高考全国1卷理科数学试题及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑.2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效.3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2430A x x x =-+<，{}230x x ->,则A B =I（A ）33,2⎛⎫--⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭2.设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x （A ）1（B ）2（C ）3（D ）23.已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a = （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）974.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）345.已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是（A ）()1,3- （B）(- （C ）()0,3 （D）(6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π7.函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B（C ）（D8.若a b >,则（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 9.执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,则输出x ,y 的值满足 （A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 11.平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,ααI αI13知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 否 是（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 二、填空题：本大题共3小题,每小题5分13.设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = ．14.5(2x +的展开式中，x 3的系数是 ．（用数字填写答案）15.设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2 …a n 的最大值为 ．16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料，乙材料，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分为12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ； （II）若=c ∆ABC，求∆ABC 的周长．18.（本小题满分为12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=o ，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60o ．（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．19.（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：CBDEF以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个20.（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ,D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()()()221xf x x e a x =-+-有两个零点.(I)求a 的取值范围； (II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB =120°.以O 为圆心，12OA 为半径作圆. (I)证明：直线AB 与⊙O 相切；(II)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD .23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()123f x x x =+--. （I ）画出()y f x =的图像； （II ）求不等式()1f x >的解集．2016年高考全国1卷理科数学参考答案1.，．故． 故选D ．2.由可知：，故，解得：．所以，．故选B．3.由等差数列性质可知：，故，而，因此公差∴．故选C．4.如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段中，而当他的到达时间落在线段或时，才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型，所求概率．故选B．5.表示双曲线，则∴由双曲线性质知：，其中是半焦距∴焦距，解得∴故选A．6.原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的后的三视图表面积是的球面面积和三个扇形面积之和故选A．7.，排除A，排除B时，，当时，因此在单调递减，排除C故选D．8.对A：由于，∴函数在上单调递增，因此，A错误对B：由于，∴函数在上单调递减，∴，B错误对C：要比较和，只需比较和，只需比较和，只需和构造函数，则，在上单调递增，因此又由得，∴，C正确对D：要比较和，只需比较和而函数在上单调递增，故又由得，∴，D错误故选C．9.如下表：输出，，满足故选C．10. 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为，设圆的方程为，题目条件翻译如图：设，，点在抛物线上，∴……①点在圆上，∴……②点在圆上，∴……③联立①②③解得：，焦点到准线的距离为．故选B．11. 如图所示：∵，∴若设平面平面，则又∵平面∥平面，结合平面平面∴，故同理可得：故、的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小．而（均为面对交线），因此，即．故选A．12. 由题意知：则，其中在单调，接下来用排除法若，此时，在递增，在递减，不满足在单调若，此时，满足在单调递减故选B．15．64 16． 21600013. 由已知得：∴，解得．14．设展开式的第项为，∴．当时，，即故答案为10．15.由于是等比数列，设，其中是首项，是公比．∴，解得：．故，∴当或时，取到最小值，此时取到最大值． 所以的最大值为64．16． 设生产A 产品件，B 产品件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为目标函数作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为 在处取得最大值，17.解： ⑴ ()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、， ∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2C = ∵()0πC ∈，∴π3C =⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅221722a b ab =+-⋅()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅∴6ab = ∴()2187a b +-=5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++=18．解：(1) ∵ABEF 为正方形 ∴AF EF ⊥∵90AFD ∠=︒ ∴AF DF ⊥ ∵=DF EF F I ∴AF ⊥面EFDCAF ⊥面ABEF∴平面ABEF ⊥平面EFDC ⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=︒∵AB EF ∥AB ⊄平面EFDC EF ⊂平面EFDC∴AB ∥平面ABCDAB ⊂平面ABCD∵面ABCD I 面EFDC CD = ∴AB CD ∥ ∴CD EF ∥∴四边形EFDC 为等腰梯形以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a =()()000020E B a ，，，，()02202a C A a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，()020EB a =u u u r ，，，22a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，()200AB a =-u u ur ，，设面BEC 法向量为()m x y z =u r，，.00m EB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，即111120202a y a x ay z ⋅=⎧⎪⎨⋅-+⋅=⎪⎩11101x y z ===-，)01m =-u r，设面ABC 法向量为()222n x y z =r，，=00n BC n AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r .即222220220a x ay ax ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩22204x y z ===，()04n =r设二面角E BC A --的大小为θ.cos m n m nθ⋅==⋅u r r u r r ∴二面角E BC A --的余弦值为 19解： ⑴ 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11记事件i A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i = 记事件i B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======，()()220.4P A P B == 设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22()()()11160.20.20.04P X P A P B ===⨯=()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.20.40.2P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯+⨯0.20.40.24+⨯=()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()3443210.20.20.20.20.08P x P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=()()()44220.20.20.04P x P A P B ===⨯=⑵ 要令(P x n ≤0.5≥则n 的最小值为19⑶ 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当19n =时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040⨯+⨯+⨯+⨯= 当20n =时，费用的期望为202005000.0810000.044080⨯+⨯+⨯= 所以应选用19n = 20. (1)圆A 整理为()22116x y ++=，A 坐标()1,0-，如图，BE AC Q ∥，则C EBD =∠∠，由,AC AD D C ==则∠∠，EBD D ∴=∠∠，则EB ED = 4AE EB AE ED AD ∴+=+==所以E 的轨迹为一个椭圆，方程为22143x y +=，(0y ≠)；⑵ 221:143x y C +=；设:1l x my =+，因为PQ l ⊥，设():1PQ y m x =--，联立1l C 与椭圆 221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=；则()22121|||34M N m MN y y m +-==+；圆心A 到PQ 距离d ==所以||PQ ==，()2212111||||2234MPNQm S MN PQ m +⎡∴=⋅=⋅==⎣+ 21. （Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x xf x x e a x x e a =-+-=-+．（i ）设0a =，则()(2)xf x x e =-，()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln2ab <，则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->， 故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-． 若2e a ≥-，则ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．若2ea <-，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．II （）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知1(,1)x ∈-∞，2(1,)x ∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<. 由于222222(2)(1)x f x x ea x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---.设2()(2)xx g x xex e -=---，则2()(1)()x x g x x e e -'=--.所以当1x >时，()0g x '<，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <. 从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<. 22．⑴ 设圆的半径为r ，作OK AB ⊥于K∵120OA OB AOB =∠=︒，∴30sin302OAOK AB A OK OA r ⊥∠=︒=⋅︒==，， ∴AB 与O ⊙相切 ⑵ 方法一：假设CD 与AB 不平行CD 与AB 交于F2FK FC FD =⋅① ∵A B C D 、、、四点共圆∴()()FC FD FA FB FK AK FK BK ⋅=⋅=-+ ∵AK BK =∴()()22FC FD FK AK FK AK FK AK ⋅=-+=-②由①②可知矛盾 ∴AB CD ∥方法二：因为,,,A B C D 四点共圆，不妨设圆心为T ，因为,OA OB TA TB ==，所以,O T 为AB 的中垂线上，同理,OC OD TC TD ==，所以OT CD 为的中垂线，所以AB CD ∥．23．⑴ cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数）∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==， ∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=Q ，224x y x ∴+= 即()2224x y -+= ②3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ①—②得：24210x y a -+-=，即为3C∴210a -= ∴1a =24．⑴ 如图所示：⑵ ()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥()1f x >当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <1x -∴≤当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x < 113x -<<∴或312x <<当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <332x <∴≤或5x > 综上，13x <或13x <<或5x >()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，，。