2020届江苏省南京市2017级高三6月三模考试数学试卷参考答案(含附加题)
江苏省南京市2025届高三学业水平调研考试数学试卷(含答案)
江苏省南京市2025届高三学业水平调研考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={(x,y )|x 2+y 2=4},B ={(x,y )|y =2cos x }，则A ∩B 的真子集个数为( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个2.在复平面内，复数z 对应的点Z 在第二象限，则复数z4i 对应的点Z 1所在象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a ，b ，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为( )A. 79B. 80C. 81D. 824.“tan 2α=14”是“tan 3αtan α=11”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若单位向量a ,b 满足⟨a ,b⟩=120∘，向量c 满足(c−a )⊥(c−b )，则a ⋅c +b ⋅c 的最小值为( )A.3−14B. 1−34C.3−12 D. 1−326.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=12，a n +1=2a na n +1，若S 2024∈(k−1,k)，则正整数k 的值为( )A. 2024B. 2023C. 2022D. 20217.已知双曲线C:x 2−y 2b 2=1，在双曲线C 上任意一点P 处作双曲线C 的切线(x p >0,y p >0)，交C 在第一、四象限的渐近线分别于A 、B 两点．当S △OPA =2时，该双曲线的离心率为( )A.17B. 32C.19D. 258.在▵ABC 中，A <B <C 且tan A,tan B,tan C 均为整数，D 为AC 中点，则BCBD 的值为( )A. 12B.22C.32D. 1二、多选题：本题共3小题，共15分。
南京市2020届高三年级数学第三次模拟考试参考答案
南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{x |1＜x ＜4} 2．2 3．60 4．10 5．236． 37．2n ＋1－2 8．62 9．8310．[2，4] 11．6 12． [－2，＋∞) 13．－9414．38二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)证明：(1)取PC 中点G ，连接DG 、FG ．在△PBC 中，因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以GF ∥BC ，GF ＝12BC ．因为底面ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ， ······························································ 2分所以GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG ． ············································································· 4分 又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ． ······································································ 6分 (2)因为底面ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ．又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ． ··································································· 10分 因为P A ⊂平面P AD ，所以CD ⊥P A ． ·················································· 12分 又因为P A ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以P A ⊥平面PCD ． 因为P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PCD ． ·································· 14分16．(本小题满分14分)解：(1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以 f (x )＝m ·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos2x ＋12． ··································· 2分因为f (x 2)＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12．又因为x ∈(0，π) ，所以x ＝π3， ························································· 4分所以tan(x ＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋ tan π41－tan π3tanπ4＝－2－3． ······························· 6分(2)若f (α)＝－110，则cos2α＋12＝－110，即cos2α＝－35．因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin2α＝－1－cos 22α＝－45． ········ 8分因为sin β＝7210，β∈(0，π2)，所以cos β＝1－sin 2β＝210， ······················· 10分所以cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝(－35)×210－(－45)×7210＝22． ····· 12分又因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β的值为7π4． ····································································· 14分17．(本小题满分14分)解：如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系xOy ． 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B (60，40)，且A (100，0)． ···························································· 2分(1)设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ，则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t ．因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55， 所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos ∠AOD ，即(50t )2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55． 化得t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝－2（舍去）， ·············································· 4分 所以OC ＝405．因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C (40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0． ······················· 6分因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85， 所以d ＜r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险．答：若快艇立即出发有触礁的危险． ······················································· 8分 (2)设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E ． 设直线AE 的方程为y ＝k (x －100)，即kx －y －100k ＝0．因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k |12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12． ············································· 10分由（1）可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x ． 由⎩⎨⎧y ＝2x ， y ＝－2(x －100)，解得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝100，所以E (50，100)，所以AE ＝505，OE ＝505， ······························································· 12分此时两船的时间差为505105－50550＝5－5，所以x ≥5－5－2＝3－5．答：x 的最小值为(3－5)小时． ···························································· 14分18．(本小题满分16分)解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和 (1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． ·························································· 2分(2)因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2． ··········· 4分 设点M (x 0，y 0)，则A (x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 024＋y 02＝1， (x 0＋2)24＋y 02＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1， y 0＝±32， 所以M (－1，±32)． ········································································ 6分 (3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2． ···················································· 8分因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M (－8km 1＋4k 2，2m1＋4k 2)． ·································································· 10分因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程，化得4m 2＝4k 2＋1．① ········································································ 12分 因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0． 因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m2－4 k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2＝0，化得5m 2＝4k 2＋4．② ················· 14分 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时△＞0，因此k ＝±112．所以所求直线AB 的斜率为±112． ····················································· 16分 19． (本小题满分16分)解：(1)当a ＝1时，f (x )＝e xx 2－x ＋1，所以函数f (x )的定义域为R ，f'(x )＝e x (x －1)(x －2)(x 2－x ＋1)2．令f'(x )＜0，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)． ··················································· 2分 (2)由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立，所以a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4． ························································· 4分 方法1由f (x )＝e xx 2－ax ＋a ，得f'(x )＝e x (x －a )(x －2)(x 2－ax ＋a )2．①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意． ②当0＜a ＜2时，因为当a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减，所以f (a )＞f (2)，不符题意． ··························································· 6分 ③当2＜a ＜4时，因为当2＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2，a )上单调递减， 所以f (a )＜f (2)，满足题意．综上，a 的取值范围为(2，4)． ························································ 8分方法2由f (2)＞f (a )，得e 24－a ＞e aa ．因为0＜a ＜4，所以不等式可化为e 2＞e a a(4－a )．设函数g (x )＝e xx (4－x )－e 2， 0＜x ＜4． ·················································· 6分因为g'(x )＝e x·－(x －2)2x 2≤0恒成立，所以g (x )在(0，4)上单调递减．又因为g (2)＝0，所以g (x )＜0的解集为(2，4)．所以，a 的取值范围为(2，4)． ··························································· 8分 (3)证明：设切点为(x 0，f (x 0))，则f'(x 0)＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2，所以切线方程为y －ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(x －x 0)．由0－ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(0－x 0)，化简得x 03－(a ＋3)x 02＋3ax 0－a ＝0． ···················································· 10分 设h (x )＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)， 则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点．由(2)可知a ∈(2，4)时，函数h (x )的定义域为R ，h'(x )＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a ． 因为△＝4(a ＋3)2－36a ＝4(a －32)2＋27＞0恒成立，所以h'(x )＝0有两不相等的实数根x 1和x 2，不妨x 1＜x 2． 因为所以函数h (x )最多有三个零点． ························································· 12分 因为a ∈(2，4)，所以h (0)＝－a ＜0，h (1)＝a －2＞0，h (2)＝a －4＜0，h (5)＝50－11a ＞0， 所以h (0)h (1)＜0，h (1)h (2)＜0，h (2)h (5)＜0．因为函数的图象不间断，所以函数h (x )在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点． 综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点． ············································· 16分20．(本小题满分16分)解：(1) 因为{a n }的“L 数列”为{12n }，所以a n a n ＋1＝12n ，n ∈N *，即a n ＋1a n ＝2n ，所以n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝2(n -1)＋(n －2)＋…＋1＝2n (n －1)2．又a 1＝1符合上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n (n －1)2，n ∈N *． ·················· 2分(2)因为a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1． 方法1设b n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，所以b n ＝n ＋k －3(n ＋1)＋k －3＝1－1n ＋k －2．因为{b n }为递增数列，所以b n ＋1－b n ＞0对n ∈N*恒成立， 即1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0对n ∈N*恒成立． ············································ 4分因为1n ＋k －2－1n ＋k －1＝1(n ＋k －2)(n ＋k －1)，所以1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0等价于(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0．当0＜k ＜1时，因为n ＝1时，(n ＋k －2)(n ＋k －1)＜0，不符合题意． ··········· 6分 当k ＞1时，n ＋k －1>n ＋k －2>0，所以(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0，综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ························································· 8分 方法2令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增．当0＜k ＜1时，f (1)＝1－1k －1＞1，f (2)＝1－1k ＜1，所以b 2＜b 1，不符合题意． ···················· 6分当k ＞1时，因为2－k ＜1，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意．综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ························································· 8分(3)存在满足条件的等差数列{c n }，证明如下：因为a k a k ＋1＝1＋p k －11＋p k ＝1p ＋1－1p 1＋p k，k ∈N*， ·············································· 10分所以S n ＝n p ＋(1－1p )·(11＋p ＋11＋p 2＋…＋11＋p n －1＋11＋p n)． 又因为p ＞1，所以1－1p ＞0，所以n p ＜S n ＜n p ＋(1－1p )·(1p ＋1p 2＋…＋1p n －1＋1p n )，即n p ＜S n ＜n p ＋1p ·[1－(1p )n ]． ································································· 14分 因为1p ·[1－(1p )n ]＜1p ，所以n p ＜S n ＜n ＋1p．设c n ＝np ，则c n ＋1－c n ＝n ＋1p －n p ＝1p，且c n ＜S n ＜c n ＋1，所以存在等差数列{c n }满足题意． ······················································· 16分南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换解：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a ．··································································· 2分 因为点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0． ········································································· 4分 (2)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2， ·············· 6分 所以A 2⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2 ⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36， 所以，点Q ′的坐标为(－3，6)． ························································ 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)得直线l 方程为x －3y ＋3＝0． ············· 2分曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|1＋cos θ－ 3 sin θ＋3|2 ······························ 4分＝|2cos(θ＋π3)＋1＋3|2． ········································································ 6分当θ＋π3＝2k π，即θ＝－π3＋2k π(k ∈Z )时， ·················································· 8分曲线C 上的点到直线l 的距离取最大值3＋32． ········································ 10分C ．选修4—5：不等式选讲 证明：因为a ，b 为非负实数，所以a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5]． ·································· 4分 若a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]≥0． ···························································· 6分 若a ＜b 时，a ＜b ，从而(a )5＜(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]＞0． ···························································· 8分 综上，a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． ····························································· 10分 22．（本小题满分10分）解：(1)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ．又AB ⊥AC ，所以以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底建立如图所示的 空间直角坐标系A —xyz ．设AA 1＝t (t ＞0)，又AB ＝3，AC ＝4，则A (0，0，0)，C 1(0，4，t )，B 1(3，0，t )，C (0，4，0)，所以AC 1→＝(0，4，t )，B 1C →＝(－3，4，－t )． ·············································· 2分 因为B 1C ⊥AC 1，所以B 1C →·AC 1→＝0，即16－t 2＝0，解得t ＝4，所以AA 1的长为4． ············································································· 4分 (2)由(1)知B (3，0，0)，C (0，4，0)，A 1(0，0，4)， 所以A 1C →＝(0，4，－4)，BC →＝(－3，4，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1CB 的法向量，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧4y －4z ＝0，－3x ＋4y ＝0．取y ＝3，解得z ＝3，x ＝4，所以n ＝(4，3，3)为平面A 1CB 的一个法向量． 又因为AB ⊥面AA 1C 1C ，所以AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，则cos ＜n ，AB →＞＝AB →·n |AB →|·|n |＝123·42＋32＋32＝434， ····································· 6分所以sin ＜n ，AB →＞＝317．设P (3，0，m )，其中0≤m ≤4，则CP →＝(3，－4，m )． 因为AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，所以cos ＜CP →，AB →＞＝AB →·CP →|AB →|·|CP →|＝93·32＋(－4)2＋m 2＝3m 2＋25， 所以直线PC 与平面AA 1C 1C 的所成角的正弦值为3m 2＋25． ·························· 8分 因为直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B －A 1C －A 的大小相等， 所以3m 2＋25＝317，此时方程无解，所以侧棱BB 1上不存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B －A 1C －A 的大小相等 ． ········································································································ 10分 23．（本小题满分10分）解：(1)根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35．所以P 1＝25×25＋C 12×(25)2×35＝425＋24125＝44125． ········································ 2分(2)证明：累计取出白球次数是n ＋1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n ＋1次取出的是白球，概率为C nn ×(25)n ＋1；前n ＋1次取出n 次白球，第n ＋2次取出的是白球，概率为C nn ＋1×(25)n ＋1×35；······································································································ 4分 ……前2n －1 次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为C n2n －1×(25)n ＋1×(35)n －1；前2n 次取出n 次白球，第2n ＋1次取出的是白球，概率为C n2n ×(25)n ＋1×(35)n ；则P n ＝C n n ×(25)n ＋1＋C n n ＋1×(25)n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×(25)n ＋1×(35)n －1＋C n2n ×(25)n ＋1×(35)n＝(25)n ＋1×[C n n ＋C n n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×(35)n －1＋C n2n ×(35)n ] ＝(25)n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ]， ························ 6分因此P n ＋1－P n ＝(25)n ＋2×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1]－(25)n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ] ＝(25)n ＋1×{25×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1]。
高考数学母题解密专题06 双曲线附答案解析(江苏专版)
（a>0，b>0）与直线 y＝ 3 x 无交点，则离心率 e 的取值范围是________．
7．（江苏省南通市 2020 届高三下学期 6 月模拟考试数学试题）已知离心率 e 2 的双曲
x2 线 D： a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，虚轴的两个端点分别为
双曲线 C 的渐近线方程为 y x ，且它的一个焦点为 F ( 2,0) ，则双曲线 C 的一条准
线与两条渐近线所成的三角形的面积为______． 4．（2020 届江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）高三下学期
第三次调研考试数学试题）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y2＝4x 的准线是双
bc c
b
，
所
以
b
3 c ， 因 此 a2 c2 b2 c2 3 c2 1 c2 ， a 1 c ，
2
44
2
e 2．
【 名 师 点 睛 】 （ 1） 已 知 双 曲 线 方 程
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 求
渐
近
线
：
x2 y2 0 y b x ；
a2 b2
a
（2）已知渐近线 y mx 可设双曲线方程为 m2 x2 y2 ( 0) ；
（三）求双曲线的离心率一般有两种方法：
（1）由条件寻找 a, c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中 a，b，c 的关系
c2
a2
b2
将双曲线的离心率公式变形，即 e
c a
1 b2 a2
1
，注意区分
1
b2 c2
双曲线中 a，b，c 的关系与椭圆中 a，b，c 的关系，在椭圆中 a2 b2 c2 ，而在双
2020届江苏省南京市2017级高三6月三模考试英语试卷及解析
2020届江苏省南京市2017级高三6月三模考试
英语试卷
★祝考试顺利★
2020.06
本试卷分选择题和非选择题两部分,满分120分,考试用时120分钟。
注意事项：答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上。
考试结束后,将答题纸
交回。
第一部分听力（共两节,满分20分）
做题时,先将答案标在试卷上。
录音内容结束后,你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到
答题纸上。
第一节（共5小题：每小题1分,满分5分）
听下面5段对话。
每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,
并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.What is the probable relationship between the two speakers?
A.A teacher and her student.
B.A student and her classmate.
C.A teacher
and her colleague.
2.What are they going to do?
A.Design a poster.
B.Visit a website.
C.Buy a beautiful dress.。
2023届江苏省南京市高三三模联考数学试题【含答案】
一、单选题1．已知复数z 满足()1i 5i z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D【分析】利用复数除法求出z ，即可判断.【详解】因为()()5i 1i 5i 64i32i 1i 22z +-+-====-+，所以点()3,2-位于第四象限.故选：D.2．如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是A ．B ．C ．D ．D【分析】由题意可知：S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即可.【详解】观察可知面积S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D 符合要求.故选D .本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知非零向量a ，b满足()3,1b =，π,3a b = ，若()a b a -⊥ ，则向量a 在向量b 方向上的投影向量为（）A ．14bB ．12bC ．32b D ．bA【分析】依题意可得()0a a b -⋅= ，根据数量积的定义及运算律求出a r ，即可求出a b ⋅ ，最后根据a b b b b⋅⋅⋅计算可得.【详解】因为()a b a -⊥ ，所以()20a b a a a b -⋅=-⋅=，∴2102a a b -=，又()3,1b =，所以()22312b =+=，∴1a = 或0a =（舍去），所以21a b a ⋅== ，所以a 在b方向上的投影向量为14a b b b b b⋅⋅=⋅.故选：A.4．已知集合{}1,2,3,4U =，若A ，B 均为U 的非空子集且A B ⋂=∅，则满足条件的有序集合对(),A B 的个数为（）A ．16B ．31C ．50D ．81C【分析】根据集合A 中元素的个数分类讨论，利用组合以及计数原理知识直接求解.【详解】1°A 中有1个元素，4种情况，B 有321-=7种情况，此时有4728⨯=种情况；2°A 中有2个元素，24C 种情况，B 有221-=3种情况，此时有24C 318⨯=种情况；3°A 中有3个元素，34C 种情况，B 有1种情况，此时有34C 14⨯=种情况.所以满足条件的有序集合对(),A B 一共有2818450++=个.故选：C.5．已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为A ．12B ．20C ．25D ．27D【分析】设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同，所以要讨论x 的三种不同情况．【详解】设这个数字是x ，则平均数为617x+，众数是8，若8x ，则中位数为8，此时5x =-，若810x <<，则中位数为x ，此时61287xx +=+，9x =，若10x ，则中位数为10，6121087x+⨯=+，23x =，所有可能值为5-，9，23，其和为27．故选D ．本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．6．约翰·开普勒是近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家，有一次在上几何课时，突然想到，一个正三角形的外接圆与内切圆的半径之比2:1恰好和土星与木星轨道的半径比很接近，于是他想，是否可以用正多面体的外接球和内切球的半径比来刻画太阳系各行星的距离呢？经过实践，他给出了以下的太阳系模型：最外面一个球面，设定为土星轨道所在的球面，先作一个正六面体内接于此球面，然后作此正六面体的内切球面，它就是木星轨道所在的球面.在此球面中再作一个内接的正四面体，接着作该正四面体的内切球面即得到火星轨道所在的球面，继续下去，他就得到了太阳系各个行星的模型.根据开普勒的猜想，土星轨道所在的球面与火星轨道所在球面半径的比值为（）A ．3B ．3C ．33D ．9C【分析】根据正方体的性质可得内接球的半径，再由正四面体的外接球半径求出正四面体棱长，再由等体积法求正四面体的内切球半径即可得解.【详解】设土星轨道所在球面半径为R ，内接正六面体边长为a ，则32a R=，∴23a R =，所以正六面体内切球半径1123a R =，设正四面体边长b ，外接球球心为O ，G为底面中心，如图，正四面体中，323=233AG b b ⨯=，226=3PG PA AG b -=，在Rt AOG △中，222()AO AG PG AO =+-，则6143b R =，223b R =，设正四面体内切球半径r ，利用等体积法可得2213136434343V b r b b =⨯⨯⋅=⨯⋅，解得62231239r R R =⋅=，∴3339R R r R ==，故选：C.7．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部封闭），已知两侧走廊的高度都是6米，左侧走廊的宽度为33米，右侧走廊的宽度为1米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.设可通过的最大极限长度为l 米（不计硬管粗细）.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为0.9m l =米，则m 的值是（）A ．7.2B ．27210C ．2725D ．9D【分析】先研究铁管不倾斜时，令PAM θ∠=，建立()133sin cos AB f θθθ=+=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用导数求出min ()8f θ=；再研究铁管倾斜后能通过的最大长度.【详解】如图，铁管不倾斜时，令PAM θ∠=，1sin PA θ=，33cos PB θ=，()133sin cos AB f θθθ=+=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()332222cos 33sin 33sin cos sin cos sin cos f θθθθθθθθθ--'=+=.令()0f θ'<，解得：π06θ<<，令()0f θ'>，解得：ππ62θ<<，所以()f θ在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以min ()86f f πθ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时通过最大长度l AB '≤，∴8l '≤，∴倾斜后能通过的最大长度228610+=，∴0.9109m =⨯=.故选：D.8．已知函数()f x 的导函数()f x '满足：2()()e x f x f x -='，且()02f =.若函数2ππ()e ()e (1)sin 36x x g x f x a x --⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭有且只有一个零点，则实数a 的值为（）A ．e -B ．2e-C ．eD ．2eB【分析】由函数()f x 的性质设()2e e x xf x =+，得到()()()22ππe e e e 1sin 36x x x x g x a x --⎛⎫=+++-+ ⎪⎝⎭.由零点的定义得到()2ππe e 11sin 36x xa x -⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式和正弦函数的有界性求出a 的值.【详解】由函数()f x 的导函数()f x '满足：2()()e x f x f x -='，且()02f =，不妨设()2e e x xf x =+满足条件.此时()()()22ππeee e 1sin 36xxx x g x a x --⎛⎫=+++-+ ⎪⎝⎭.令()0g x =，即()2ππe 1e 1sin 036x x a x -⎛⎫+++-+= ⎪⎝⎭，()2ππe e 11sin 36x xa x -⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭有且仅有一个零点.因为22e e 12e 12e 1x x -++≥+=+，当且仅当2e e x x -=即1x =时取“＝”，当1x ≠时，2e e 12e 1x x -++>+，又ππ1sin 136x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()ππ11sin 136a a x a ⎛⎫--≤-+≤- ⎪⎝⎭，此时()2ππe e 11sin 36x xa x -⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭要么没零点，要么不仅一个零点，所以1x =是()g x 的唯一零点，此时()()11ππ1e 1e 1sin 2e 11036g a a ⎛⎫=+++-+=++-= ⎪⎝⎭，解得2a e =-，所以2a e =-.故选：B.二、多选题9．已知m ，n ，l 为空间中三条不同的直线，α，β，γ，δ为空间中四个不同的平面，则下列说法中正确的有（）A ．若m l ⊥，n l ⊥，则//m nB ．已知l αβ= ，m βγ= ，n γα=I ，若l m P = ，则P n ∈C ．若m α⊥，m β⊥，//αγ，则//βγD ．若αβ⊥，γα⊥，δβ⊥，则γδ⊥BC【分析】对于A ，由空间中的两直线的位置关系判断，对于B ，由平面的性质分析判断，对于C ，由线面垂直的性质和面面平行的判定方法分析判断，对于D ，在正方体模型中分析判断.【详解】m l ⊥，n l ⊥，则m 与n 可能平行，可能相交，也可能异面，A 错.因为l αβ= ，m βγ= ，l m P = ，所以,P P αγ∈∈，因为n γα=I ，所以P n ∈，B 对.m α⊥，m β⊥，则αβ∥，又αγ∥，则βγ∥，C 对.正方体中，设面α为面ABCD ，平面β为面11BCC B ，面γ为面11ABB A ，面δ为面11CDD C ，则αβ⊥，αγ⊥，δβ⊥，但γδ∥，D 错，故选：BC.10．记A ，B 为随机事件，下列说法正确的是（）A ．若事件A ，B 互斥，()12P A =，()13P B =，()56P A B = B ．若事件A ，B 相互独立，()12P A =，()13P B =，则()23P A B ⋃=C ．若()12P A =，()34P A B =，()38P A B =，则()13P B =D ．若()12P A =，()34P A B =，()38P A B =，则()14P B A =BC【分析】对于A ，根据互斥事件和对立事件的性质分析判断即可，对于B ，根据相互独立事件的性质分析判断，对于CD ，根据条件概率的公式和对立事件的性质分析判断.【详解】11()()()()1()23P A B P A P B P AB P AB =+-=-+- 1()()()()3P B P AB P AB P AB =+==，∴1()2P A B = ，A 错.11112()()()()()()()()23233P A B P A P B P AB P A P B P A P B =+-=+-=+-⨯= ，B 对.令()P B x =，()1P B x =-，()()()()34P AB P AB P A B P B x===，∴()34P AB x =，()()()()318P AB P AB P A B x P B ===-，∴()()318P AB x =-，331()()()(1)1482P A P AB P AB x x =+=+-=-，∴13x =，C 对.()()()()()()1311343162P B P AB P AB P B A P A P A -⨯-====，D 错，故选：BC.11．已知双曲线2214y x -=，直线l ：()2y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l垂直的直线分别交x 轴、y 轴于()0,0A x ，()00,B y 两点.当点M 变化时，点()00,P x y 之变化.则下列结论中正确的是（）A ．224k m =+B ．002y kx =C ．P 点坐标可以是()7,6D ．220011x y -有最大值125ACD【分析】联立双曲线和直线方程并根据有唯一公共点可得224k m =+，可判断A 正确；利用直线的点斜式方程写出直线AB 的直线方程可解得05k x m =-，05y m =-，所以B 错误；易知55,kP m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可知当56m -=时，57km-=，所以P 点坐标可以是()7,6，即C 正确；由4222222001154412525255k k k x y k k ⎛⎫-+--==-++ ⎪⎝⎭可利用基本不等式得当2k =±时，220011x y -有最大值125，即D 正确.【详解】对于A ，联立2214y x y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消y 可得()2224240k x kmx m ----=，直线与双曲线只有一个公共点，且2k ≠±，则Δ0=，∴()()222244440k m k m ----=，∴224k m =+，即选项A 正确；对于B ，由方程可得M k x m =-，则2224M k m k y m m m m --=-+==，∴4,k M m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则AB 的直线方程为41k y x m k m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，令0y =，05kx m=-，令0x =，05y m=-，所以00y kx =，即B 错误；对于C ，则易知55,kP mm ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，若56m -=，则56m =-，22549466k =+=，取76k =，7565756k m -=-⨯=-，即()7,6P ，所以C 正确；对于D ，可得()()222222242222222004111542525252525k k m m m m k k k x y k k k k ----+--=-===22414112252552525525k k ⎛⎫=-++≤-+= ⎪⨯⎝⎭，当且仅当2k =±时，等号成立，即D 正确；故选：ACD12．三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（）A ．sin 3sin1cos1>B ．3tan12>C ．()()ln cos1sin cos 2<D ．1sin 412sin 43⎛⎫<⎪⎝⎭BC【分析】对于A ，利用三角函数的性质判断出sin 30.3<，sin1cos10.3⋅>，即可判断；对于B ，判断出5tan111>，即可判断；对于C ，令cos1x =，1222x <<，利用导数判断单调性即可判断；对于D ，构造函数()ln f x x x =，利用导数判断出2()ln 3f x >，即可判断，【详解】对于A ，∵62sin 3sin171sin 9sin150.34-<︒=︒<︒=<，11112sin1cos1sin 2sin115sin 65sin 450.322224⋅=>︒=︒>︒=>，∴sin 3sin1cos1<，故A 错误；对于B ，记()3sin 6x g x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >，则()2cos 12x g x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，记()2cos 12x p x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，0x >，则()sin p x x x '=-+，令()sin m x x x =-+，0x >，则()cos 10m x x '=-+≥恒成立，所以()m x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00m x m >=，所以()0p x '>，所以()p x 在()0,∞+上单调递增，而()()200cos 0102p x p ⎛⎫>=--= ⎪⎝⎭，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=，所以3sin 6x x x >-，0x >，所以5sin16>，所以11cos16<，5tan111>，53211>，故3tan12>，故B 正确；对于C ，记()()ln 1f x x x =--，则()111x f x x x-'=-=，令()0f x ¢>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >；函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以对任意0x >，都有()()10f x f ≤=，即ln 1≤-x x 恒成立，令cos1x =，1222x <<，所以ln(cos1)ln 1x x =<-，对于函数()sin n x x x =-+，0x <，因为()cos 10n x x '=-+≥恒成立，所以()n x 在(),0∞-上单调递增，所以()()00n x n <=，即sin x x <在0x <上恒成立，因为cos20<，即2210x -<，所以()22sin(cos 2)sin 2121x x =->-，因为2121(12)0x x x x --+=-<，所以()22ln 121sin 21ln(cos1)sin(cos 2)x x x x <-<-<-⇒<，故C 正确，对于D ，令1sin4x =，若22ln ln 33x x x x <⇒<，令()ln f x x x =，()1ln 10ef x x x '=+=⇒=，由()0f x ¢>解得：1e x >，()0f x '<解得：10e x <<，所以()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1()0.4e f x ≥->-，记()()21ln ,01x x x x x ϕ-=->+，因为()()()()222114011x x x x x x ϕ-'=-=≥++，所以()x ϕ在()0,∞+上单调递增，因为()()2111ln1011ϕ-=-=+，所以()2103ϕϕ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即22123ln 0.42313⎛⎫- ⎪⎝⎭<=-+，所以2()ln 3f x >，则1sin412sin 43⎛⎫> ⎪⎝⎭，故D 错.故选：BC.方法点睛：比较大小类题目解题方法：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.三、填空题13．设随机变量()~3,2,10X H ，则()1P X ==______.715【分析】根据超几何分布计算公式可得2182310C C 7(1)C 15P X ===.【详解】由随机变量X 服从超几何分布()~3,2,10X H ，可知3表示选出3个，2表示有2个供选择，总数为10，根据超几何分布公式可得2182310C C 7(1)C 15P X ===.故71514．74212x y xy ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______.10516/6.5625【分析】利用组合知识处理二项式展开问题即可得解.【详解】74212x y xy ⎛⎫++ ⎪⎝⎭可看作7个4212x y xy ++相乘，要求出常数项，只需提供一项4x ，提供4项12xy，提供2项2y ，相乘即可求出常数项，即()421442761105C C 216x y xy ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.故1051615．已知抛物线1C ：216y x =，圆2C ：()2241x y -+=，点M 的坐标为()8,0，P Q 、分别为1C 、2C 上的动点，且满足PM PQ =，则点P 的横坐标的取值范围是______.3955,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用抛物线的定义和圆的性质得到4141x PM x +-≤≤++，转化为222691664161025x x x x x x x ++≤-++≤++，即可解得.【详解】因为抛物线：216y x =的焦点()4,0，准线：4x =-，所以圆心2C 即为抛物线的焦点F ，设(),P x y ，∴11PF PQ PF -≤≤+，∴4141x PQ x +-≤≤++.∵PM PQ =，∴4141x PM x +-≤≤++，2241(8)41x x y x +-≤-+≤++，∴222691664161025x x x x x x x ++≤-++≤++，∴3955106x ≤≤.故3955,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、双空题16．已知数列{}n a 满足1a a =，()*12,21N 1,22n n n a n k a k a n k ++=-⎧⎪=∈⎨=⎪⎩，当1a =时，10a =______；若数列{}n a 的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数a 的值为______.63162【分析】先利用递推公式求出121(2)42n n a a -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，1211(2)22n n a a --⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，再由1a =，求出10a ；利用通项公式判断出a 的值为2.【详解】∵()*12,21N 1,22n n n a n k a k a n k ++=-⎧⎪=∈⎨=⎪⎩∴222121222n n n a a a ++=+=+∴()2221442n n a a +-=-.∵1a a =，∴2122a a a =+=+，∴1122114(2)(2)422n n n n a a a a --⎛⎫⎛⎫-=-⋅⇒=-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.∴当1a =时，()410163124216a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.因为2212n n a a -=+，所以1211(2)22n n a a --⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭.要使{}n a 的所有项仅取有限个不同的值，则2a =，此时24n a =，212n a -=.否则2a ≠时，{}n a 取值有无穷多个.故6316；2.五、解答题17．已知()sin ,cos a x x ωω= ，()cos ,3cos b x x ωω= ，其中0ω>，函数()32f x a b a ⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足322A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求a b 的取值范围.(1)单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z(2)3,32a b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示可知()sin 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由最小正周期为π可得1ω=，即可知()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数单调性即可求得()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）根据三角形形状可得ππ62B <<，再由正弦定理得sin 3sin 2sin a A b B B==，又1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,32a b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.【详解】（1）因为(sin ,cos )a x x ωω=，(cos ,3cos )b x x ωω= ，则22sin cos 1a x x ωω=+= ，(sin ,cos )(cos ,3cos )a b x x x x ωωωω⋅=⋅2sin cos 3cos x x xωωω=+133sin 2cos 2222x x ωω=++π3sin 232x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故2333()sin 22223f x a b a a b a a b x πω⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅-=⋅-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 最小正周期为π，所以2ππ2T ω==，所以1ω=，故()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，解得5ππππ1212k x k -+≤≤+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）由（1）及322A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππ3sin 2sin 2332A A ⎛⎫⎛⎫⨯+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π2π33A +=，解得π3A =，又ABC 为锐角三角形，即π02π02B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即π02π0π2B B A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得ππ62B <<；由正弦定理得sin 3sin 2sin a A b B B==，又ππ62B <<，则1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,32a b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.18．已知正项数列{}n a 满足11a =，2218n n a a n +-=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记sin π2n n n a b a ⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前2023项的和.(1)()221n a n =-(2)2023【分析】（1）由递推关系式，结合累加法求得2n a 的通项公式，分析可得{}n a 的通项公式；（2）根据n b 的关系式，结合并项求和即可得{}n b 的前2023项的和.【详解】（1）对任意的*n ∈N ，因为2218n n a a n +-=，当2n ≥时，()()2222221211n n n a a a a a a -=-++-+ ()81811n =-+⋅⋅⋅+⨯+()812311n =+++⋅⋅⋅+-+⎡⎤⎣⎦(1)812n n -=⨯+()221n =-，因为0n a >，故21n a n =-.当1n =时，11a =符合21n a n =-，所以21n a n =-，*n ∈N .（2）1sin π(1)(21)2n n n n a b a n +⎛⎫=⋅⋅=-- ⎪⎝⎭，所以当*k ∈N 时，()22141412k k b b k k ++=--++=，故1232023b b b b +++⋅⋅⋅+()()()1234520222023b b b b b b b =+++++⋅⋅⋅++1210112023=+⨯=.19．如图，圆锥DO 中，AE 为底面圆O 的直径，AE AD =，ABC 为底面圆O 的内接正三角形，圆锥的高18DO =，点P 为线段DO 上一个动点.(1)当36PO =时，证明：PA ⊥平面PBC ；(2)当P 点在什么位置时，直线PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大.(1)证明见解析；(2)P 点在距离O 点36处【分析】（1）利用勾股定理证明出AP BP ⊥和AP CP ⊥，再用线面垂直的判定定理证明出PA ⊥平面PBC ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）因为AE AD =，AD DE =，所以ADE V 是正三角形，则3DAO π∠=，又DO ⊥底面圆O ，AE ⊂底面圆O ，所以DO AE ⊥，在Rt AOD 中，18DO =，所以633DO AO ==，因为ABC 是正三角形，所以32633182AB AO =⨯⨯=⨯=，2292AP AO PO =+=，BP AP =，所以222AP BP AB +=，AP BP ⊥，同理可证AP CP ⊥，又BP PC P = ，BP ，PC ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC .（2）如图，建立以O 为原点的空间直角坐标系O xyz -.设PO x =，（018x ≤≤），所以()0,0,P x ，()33,9,0E -，()33,9,0B ，()63,0,0C -，所以()33,9,EP x =- ，()33,9,PB x =- ，()63,0,PC x =--，设平面PBC 的法向量为(),,n a b c = ，则3390630n PB a b cx n PC a cx ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，令a x =，则3b x =-，63c =-，故(),3,63n x x =--，设直线PE 和平面PBC 所成的角为θ，则2222233936363sin cos ,10831081084108x x x x EP n x x x x x θ+-===+⋅+++⋅+ 222222636313108108454024540x x xx=≤=++⋅+，当且仅当2221084x x=，即36PO x ==时，直线PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大，故P 点在距离O 点36处.20．一只不透朋的袋中装有10个相同的小球，分别标有数字0~9，先后从袋中随机取两只小球.用事件A 表示“第二次取出小球的标号是2”，事件B 表示“两次取出小球的标号之和是m ”.(1)若用不放回的方式取球，求()P A ；(2)若用有放回的方式取球，求证：事件A 与事件B 相互独立的充要条件是9m =.(1)110；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式计算作答.（2）利用列举法求出概率，结合独立性推理判断充分性，再利用条件概率公式推理判断必要性作答.【详解】（1）用C 表示“第一次取出小球的标号是2”，则1()10P C =，(|)0P A C =，9()10P C =，1(|)9P A C =，所以()()()()P A P CA CA P CA P CA =+=+()()()()P C P A C P C P A C =⨯+⨯191101010910=⨯+⨯=.（2）记第一次取出的球的标号为x ，第二次的球的标号为y ，用数组(),x y 两次取球，则()100n Ω=，充分性：当9m =时，事件B 发生包含的样本点为)(,(,5),(4,)),((,6),(3,)),((,7),921),,0,827,36,45()(81,9,0,，因此()101()()10010n B P B n ===Ω，事件AB 发生包含的样本点为()7,2，则()1()()100n AB P AB n ==Ω，又1()10P A =，于是()()()P AB P A P B =，所以事件A 与事件B 相互独立；必要性因为事件A 与事件B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，即()()()P AB P A P B =，而1()10P A =，()()()()P AB n AB P B n B =，于是()1()10n AB n B =，事件AB 发生包含的样本点为()2,2m -，即()1n AB =，则()10n B =，又x y m +=，09x ≤≤，09y ≤≤，因此关于x 的不等式组0909x m x ≤≤⎧⎨≤-≤⎩，有10组整数解，即关于x 的不等式组099x m x m ≤≤⎧⎨-≤≤⎩，有10组整数解，从而990m m =⎧⎨-=⎩，得9m =，所以事件A 与事件B 相互独立的充要条件是9m =.21．已知椭圆E ：221164x y +=，椭圆上有四个动点A ，B ，C ，D ，//CD AB ，AD 与BC 相交于P 点.如图所示.(1)当A ，B 恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD 与BC 的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；(2)若点P 的坐标为()8,6，求直线AB 的斜率.(1)是定值，定值为14(2)13-【分析】（1）由题意求出直线AB 的斜率，再求//CD AB 可设直线CD 的方程为()122y x t t =-+≠，设()11,D x y ，()22,C x y ，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，然后求解AD BC k k 即可；（2）设()33,A x y ，()44,B x y ，(),D x y ，记PD DA λ=，表示出点D 的坐标，将A ，D 两点的坐标代入椭圆方程，化简得3331220x y λλλ++-=，再由CD AB ∥可得PC CB λ=，从而可得4431220x y λλλ++-=，进而可得直线AB 的方程，则可求出其斜率.【详解】（1）由题意知，4a =，2b =，所以(0,2)A ，()4,0B ，所以12AB k =-，设直线CD 的方程为()122y x t t =-+≠，设()11,D x y ，()22,C x y ，联立直线CD 与椭圆的方程22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得222280x tx t -+-=，由()2244280t t ∆=-->，解得2222t -<<，且2t ≠，则122x x t +=，21228x x t =-，所以()()12121212111222244AD BCx t x t y y k kx x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭==--21212212111()2424x x t x x t x tx x x -+++-=-2221121121442222244t t x t t x t x x x x x x --+-+--==--21214122844t x t x --==--，故直线AD 与BC 的斜率之积是定值，且定值为14.（2）设()33,A x y ，()44,B x y ，(),D x y ，记PD DA λ=(0λ≠)，得3386x x x y y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩.所以338161x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩.又A ，D 均在椭圆上，所以22332233116486111164x y x y λλλλ⎧+=⎪⎪⎪⎨++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎩，化简得3331220x y λλλ++-=，因为CD AB ∥，所以PC CB λ=，同理可得4431220x y λλλ++-=，即直线AB ：31220x y λλλ++-=，所以AB 的斜率为13-.关键点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，解题的关键是设出直线CD 的方程，代入椭圆方程中消元化简，再利用根与系数的关系，再利用直线的斜率公式表示出AD BC k k ，结合前面的式子化简计算可得结果，考查计算能力和数形结合的思想，属于较难题.22．已知函数21()ln 2f x x x ax =-，()(R)g x x a a =-+∈.(1)若y x =与()f x 的图象恰好相切，求实数a 的值；(2)设函数()()()F x f x g x =+的两个不同极值点分别为1x ，2x （12x x <）.（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求正数λ的取值范围（e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数）(1)22e a =(2)（i ）10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（ii ）[)1,+∞【分析】（1）求导得到导函数，设出切点，根据切线方程的公式得到方程组，解得答案.（2）求导得到导函数，构造函数ln ()x h x a x=-，求导得到单调区间，计算极值确定1e a <，再排除0a ≤的情况，得到取值范围，确定1212lnx x a x x =-，设12x t x =，转化得到(1)(1)ln 0()t t t λλ+--<+，设出函数，求导计算单调区间，计算最值得到答案.【详解】（1）21()ln 2f x x x ax =-，()ln 1f x x ax =+-'，设y x =与()f x 的图象的切点为()00,x x ，则0020000ln 11 1ln 2x ax x x ax x +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得20e x =，22e a =.（2）（i ）21()()()ln 2F x f x g x x x x ax a =+=--+，定义域为()0,∞+，()ln F x x ax '=-.()ln 0F x x ax '=-=有两个不等实根1x ，2x ，考察函数ln ()x h x a x =-，21ln ()xh x x-'=，所以()e 0h '=，当0e x <<时，()0h x '>，所以()h x 在区间()0,e 上单调递增；当e x >时，()0h x '<，所以()h x 在区间()e,+∞上单调递减.故()h x 的极大值也是最大值为()1e eh a =-.因为()h x 有两个不同的零点，所以()e 0h >，即10ea ->，即1ea <；当0a ≤时，当e x >时，()0h x >恒成立，故()h x 至多一个零点，不符合题意，综上所述10ea <<下证：当10ea <<时，()h x 有两个不同的零点.()10h a =-<，()e 0h >，所以()h x 在区间()0,e 内有唯一零点；222111ln h a aaa ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1t a =，考察函数()2ln t t t ϕ=-，2()1t t ϕ'=-，可得max ()2ln 220t ϕ=-<，所以210h a⎛⎫⎪⎭<⎝，所以()h x 在区间()e,+∞内有唯一零点.综上所述：a 的取值范围为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（ii ）由题设条件和（i ）可知：121x e x <<<，11ln x ax =，22ln x ax =，所以：11221212lnln ln x x x x a x x x x -==--，若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立，两边取对数得12ln ln 1x x λλ-<-，所以()1112221212121122ln ln1ln ln 1x x x x x x x x ax a x x x x x x x λλλλλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+<+=+=⋅+=--，令12x t x =，则()0,1t ∈，()ln 11t t t λλ++<-恒成立，所以(1)(1)ln 0()t t t λλ+--<+在()0,1t ∈时恒成立.令(1)(1)()ln ()t h t t t λλ+-=-+，()0,1t ∈，则()2222(1)1(1)()()()t t h t t t t t λλλλ--+'=-=++.若21λ≥，即1λ≥，则当()0,1t ∈时()0h t '>，故()h t 在()0,1上单调递增，所以()()10h t h <=恒成立，满足题意；若01λ<<，则当()2,1t λ∈时有()0h t '<，故()h t 在()2,1λ上单调递减，所以当()2,1t λ∈时，()()10h t h <=，不满足题意.综上所述，正数λ的取值范围为[)1,+∞.关键点睛：本题考查了利用切线求参数，根据极值点求参数，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中变换得到1212lnx x a x x =-，再利用换元法构造函数求最值是解题的关键.。
江苏省四校联考2025届高三第三次测评数学试卷含解析
江苏省四校联考2025届高三第三次测评数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为1)-，则b c +=（ ）A ．5B ．C ．4D ．162．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．53．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b-=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、 B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（ ） A ．43 B ．54 C ．65D ．764．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ）A ．,,a b c 依次成等差数列BC ．222,,a b c 依次成等差数列D ．333,,a b c 依次成等差数列5．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ）A ．B ．2C ．4D ．36．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =，DF FC =，且6AF BE ⋅=-，则向量AD 在AB 上的投影为（ ） A ．2B ．2-C ．32D ．32-7．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%8．已知向量a ，b ，b =(1，3)，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于（ ） A ．2B ．1C ．12D ．09．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺 10．函数24y x =-A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<11．已知复数()()2019311i i z i --=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．25z =12．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）． A ．2π B ．3π C ．512π D ．712π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届江苏南京市、盐城市高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 理 试 题2020．01(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡．．．相应的位置上．．．．．．．） 1．已知集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝ ． 答案：(-∞，0] 考点：集合及其补集解析：∵集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝(-∞，0]． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅＝ ． 答案：5 考点：复数解析：∵2z i =+，∴2(2)(2)45z z i i i ⋅=+-=-=．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ． 答案：23考点：等可能事件的概率解析：所有基本事件数为3，包含甲的基本事件数为2，所以概率为23． 4．命题“θ∀∈R ，cos θ＋sin θ＞1 ”的否定是 命题（填“真”或“假”）． 答案：真 考点：命题的否定解析：当θπ=-时，cos θ＋sin θ＝﹣1＜1，所以原命题为假命题，故其否定为真命题． 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ．答案：6考点：算法（伪代码）解析：第一遍循环 S ＝0，I ＝1，第二轮循环S ＝1，I ＝2 ，第三轮循环S ＝3，I ＝3，第四轮循环S ＝6，I＝4，第五轮循环S ＝10，I ＝5，第六轮循环S ＝15，I ＝6，所以输出的 I ＝6． 6．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110，则此样本的方差是 ． 答案：2考点：平均数，方差解析：依题可得x ＋y ＝21，不妨设x ＜y ，解得x ＝10，y ＝11，所以方差为22222210(1)(2)5+++-+-＝2．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ．答案：考点：抛物线及其性质解析：抛物线的准线为x ＝−1，所以P 横坐标为2，带入抛物线方程可得P(2，±)，所以OP＝8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，则21a a 的值为 ． 答案：3考点：等差中项，等差数列的通项公式 解析：∵ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，∴2152a a a =，故2111(4)()a a d a d +=+，又公差不为0，解得12d a =，∴21111133a a d a a a a +===． 9．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC —A 1B 1C 1与四棱锥P —ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则21V V ＝ ． 答案：23考点：棱柱棱锥的体积解析：1111121123C ABB A C A B C V V V V V ==-=——，所以2123V V =．10．设函数()sin()f x x ωϕ=+ (ω＞0，0＜ϕ＜2π)的图象与y轴交点的纵坐标为2， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ． 答案：7考点：三角函数的图像与性质解析：∵()f x 的图象与y轴交点的纵坐标为2，∴sin ϕ=，又0＜ϕ＜2π，∴3πϕ=， ∵y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π， ∴3632ππωπ+=，解得ω＝7． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），11AH AB AC 42=+u u u r u u u r u u u r，则 cos ∠BAC 的值为 ．考点：平面向量解析：∵H 是△ABC 的垂心， ∴AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，∵11AH AB AC 42=+u u u r u u u r u u u r，∴1131BH AH AB AB AC AB AB AC 4242=-=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r则11AH BC (AB AC)(AC AB)042⋅=+⋅-=u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，31BH AC (AB AC)AC 042⋅=-+⋅=u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ，即22111AC AB AC AB 0244--⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，231AC AB AC 042-⋅+=u u ur u u u r u u u r ，化简得：22111cos BAC 0244b c bc --∠=，231cos BAC+042bc b -∠=则2222 cos BAC3b c bbc c-∠==，得3b c=，从而3cos BAC∠=．12．若无穷数列{}cos()nω(ω∈R)是等差数列，则其前10项的和为．答案：10考点：等差数列解析：若等差数列公差为d，则cos()cos(1)n d nωω=+-，若d＞0，则当1cos1ndω->+时，cos()1nω>，若d＜0，则当1cos1ndω-->+时，cos()1nω<-，∴d＝0，可得cos2cosωω=，解得cos1ω=或1cos2ω=-（舍去），∴其前10项的和为10．13．已知集合P＝{}()16x y x x y y+=，，集合Q＝{}12()x y kx b y kx b+≤≤+，，若P⊆Q，则1221b bk-+的最小值为．答案：4考点：解析几何之直线与圆、双曲线的问题解析：画出集合P的图象如图所示，第一象限为四分之一圆，第二象限，第四象限均为双曲线的一部分，且渐近线均为y x=-，所以k＝−1，所求式为两直线之间的距离的最小值，所以1b=，2y kx b=+与圆相切时最小，此时两直线间距离为圆半径4，所以最小值为4．14．若对任意实数x∈(-∞，1]，都有2121xex ax≤-+成立，则实数a的值为．答案：12-考点：函数与不等式，绝对值函数解析：题目可以转化为：对任意实数x ∈(-∞，1]，都有2211xx ax e -+≥成立，令221()x x ax f x e -+=，则(1)[(21)]()xx x a f x e --+'=，当211a +≥时，()0f x '≤，故()f x 在(-∞，1]单调递减，若(1)0f ≤，则()f x 最小值为0，与()1f x ≥恒成立矛盾；若(1)0f >，要使()1f x ≥恒成立，则(1)f =121a e -≥，解得12ea ≤-与211a +≥矛盾．当211a +<时，此时()f x 在(-∞，21a +)单调递减，在(21a +，1)单调递增，此时min ()(21)f x f a =+，若(21)0f a +≤，则()f x 最小值为0，与()1f x ≥恒成立矛盾；若(21)0f a +>，要使()1f x ≥恒成立，则min 2122()(21)a a f x f a e ++=+=1≥． 接下来令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤， 设()1tg t e t =--，则()1tg t e '=-，则()g t 在(-∞，0)单调递减，在(0，1)单调递增，当t ＝0时，()g t 有最小值为0，即()0g t ≥，又我们要解的不等式是()0g t ≤，故()0g t =，此时210a +=，∴12a =-． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知△ABC 满足sin(B )2cos B 6π+=．（1）若cosC AC ＝3，求AB ； （2）若A ∈(0，3π)，且cos(B ﹣A)＝45，求sinA ．解：16．（本题满分14分）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点． （1）若A 1C//平面PBD ，求1PC PC的值； （2）求证：BD ⊥A 1P ．证明：17．（本题满分14分）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中剪裁出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，剪裁出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A ，B 在⊙O 上，点P ，Q 在⊙O 的一条直径上，AB ∥PQ ，⊙P ，⊙Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与⊙O 内切．（1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）解：18．（本题满分16分）设椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是e ，动点P(0x ，0y ) 在椭圆C上运动．当PF 2⊥x 轴时，0x ＝1，0y ＝e ．（1）求椭圆C 的方程；（2）延长PF 1，PF 2分别交椭圆于点A ，B （A ，B 不重合）．设11AF FP λ=u u u r u u u r ，22BF F P μ=u u u r u u u r，求λμ+的最小值．解：19．（本题满分16分）定义：若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“M(q )数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若2b ＝4，且数列{}n b 是“M(q )数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为“M(q )数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“M(2)数列”，是否存在正整数m ，n ，使得4039404020192019mn b b <<？若存在，请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由． 解：20．（本题满分16分）若函数()x xf x e aemx -=--(m ∈R)为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值； （2）求实数m 的取值范围； （3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围． 解：附加题，共40分21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知圆C 经矩阵M ＝ 33 2a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆C ′：2213x y +=，求实数a 的值． 解：B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．解：C ．选修4—5：不等式选讲已知正实数 a ，b ，c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值． 解：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，AA 1，BB 1是圆柱的两条母线，A 1B 1，AB 分别经过上下底面的圆心O 1，O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD ＝2．（1）若AA 1＝3，求异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值；（2）若二面角A 1—CD —B 1的大小为3，求母线AA 1的长．解：23．（本小题满分10分）设22201221(12)n i n n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++L ．（1）求n S ；（2）记123123(1)n nn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：36n T n ≥恒成立． 解：。
2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x|log 2x ≤2}，B ={x|x 2−x −2＜0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（0，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣∞，4]D ．（﹣1，4]2．若a →，b →是夹角为60°的两个单位向量，λa →+b →与﹣3a →+2b →垂直，则λ＝（ ） A ．18B ．14C ．78D ．743．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为3√5π，则原圆锥的母线长为（ ） A ．2B ．√5C ．4D ．2√54．已知x ，y 取表中的数值，若x ，y 具有线性相关关系，线性回归方程为y =0.95x +2.6，则a ＝（ ）A ．2.2B ．2.4C ．2.5D ．2.65．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点（t ，﹣1），若cosα=√55，则tan(α+π4)=（ ） A ．﹣3B ．13C ．−13D ．36．已知数列{a n }通项公式为a n ={3n 2−2tn +2，n ≤74n +94，n ＞7，若对任意n ∈N *，都有a n +1＞a n ，则实数t 的取值范围是（ ） A ．t ∈[3，+∞） B ．t ∈[2314，92) C ．t ∈(2314，92)D ．t ∈[2314，+∞)7．已知圆C 1：x 2+y 2=b 2(b ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，若在双曲线C 2上存在一点P ，使得过点P 所作的圆C 1的两条切线，切点为A 、B ，且∠APB =π3，则双曲线C 2的离心率的取值范围是（ ）A ．(1，√52] B ．[√52，+∞) C ．(1，√3] D ．[√3，+∞)8．定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）+f （x ）＝0，f （﹣x ）＝f （x +2）；且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 3﹣x 2+x ．则方程4f （x ）﹣x +2＝0所有的根之和为（ ） A ．6B ．12C ．14D ．10二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．已知复数z ＝2+i ，z 1＝x +yi （x ，y ∈R ）（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为﹣i B ．z 对应的点在第一象限C ．|z||z|=1D ．若|z ﹣z 1|≤1，则在复平面内z 1对应的点形成的图形的面积为π 10．已知a ＞0，b ＞0，a +2b ＝1，则（ ） A ．2a+1b 的最小值为4B ．ab 的最大值为18C ．a 2+b 2的最小值为15D ．2a +4b 的最小值为2√211．函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）在区间[−π2，π2]上为单调函数，图象关于直线x =2π3对称，则（ ） A ．ω=34B ．将函数f （x ）的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y 轴对称C ．若函数f （x ）在区间(a ，14π9)上没有最小值，则实数a 的取值范围是(−2π9，14π9) D ．若函数f （x ）在区间(a ，14π9)上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是[−4π3，0) 12．已知椭圆C ：x 24+y 2b 2=1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P(√2，1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（ ） A ．离心率e 的取值范围为(0，√22)B ．当e =√24时，|QF 1|+|QP |的最大值为4+√62 C ．存在点Q ，使得QF 1→•QF 2→=0D ．1|QF 1|+1|QF 2|的最小值为1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为 （用数字作答）．14．设(2x −1)6=a 6x 6+a 5x 5+⋯+a 1x +a 0，则a 1+a 3+a 5＝ ．（用数字作答）15．现有一张正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，…，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为 ． 16．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥AB ，AC ＝2，AA 1＝4，AB ＝6，点E ，F 分别是AA 1，AB 上的动点，那么C 1E +EF +FB 1的长度最小值是 ，此时三棱锥B 1﹣C 1EF 外接球的表面积为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 2+a n ＝2S n +2，数列{b n }满足b n =a n ⋅3a n ．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和T n ．18．（12分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝c （a +c ）． （1）若B =π4，求ca 的值；（2）若△ABC 是锐角三角形，求√3sinB +2cos 2C 的取值范围．19．（12分）为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学A 类试题中有7道题能答对，而他答对各道B 类试题的概率均为23．（1）若该同学只抽取3道A 类试题作答，设X 表示该同学答这3道试题的总得分，求X 的分布和期望；（2）若该同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．20．（12分）已知在多面体ABCDE 中，DE ∥AB ，AC ⊥BC ，BC ＝2AC ＝4，AB ＝2DE ，DA ＝DC 且平面DAC ⊥平面ABC ．（Ⅰ）设点F 为线段BC 的中点，试证明EF ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60°，求二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值．21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)经过点P （4，6），且离心率为2．（1）求C 的方程；（2）过点P 作y 轴的垂线，交直线l ：x ＝1于点M ，交y 轴于点N ．设点A ，B 为双曲线C 上的两个动点，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1+k 2＝2，求S △MAB S △NAB．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x −a3x 3−x 22−2ax ．（1）当a ＝0时，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）若f （x ）在[0，+∞）上单调递增，求a 的取值范围； （3）若f （x ）的最小值为1，求a ．2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x|log 2x ≤2}，B ={x|x 2−x −2＜0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（0，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣∞，4]D ．（﹣1，4]解：因为A ＝{x |log 2x ≤2}＝（0，4]，B ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}＝（﹣1，2），所以A ∪B ＝（﹣1，4]． 故选：D ．2．若a →，b →是夹角为60°的两个单位向量，λa →+b →与﹣3a →+2b →垂直，则λ＝（ ） A ．18B ．14C ．78D ．74解：a →，b →是夹角为60°的两个单位向量， 则|a →|=|b →|=1，a →⋅b →=|a →||b →|cos60°=12， λa →+b →与﹣3a →+2b →垂直，则(λa →+b →)⋅(−3a →+2b →)=−3λa →2+(2λ−3)a →⋅b →+2b →2=−3λ+λ−32+2=0，解得λ=14． 故选：B ．3．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为3√5π，则原圆锥的母线长为（ ） A ．2B ．√5C ．4D ．2√5解：设圆台的母线长为l ， ∵该圆台的侧面积为3√5π，∴由圆台侧面积公式可得πl （1+2）＝3πl ＝3√5π，解得l =√5， 设截去的圆锥的母线为l ′， 由三角形相似可得l′l′+l=12，则2l ′＝l ′+√5，解得l ′=√5，∴原圆锥的母线长为l ′+l =√5+√5=2√5． 故答案为：2√5． 故选：D ．4．已知x ，y 取表中的数值，若x ，y 具有线性相关关系，线性回归方程为y =0.95x +2.6，则a ＝（ ）A ．2.2B ．2.4C ．2.5D ．2.6解：易知x =0+1+3+44=2，y =a+4.3+4.8+6.74=a+15.84， 所以样本点中心为(2，a+15.84)， 因为线性回归方程为y =0.95x +2.6， 所以a+15.84=0.95×2+2.6，解得a ＝2.2．故选：A ．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点（t ，﹣1），若cosα=√55，则tan(α+π4)=（ ） A ．﹣3B ．13C ．−13D ．3解：由任意角的三角函数公式可知cosα=t√t +1=√55，解得t =12，所以tanα=y x =−2，所以tan(α+π4)=tanα+tan π41−tanαtan π4=−2+11−(−2)×1=−13， 故选：C ．6．已知数列{a n }通项公式为a n ={3n 2−2tn +2，n ≤74n +94，n ＞7，若对任意n ∈N *，都有a n +1＞a n ，则实数t 的取值范围是（ ） A ．t ∈[3，+∞） B ．t ∈[2314，92) C ．t ∈(2314，92) D ．t ∈[2314，+∞) 解：根据题意，数列{a n }通项公式为a n ={3n 2−2tn +2，n ≤74n +94，n ＞7，即当n ∈{1，2，3，4，5，6，7}时，a n+1−a n =3(n +1)2−2t(n +1)+2−3n 2+2tn −2=6n +3−2t ＞0恒成立，所以2t ＜6n +3对n ∈{1，2，3，4，5，6，7}恒成立，故2t ＜9⇒t ＜92， 又当n ＞7，n ∈N 时，a n ＝4n +94为单调递增的数列，故要使对任意n ∈N *，都有a n +1＞a n ，则a 8＞a 7，即4×8+94＞3×72﹣14t +2，解得t ＞2314， 综上可得t ∈(2314，92)． 故选：C ．7．已知圆C 1：x 2+y 2=b 2(b ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，若在双曲线C 2上存在一点P ，使得过点P 所作的圆C 1的两条切线，切点为A 、B ，且∠APB =π3，则双曲线C 2的离心率的取值范围是（ ） A ．(1，√52] B ．[√52，+∞) C ．(1，√3] D ．[√3，+∞)解：连接OA 、OB 、OP ，则OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，由切线长定理可知，|P A |＝|PB |，又因为|OA |＝|OB |，|OP |＝|OP |，所以，△AOP ≌△BOP ， 所以，∠APO =∠BPO =12∠APB =π6，则|OP |＝2|OA |＝2b ，设点P （x ，y ），则y 2=b 2x 2a2−b 2，且|x |≥a ，所以，|OP|=2b =√x 2+y 2=√x 2+b 2x 2a 2−b 2=√c 2x 2a 2−b 2≥√c 2a2⋅a 2−b 2=a ， 所以，ba ≥12，故e =c a =√c 2a 2=√1+(b a )2≥√1+14=√52，故选：B．8．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，f（﹣x）＝f（x+2）；且当x∈[0，1]时，f（x）＝x3﹣x2+x．则方程4f（x）﹣x+2＝0所有的根之和为（）A．6B．12C．14D．10解：定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），可得函数为奇函数，而f（﹣x）＝f（x+2），可得对称轴为x＝1，所以﹣f（x）＝f（x+2），可得﹣f（x+2）＝f（x+4），可得f（x）＝f（x+4），所以函数f（x）的周期T＝4，又因为x∈[0，1]时，f（x）＝x3﹣x2+x，所以f'（x）＝3x2﹣2x+1＝3（x−13）2+23＞0，所以f（x）在x∈[0，1]单调递增，且f（0）＝0，f（1）＝1，由题意如图所示：可得直线y=14（x﹣2）与y＝f（x）的交点的横坐标为4f（x）﹣x+2＝0的根，可得在（﹣2，2）与（2，6）上均有两个交点，且关于（2，0）点对称，加上（2，0）点，共有5个点，所以这5个交点的和为2×2×2+2＝10；故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．已知复数z＝2+i，z1＝x+yi（x，y∈R）（i为虚数单位），z为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为﹣iB．z对应的点在第一象限C ．|z||z|=1D ．若|z ﹣z 1|≤1，则在复平面内z 1对应的点形成的图形的面积为π 解：z ＝2+i ，则z =2−i ，故复数虚部为﹣1，故A 错误； z 对应的点（1，2）在第一象限，故B 正确；|z||z|=|2−i||2+i|=√5√5=1，故C 正确； |z ﹣z 1|≤1⇔（x ﹣2）2+（y ﹣1）2≤1，则在复平面内z 1对应的点的集合确定的图形是半径为1的圆及其内部，面积为π，故D 正确． 故选：BCD ．10．已知a ＞0，b ＞0，a +2b ＝1，则（ ） A ．2a+1b 的最小值为4B ．ab 的最大值为18C ．a 2+b 2的最小值为15D ．2a +4b 的最小值为2√2解：对于A ，a ＞0，b ＞0，2a+1b=(2a+1b)(a +2b)=4+4b a+a b≥4+2√4b a⋅a b=8，当且仅当4ba =ab，即a =12，b =14取等号，故A 错误， a +2b =1≥2√2ab ⇒ab ≤18，当且仅当a ＝2b ，即a =12，b =14取等号，故B 正确，a 2+b 2=(1−2b)2+b 2=5b 2−4b +1=5(b −25)2+15，故当b =25时，取到最小值15，此时a =15，满足题意，故C 正确，2a +4b ≥2√2a 4b =2√2a+2b =2√2，当且仅当2a ＝4b ，即a =12，b =14时等号成立，所以D 正确． 故选：BCD ．11．函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）在区间[−π2，π2]上为单调函数，图象关于直线x =2π3对称，则（ ） A ．ω=34B ．将函数f （x ）的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y 轴对称C ．若函数f （x ）在区间(a ，14π9)上没有最小值，则实数a 的取值范围是(−2π9，14π9) D ．若函数f （x ）在区间(a ，14π9)上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是[−4π3，0)解：选项A ：根据题意函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）在区间[−π2，π2]上为单调函数，可以判断为单调递增函数，则−π2≤−π2ω，π2ω≤π2， 解得0＜ω≤1； 又因为图象关于直线x =2π3，则2π3ω=π2+kπ，k ∈Z ， 解得ω=34+3k2，k ∈Z ， 当k ＝0时，ω=34符合条件．则A 正确； 选项B ：由A 可知f(x)=sin 34x 向右平移2π3个单位长度后，解析式变成g(x)=sin(34x −π2)=−cos 34x ，则图象关于y 轴对称．B 正确； 选项C ：函数f （x ）在区间(a ，14π9)没有最小值， 则令t =34x ，x ∈(a ，14π9)，则t ∈(34a ，7π6)， 当−π2≤34a ＜7π6，即−2π3≤a ＜14π9时，没有最小值．C 错误； 选项D ：函数f （x ）在区间(a ，14π9)上有且仅有2个零点，因为t ＝π时，为函数的零点，所以另一个端点只能让函数再有一个零点即可． 所以−π≤34a ＜0，即−4π3≤a ＜0，D 正确． 故选：ABD ． 12．已知椭圆C ：x 24+y 2b 2=1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P(√2，1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（ ） A ．离心率e 的取值范围为(0，√22) B ．当e =√24时，|QF 1|+|QP |的最大值为4+√62C ．存在点Q ，使得QF 1→•QF 2→=0D ．1|QF 1|+1|QF 2|的最小值为1解：对于A 项：因为点P(√2，1)在椭圆内部，所以24+1b 2＜1，得2＜b 2＜4，所以得：e =c a =√c 2a 2=√1−b 2a2=√1−b24∈(0，√22)，故A 项正确；对于B 项：由椭圆定义知|QF 1|+|QP |＝4﹣|QF 2|+|QP |，当Q 在x 轴下方时，且P ，Q ，F 2三点共线时，|QF 1|+|QP |有最大值4+|PF 2|，由e =√24=c 2，得c =√22，F 2(√22，0)，所以得|PF 2|=√(√2−√22)2+1=√62， 所以|QF 1|+|QP |最大值4+√62，故B 项正确；对于C 项：设Q （x ，y ），若QF →1⋅QF 2→=0，即：（﹣c ﹣x ，﹣y ）•（c ﹣x ，﹣y ）＝0， 则得x 2+y 2＝c 2，即点Q 在以原点为圆心，半径为c 的圆上， 又由A 项知：e =ca ∈(0，√22)，得c =ea =∈(0，√2)， 又因为2＜b 2＜4，得b ∈(√2，2)，所以得：c ＜b ，所以该圆与椭圆无交点，故C 项错误； 对于D 项：由椭圆定义得|QF 1|+|QF 2|＝2a ＝4， 所以1|QF 1|+1|QF 2|=14⋅(1|QF 1|+1|QF 2|)(|QF 1|+|QF 2|)=14(2+|QF 2||QF 1|+|QF 1||QF 2|)≥14(2+2√|QF 2||QF 1|×|QF 1||QF 2|)=1， 当且仅当|QF 1|＝|QF 2|＝2时取等号，故D 项正确． 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为 12 （用数字作答）． 解：由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为A 22A 33=12种．故答案为：12．14．设(2x −1)6=a 6x 6+a 5x 5+⋯+a 1x +a 0，则a 1+a 3+a 5＝ ﹣364 ．（用数字作答） 解：因为(2x −1)6=a 6x 6+a 5x 5+⋯+a 1x +a 0， 令x ＝1，则1＝a 0+a 1+⋯+a 5+a 6①，令x ＝﹣1，则729＝a 0﹣a 1+⋯+a 4﹣a 5+a 6②， ∴①﹣②得2（a 1+a 3+a 5）＝﹣728， 所以a 1+a 3+a 5＝﹣364． 故答案为：﹣364．15．现有一张正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，…，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为28．解：设没剪之前正方形的边数为a1，即a1＝4，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到一个三角形和一个四边形，无论是选择三角形四边形，剪一次后边数均增加3，即可得所有多边形纸片的边数总和是公差为3的等差数列，故经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为：a9＝4+8×3＝28．故答案为：28．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AC＝2，AA1＝4，AB＝6，点E，F分别是AA1，AB上的动点，那么C1E+EF+FB1的长度最小值是8√2，此时三棱锥B1﹣C1EF外接球的表面积为44π．解：把平面AA1C1C沿AA1展开到与平面ABB1A1共面的AA1C1'C'的位置，延长B1B到B1'，使得BB1'＝B1B，连结B1'F，如图1所示，则B1F＝B1'F，要使得C1E+EF+FB1的长度最小，则需C1'，E，F，B1'四点共线，此时C1E+EF+FB1＝C1'E+EF+FB1'＝C1'B1'，因为C1'B1＝8，B1B1'＝8，∠B1'B1C1'=π2，所以B1′C1′＝8√2，即C1E+EF+FB1的长度最小值是8√2．又因为∠B1'＝∠B1'C1'B1=π4，所以BF＝BB1'＝4，A1E＝A1C1'＝2，所以AE＝AF＝2，∠AFE＝∠BFB1=π4，所以∠B 1FE =π2，EF ＝2√2，B 1F ＝4√2，EB 1＝2√10，所以Rt △B 1FE 的外接圆是以EB 1的中点O 为圆心，12EB 1=√10为半径的圆，所以三棱锥B 1﹣C 1EF 外接球的球心O '过点O 且与平面EFB 1垂直的直线上，如图2所示：且点O ′到点E 、C 1的距离相等，则OO ′=12AC ＝1，所以O ′E 2=(B 1E2)2+O ′O 2＝10+1＝11，所以三棱锥B 1﹣C 1EF 外接球球面的表面积为4πR 2＝4π×11＝44π． 故答案为：8√2；44π．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 2+a n ＝2S n +2，数列{b n }满足b n =a n ⋅3a n ．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）由题意，当n ＝1时，a 12+a 1=2S 1+2=2a 1+2， 化简整理，得a 12−a 1﹣2＝0，解得a 1＝﹣1（舍去），或a 1＝2，当n ≥2时，由a n 2+a n ＝2S n +2， 可得a n−12+a n−1=2S n−1+2，两式相减，可得a n 2+a n −a n−12−a n ﹣1＝2a n ，化简整理，得（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣1）＝0， ∵a n ＞0，n ∈N *， ∴a n +a n ﹣1＞0，∴a n ﹣a n ﹣1﹣1＝0，即a n ﹣a n ﹣1＝1，∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝2+（n ﹣1）×1＝n +1，n ∈N *．（2）由（1），可得b n =a n ⋅3a n =(n +1)×3n+1，则T n ＝b 1+b 2+…+b n ＝2×32+3×33+4×34+⋯+（n +1）×3n +1， 3T n =2×33+3×34+4×35+⋯+(n +1)×3n+2， 两式相减，可得−2T n =2×32+33+34+35+⋯+3n+1−(n +1)×3n+2，＝18+33−3n+21−3−（n +1）×3n +2，=92−(n +12)×3n+2， ∴T n =2n+14⋅3n+2−94． 18．（12分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝c （a +c ）． （1）若B =π4，求ca 的值；（2）若△ABC 是锐角三角形，求√3sinB +2cos 2C 的取值范围． 解：（1）由余弦定理得，b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2+c 2−√2ac ， 又b 2＝c （a +c ）， 所以a 2＝（√2+1）ac ，由于a ＞0，所以a =(√2+1)c ，即ca =√2−1．（2）由余弦定理得，b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 因为b 2＝c （a +c ）， 所以a 2﹣2ac cos B ＝ac ， 又a ＞0，所以a ﹣2c cos B ＝c ， 由正弦定理得，a sinA=c sinC，所以sin A ﹣2sin C cos B ＝sin C ，因为sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ，所以sin B cos C +cos B sin C ﹣2sin C cos B ＝sin C ，即sin B cos C ﹣cos B sin C ＝sin C ， 所以sin （B ﹣C ）＝sin C ，因为A ，B ，C ∈（0，π2），所以B ﹣C ∈（−π2，π2），所以B ﹣C ＝C 或B ﹣C +C ＝π，即B ＝2C 或B ＝π（舍），所以√3sinB +2cos 2C =√3sin2C +cos2C +1=2sin(2C +π6)+1，且A ＝π﹣（B +C ）＝π﹣3C ，因为△ABC 是锐角三角形，所以{ 0＜π−3C ＜π20＜2C ＜π20＜C ＜π2，解得π6＜C ＜π4，所以π2＜2C +π6＜2π3，所以sin(2C +π6)∈(√32，1)，2sin(2C +π6)+1∈(√3+1，3)， 故√3sinB +2cos 2C ∈(√3+1，3)，19．（12分）为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学A 类试题中有7道题能答对，而他答对各道B 类试题的概率均为23．（1）若该同学只抽取3道A 类试题作答，设X 表示该同学答这3道试题的总得分，求X 的分布和期望；（2）若该同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率． 解：（1）易知X 的所有可能取值为0，10，20，30，此时P(X =0)=C 33C 103=1120，P(X =10)=C 71C 32C 103=21120=740，P （X ＝20）=C 72C 31C 103=63120=2140，P(X =30)=C 73C103=35120=724，则X 的分布为：故E(X)=0×1120+10×740+20×2140+30×724=21； （2）记“该同学仅答对1道题”为事件M ， 此时P(M)=710×(13)2+310×C 2113⋅23=1990， 所以这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为1990．20．（12分）已知在多面体ABCDE 中，DE ∥AB ，AC ⊥BC ，BC ＝2AC ＝4，AB ＝2DE ，DA ＝DC 且平面DAC ⊥平面ABC ．（Ⅰ）设点F 为线段BC 的中点，试证明EF ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60°，求二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值．解：（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接EF ，OF ， 由在△DAC 中DA ＝DC ，所以DO ⊥AC ，由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，得DO ⊥平面ABC ， 因为OF ∥AB ，且AB ＝2OF ，又DE ∥AB ，AB ＝2DE ，所以OF ∥DE ，且OF ＝DE ， ∴四边形DEFO 为平行四边形，∴EF ∥DO ， ∴EF ⊥平面ABC ；（Ⅱ）解：由DO ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与BC 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则A （1，0，0），C （﹣1，0，0），B （﹣1，4，0），由EF ⊥平面ABC ，所以直线BE 与平面ABC 所成的角为∠EBF ＝60°， 所以DO ＝EF ＝BF tan60°＝2√3，∴D （0，0，2√3）， 取平面ADC 的法向量m →=(0，1，0)，设平面ADB 的法向量n →=(x ，y ，z)，AB →=(−2，4，0)，AD →=(−1，0，2√3)，由{n →⋅AB →=0n →⋅AD →=0，得{−2x +4y =0−x +2√3z =0，故n →=(2√3，√3，1)， ∴cos ＜m →，n →＞=√31⋅12+3+1=√34，故二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值为√34． 21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)经过点P （4，6），且离心率为2． （1）求C 的方程；（2）过点P 作y 轴的垂线，交直线l ：x ＝1于点M ，交y 轴于点N ．设点A ，B 为双曲线C 上的两个动点，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1+k 2＝2，求S △MAB S △NAB．解：（1）∵离心率为2，∴ca=2，即c ＝2a ，则a 2+b 2＝c 2＝4a 2，即b 2＝3a 2，则双曲线方程为x 2a 2−y 23a 2=1∵双曲线经过点P （4，6）， ∴16a 2−363a 2=16a 2−12a 2=4a 2=1，得a 2＝4，∴C 的方程为x 24−y 212=1．（2）由题意，点M 坐标为（1，6），点N 坐标为（0，6）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 法一：①若直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为y ＝kx +m ，{x 24−y 212=1y =kx +m，消去y 可得（3﹣k 2）x 2﹣2kmx ﹣m 2﹣12＝0，则3﹣k 2≠0且Δ＝12（m 2﹣4k 2+12）＞0， 且x 1+x 2=2km 3−k2，x 1x 2=−m 2+123−k2．k 1+k 2=y 1−6x 1−4+y 2−6x 2−4=(kx 1+m−6)(x 2−4)+(kx 2+m−6)(x 1−4)(x 1−4)(x 2−4)=2 整理可得（m ﹣4k +2）（x 1+x 2）+（2k ﹣2）x 1x 2﹣8m +16＝0， 即(m −4k +2)⋅2km 3−k2+(2k −2)⋅(−m 2+123−k2)−8m +16=0，化简得m 2﹣12m ﹣8k 2﹣12k +2km +36＝0， 即（m ﹣2k ﹣6）（m +4k ﹣6）＝0，因为直线AB 不过点P （4，6），所以m +4k ﹣6≠0，所以m ﹣2k ﹣6＝0， 所以直线AB 的方程为y ＝k （x +2）+6，恒过定点Q （﹣2，6）． ②若直线AB 斜率不存在，则x 1＝x 2，y 1+y 2＝0．则k 1+k 2=y 1−6x 1−4+y 2−6x 2−4=y 1+y 2−12x 1−4=−12x 1−4=2， 解得x 1＝x 2＝﹣2，所以直线AB 的方程为x ＝﹣2，过定点Q （﹣2，6）． 综上，直线AB 恒过定点Q （﹣2，6）．法二：∵直线AB 不过点P （4，6），∴可设直线AB 方程为m （x ﹣4）+n （y ﹣6）＝1． 由x 24−y 212=1可得[(x−4)+4]24−[(y−6)+6]212=1，即（y ﹣6）2﹣3（x ﹣4）2+12（y ﹣6）﹣24（x ﹣4）＝0，即（y ﹣6）2﹣3（x ﹣4）2+[12（y ﹣6）﹣24（x ﹣4）]•[m （x ﹣4）+n （y ﹣6）]＝0， 得（12n +1）（y ﹣6）2+（12m ﹣24n ）（x ﹣4）（y ﹣6）﹣（24m +3）（x ﹣4）2＝0，等式左右两边同时除以（x ﹣4）2得(12n +1)(y−6x−4)2+(12m −24n)y−6x−4−(24m +3)=0， Δ＝（12m ﹣24n ）2+4（12n +1）（24m +3）＞0，k 1+k 2=y 1−6x 1−4+y 2−6x 2−4=−12m−24n12n+1=2，解得m =−16． 所以直线AB 方程为−16⋅(x −4)+n(y −6)=1，恒过定点Q （﹣2，6） 设点M 到直线AB 的距离为d 1，点N 到直线AB 的距离为d 2，S △MAB S △NAB=12⋅AB⋅d 112⋅AB⋅d 2=d 1d 2=MQ NQ=32．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x −a3x 3−x 22−2ax ．（1）当a ＝0时，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）若f （x ）在[0，+∞）上单调递增，求a 的取值范围； （3）若f （x ）的最小值为1，求a ．解：（1）a ＝0时，f （x ）＝e x −x 22，则f （1）＝e −12，f ′（x ）＝e x ﹣x ，所以f '（1）＝e ﹣1， 所以y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ﹣（e −12）＝（e ﹣1）（x ﹣1）， 即2（e ﹣1）x ﹣2y +1＝0．（2）因为f （x ）在[0，+∞）上单调递增，所以f ′（x ）＝e x﹣ax 2﹣x ﹣2a ≥0在区间[0，+∞）上恒成立，所以a ≤（e x −x x 2+2）min ，令g （x ）=e x −x x 2+2，则g ′（x ）=(e x −1)(x 2+2)−(e x −x)⋅2x (x 2+2)2， 令h （x ）＝（e x ﹣1）（x 2+2）﹣（e x ﹣x ）•2x ，则h ′（x ）＝x 2e x +2x ，当x ≥0时，h ′（x ）≥0，h （x ）单调递增，h （x ）≥h （0）＝0， 所以g ′（x ）≥0，所以g （x ）单调递增， 所以g （x ）min ＝g （0）=12，所以a ≤12， 所以a 的取值范围为（﹣∞，12]．（3）f （x ）＝e x−a 3x 3−x 22−2ax ，f （0）＝1，所以f ′（x ）＝e x ﹣ax 2﹣x ﹣2a ，f ′（0）＝1﹣2a ， 所以f ″（x ）＝e x ﹣2ax ﹣1，f ″′（x ）＝e x ﹣2a ，当a =12时，f （x ）＝e x −16x 3−x 22−x ，则f ′（x ）＝e x −x 22−x ﹣1，令g （x ）＝e x−x 22−x ﹣1，则g ′（x ）＝e x ﹣x ﹣1，g ″（x ）＝e x ﹣1，当x ＜0时，g ″（x ）＜0，g ′（x ）单调递减， 当x ≥0时，g ″（x ）≥0，g ′（x ）单调递增，g ′（x ）≥g ′（0）＝0，g （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，且g （0）＝0， 所以，当x ＜0时，g （x ）＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x ＞0时，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以f （x ）min ＝f （0）＝1，所以a =12适合， 当a ＞12时，当0＜x ＜ln 2a 时，f ″′（x ）＜0，f ″（x ）在（0，ln 2a ）上单调递减，f ″（x ）＜f ″（0）＝0， f ′（x ）＜f ′（0）＝1﹣2a ＜0， 所以f （x ）在（0，ln 2a ）上单调递减， 此时f （x ）＜f （0）＝1，舍去，当a ≤0时，当x ＜0时，f ″（x ）＝e x ﹣2ax ﹣1＜0，f ′（x ）在（﹣∞，0）上单调递减，f ′（x ）＞f ′（0）＝1﹣2a ＞0， f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，f （x ）＜f （0）＝1，舍去，当0＜a ＜12时，当ln 2a ＜x ＜0时，f ″′（x ）＞0，f ″（x ）在（ln 2a ，0）上单调递增， f ″（x ）＜f ″（0）＝0，f ′（x ）在（ln 2a ，0）上单调递减， f ′（x ）＞f ′（0）＝1﹣2a ＞0，f（x）在（ln2a，0）上单调递增，所以f（x）＜f（0）＝1，舍去，综上所述，a=1 2．。
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2020届江苏省南京市2017级高三三模考试
数学参考答案
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分．
3．解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数,填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸
的指定位置上）
1．{x |1＜x ＜4} 2．2 3．60 4．10 5．23
6． 3 7．2n ＋1－2 8． 62 9．83
10．[2,4] 11．6 12． [－2,＋∞) 13．－94 14．38 二、解答题（本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
证明：(1)取PC 中点G ,连接DG 、FG ．
在△PBC 中,因为F ,G 分别为PB ,PC 的中点,所以GF ∥BC ,GF ＝12
BC ． 因为底面ABCD 为矩形,且E 为AD 的中点,
所以DE ∥BC ,DE ＝12BC , ················· 2分。