多边形面积计算 (2)
正多边形的面积公式解析
正多边形的面积公式解析正多边形是指所有边长和内角相等的多边形。
在几何学中，计算正多边形的面积是一个常见的问题。
本文将解析正多边形的面积公式，并讨论如何应用该公式进行计算。
1. 正多边形的面积公式正多边形的面积公式可以用半径（r）和边长（a）表示，公式如下：S = (n * a^2) / (4 * tan(π/n))其中，S表示正多边形的面积，n为多边形的边数。
2. 解析面积公式这个面积公式的推导基于正多边形可以分割成若干个等边三角形的原理。
具体过程如下：首先，将正多边形按照中心点连接到各个角点，形成若干个等边三角形。
然后，计算其中一个等边三角形的面积，可使用三角形的面积公式：S_triangle = (a^2 * sqrt(3)) / 4。
其中，a为边长。
接着，将等边三角形的面积乘以正多边形的边数n，即可得到完整正多边形的面积。
但是，对于边数很多的正多边形，计算等边三角形的面积十分困难。
因此，我们需要引入三角函数来简化计算。
3. 应用面积公式使用上述面积公式计算正多边形的面积，只需要已知正多边形的边长和边数即可。
下面是一个具体的例子，以正六边形为例：假设正六边形的边长为a，边数为6，则可以将面积公式代入计算：S = (6 * a^2) / (4 * tan(π/6))可以通过计算π/6的正切值，并将边长代入公式，计算得到正六边形的面积。
同样的方法，可以推广到其他正多边形的计算中，只需要将对应的边长和边数代入上述面积公式即可。
4. 总结正多边形的面积公式是一个重要的几何计算工具，可以帮助我们计算正多边形的面积。
通过将正多边形分割成若干个等边三角形，并利用三角函数的性质，我们可以简化计算过程，得到准确的结果。
在实际应用中，正多边形的面积公式可以用于建筑设计、图像处理等领域，帮助我们进行面积计算和相关的几何分析。
同时，掌握这个公式也可以增加我们对几何学的理解和应用能力。
通过本文的解析，我们详细讨论了正多边形的面积公式，并说明了如何应用该公式进行计算。
多边形的面积公式
多边形的面积公式
多边形的面积公式可以分为几何多边形面积公式和格林公式：
（1）几何多边形面积公式：多边形是由n条直线段连接而成，其中每条段都有一个对应的边长a1,a2,…,an。
这时，多边形的面积S=1/2*(a1+a2+…+an)*h；其中h为多边形内角平分线的长度，即外接圆的周长。
（2）格林公式：格林公式也称多边形余弦定理，用来求解多边形面积。
该公式结合了几何多边形面积公式中的所有边长，用多边形内角的正弦值和多边形的面积来表达：S=1/2*[sin(α1)+sin(α2)+…+sin(αn)]*r*h, 其中α1,α2,…,αn为多边形内角的角度值，r为多边形内角平分线的长度，h为外接圆的半径。
2第二讲 多边形的面积(面积计算)
第二讲多边形的面积(面积计算)【知识概述】数学课上我们已经掌握了几种基本图形的面积计算方法：正方形的面积=边长×边长,S=2a长方形的面积=长×宽,abs=;平行四边形的面积=底×高,ahs=;三角形的面积=底×高÷2,;2=ahs÷梯形的面积=(上底+下底)×高÷2,.2=hsab)(÷+由两个或多个简单的基本几何图形可以组合成一个组合图形,要计算一个组合图形的面积,就要根据图形的基本关系,运用分解、组合、平移、旋转、割补、添辅助线等几种方法来思考。
例题精学例1 已知平行四边形的面积是28 平方厘米,求阴影部分的面积。
【思路点拨】4 厘米既是平行四边形的高,也是阴影三角形的高,平行四边形的面积是28 平方厘米,它的底为28÷4=7(厘米),平行四边形的底减去5 厘米就是三角形的底,7-5=2(厘米),根据三角形的面积公式直接求出阴影部分的面积同步精练1. 下图的梯形中,阴影部分面积是150 平方厘米求梯形的面积。
2. 已知平行四边形的面积是48 平方厘米,求阴影部分的面积。
3. 如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形,需要用铁丝多少厘米?(单位:厘米)例2 下图中甲和乙都是正方形,求阴影部分的面积。
(单位:厘米)【思路点拨】图中的阴影部分是一个三角形,它的三条边的长都不知道,三条边上的高也不知道。
所以,无法用公式计算出它的面积。
仔细观察本题的图,我们可以发现,如果延长GA和FC,它们会相交(设交点为H),这样就得到长方形GBFH(如右图),它的面积很容易求,而长方形GBFH 中除阴影部分之外的其他三部分(△AGB、△BFC及△AHC)的面积都能直接求出。
同步精练1. 求右图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)2. 求右图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)3. 如图所示,四边形ABCD 是一个长方形草坪,长20米,宽14米,中间有一条宽2 米的曲折小路,求小路的面积例3 如图所示,甲三角形的面积比乙三角形的面积大6 平方厘米,求CE 的长度。
2023年人教版五年级数学《多边形的面积》同步试题(附答案) (2)
《多边形的面积》同步试题一、填空1．完成下表。
考查目的：平行四边形、三角形和梯形的面积计算及变式练习。
答案：解析：直接利用公式计算这三种图形的面积，对于学生来说完成的难度不大。
对于已知平行四边形的面积和高求底、已知三角形的面积和底求高这两个变式练习，可引导学生进行比较，理解并强化三角形和梯形的类似计算中需要先将“面积×2”这一知识点。
2．下图是一个平行四边形，它包含了三个三角形，其中两个空白三角形的面积分别是15 平方厘米和25平方厘米。
中间涂色三角形的面积是（）。
考查目的：等底等高的三角形和平行四边形的面积之间的关系。
答案：40平方厘米。
解析：引导学生仔细观察图形，得出涂色部分三角形与整个平行四边形存在等底等高的关系，则该三角形的面积应为平行四边形面积的一半，据此进一步推导出涂色三角形的面积和两个空白三角形的面积之和相等这一结论。
3．有一批圆木堆成梯形，最上面一层有3根，最下面一层有8根，相邻两层相差1根，一共堆了6层，这堆圆木共有（）根。
考查目的：运用梯形的面积计算方法解决相关的实际问题。
答案：33。
解析：根据“（顶层根数+底层根数）×层数÷2”进行解答。
在此基础上，可引导学生用不同的方法对结果加以验证，重点分析采用等差数列求和的方法即“（首项+末项）×项数÷2”，这既是解决该题的基本数学模型，也能突出体现“数形结合”的思想。
4．如图的小花瓶中，1个小正方形的面积是1平方厘米，那么整个花瓶的面积是（）平方厘米。
考查目的：组合图形的面积计算。
答案：5。
解析：通过转化，小花瓶左右两侧的部分可以组合成两个小正方形，再加瓶身的部分即可。
也可采用计算的方法，由题意可得一个小正方形的边长为1厘米，则花瓶两边三角形的面积之和为2×1÷2×2=2（平方厘米），整个花瓶的面积为2+3=5（平方厘米）。
5．下图中，已知AB=BC=CD=EF=FG=GH=1 dm。
多边形面积(二)三角形面积求解
两个完全相同的不等边三角形，最多能拼成几 种不同的平行四边形？
两个三角形中，相同的边拼一块儿就可以拼出一个 平行四边形，所以可以拼出3种不同的平行四边形。 形状相同的两个三角形一定能拼成一个平行四边形。
两个完全不相同的三角形拼不成平行四边形。
两个面积相等的三角形不一定能拼成一个平行四边形。
两个等底等高的三角形，只是面积相等，但是形状不 一定相同，所以不一定可以拼成一个平行四边形。
根据图示，知道三角形的三条边长， 以及其中一条边上的高是7cm，需要 判断是哪条边的高，就可求出面积。 首先画出三条边上的高。
12cm底边上的高。 过顶点做这条边的平行线。
两条平行直线之间， 只有垂线段最短。
黄色的线段比红色6cm线段要短。 推断出7cm的高不是这条边的高。
8cm边长上的高。 过顶点做这条边的平行线。
两条平行直线之间， 只有垂线段最短。
黄色的线段比红色6cm线段要短。 推断出7cm的高不是这条边的高。
6cm边长上的高。 过顶点做这条边的平行线。 黄色的线段比红色8cm线段要短。 推断出7cm的高是这条边的高。
这个三角形的面积是: 6×7÷2=21（cm2）
下图均是由边长为10cm和6cm的两个正方形组 成的图形，比较空白部分的面积，正确的是（） A.①>②>③ B.③>②>① C.③>①>② D.②>①>③
也可选择斜边为底，以及斜边 上高2.4cm。
斜边的长度： 6×2÷2.4=5（cm）
直角三角形的面积： 3×4÷2=6（cm2） 直角三角形的面积： 斜边×2.4÷2=6（cm2 ）
一个三角形的面积是Ym2，如果把它的底和高 都扩大到原来的2倍，得到的新三角形的面积是 多少？
五年级 3 多边形面积 (二)
1、如图，每个小正方形的面积是1平方厘米。 （1）用实线在方格内画出面积是2平方厘米的正方形。 （2）用实线在方格内画出面积是17平方厘米的正方形。
1×1÷2×4 =0.5×4 =2（平方厘米）
1×4÷2×4＋3×3 =+9 =17（平方厘米）
2.画一个面积是5平方厘米的正方形，连接各边中点，可得一个小正方形。 小正方形的面积是（ ）。 A、4cm2 B、3cm2 B、5cm2的一半
小正方形的边长：（96-4×4）÷2÷4=10（厘米） 小正方形的面积：10×10=100（平方厘米） 大正方形的面积：（10+4）×（10+4）=196（平方厘米） 答：大正方形的面积是196平方厘米，小正方形的面积是 100平方厘米。
1、分一分，能感受到组合图形可分成很多基本图形； 拼一拼，能感受到很多基本图形可拼成组合图形。 2、添加两条辅助线比添加一条辅助线无论从寻找需要 的条件还是计算基本图形的面积来说都更复杂，所以尽 量添加最少的辅助线解决问题。在添加一条辅助线的情 况下，还是要转化成自己最熟悉的基本图形，使得在寻 找条件的时候比较简单。 3、堆放的圆木，逐层很有规律，形成了连续自然数， 所以利用梯形面积公式计算根数很方便。
（1+8）×8÷2=36（根）
（3）你有什么发现？ 答：我发现用梯形的面积公式计算圆木的根数与 实际根数相同。
2.从下面梯形，三角形，平行四边形的面积公式变化中，你认为哪个公式 最具代表性，举例算一算再做判断。
梯形面积公式具有代表性
例4 大正方形中的小正方形
如图，大正方形的边长是7厘米，4个相同的长方形的宽是2.5厘米。阴影部 分是一个小正方形，它的面积是多少？
2×25-2÷2×3 =50-3 =47（平方厘米） 答：围成的面积是47平方厘米。
多边形的面积计算
多边形的面积计算1、公式：正方形面积=边长×边长长方形面积=长×宽平行四边形面积=底×高梯形面积=（上底+下底）×高÷2三角形面积=底×高÷2 【三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高】2、概念：①和差法：通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求面积。
②割补法：将不规则图形割补拼接成规则图形，利用规则图形的面积公式求解。
③转换法：通过平移、旋转、对称等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形。
④等积变换模型：相等面积或等体积之间的图形变形。
例1 ：（2012南雅）计算图中梯形的面积。
解析：这道题考察的是梯形面积与等腰三角形性质相结合。
如图，由于△ABC、△CDE都是等腰直角三角形，所以AB=BC、CD=ED。
由于BC+CD=BD=10厘米，即为梯形的上底下底之和，再根据梯形面积公式即可算出梯形面积。
实战演练：（2013博才）一个梯形的下底是20厘米，把上底延长6厘米，就成了一个平行四边形，且面积增加24平方厘米，求原梯形的面积。
例2 ：（2011南雅）三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形。
将它的最短边对折与斜边相重合（如图），那么，图中阴影部分面积是多少平方厘米？解析：这道题考的是三角形面积与对称、折叠问题相结合，要牢牢抓住对称性找清楚三个三角形边长之间的关系。
实战演练：（2014麓山）直角三角形ABC的三条边分别是5cm，3cm，4cm，将它的直角边AC对折到斜边AB上，是AC与AD重合，如下图，则图中阴影的面积（未折叠部分）是多少平方厘米？例3 ：（2010南雅）求下图中阴影部分面积。
（单位：厘米）解析：这道题考的是等积变换模型，两个阴影三角形与空白三角形等高，所以阴影与空白的面积之比等于梯形的上底与下底边长之比。
第2讲多边形的面积苏教版2
第2讲多边形的面积知识点一：平行四边形的面积1.运用转化法计算图形的面积：一转化：通过切割、平移等方法把不规则图形转化成规则的长方形、正方形等图形。
二计算：计算规则图形的面积，也就是原来不规则图形的面积。
2.把平行四边形转化成长方形的方法：沿着平行四边形的任意一条边上的任意一条高剪成两个图形后，通过平移都可以把平行四边形转化成一个长方形。
3.平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高，用字母表示为S=a ×h。
知识点二：三角形的面积1.三角形和平行四边形之间的关系：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是两个完全一样的三角形所拼成的平行四边形的面积的一半，即三角形的面积=平行四边形的面积÷2或平行四边形的面积=三角形的面积×2。
2.三角形的面积计算公式：三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。
三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=a×h÷2。
知识点三：梯形的面积1.梯形面积计算中的“转化”：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，梯形的面积是两个完全一样的梯形所拼成的平行四边形的面积的一半，也就是：梯形的面积=平行四边形的面积÷2或平行四边形的面积=梯形的面积×2。
2. 梯形的面积：梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2。
用字母表示：S=（a＋b）×h÷2。
知识点四：认识公顷公顷的认识：测量或计量土地面积，通常用公顷作单位，公顷可以写成hm²。
边长100米的正方形土地，面积是1公顷。
公顷和平方米之间的进率是10000，1公顷=10000平方米。
知识点五：认识平方千米平方千米的认识：测量或计量大面积的土地，通常用平方千米作单位。
平方千米可以写成km²。
边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米。
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-----整理和复习
h a
平行四边形的面积 = 底×高
b a
h
h
a
a
三角形的Hale Waihona Puke 积 = 底×高÷2aa
h
h
b
b
梯形的面积 = （上底＋下底）×高÷2
旧知
b a
S=a×b
新知 S=a×h
新知 S=a×h÷2
新知 S=(a＋b)×h÷2
常见的面积单位及进率： 1000000
100
100 10000 100
基本练习：
× 1、两个等底等高的三角形一定能拼成平行四边形。（ ） × 2、三角形的面积是平行四边形面积的一半。（ ） × 3、拼成平行四边形的两个梯形一定完全相同。（ ） × 4、三角形的底越长，面积就越大。（ ） × 5、两个等底等高的三角形面积一定相等，形状也一定相同。（ ）
3、一个直角三角形三条边分别长3分米，4分米，5分米， 它斜边上的高有多少分米？
4dm
5dm
？
?dm
3dm
S平＝36平方厘米，a＝9厘米，h=( 4cm )
S三＝36平方厘米，h＝12厘米，a=( 6cm )
a＝3厘米，b＝5厘米，h＝6厘米，S梯＝（ 24平方 ） 厘米
S梯＝40平方厘米，a＝3厘米，b＝5厘米，h=（ 10cm ）
S梯＝30平方厘米，a＝3厘米，h＝5厘米，b=（ 9cm ）
7800 78×100
2.4×1000000
7.5 750÷100
750×10000
0.41 4100÷10000
0.0041 4100÷1000000
拓展练习
1、一个梯形广告牌，它的上底是8米，下底是12米，高是6米。 如果要给这个广告牌正反两面涂上油漆，按每平方米花费 15元来计算，共要花多少元？
2、靠墙围一个梯形的栅栏， 如图，栅栏全长14米，求梯 形的面积是多少平方米？