在复平面内对应点所在象限为（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵z =2i (1−i)3=2i(1−i)2×(1−i)=−2i (1−i)×2i =−11−i =−1+i(1−i)×(1+i)=−12−12i ； ∴z =−12+12i ；z 在复平面内对应点所在象限为第二象限； 故选：B ．3．（5分）若x ，y 满足约束条件{x ≥0x +2y ≥32x +y ≤3，则z ＝x ﹣y 的最大值为M ，最小值为m ，则M ﹣m ＝（ ） A ．0B ．32C ．﹣3D ．3【解答】解：由题意作平面区域如下，z ＝x ﹣y 可化为y ＝x ﹣z ，结合图象可知，{x +2y =32x +y =3⇒{x =1y =1过点B （1，1）时，截距最小，z 有最大值M ＝1﹣1＝0， 过点C （0，3）时，截距最大，z 有最小值m ＝0﹣3＝﹣3， 故M ﹣m ＝3， 故选：D ．4．（5分）已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若a ∥α，α∩β＝b ，则a ∥bB ．若a ，b 在平面α内，且c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥αC ．若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a ，b ，c 都相交D ．若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且α∩β＝c ，则c 必与a 或b 相交【解答】解：对于选项A ：若a ∥α，α∩β＝b ，则直线a 也可能与直线b 异面，故错误． 对于选项B ，只有直线a 和b 为相交直线时，若c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥α．故错误 对于选项C ：若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则要么存在一条直线或不存在直线与a ，b ，c 都相交．故错误对于选项D ：若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且α∩β＝c ，则c 必与a 或b 相交，正确． 故选：D ．5．（5分）中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数﹣样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万…用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，例如6613用算筹表示就是，则8335可用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵个位、百位、万…用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示， ∴8335用算筹表示的话，千位上的8是横式，百位上的3是纵式，十位上的3是横式，个位上的5时纵式， 故选：B ．6．（5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n ﹣2，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝64，则1m+9n 的最小值为（ ）A ．145B ．114C ．83D ．103【解答】解：S n ＝2a n ﹣2，可得a 1＝S 1＝2a 1﹣2，即a 1＝2， n ≥2时，S n ﹣1＝2a n ﹣1﹣2，又S n ＝2a n ﹣2，相减可得a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n ﹣2a n ﹣1，即a n ＝2a n ﹣1， {a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以a n ＝2n ．a m a n ＝64，即2m •2n ＝64， 得m +n ＝6， 所以1m+9n =16（m +n ）（1m+9n）=16（10+n m +9m n ）≥16（10+2√9）=83， 当且仅当n m=9m n时取等号，即为m =32，n =92．因为m 、n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1m+9n＞83，验证可得，当m ＝2，n ＝4时，1m+9n取得最小值为114．故选：B ．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．115πB ．140πC ．165πD ．215π【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为圆锥，下半部分为半球， ∴该几何体的表面积S ＝π×5×13+2π×52＝115π． 故选：A ．8．（5分）已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足OP →=OA →+λ（|AB|⋅AB →sinC+|AC|⋅AC →sinB），λ∈R ．则P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的（ ）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【解答】解：由正弦定理可知：|AB →|sinC=|AC →|sinB=2R ，R 为三角形的外接圆的半径，所以动点P 满足OP →=OA →+λ（|AB|⋅AB →sinC+|AC|⋅AC →sinB）=OA →+λR （AB →+AC →）．因为AB →+AC→是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的对角线A 为起点的向量，经过BC 的中点， 所以P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的重心． 故选：C ．9．（5分）已知cos （α+π3）=−√33（α为锐角），则sin α＝（ ） A ．2√2+√36B ．2√2−√36C ．√6+36D ．3−√66【解答】解：∵cos（α+π3）=−√33（α为锐角），∴sin(α+13π)=√63，则sinα＝sin[（α+13π）−13π]=12sin(α+13π)−√32cos(α+13π)，=12×√63−√32×(−√33)，=3+√66故选：C．10．（5分）已知函数f（x）＝cos x•|sin x|，给出下列四个说法：①f(2015π6)=−√34，②函数f（x）的一个周期为2π；③f（x）在区间[π4，3π4]上单调递减；④f（x）的图象关于点（π，0）中心对称．其中正确说法的序号是（）A．①②B．③④C．②④D．②③【解答】解：f（336π−π6）＝f（−π6）＝cos（−π6）•|sin（−π6）|=√34，①错，A错，f（π）＝cosπ•|sinπ|＝0，所以f（x）的图象关于点（π，0）中心对称，④对，D错，f（2π+x）＝cos（2π+x）•|sin（2π+x）|＝cos x•|sin x|＝f（x），所以函数f（x）的一个周期为2π，②对，故选：C．11．（5分）如图，F I，F2是双曲线C：x2a2−y23=1(a＞0)的左、右焦点，点P是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于点A，△APF1的内切圆与边PF1切于点Q，且|PQ|＝4，则双曲线C的离心率为（）A ．2B ．√72C ．2√33D ．√194【解答】解：PQ ＝PF 1﹣F 1Q ＝PF 1﹣F 1M ＝PF 1﹣NF 2＝PF 1﹣（PF 2+PQ ） ⇒PQ =12(PF 1−PF 2)=a ，∴a ＝4，b =√3，∴c =√19， 所以双曲线的离心率为：e =√194．故选：D ．12．（5分）已知函数f （x ）＝lnx +（1﹣a ）x +a （a ＞0），若有且只有两个整数x 1，x 2使得f （x 1）＞0，且f （x 2）＞0，则a 的取值范围是（ ） A ．(0，3+ln32) B ．（0，2+ln 2） C ．[3+ln32，2+ln2) D ．[2ln2+43，3+ln32) 【解答】解：由f （x ）＝lnx +（1﹣a ）x +a ＞0，得lnx ＞（a ﹣1）x ﹣a ， 作出函数y ＝lnx 与y ＝（a ﹣1）x ﹣a 的图象如图： 直线y ＝（a ﹣1）x ﹣a 过定点（1，﹣1），当x ＝2时，曲线y ＝lnx 上的点为（2，ln 2），当x ＝3时，曲线y ＝lnx 上的点为（3，ln 3）． 过点（1，﹣1）与（2，ln 2）的直线的斜率k =ln2+12−1=ln2+1， 过点（1，﹣1）与（3，ln 3）的直线的斜率k =ln3+13−1=ln3+12． 由a ﹣1＝ln 2+1，得a ＝ln 2+2，由a ﹣1=ln3+12，得a =ln3+32． ∴若有且只有两个整数x 1，x 2使得f （x 1）＞0，且f （x 2）＞0，则a 的取值范围是[3+ln32，2+ln2)． 故选：C ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率．已知该年级男生500人、女生400名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为 15 ．【解答】解：设抽取的男生人数为x ，由题意可得喜欢徒步运动的男生约占男生总数的1﹣0.4＝0.6，约有500×0.6＝300人，喜欢徒步运动的女生约占男生总数的1﹣0.6＝0.4，约有400×（1﹣0.6）＝160人， 则抽取的男生人数为23×300300+160=15人， 故答案为：15．14．（5分）若函数f （x ）={2，x ≥02x ，x ＜0，则使得不等式f （f （a ））＞0成立的a 的取值范围为 [0，+∞） ．【解答】解：因为f （f （a ））＞0， 所以f （a ）＞0， 所以a ≥0， 故答案为[0，+∞）15．（5分）设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A ，B ，D 为C 上互相不重合的三点，且|AF →|、|BF →|、|DF →|成等差数列，若线段AD 的垂直平分线与x 轴交于E （3，0），则B 的坐标为 （1，2）或（1，﹣2） ．【解答】解：由抛物线的方程可得焦点F （1，0），准线方程为：x ＝﹣1 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 3，y 3），|AF |＝x 1+1，|BF |＝x 2+1，|DF |＝x 3+1， 由|AF →|、|BF →|、|DF →|成等差数列可得2（x 2+1）＝x 1+x 3+2，所以x 2=x 1+x 32，所以线段AD 的中点的坐标（x 1+x 32，y 1+y 32），因为线段AD 的垂直平分线与x 轴交于E （3，0），所以线段AD 的垂直平分线的斜率为k =y 1+y 32x 1+x 22−3=y 1+y 3x 1+x 3−6，又k AD =y 3−y1x 3−x 1，所以y 3−y 1x 3−x 1•y 1+y 3x 1+x 3−6=−1，即4x 3−4x 1(x 3−x 1)−6(x 3−x 1)=−1，因为x 1≠x 3，所以可得x 1+x 3＝2，所以x 2=x 1+x 32=1， B 在抛物线上，代入抛物线的方程可得y 22＝4×1，焦点y 2＝±2， 所以B 的坐标为：（1，2）或（1，﹣2）． 故答案为：（1，﹣2）或（1，2）．16．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（3﹣cos A ）sin B ＝sin A （1+cos B ），a +c ＝6，则△ABC 的面积的最大值为 2√2【解答】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（3﹣cos A ）sin B ＝sin A （1+cos B ），整理得3sin B ＝sin A +sin B cos A +cos B sin A ＝sin A +sin C ， 利用正弦定理：3b ＝a +c ， 由于a +c ＝6， 整理得：3b ＝a +c ＝6， ∴解得：b ＝2． ∵a +c ＝6， ∴6＝a +c ≥2√ac ，整理可得：ac ≤9，（当且仅当a ＝c ＝3时等号成立）∴cos B =a 2+c 2−b 22ac =(a+c)2−2ac−42ac =16−acac．所以sinB =√1−cos 2B =4ac ×√2ac −16，所以S △ABC =12ac ×4ac ×√2ac −16=2√2ac −16≤2√2×9−16=2√2， 当且仅当a ＝c ＝3时，等号成立． 则△ABC 的面积的最大值为2√2， 故答案为：2√2．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=12，a n b n +1+b n +1＝nb n ．（1）求数列{b n }的通项公式；（2）设c n ＝b n b n +1，求数列{c n }的前n 项和S n ． 【解答】解：（1）由题意，可知a 1b 2+b 2＝b 1， 即12a 1+12=1，解得a 1＝1．又∵数列{a n }是公差为1的等差数列， ∴a n ＝1+n ﹣1＝n ．∴a n b n +1+b n +1＝（n +1）b n +1＝nb n ， ∴数列{nb n }是常数数列，即nb n ＝1•b 1＝1， ∴b n =1n ，n ∈N *．（2）由（1）知，c n ＝b n b n +1=1n(n+1)=1n −1n+1， 故S n ＝c 1+c 2+…+c n＝1−12+12−13+⋯+1n −1n+1 ＝1−1n+1 =n n+1．18．（12分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形且侧棱垂直与底面的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM ﹣DCP 与刍童ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的组合体中，∠MAB ＝90°，AB ＝AD ，A 1B 1＝A 1D 1． （1）证明：直线BD ⊥平面MAC ；（2）已知AB ＝1，A 1D 1＝2，MA =√3，且三棱锥A ﹣A 1B 1D 1的体积V =2√33，求该组合体的体积．（台体体积公式：V =13（S '+√S′S +S ）h ，其中S '，S 分别为台体上、下底面面积，h 为台体高）【解答】（1）证明：由题意可知，ABM﹣DCP是底面为直角三角形且侧棱与底面垂直的棱柱，∴AD⊥平面MAB，则AD⊥MA．又MA⊥AB，AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABCD，∴MA⊥平面ABCD，∴MA⊥BD，又AB＝AD，∴四边形ABCD为正方形，得BD⊥AC．又MA∩AC＝A，MA，AC⊂平面MAC，则BD⊥平面MAC；（2）解：设刍童ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，则三棱锥A﹣A1B1D1的体积，V=13×12×2×2×ℎ=2√33，得h=√3．故该组合体的体积V=12×1×√3×1+13(12+22+√12×22)×√3=17√36．19．（12分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：处罚金额x（单位：元）5101520会闯红灯的人数y50402010若用表中数据所得频率代替概率．（Ⅰ）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？（Ⅱ）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B类是其他市民．现对A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类市民的概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率为40200=15；不进行处罚，行人闯红灯的概率为80200=25；所以当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低25−15=15；（Ⅱ）由题可知，闯红灯的市民有80人，A 类市民和B 类市民各有40人，故分别从A 类市民和B 类市民各抽出两人，4人依次排序，不同的方法有A 44＝24种，前两位均为B 类市民排序，不同的方法有A 22A 22＝4种，所以前两位均为B 类市民的概率是P =424=16．20．（12分）已知函数f （x ）＝a （x ﹣1）﹣lnx ，g （x ）＝e x ． （1）讨论y ＝f （x ）的单调性；（2）若函数F （x ）＝f （x ）•g （x ）在[e ，+∞）上单调递增，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）y ＝f （x ）的定义域为（0，+∞），求导可得f ′(x)=ax−1x， 当a ≤0时，f '（x ）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以y ＝f （x ）在（0，+∞）上递减；当a ＞0时，f ′(x)=a(x−1a )x ，则y ＝f （x ）在(0，1a )上递减，在(1a，+∞)上递增．（2）F(x)=[a(x −1)−lnx]⋅e x ⇒F′(x)=(ax −lnx −1x )⋅e x ≥0在[e ，+∞）恒成立， 所以ax −lnx −1x ≥0⇒a ≥lnxx +1x 2，令ℎ(x)=lnxx +1x2，则有ℎ′(x)=x(1−lnx)−2x 3，∴h '（x ）＜0⇒h （x ）在[e ，+∞）上为减函数， 则ℎ(x)max =ℎ(e)=1e +1e 2，故a ≥1e +1e2．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）M 是椭圆C 内一点，直线AB 过点M 与椭圆C 相交于点A 、B ，且满足AM ＝λMB ． （1）如图1，若M 为椭圆C 的右焦点，椭圆C 的离心率为√22，λ＝2，求直线AB 的斜率k （k ＞0）；（2）如图2，若M 的坐标为（1，1），直线PQ 过点M 与椭圆相交于点P 、Q ，且满足PM ＝λMQ ，直线BQ 的斜率为−34，求椭圆C 的离心率．【解答】解：（1）设椭圆的右焦点为M （c ，0），直线AB 的方程x ＝my +c ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x =my +c x 2a2+y 2b2=1，消去y ，整理得：（a 2+b 2m 2）y 2+2b 2mcy ﹣b 4＝0，则y 1+y 2=−2b 2mc a 2+b 2m 2，①y 1y 2=−b4a 2+b 2m 2，②由AM →=λMB →，即（c ﹣x 1，﹣y 1）＝λ（x 2﹣c ，y 2），则{c −x 1=λ(x 2−c)−y 1=λy 2，所以y 1＝﹣λy 2，③ y 2=−2b 2mc(1−λ)(a 2+b 2m 2)，y 1=2λb 2mc(1−λ)(a 2+b 2m 2)，代入②得：−2b 2mc (1−λ)(a 2+b 2m 2)×2λb 2mc(1−λ)(a 2+b 2m 2)=−b4a 2+b 2m 2，解得：m 2=(1−λ)2a 24λc 2−b 2(1−λ)2，（*） 由椭圆C 的离心率为√22，λ＝2，即a =√2b =√2c ，λ＝2， 代入（*），即m 2=2b28b 2−b2=27，所以m =√147．即k =√142；（2）AM ＝λMB ，PM ＝λMQ ，可得AM BM=PM QM，且∠AMP ＝∠BMQ ，可得△AMP ∽△BMQ ，可得∠APM ＝∠BQM ，即有AP ∥BQ ， 且BQ 的中点和AP 的中点，与M 共线，设BQ 的方程为y =−34x +t ，联立椭圆方程b 2x 2+a 2y 2＝a 2b 2，可得 （b 2+916a 2）x 2−32ta 2x +a 2t 2﹣a 2b 2＝0， 可得BQ 的中点的横坐标为12ta 216b 2+9a 2，代入直线BQ 的方程可得BQ 的中点的纵坐标为16tb 216b 2+9a 2，即有{x =12ta216b 2+9a 2y =16tb 216b 2+9a 2，消去t 可得y =4b 23a 2x ， 将M （1，1）代入上式，可得b 2a =34，则e =c a =√1−b 2a2=12．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值．【解答】解：（Ⅰ）参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ：x 24+y 2=1；曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102．转化为直角坐标方程为：x +y −3√5=0； （Ⅱ）设点P （2cos θ，sin θ）到直线x +y ﹣3√5=0的距离d =√5|2=|√5sin(θ+α)−3√5|√2，当sin （θ+α）＝1时，d min =√10． 五．解答题（共1小题）23．已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1． （1）求1a+2b 的最小值；（2）证明：ab+2ba 2+b 2+1＜√52． 【解答】解：（1）1a+2b=(a +b)(1a+2b)=3+2a b+b a≥3+2√2a b⋅b a=3+2√2，当且仅当“b =√2a ”时取等号， 故1a+2b的最小值为3+2√2；（2）证明：ab+2ba2+b2+1=ab+2ba2+b25+4b25+1≤2√a2⋅b25+2√4b25⋅1=ab+2b2√5(ab+2b)=√52，当且仅当a=12，b=√52时取等号，此时a+b≠1．故ab+2ba+b+1＜√52．。
2020年高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(含答案解析)
2020年高考数学模拟试卷(文科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知复数z =−1i −1，则它的共轭复数z −在复平面内对应的点的坐标为( )A. (−1,−1)B. (−1,1)C. (1,2)D. (1,−2)2. 已知集合A ={x|x −1⩾0}，B ={x|x 2⩽1}，则A ∪B =( )A. {x|x ⩾1}B. {x|x ≥−1}C. {x|x <1}D. {x|x ⩽−1}3. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 6 B. −6 C. −1 D. 14. 如图所示的程序框图，若输入m =221，n =91，则输出的结果是( )A. 3B. 7C. 13D. 265. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 3B. 2C. 83 D. 436. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( )A. 1B. −3C. −5D. −67.将一个质地均匀的正四面体玩具(四个面上依次标有1，2，3，4)先后抛掷两次，得到的点数依次记为a，b，则事件“2a−b=0”发生的概率为()A. 116B. 18C. 14D. 128.若x∈[−π6,π3]时，函数y=sin(x+π3)的值域是()A. [−1,√3]B. [1,√3]C. [√3,2]D. [1,2]9.已知点M是双曲线x23−y22=1上一点，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，若|MF1|=2|MF2|，则△MF1F2的面积是()A. 4√3B. 2√11C. 3√6D. 6√5510.已知函数y=f(x)(x∈R)是奇函数，那么函数F(x)=xf(x)(x∈R)()A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数11.如图所示，三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为()A. 16B. 14C. 13D. 1212.如图，AB是椭圆C长轴长的两个顶点，M是C上一点，tan∠AMB=−1，tan∠MAB=13，则椭圆的离心率为()A. √33B. √63C. √306D. √426二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)={|log4x|,0<x≤4−12x+3,x>4，若a<b<c且f(a)=f(b)=f(c)，则(ab+1)c的取值范围是________．14.若直线l与圆(x+1)2+(y−2)2=100相交于A，B两点，弦AB的中点为(−2,3)，则直线l的方程为______ ．15.已知△ABC满足(c−b)(sinC+sinB)=(c−a)sinA，则角B=______ ．16.三棱锥P−ABC中，PA=AB=BC=2，PB=AC=2√2，PC=2√3，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在公差不为0的等差数列{a n}中，a22=a3+a6，且a3为a1与a11的等比中项．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=(−1)nn(a n−12)(a n+1−12)，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，已知四棱锥P−ABCD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°．(1)证明：PB⊥BC；(2)若平面PAD⊥底面ABCD，E为线段PD上的点，且PE=2ED，求三棱锥P−ABE的体积．19.为降低空气污染，提高环境质量，政府决定对汽车尾气进行整治．某厂家生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为保证净化器的质量，分别从甲、乙两种型号的净化器中随机抽取100件作为样本进行产品性能质量评估，评估综合得分m都在区间[70,95].已知评估综合得分与产品等级如下表：综合得分m等级m≥85一级品75≤m<85二级品70≤m<75三级品根据评估综合得分，统计整理得到了甲型号的样本频数分布表如下和乙型号的样本频率分布直方图(如图)．综合得分频数[70,75)2[75,80)8[80,85)30[85,90)35[90,95)25合计100(Ⅰ)从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，估计这件产品为一级品的概率；(Ⅱ)在某次促销活动中，厂家从2件甲型一级品和3件乙型一级品中随机抽取2件送给两名幸运客户，求这两名客户得到同一型号产品的概率；(Ⅲ)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较．20.已知动圆过定点P(2,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为4．(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)过点M(1,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点E(x0,0)，求x0的取值范围．21.已知函数f(x)=(e x−1)(x−a)+ax．(1)当a=1时，求f(x)在x=1处的切线方程；(2)若当x>0时，f(x)>0，求a的取值范围．22.在极坐标系中，曲线C1：ρ=2sinθ，曲线C2：ρcosθ=3，点P(1,π)，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．(1)求曲线C1和C2的直角坐标方程；(2)过点P的直线l交C1于点A，B，交C2于点Q，若|PA|+|PB|=λ|PQ|，求λ的最大值．23.已知函数f(x)=|x−1|−|x+2|．(1)若不等式f(x)≤|a+1|恒成立，求a的取值范围；(2)求不等式|f(x)−|x+2||>3的解集．【答案与解析】1.答案：A解析：根据复数的运算，化简得z =−1+i ，根据共轭复数的概念，即可求解．本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的求解，其中解答中熟记复数的运算法则，以及共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 解：z =−1i −1=−1+i ，z −=−1−i ，对应点的坐标为(−1,−1)， 故选：A ．2.答案：B解析：本题主要考查集合的基本运算，求出集合A ，B 的元素是解决本题的关键，求出集合A ，B ，利用集合的并集运算即可得到结论，比较基础． 解：由题意得集合A ={x|x ≥1}， B ={x|x 2≤1}={x |−1≤x ≤1}， 所以A ∪B ={x|x ≥−1}， 故选B ．3.答案：B解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1,2)⋅(−4,−1)=−4−2=−6， 故选：B ．BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 代入AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 计算可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．4.答案：C解析：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：若输入m=221，n=91，第一次执行循环体后，满足m≠n，k=130，不满足n>k，故m=130第二次执行循环体后，满足m≠n，k=39，满足n>k，故m=91，n=39；第三次执行循环体后，满足m≠n，k=52，不满足n>k，故m=52第四次执行循环体后，满足m≠n，k=13，满足n>k，故m=39，n=13第五次执行循环体后，满足m≠n，k=26，不满足n>k，故m=26第六次执行循环体后，满足m≠n，k=13，不满足n>k，故m=13第七次执行循环体后，不满足m≠n，故输出的m值为13，故选：C．5.答案：C解析：本题考查简单几何体的三视图以及棱锥的体积公式．解：由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面为边长是2的正方形，髙为2，所以体积为V=13×2×22=83．故选C．6.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3，表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y−9=3x +y ，解得A(−2,−3)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，结合图象可求z 的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z 的几何意义．7.答案：B解析：本题考查古典概型，解决问题的关键是由题列举所有的情况，结合满足2a −b =0即b =2a 的有(1,2)，(2,4)，共2个，进而求解比值即可． 解析：解：将一个质地均匀的正四面体玩具连续抛掷两次，得到的点数(a,b)分别是(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．其中满足2a −b =0即b =2a 的有(1,2)，(2,4)，共2个， 则事件“2a −b =0”发生的概率P =216=18， 故选B ．8.答案：D解析：本题主要考查正弦型函数在给定区间上值域问题，属基础题．解：∵x∈[−π6,π3 ]，∴x+π3∈[π6,2π3]，∴sin(x+π3)∈[12,1]∴y∈[1,2]，故选D．9.答案：B解析：本题主要考查了双曲线的性质及几何意义，属于中档题．解：由双曲线x23−y22=1知a=√3，因为|MF1|=2|MF2|，且|MF1|−|MF2|=2a=2√3，所以|MF1|=4√3，|MF2|=2√3，又|F1F2|=2√5，所以在△MF1F2中，cos∠F1MF2=|MF1|2+|MF2|2−|F1F2|22|M F1||MF2|=56，故sin∠F1MF2=√116，所以S△MF1F2=12|MF1||MF2|sin∠F2MF2=2√11，故选B．10.答案：B解析：本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题．解：由y=f(x)为奇函数可得f(−x)=−f(x).∵F(x)=xf(x).∴F(−x)=−xf(−x)=xf(x)=F(x)．∴函数y=F(x)为偶函数．故选B．11.答案：B解析：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．利用异面直线所成角的定义：取BC的中点M，连接ME，得∠AEM的余弦值即为所求，利用余弦定理解决．解：取BC的中点M，连接ME，由题意得∠AEM的余弦值即为所求，设PA=AB=2a，在ΔAME中EM=√2a，EM=√2a，AM=√3a，由余弦定理得．故答案为14．12.答案：C解析：可以已知条件求出M的坐标，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．解：tan∠AMB=−1，tan∠MAB=13，可得tan∠MBA=−tan∠AMB+tan∠MAB1−tan∠AMBtan∠MAB=12，AB是椭圆C长轴长的两个顶点，M是C上一点，tan∠AMB=−1，tan∠MAB=13，A(−a,0)，B(a,0)，M(acosθ,bsinθ)，所以bsinθacosθ+a =13，bsinθacosθ−a=−12，可得cosθ=15，所以2√65b15a+a=13，可得a2−c2a2=16，解得e=ca =√306．故选：C．13.答案：(16,64)解析：本题考查了函数的性质，运用图象得出a，b，c的范围，关键是得出ab=1，代数式的化简，指数函数的单调性的运用，属于中档题．画出图象得出，当f(a)=f(b)=f(c)，a<b<c时，0<a<1<b<4<<c<6，ab=1，化简(ab +1)c =2c ，由指数函数的单调性即可求得范围．解：函数f(x)={|log 4x|,0<x ≤4−12x +3,x >4， f(a)=f(b)=f(c)，a <b <c ，∴0<a <1<b <4<c <6，ab =1，∴(ab +1)c =2c ，即有16<2c <64，故答案为：(16,64)．14.答案：x −y +5=0解析：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，两直线垂直时斜率满足的关系，垂径定理，以及直线的点斜式方程，其中由垂径定理的逆定理得到圆心与弦AB 中点的连线与直线l 垂直是解本题的关键．由圆的方程找出圆心C 的坐标，连接圆心与弦AB 的中点，根据垂径定理的逆定理得到此直线与直线l 垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为−1，由圆心与弦AB 中点的连线的斜率，求出直线l 的斜率，再由直线l 过AB 的中点，即可得到直线l 的方程．解：由圆(x +1)2+(y −2)2=100，得到圆心C 的坐标为(−1,2)，由题意得：圆心C 与弦AB 中点的连线与直线l 垂直，∵弦AB 的中点为(−2,3)，圆心C 的坐标为(−1,2)，∴圆心与弦AB 中点的连线的斜率为3−2−2+1=−1，∴直线l 的斜率为1，又直线l 过(−2,3)，则直线l 的方程为y −3=x +2，即x −y +5=0．故答案为x −y +5=0． 15.答案：π3解析：解：由正弦定理得(c−b)(c+b)=(c−a)a，即c2−b2=ac−a2，即a2+c2−b2=ac，由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12，则在△ABC中，B=π3，故答案为：π3根据正弦定理和余弦定理进行化简即可．本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．16.答案：12π解析：可得△PAC是直角三角形．△PBC是直角三角形．可得三棱锥P−ABC的外接球的球心、半径，即可求出三棱锥P−ABC的外接球的表面积．本题考查了三棱锥P−ABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P−ABC的外接球的球心、半径是关键．属于中档题．解：∵AP=2，AC=2√2，PC=2√3，∴AP2+AC2=PC2．∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形．∵PB=2√2，BC=2，PC=2√3，∴PB2+BC2=PC2，∴△PBC是以∠PBC为直角的直角三角形．∴取PC中点O，则有OP=OC=OA=OB=√3，∴O为三棱锥P−ABC的外接球的球心，半径为√3．∴三棱锥P−ABC的外接球的表面积为4πR2=12π．故答案为：12π．17.答案：解：(Ⅰ)在公差d 不为0的等差数列{a n }中，a 22=a 3+a 6，且a 3为a 1与a 11的等比中项，可得(a 1+d)2=2a 1+7d ，且a 32=a 1a 11，即(a 1+2d)2=a 1(a 1+10d)，解得a 1=2，d =3，则a n =2+3(n −1)=3n −1，n ∈N ∗；(Ⅱ)b n =(−1)n n (a n −12)(a n+1−12)=(−1)n n (3n−32)(3n+32) =19⋅(−1)n ⋅4n (2n−1)(2n+1)=19⋅(−1)n ⋅(12n−1+12n+1)，∴T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =19[−(11+13)+(13+15)−(15+17)+⋯+(−1)n ⋅(12n −1+12n +1)] =19[−1+(−1)n ⋅12n+1)]．解析：本题考查等差数列的通项公式的求法，注意运用方程思想，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(Ⅰ)运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；(Ⅱ)化简b n =(−1)n n (3n−32)(3n+32)=19⋅(−1)n ⋅(12n−1+12n+1)，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．18.答案：解：(1)取AD 中点O ，连接OP ，OB ， ∵PA =PD ，∴OP ⊥AD ，∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD =60°，∴OB ⊥AD ，∴AD ⊥平面POB ，又AD//BC ，∴BC⊥平面POB，∴PB⊥BC；(2)∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OB⊥AD，∴OB⊥平面PAD．∵PE=2ED，∴S△PAE=23S△PAD=23⋅√34⋅22=2√33，又OB=√3OA=√3，∴V P−ABE=V B−APE=13S△APE⋅OB=13×2√33×√3=23．解析：本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．(1)取AD中点O，连接OP，OB，证明AD⊥PO，AD⊥OB得出AD⊥平面POB，再结合AD//BC得出结论；(2)根据V P−ABE=V B−APE=13S△APE⋅OB求出棱锥的体积．19.答案：解：(Ⅰ)设事件A为“从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，这件产品为一级品”，由图可得，估计这件产品为一级品的概率P(A)=1−(0.01+0.02+0.03)×5=0.7；(Ⅱ)设甲型净化器记为a1，a2，乙型净化器记为b1，b2，b3，从5件中任取2件共有10种情况：(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3),(a2,b1)，(a2,b2),(a2,b3)，(b1,b2)，(b1,b3)，(b2,b3)，这两名顾客得到同一型号产品共有4种情况：(a1,a2)，(b1,b2),(b1,b3)，(b2,b3)，设事件B为“两名顾客得到同一型号产品”，则P(B)=410=25；(Ⅲ)①可根据三级品率进行比较，由图表可知，甲型产品三级品的概率为0.02，乙型产品三级品的概率0.05，所以可以认为甲型产品的质量更好；②可根据一级品率进行比较，由图表可知，甲型产品一级品的概率为0.6，乙型产品一级品的概率为0.7，所以可以认为乙型产品的质量更好．解析：本题考查频率分布直方图及随机变量的概率求法．(Ⅰ)由频率f分布直方图中各小矩形面积之和为1估计这件产品为一级品的概率；(Ⅱ)考查求这两名客户得到同一型号产品的概率，应用古典概型求概率的方法：从5件中任取2件共有10种情况，这两名顾客得到同一型号产品共有4种情况，从而求概率；(Ⅲ)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较，可从三级品概率角度也可从一级品概率角度．20.答案：解：(1)设圆心C(x,y)，过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，则|MD|=2，∴|CP|2=|CM|2=|MD|2+|DC|2，∴即(x −2)2+y 2=22+x 2，化简得y 2=4x ．(2)由题意，设直线l 的方程为x =my +1(m ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 中点S(x 3,y 3)，则由{x =my +1y 2=4x，得y 2−4my −4=0， 所以y 3=y 1+y 22=2m,x 3=my 3+1=2m 2+1，则线段AB 的中垂线的方程为y −2m =−m(x −(2m 2+1))，则x 0=2m 2+3，所以x 0的取值范围是(3,+∞)．解析：本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查运算求解能力，属于中档题．(1)设圆心C(x,y)，过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，转化求解即可．(2)设直线l 的方程为x =my +1(m ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 中点S(x 3,y 3)，由{x =my +1y 2=4x，求出线段AB 的中垂线的方程为y −2m =−m(x −(2m 2+1))，然后求解x 0的取值范围． 21.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=(e x −1)(x −1)+x =xe x −e x +1，∴f′(x)=xe x ，∴k =f′(1)=e ，∵f(1)=1，∴f(x)在x =1处的切线方程为y −1=e(x −1)，即ex −y −e +1=0；(2)∵f′(x)=(1+x −a)e x +(a −1)，令g(x)=(1+x −a)e x +(a −1)，∴g′(x)=(2+x −a)e x ，①当a ≤2时，g′(x)>0，在(0,+∞)上恒成立，∴g(x)在(0,+∞)上为增函数，∴g(x)>g(0)=1−a +a −1=0∴f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上为增函数，∴f(x)>f(0)=0，②当a >2时，当x ∈(0,a −2)时，g′(x)<0，函数g(x)为减函数，∵g(0)=(1−a)+(a −1)=0，∴当x ∈(0,a −2)时，g(x)<0，即f′(x)<0，函数f(x)在(0,a −2)为减函数，∵f(0)=0，∴当x ∈(0,a −2)时，f(x)<0，即f(x)>0不是对一切x >0都成立，综上所述，a ≤2，即a 的取值范围为是(−∞,2]．解析：(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程，(2)先求导，再构造函数g(x)=(1+x −a)e x +(a −1)，再求导，分类讨论，根据导数和函数的单调性和最值的关系即可求出．本题考查了导数以及应用，不等式等基础知识，考查了推理论证能力，运算求解能力，抽象概括能力等，考查了函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想，数形结合思想等，属于难题． 22.答案：解：(1)曲线C 1：ρ=2sinθ，所以：曲线C 1的直角坐标方程为：x 2+y 2−2y =0；曲线C 2：ρcosθ=3，所以：曲线C 2的直角坐标方程为：x =3．(2)P 的直角坐标为(−1,0)，设直线l 的倾斜角为α，(0<α<π2)，则直线l 的参数方程为：{x =−1+tcosαy =tsinα(t 为参数，0<α<π2) 代入C 1的直角坐标方程整理得，t 2−2(sinα+cosα)t +1=0，t 1+t 2=2(sinα+cosα)直线l 的参数方程与x =3联立解得，t 3=4cosα，由t 的几何意义可知，|PA|+|PB|=2(sinα+cosα)=λ|PQ|=4λcosα， 整理得， 4λ=2(sinα+cosα)cosα=sin2α+cos2α+1=√2sin(2α+π4)+1，由0<α<π2，π4<2α+π4<5π4，所以，当2α+π4=π2，即α=π8时，λ有最大值14(√2+1)．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用一元二次方程根与系数的关系，利用三角函数的变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，三角函数的关系式的恒等变换．23.答案：解：(1)因为f(x)=|x −1|−|x +2|≤|(x −1)−(x +2)|=3，所以由f(x)≤|a +1|恒成立得|a +1|≥3，即a +1≥3或a +1≤−3，解得a ≥2或a ≤−4；(2)不等式||x −1|−2|x +2||>3，等价于|x −1|−2|x +2|>3或|x −1|−2|x +2|<−3，设g(x)=|x −1|−2|x +2|={−x −5,x ≥1−3x −3,−2≤x <1x +5,x <−2，画出g(x)的图象如图所示：由图可知，不等式的解集为{x|x<−8或x>0}．解析：(1)利用绝对值三角不等式求出f(x)的最大值，再求关于a的绝对值不等式即可；(2)由题意画出函数g(x)=|x−1|−2|x+2|的图象，结合图象求出对应不等式的解集．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
2020年全国高考仿真模拟文科数学试卷(二)解析版
四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同)．二十四
个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十
-1-
尺，一尺等于十寸)，则夏至后的那个节气(小暑)晷长为( )
11．若 x，y，z∈R＋，且 3x＝4y＝12z，x＋y∈(n，n＋1)，n∈N，则 n 的值是( ) z
2
3
6
12
答案 C
解析 ∵等边三角形 ABC 的边长为 2，∴A→B·A→C＝B→A·B→C＝C→A·C→B＝2，
-3-
又A→E＝λA→B，A→F＝μA→C，
∴E→C＝E→B＋B→C＝B→C＋(1－λ)A→B，F→B＝F→C＋C→B＝(1－μ)A→C－B→C，
∴E→B·F→C＝(1－λ)·A→B·(1－μ)A→C＝(1－μ)(1－λ)A→B·A→C ＝2(1－μ)(1－λ)＝2， 3
7．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)·e－|x|(A>0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则 Aω的可能取值 为( )
-2-
A.π
B．π
C.3π
象关于 y 轴对称，∴f(x)为偶函数，∴φ＝kπ＋π，k∈Z，∵0<φ<π，∴φ 2
＝π，∴f(x)＝Acosωx·e－|x|，∵f(0)＝2，∴A＝2，∵f(1)＝f(3)＝0， 2 ∴cosω·1e＝cos3ω·e13＝0，∴cosω＝cos3ω＝0，取ω＝π2，则 Aω＝π.故选 B.
2020 年全国高考仿真模拟试卷(二)
数学（文科）解析版
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共 150 分，考试时间 120 分钟．
2020年百校联盟TOP20高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(有解析)
2020年百校联盟TOP20高考数学模拟试卷(文科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={x∈N∗|(x−6)(x+1)≤0}，集合A={1,2，4}，则∁U A=()A. {3,5}B. {3,5，6}C. {0,3，5}D. {0,3，5，6}2.i(2+3i)=()A. 3−2iB. 3+2iC. −3−2iD. −3+2i3.下列函数为奇函数的是()A. y=x3+3x2B. y=e x+e−x2C. y=xsinx D. y=log23−x3+x4.已知直线l经过双曲线x212−y24=1的右焦点F，且与双曲线过第一、三象限的渐近线垂直，则直线l的方程是()A. y=−√3x+4√3B. y=−√3x−4√3C. y=−√33x+4√33D. y=−√33x−4√35.某几何体的三视图如图所示，则其体积为()A. 3π4B. π+24C. π+12D. 3π+246.在[−2,3]上随机取一个数x，则(x+1)(x−3)≤0的概率为()A. 25B. 14C. 35D. 457.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC，ED，则sin∠CED=()．A. 3√1010B. √1010C. 2√515D. √5158.执行如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x值为()．A. 0B. 1C. 2D. 119.设α∈(0,π2),β∈(π2,π)，若cosβ=−13,sin(α+β)=79，则sinα的值为()A. 127B. 527C. 13D. 232710.设x，y满足约束条件{y+2≥0,x−2≤0,2x−y+1≥0,则z=x+y的最大值与最小值的比值为()A. −1B. −32C. −2 D. −5211.如图，A，B，C是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=3|CF|，则该椭圆的离心率为()A. 12B. √22C. √32D. √2312.函数f(x)=(x+1)e x的极值点是()A. −1e2B. (−2,−1e2) C. −2 D. −1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,−2)，b⃗ =(2,m)，且a⃗//b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =______．14.某珠宝店的一件珠宝被盗，找到了甲、乙、丙、丁4个嫌疑人进行调查．甲说：“我没有偷”；乙说：“丙是小偷”；丙说：“丁是小偷”；丁说：“我没有偷”，若以上4人中只有一人说了真话，只有一人偷了珠宝，那么偷珠宝的人是______．15.设正三棱柱ABC—A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是28π，AB=AA1，则此三棱柱的高是________．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosA+acosB−3ccosC=0，则cosC=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是等差数列，a3=7，且a2+a6=18.若b n=√a+√a．(1)求数列{a n}通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，点E，F分别为AD，PC的中点．(Ⅰ)证明：DF//平面PBE；(Ⅱ)求点F到平面PBE的距离．19.为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下：(1)根据以上数据完成2×2列联表；(2)是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？附临界参考表．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，直线l ：y =x −2与抛物线C 交于A ，B 两点．(1)求AB 弦长； (2)求△FAB 的面积．21. 设函数f(x)=lnx −x +1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x ∈(1,+∞)时，lnx <x −1<xlnx ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．(a≠0)．23.已知函数f(x)=|x−a|+12a(1)若不等式f(x)−f(x+m)≤1恒成立，求实数m的最大值；(2)当a<1，函数g(x)=f(x)+|2x−1|有零点，求实数a的取值范围．2【答案与解析】1.答案：B解析：解：U={1,2，3，4，5，6}，A={1,2，4}；∴∁U A={3,5，6}．故选：B．可求出集合U，然后进行补集的运算即可．本题考查描述法、列举法的定义，以及补集的运算，属于基础题．2.答案：D解析：本题考查复数的运算，属于基础题．根据复数的运算法则化简即可．解：i(2+3i)=2i+3i2=−3+2i，故选D ．3.答案：D解析：解：由于A中的函数为非奇非偶函数，故排除A；由于B、C中的函数的定义域为R，且满足f(−x)=f(x)，故它们都是偶函数，故排除B、C．对于D中的函数y=f(x)=log23−x3+x 的定义域为(−3,3)，且满足f(−x)=log23+x3−x=−f(x)，故它是奇函数，故选：D．由条件判断各个选项中函数的奇偶性，从而得出结论．本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．4.答案：A解析：本题考查了直线与双曲线的简单性质，属于简单题．解：∵双曲线焦点F(4,0)，第一、三象限的渐近线方程为y=√33x，∴直线l的方程是y=−√3x+4√3，故选A．5.答案：D解析：本题考查了几何体的三视图，要求对应的几何体体积，关键是正确还原几何体．由已知三视图得到几何体是一个圆锥沿两条母线切去部分后得到的几何体，因此计算体积．解：由已知三视图得到几何体是一个圆锥沿两条母线切去部分后得到的几何体，如图所示，则圆锥的底面圆半径为1，高为3，该几何体的体积为34×13×π×12×3+13×12×1×1×3=3π+24；故选：D．6.答案：D解析：解：由题意−2≤x≤3∵(x+1)(x−3)≤0∴−1≤x≤3由几何概率的公式可得，P=3−(−1)3−(−2)=45故选：D．由题意−2≤x≤3，解不等式(x+1)(x−3)≤0可求相应的x，代入几何概率的计算公式即可求解本题主要考查了与长度有关的几何概率的求解，属于基础试题7.答案：B解析：根据三角函数定义求出∠BEC与∠BED的三角函数值，再结合两角差的正弦公式进行求解，属基础题．解：根据三角函数的定义知：sin∠BED=√22,cos∠BED=√22,sin∠BEC=√55,cos∠BEC=2√55，故sin∠CED=sin(∠BED−∠BEC)=√22×2√55−√22×√55=√1010．故选B．8.答案：C解析：由题意得，共循环3次，∴2[2(2x+1)+1]+1=23．解得x=2，故选C．9.答案：C解析：由cosβ=−13,sin(α+β)=79，可得sinβ=2√23,cos(α+β)=−4√29.∴sinα=sin[(α+β)−β]=79×(−13)−(−4√29)×2√23=1310.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：A(2,5)，B(−32,−2)由z=−x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为Z的一组平行直线，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+ z的截距最大，此时z最大值为7，经过B时取得最小值：−72则z=x+y的最大值与最小值的比值为：7−72=−2．故选：C．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．11.答案：B解析：本题考查椭圆的性质，直线与椭圆位置关系，考查勾股定理的应用，考查转化思想，属于中档题．利用椭圆的定义及勾股定理求得a和c的关系，根据椭圆的离心率即公式即可求得椭圆E的离心率．解：设椭圆的左焦点F1(−c,0)，连接AF1，BF1，CF1，设|CF|=m，由对称性可知：|AF1|=|BF|=3m，由椭圆的定义可知：|AF|=2a−3m，|CF1|=2a−m由AF1//BF，则AF1⊥AC，则△AF1C中，由|AF1|2+|AC|2=|CF1|2，则9m2+(2a−2m)2=(2a−m)2，整理得：m=a3，在Rt△AF1F中，9m2+(2a−3m)2=(2c)2，将m=a3代入解得椭圆的离心率e=ca=√22．故选：B．12.答案：C解析：本题考查利用导数研究函数的极值，属于基础题．由f′(x)=e x(x+2)，可得函数f(x)在(−2,+∞)单调递增，在(−∞,−2)单调递减，故极值点为−2，即可求解．解：因为f(x)=(x+1)e x，所以f′(x)=e x(x+2)，令f′(x)>0，解得x>−2，令f′(x)<0，解得x<−2，所以函数f(x)在(−2,+∞)单调递增，在(−∞,−2)单调递减．，所以函数f(x)的极小值为f(−2)=−1e2所以极值点为−2，故选C．13.答案：10解析：解：向量a⃗=(1,−2)，b⃗ =(2,m)，且a⃗//b⃗ ，∴1×m−(−2)×2=0，解得m=−4，∴a⃗⋅b⃗ =1×2+(−2)×(−4)=10．故答案为：10．利用平面向量的共线定理和坐标表示求出m的值，再计算a⃗⋅b⃗ 的值．本题考查了平面向量的共线定理与数量积运算问题，是基础题．14.答案：甲解析：本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理等基础知识，考查分析判断能力，是基础题．此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论．解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，故偷珠宝的人是甲．故答案为：甲．15.答案：2√3解析：本题考查三棱柱外接球的半径常用方法，属于中档题．设AB=AA1=a，通过三角形求出底面外接圆的半径r，利用球的表面积求出球的半径，在利用勾股定理即可求解．解：因为正三棱柱ABC−A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是28π，所以球的半径为√7．因为底面是一个正三角形，所以底面外接圆的半径为r，设AB=AA1=a，所以r=√32a×23=√33a，由对称性可得，球心到底面的距离为a2，所以由勾股定理得r2+(12a)2=(√7)2，所以a=2√3；所以三棱柱的高是2√3．故答案为2√3．16.答案：13解析：解：∵bcosA+acosB−3ccosC=0，∴由正弦定理可得：sinBcosA+sinAcosB=3sinCcosC，∴可得：sinC=3sinCcosC，∵C∈(0,π)，sinC≠0，∴cosC=13．故答案为：13．由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得sinC=3sinCcosC，结合sinC≠0，可求cos C的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．17.答案：解：(1){a n}是公差为d的等差数列，a3=7，且a2+a6=18，可得a1+2d=7，2a1+6d=18，解得a1=3，d=2，则a n=3+2(n−1)=2n+1．(2)b n=√a+√a =√2n+1+√2n+3=12(√2n+3−√2n+1)，前n项和T n=12(√5−√3+√7−√5+√9−√7+⋯+√2n+3−√2n+1)=12((√2n+3−√3).解析：本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题．(1)设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；(2)求得b n=√a+√a =√2n+1+√2n+3=12(√2n+3−√2n+1)，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．18.答案：(Ⅰ)证明：取PB的中点G，连接EG、FG，则FG//BC，且FG=12BC．∵DE//BC且DE=12BC，∴DE//FG且DE=FG，∴四边形DEGF为平行四边形，∴DF//EG，又EG⊂平面PBE，DF⊄平面PBE，∴DF//平面PBE；(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，DF//平面PBE，∴点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离相等，故转化为求D到平面PBE的距离，设为d，利用等体积法：V D−PBE=V P−BDE，即13S △PBE ⋅d =13S △BDE ⋅PD ．S △BDE =12⋅DE ⋅AB =1， ∵PE =BE =√5，PB =2√3，∴S △PBE =2√3×√(√5)2−(√3)2×12=√6．∴d =√63．解析：本题考查直线与平面平行的判定，训练了等积法，是中档题．(Ⅰ)取PB 的中点G ，连接EG 、FG ，由已知结合三角形中位线定理可得DE//FG 且DE =FG ，得四边形DEGF 为平行四边形，从而可得DF//EG ，再由线面平行的判定可得DF//平面PBE ； (Ⅱ)利用等积法可得：V D−PBE =V P−BDE ，代入棱锥体积公式可得点F 到平面PBE 的距离． 19.答案：解：(1)如下图所示：(2)K 2=40×(12×6−14×8)220×20×26×14≈0.44，∵0.44<2.706．∴没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”．解析：本题考查列联表，独立性检验，属于基础题．(1)根据所给数据可完成2×2列联表；(2)利用公式求出K 2，与临界值比较，可得结论．20.答案：解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{y =x −2y 2=4x，得x 2−8x +4=0， △=64−4×4>0，x 1+x 2=8，x 1⋅x 2=4．∴|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√3，∴|AB|=√1+k2⋅|x1−x2|=√2×4√3=4√6；(2)点F(1,0)，点F到直线AB的距离d=√2=√22，∴S△ABF=12⋅|AB|⋅d=12×4√6×√22=2√3．解析：(1)联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，再由根与系数的关系及弦长公式求解；(2)求出焦点到直线AB的距离，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查弦长公式、点到直线距离公式的应用，考查计算能力，是中档题．21.答案：解：(1)函数f(x)=lnx−x+1的导数为f′(x)=1x−1，由f′(x)>0，可得0<x<1；由f′(x)<0，可得x>1．即有f(x)的增区间为(0,1)；减区间为(1,+∞)；(2)证明：当x∈(1,+∞)时，由(1)可得f(x)=lnx−x+1在(1,+∞)递减，可得f(x)<f(1)=0，即有lnx<x−1；设F(x)=xlnx−x+1，x>1，F′(x)=1+lnx−1=lnx，当x>1时，F′(x)>0，可得F(x)递增，即有F(x)>F(1)=0，即有xlnx>x−1，则原不等式成立；解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)由(1)求出lnx<x−1，设F(x)=xlnx−x+1，x>1，根据函数的单调性求出F(x)>0，证明结论即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos2θ=λρsinθ，即：x2=λ2y，由于：曲线C的焦点F的极坐标为(1,π2)．即：F(0,1)，所以：λ8=1，故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ．得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0．所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos 2α<0，且|AF|=3|FB|，故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α， 整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α，解得：tanα=±√33，由于：0<α≤π，故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：解：(1)f(x +m)=|x +m −a|+12a ，f(x)−f(x +m)=|x −a|−|x +m −a|≤｜m ｜，∴f(x)−f(x +m)≤1恒成立当且仅当|m|≤1，∴−1≤m ≤1，即实数m 的最大值为1．(2)当a <12时，g(x)=f(x)+|2x −1|=|x −a|+|2x −1|+12a={ −3x +a +12a +1,x <a,−x −a +1+1,a ⩽x ⩽13x −a +12a −1,x >12,∴g(x)min =g(12)=12−a +12a =−2a 2+a+12a ⩽0，∴{0<a <12,−2a 2+a +1⩽0,或{a <0,−2a 2+a +1⩾0,， ∴−12⩽a <0，∴实数a 的取值范围是[−12,0)．解析：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和绝对值不等式的性质，考查函数零点问题解法，注意转化思想的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)由条件得f(x)−f(x +m)≤1恒成立，结合绝对值不等式的性质，求得最值，即可得到m 的最大值；(2)求得g(x)的解析式，讨论g(x)的单调性可得最小值，由题意可得最小值小于等于0，解不等式即可得到所求范围．。
2020届百校联盟(全国卷)高三第二次调研考试数学(文)试题
2020届百校联盟（全国卷）高三第二次调研考试数学(文)试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。
1．若110b a <<，则下列不等式错误．．的是（ ） A.11a b a>- B.a b < C.||||a b > D.22a b >2．若复数()()122z i i =-+的模是（ ）A. 25B. 5前三个答案都不对 3． 用反证法证明命题“N b a ∈,，ab 可被5整除，则b a ,中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为A ．b a ,都能被5整除B ．b a ,都不能被5整除C ．b a ,至多有一个不能被5整除D ．b a ,至多有一个能被5整除4．“1cos 22α=”是“6πα=”的（ ） A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件P QMNABCD5． 已知m,n 是两条不同的直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，， 则D. 若，，则6．有n 位学生的某班都参加了某次高三复习检测，第i 个学生的某科成绩记为ix （i=1,2,3，……，n ），定义i p =（不超过成绩i x 的该科该班人数）÷n 为第i 个学生的该科成绩的百分位。
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2020年百校联盟TOP20高考数学模拟试卷（文科）（3月份）（全国
II卷）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．(★)设U=R，集合A={x|x-1≥0}，则∁U A=（）
A．{x|x≤1}B．{x|x＜1}C．{x|x≥1}D．{x|x＞1}
2．(★)（1-2i）（2+i）=（）
A．4-3i B．4+3i C．-4-3i D．-4+3i
3．(★)下列函数中为偶函数的是（）
A．y=|lnx|B．y=x2-2x C．D．f（x）=2|x|
4．(★)已知双曲线，F为双曲线C的右焦点，过点F作与渐近线垂直的直线与另一条渐近线交点M．则|FM|=（）
A．B．C．D．4
5．(★★)某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1．则该几何体的体积为（）
A．B．C．πD．
6．(★★)在边长为4的正方形的边上随机取一点，则该点到正方形中心的距离小于的概率是（）
A．B．C．D．
7．(★★)如图，在平面直角坐标系xOy中，扇形AOB的圆心角为，半径为1，P是上一点，其横坐标为，则sin∠BOP=（）
A．B．C．D．
8．(★)执行如图所示的程序框图，若输入a的值为2019，则输出S的值为（）
A．3B．C．D．-2
9．(★★)设α，β，sinαcosβ=3sinβcosα，则α-β的最大值为（）A．B．C．D．
10．(★★)设x，y满足不等式组且的最大值为，则实数a的值为（）
A．1B．2C．3D．4
11．(★★)已知椭圆C：的右焦点为F，点A、B是椭圆C上关于原点O
对称的两个点，且|AO|=|AF|，=0．则椭圆C的离心率为（）
A．B．2-C．D．
12．(★★)若函数f（x）=alnx-e x有极值点，则实数a的取值范围是（）
A．（-e，+∞）B．（1，e）C．（1，+∞）D．（0，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．(★)已知非零向量=（2x，y），=（1，-2），且∥，则= - ．
14．(★★)甲、乙，丙、丁4人站在一栋房子前•甲说：“我没进过房子“：乙说：“丙进去过“：丙说：“丁进去过“：丁说：“我没进过房子“．这四人中只有一人进过房子，且只有一人说了真话．则进过这栋房子的人是甲．
15．(★★)已知高为的直三棱柱ABC一A 1B 1C 1，的各个顶点都在同一球面上，若
AB=2BC=4，∠ABC=60°．则球的体积为 36π．
16．(★★★)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b+c=a（cosB+cosC）．若
△ABC的周长的最大值为4 ，则a= 4 ．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．(★★★)已知数列{a n}的前n项和为S n，a 1=1，a 2= 且n≥2）．
（Ⅰ）证明：为等差数列：
（Ⅱ）求数列的前n项和T n．
18．(★★★)如图．直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，AA 1= ，
底面是边长为1的等边三角形，D为BB 1的中点，AC 1与CA 1交于点E．
（Ⅰ）证明：DE∥平面A 1B 1C 1；
（Ⅱ）求点B到平面DCA 1的距离．
19．(★★)2019年第一期中国青年阅读指数数据显示，从阅读需求
的角度，排名前三的阅读领域分别为文学、哲学及社会科学和历史．某学校从文科生和理科生中选取了经常阅读的学生进行了假期阅读内容和阅读时间方面的调查，得到以下数据．
学生所学文理与阅读内容列联表
（Ⅰ）判断能否有90%的把握认为学生所学文理与阅读内容有关？
（Ⅱ）从阅读时间大于30分钟的被调查同学中随机选取30名学生，其阅读时间（分钟）整理成如图所示的茎叶图，并绘制日均阅读时间分布表；
其中30名同学的日均阅读时间分布表（单位：分钟）
求出x，y的值，并根据日均时间分布表，估计这30名同学日阅读时间的平均值；
（Ⅲ）从（Ⅱ）中日均阅读时间高于90分钟的同学中随机选取2人介绍阅读体会，求这2人性别相同的概率．
参考公式，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
文学阅读人数非文学阅
读人数
调查人数
理科生70130200文科生4555100合计115185300
阅读时间[30，60）[60，90）[90，120）
男生人数4y2
女生人数x102
P（K≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k00.4550.708 1.323 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 20．(★★★)已知抛物线C：x 2=4y，直线l：y=kx+1与抛物线交于A、B两点．
（Ⅰ）若k= ，求以AB为直径的圆被x轴所截得的弦长；
（Ⅱ）分别过点A，B作抛物线C的切线，两条切线交于点E，求△EAB面积的最小值．
21．(★★★)已知函数f（x）=x 2lnx．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性：
（Ⅱ）证明：．
请考生从第22，23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．(★★)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以
坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1：ρ=2与x轴的正、负半轴分别交于A，B两点．
（Ⅰ）P为C 1上的动点．求线段AP中点的轨迹C 2的直角坐标方程：
（Ⅱ）直线l与C 2分别交于点M，N，且M在N的左侧，△BMO的面积是△NMO面积的2倍．求tanα的值．
【选修4-5：不等式选讲】
23．(★★★)已知函数f（x）=|x-a|-x 2．
（Ⅰ）若a=1．求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜2（1-x 2）至少有一个负数解，求实数a的取值范围．。